Как найти максимальную высоту при вертикальном броске

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u₀ и ускорением
a = -g.

Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h.
Для этого движения справедливы формулы:

Если:
u₀ — начальная скорость движения тела ,
u — скорость падения тела спустя время t,
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с²),
h — высота на которую поднимется тело за время t,
t — время,
То, движение тела, брошенного вертикально вверх описывается следующими формулами:

Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость

[ h = frac{u_0 + u}{2} t ]

Высота подъема тела за некоторое время, зная ускорение свободного падения

[ h = u_0 t – frac{g t^2}{2} ]

Скорость тела через некоторое время, зная ускорение свободного падения

[ u = u_0 – gt ]

Скорость тела на некоторой высоте, зная ускорение свободного падения

[ u = sqrt{ u_0^2 – 2gh} ]

Максимальная высота подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в ноль. Поднявшись на максимальную высоту тело начинает свободное падение вниз.

[ h_{max} = frac{u_0^2}{2g} ]

Время подъема на максимальную высоту подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

[ t_{hmax} = frac{u_0}{g} ]

Примечание к статье: Движение тела, брошенного вертикально вверх

• Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
• Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с²)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!

Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ0, оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a=-g=-9,81υc2.

Рисунок 1

Формулы вычисления показателей движения брошенного тела

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

tmax – это время, за которое тело достигает максимальной высоты hmax=h, при υ=0, а сама высота hmax может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной hmax, то оно обладает скоростью υ=0 и ускорением g. Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения hmax изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h0. Общее время тела примет обозначение t, время свободного падения – tп, конечная скорость υк, отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h0=0.

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υк тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Рисунок 2

Примеры решения задач

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Обновлено: 19.05.2023

Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ 0 , оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a = – g = – 9 , 81 υ c 2 .

Формулы вычисления показателей движения брошенного тела

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

t m a x – это время, за которое тело достигает максимальной высоты h m a x = h , при υ = 0 , а сама высота h m a x может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной h m a x , то оно обладает скоростью υ = 0 и ускорением g . Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения h m a x изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h 0 . Общее время тела примет обозначение t , время свободного падения – t п , конечная скорость υ к , отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h 0 = 0 .

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υ к тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ 0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Примеры решения задач

Тело было брошено вертикально вверх с высоты 25 метров со скоростью 15 м / с . Через какой промежуток времени оно достигнет земли?

Дано: υ 0 = 15 м / с , h 0 = 25 м , g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: t .

Решение

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 15 + 15 2 + 9 , 8 · 25 9 , 8 = 3 , 74 с

Ответ: t = 3 , 74 с .

Был брошен камень с высоты h = 4 вертикально вверх. Его начальная скорость равняется υ 0 = 10 м / с . Найти высоту, на которую сможет максимально подняться камень, его время полета и скорость, с которой достигнет поверхности земли, пройденный телом путь.

Дано: υ 0 = 10 м / с , h = 4 м , g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: H , t , v 2 , s .

Решение

H = h 0 υ 0 2 2 g = 4 + 10 2 9 , 8 = 14 , 2 м .

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 10 + 10 2 + 9 , 8 · 4 9 , 8 = 1 , 61 с .

υ 2 = υ k = 2 g H = 2 · 9 , 8 · 14 , 2 = 16 , 68 м / с .

s = H – h 0 + H = 2 H – h 0 = 2 · 14 , 2 = 24 , 4 м .

Ответ: H = 14 , 2 м ; t = 1 , 61 с ; v 2 = 16 , 68 м / с ; s = 24 , 4 м .

Согласно второму закону Ньютона, сила тяжести, обусловленная гравитационным притяжением, действует на все тела на поверхности Земли и вблизи неё вне зависимости от того, покоятся они или движутся.

При свободном падении тело движется равноускоренно. Это значит, что скорость свободно падающего тела увеличивается при приближении к поверхности Земли. Этому способствует ускорение свободного падения (рис. (1)).

Если подбросить тело вверх, то при отсутствии сопротивления воздуха, тело будет двигаться только под действием силы тяжести (рис. (2)), которая направлена вниз (к центру Земли). В эту же сторону направлено и ускорение свободного падения.

Чем большую начальную скорость получило тело при броске, тем больше будет время подъёма, и тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

После того как тело поднялось на наибольшую высоту, оно под действием силы тяжести начинает равноускоренно падать вниз.

