2018-04-16 
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} – alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ – beta V}$,
где $p_{0}, alpha$ и $beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.
Решение:
(a) $p = p_{0} – alpha V^{2} = p_{0} – alpha left ( frac{RT}{p} right )^{2}$ (так как, $V = RT/p$ для одного моля газа)
Таким образом, $T = frac{1}{R sqrt{ alpha} } p sqrt{p_{0} – p } = frac{1}{R sqrt{ alpha } } sqrt{ p_{0}p^{2} – p^{3} }$ (1)
Для $T_{max}, frac{d(p_{0}p^{2} – p^{3} ) }{dp}$ должно быть равным нулю
что дает, $p = frac{2}{3} p_{0}$ (2)
Следовательно, $T_{max} = frac{1}{R sqrt{ alpha} } frac{2}{3} p_{0} sqrt{p_{0} – frac{2}{3}p_{0} } = frac{2}{3} left ( frac{p_{0} }{R} right ) sqrt{ frac{p_{0} }{3 alpha} }$
(б) $p = p_{0} e^{ – beta V} = p_{0}e^{ – beta RT/p }$
$frac{ beta RT}{p} = ln frac{p_{0} }{p}$, $T = frac{p}{ beta R} ln frac{p_{0} }{p}$ (1)
Для $T_{max}$ условие равно $frac{dT}{dp} = 0$, что дает
$p = frac{p_{0} }{e}$
Следовательно, используя это значение $p$ в уравнении (1), получаем
$T_{max} = frac{p_{0} }{e beta R}$
72,6% бесплатных материалов
965 руб. средняя цена курсовой работы
351 руб. средняя цена домашнего задания
119 руб. средняя цена решённой задачи
161 руб. средняя цена лабораторной работы
174 руб. средняя цена реферата
168 руб. средняя цена доклада
1614 руб. средняя цена ВКР
663 руб. средняя цена диссертации
595 руб. средняя цена НИР
357 руб. средняя цена отчёта по практике
276 руб. средняя цена ответов (шпаргалок)
202 руб. средняя цена лекций
223 руб. средняя цена семинаров
280 руб. средняя цена рабочей тетради
188 руб. средняя цена презентации
67 руб. средняя цена перевода
143 руб. средняя цена изложения
150 руб. средняя цена сочинения
308 руб. средняя цена статьи
Гарантия возврата средств
Идеальный газ в количестве 
молей совершает процесс по закону 
, где 
, 
– положительные константы; V – объем газа. Найдите максимальную температуру в ходе этого процесса.
Из данного нам уравнения мы можем найти точку, в которой 
будет максимальным. По сути 
будет максимальной в той же точке. Найдем производную по 
: 
. Когда у объема будет такое значение, давление будет максимальным. Дальше нужно, видимо, каким-то образом подставить это дело в уравнение состояния идеального газа, но я не понимаю, каким образом. Помогите, пожалуйста.
© Преподаватель Анна Евкова
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Правовые документы
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Алексей . Малеев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
Что такое идеальный газ
Прежде чем знакомиться, с уравнением определим, что такое идеальный газ, состояние которого оно описывает. Идеальный газ самая простая модель системы многих частиц. Он состоит из упругих шаров, обладающих массой и такими размерами, что их можно считать материальными точками. Важное свойство, которое выполняется для движения молекул идеального газа — это то, что точечные частицы испытывают только лобовые соударения, которые подчиняются законам упругого удара. Наиболее близко свойствам идеального газа соответствуют газы, находящиеся под низким давлением. Модель идеального газа позволяет довольно просто математически описать процессы и явления, которые происходят в действительности, если использовать некоторые ограничения. Мы будем постоянно обращаться к этой модели в ходе рассмотрения молекулярно — кинетической теории и термодинамики.
Состояние идеального газа
Состояние идеального газа определяют совокупностью нескольких параметров, важнейшими из них являются давление (p), объем (V), температура по шкале Кельвина (T), масса (m). Параметры состояния связаны друг с другом. Уравнение, которое устанавливает эту связь, называется уравнением состояния идеального газа. Это уравнение можно записать в нескольких видах.
В параметрах p(T):
$p=nkT$ (1),
где $k=1,38 cdot 10{-23}Дж/К$ — постоянная Больцмана,
n – число молекул в единице объема газа.
В виде, так называемого уравнения Менделеева — Клайперона:
$pV=frac{m}{mu }RT ; pV=nu RT $(2),
где R= k $N_A=$8,3 Дж/(моль$cdot $К) — молярная (универсальная) газовая постоянная, $mu $ — молярная масса газа, $nu $- количество молей газа, $N_A=6,02cdot {10}^{23}frac{1}{моль} $- постоянная Авогадро.