Вдоль оси (Oy) тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g y и начальной скоростью υ 0 .

При движении вверх с начальной скоростью υ 0 значение скорости будет уменьшаться, тело будет замедляться. Направления проекций скорости и ускорения свободного падения на ось (Oy) будут противоположными.

При броске тела вверх оно замедляется с ускорением g≈9,8 м/с², обусловленным гравитационным притяжением Земли. Именно поэтому в некоторый момент времени подброшенное тело останавливается и начинает движение в обратном направлении, вниз. Расстояние от точки смены направления движения тела до поверхности Земли и будет равно максимальной высоте подъема.

• Как найти максимальную высоту подъема
• Как рассчитать скорость падения
• Как найти время падения тела

• – секундомер;
• – радар;
• – калькулятор;
• – угломер.

Найдите максимальную высоту подъема тела, брошено вверх при помощи секундомера. Не имеет значения, брошено ли тело вертикально вверх или под углом к горизонту. При помощи секундомера, засеките время, которое тело находилось в полете. Измеряйте значение времени в секундах. Поскольку половину времени, проведенного в полете тело поднимается, во вторую половину опускается, полученное значение поделите на 2.

Рассчитайте максимальную высоту подъема тела Н. Для этого возведите поделенное на 2 время полета t в квадрат. Полученное значение умножьте на ускорение свободного падения g≈9,8 м/с², а результат поделите на число 2, H=g∙t²/2. Высоту получите в метрах.

Пример. После броска с поверхности Земли тело снова упало на нее через 4 с, на какую максимальную высоту оно поднялось? Найдите время подъема тела на максимальную высоту. Оно равно половине всего времени движения 4/2=2 с. Подставьте значение в формулу H=g∙t²/2=9,8∙2²/2≈20 м. Если не требуется повышенная точность, значение ускорения свободного падения можно брать 10 м/с².

Определите максимальную высоту подъема тела, если известна его начальная скорость. Ее можно измерить специальным радаром. В некоторых устройствах, она изначально известна. В том случае, если тело запущено вертикально вверх с начальной скоростью v0, чтобы найти максимальную высоту подъема этого тела поделите квадрат этой начальной скорости на удвоенное значение ускорения свободного падения, H=v0²/2∙g. Скорость должна быть измерена в метрах в секунду.

Найдите максимальную высоту подъема тела, начальная скорость v0 которого направлена под углом к горизонту. При расчете учитывайте, что за подъем тела отвечает только вертикальная составляющая скорости, которая равна v0y= v0∙sin(α), где α – угол к горизонту, под которым тело начало свое движение, его измерьте угломером. Тогда для расчета максимальной высоты подъема тела можно использовать формулу, описанную в предыдущем пункте, а получившийся результат умножит на синус α, возведенный в квадрат H=(v0²/2∙g)∙sin²(α).

На какую высоту поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью 800 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение задачи:

Первый способ решения – длинный.

Тело бросают вертикально вверх с начальной скоростью, из-за ускорения свободного падения оно равно или поздно достигнет максимально высоты, остановится и устремится обратно к земле. Для того, чтобы определить эту высоту запишем уравнения движения и уравнение скорости тела:

В точке максимального подъема скорость тела (upsilon) равна нулю. Из выражения (2) определим время полета:

[upsilon = 0 Rightarrow 0 = <upsilon _0>– gt Rightarrow t = frac<<<upsilon _0>>>]

Подставим полученную формулу в выражение (1):

Второй способ решения – короткий.

Используем известную формулу без времени (знак “минус” справа присутствует из-за того, что движение замедленное!):

Конечная скорость (upsilon) равна нулю, поэтому формула станет короче. Выразим оттуда искомую высоту (h).

[upsilon _0^2 = 2gh Rightarrow h = frac<<upsilon _0^2>>>]

Видно, что если в задаче не дано времени, то лучше использовать второй способ.

Ответ: 32 км.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

помогите пожалуйста решить задачи:
1) Определите на какую максимальную высоту поднимется тело, если его подбросили вертикально вверх со скоростью 30 м/с.
2) Определите скорость пули через 2,5 с после выстрела вертикально вверх, если скорость в момент вылета из ствола была 300 м/с.