Если ввести понятие молярного объема:
уравнение состояния (2) можно записать еще в одном виде:
Иногда вместо массы газа рассматривают число его молекул (N) в заданном объеме, тогда удобнее уравнение (2) использовать в виде:
«Уравнение состояния идеального газа» 👇
$pV=NkT$(5)
Таким образом, уравнения (1), (2), (3), (4), (5) — различные формы записи одного и того же уравнения состояния идеального газа.
Пример 1
Задание: В баллоне объемом V при температуре T находится смесь идеальных газов, которая содержит три компоненты с количествами молей: ${nu }_1, {nu }_2,{nu }_3$. Считая газы идеальными, найдите:
- давление смеси;
- среднюю молярную массу смеси, если известны молярные массы каждой компоненты смеси $({mu }_1, {mu }_2,{mu }_3)$.
Решение:
В качестве основания для решения используем уравнение состояния идеального газа в виде уравнения Менделеева — Клайперона:
[pV=nu RT left(1.1right).]
Зная количество молей каждой компоненты газа, легко найти количество молей смеси:
[nu =nu_1+nu_2+nu_3left(1.2right).]
Выразим из (1.1) давление, подставив (1.2), получим:
[p=frac{left({nu }_1+{nu }_2+{nu }_3right)RT}{V}left(1.3right).]
Для нахождения средней молярной массы смеси запишем уравнение Менделеева — Клайперона в немного другом виде:
[pV=frac{m}{mu }RT left(1.4right),]
где m — масса смеси, которую найдем как:
[m=m_1+m_2+m_3={nu }_1{mu }_1+{nu }_2{mu }_2+{nu }_3{mu }_3left(1.5right).]
В (1.4) подставим (1.3) и (1.5), получим:
[frac{left({nu }_1+{nu }_2+{nu }_3right)RT}{V}V=frac{{nu }_1{mu }_1+{nu }_2{mu }_2+{nu }_3{mu }_3}{mu }RTto left({nu }_1+{nu }_2+{nu }_3right)=frac{{nu }_1{mu }_1+{nu }_2{mu }_2+{nu }_3{mu }_3}{mu }to ]
[mu =frac{{nu }_1{mu }_1+{nu }_2{mu }_2+{nu }_3{mu }_3}{{nu }_1+{nu }_2+{nu }_3}left(1.6right)]
Ответ: а) Давление смеси при заданных условиях равно $p=frac{left({nu }_1+{nu }_2+{nu }_3right)RT}{V}. $ б) Средняя молярная масса смеси $mu =frac{{nu }_1{mu }_1+{nu }_2{mu }_2+{nu }_3{mu }_3}{{nu }_1+{nu }_2+{nu }_3}.$
Пример 2
Задание: Найдите максимально возможную температуру 1 моля идеального газа в процессе $p=p_0{exp left(-frac{V}{V_0}right) },$ где $p_0=1Па$, $V_0=68,1 л$.
Решение:
Сначала переведем заданное уравнение процесса в параметры T(V). Для этого из уравнения состояния:
[pV=nu RT left(2.1right).]
Выразим давление:
[p=frac{nu RT}{V} left(2.2right).]
Подставим давление в уравнение процесса, получим уравнение процесса в параметрах Т(V):
[frac{nu RT}{V}=p_0{exp left(-frac{V}{V_0}right) }to T(V)=frac{p_0V}{nu R}{exp left(-frac{V}{V_0}right) } (2.3)]
Для того, чтобы найти максимум функции $T(V)$, как положено в математике, найдем ее производную $frac{dT}{dV}$ и приравняем ее к нулю:
[frac{dT}{dV}=frac{p_0}{нR}{(exp left(-frac{V}{V_0}right)- }frac{V}{V_0}{exp left(-frac{V}{V_0}right) })=frac{p_0}{нR}{exp left(-frac{V}{V_0}right) }left(1-frac{V}{V_0}right)=0(2.4)]
В произведении (2.4) нулю может быть равен нулю только множитель:
[1-frac{V}{V_0}=0to V=V_0left(2.5right).]
Производная $frac{dT}{dV}=0$ при V=$V_0$, следовательно, температура максимальна в этой точке.
[T_{max}=frac{p_0V_0}{nu R}{exp left(-frac{V_0}{V_0}right)= }frac{p_0{cdot V}_0}{nu cdot Rcdot e} left(2.6right).]
Переведем в СИ объем $V_0=68,1 л=6,81•10^{-2}м^3$.
Проведем расчет:
[T_{max}=frac{1cdot 68,1cdot 10^{-3}}{1cdot 8,31cdot 2,7}=3,3•10^{-3} (К)]
Ответ: Максимальная температура в заданном процессе равна $3,3cdot 10^{-3} К$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