1) Используем формулу кинематики без времени: [ <upsilon ^2>– upsilon _0^2 = – 2gH]На максимальной высоте скорость тела будет равна нулю, тогда:[upsilon _0^2 = 2gH]Максимальная высота равна:[H = frac<<upsilon _0^2>>>][H = frac^2>>>> = 45;м]
2) Скорость пули в любой момент, движущейся вертикально вверх, можно найти по формуле:[upsilon = <upsilon _0>– gt][upsilon = 300 – 10 cdot 2,5 = 275;м/с]

Спасибо за ответ я понял как теперь решать

Можете сказать название формулы, использованной в первом шаге второго способа?υ
v2—v02=—2gh

По сути это закон сохранения энергии Ещё называют формулой кинематики без времени

Я взял формулу h_max = v_0^2*sin^2a/2*g a = 90. У меня вышло тот же самый ответ только, боюсь что я взял не правильную формулу. Или нет?

Да, Вы взяли формулу максимальной высоты для тела, брошенного под углом к горизонту, а в задаче тело брошено вертикально вверх. Правильная формула показана в решении выше (как и вывод этой формулы).

у меня вместо формул что-то вроде ^2>>>><<<<562<>[]

Для корректного отображения формул на сайте в браузере должны быть разрешены запуски скриптов js

С какой максимальной скоростью человек может бросить камень или мячик своей рукой?
Для решения задачи используем информацию о рекордной скорости бейсбольного мяча на подаче, равный v ≈ 45 м/сек. Масса бейсбольного мяча известна и приближенно равна m = 0,145 кг. Соответствующую кинетическую энергию (Е), затраченную на бросок мяча рукой, оценим из формулы Е ≈ (δМ + m)v²/2, где М — масса человека, а δМ = 0,005М — масса кисти руки.

Подставив в формулу массу среднего человека, M ≈ 70 кг, получим, что энергия рекордного броска равнялась E ≈ 500 Дж. Зафиксировав это значение как предел, решим теперь задачу в обратном направлении — найдём приближённую формулу для максимальной скорости (v) произвольного предмета с массой m, брошенного человеком с массой М, при фиксированной максимальной энергии E = 500 Дж.

Ответ: v ≈ √ ≈ √, [м/сек], где m и М в единицах кг. Подставив числовые значения, определим скорость,с которой человек может кинуть бейсбольный мяч. V= √1000/0.005×70+0.145=45 м/с=162км/ч
Можно сказать,что проверили информацию о рекордной скорости бейсбольного мяча на подаче, равный v ≈ 45 м/сек.

В газете прочитал такую статью: “Насколько высоко человек может что-либо подбросить?. Возьмем,например, бейсбольный мяч.Питчер, кидающий фастбол на скорости 130 км/, сумеет добросить его до высоты 50 метров. Я решил взять вышеуказанную задачу и проверить результат в 50 метров. Перевел в м/с: 130 км/час=36м/с
Выбрав вторую формулу, находим h=36^2/2×10=64.8 метра.
Правильно я проверил?

Думаю, да.
Проблема в том, что питчер не кидает мяч вертикально вверх, а формула справедлива только для мяча, брошенного вертикально вверх.

У меня получилось вот так:
Уравнение движения тела y = v_0 * t – (g * t^2 )/2. (*)
Время t можно найти из этого уравнения g = (v – v_0)/t => t = (v – v_0)/g. t = 81,6c
Подставим все известные значения в уравнение (*) и получим y = 32653 м.
Разница между вашими моим ответом 653 м.

В решении я принял, что (g = 10;м/с^2), а у Вас по всей видимости (g = 9,81;м/с^2). Разница в 600 с лишним метров в таком случае нормальна. Это всего лишь 2% от 32000 м.

Ваше решение тоже правильно (как и моё), хотя мне не нравится один момент. Вы решает по действиям и накапливаете ошибку. Если использовать мою конечную формулу и принять (g = 9,81;м/с^2), то:
[h = frac^2>>>> = 32619,8;м]
Тогда у нас с Вами разница 40 м, а её вообще не должно быть.

Читайте также:

  

• Что такое потолок кратко

  

• Кластер что это в экономике кратко и понятно

  

• Модели здоровьесберегающей деятельности школы типичная недостаточная

  

• Что рассказывается о повести временных лет о начале руси кратко

  

• Комплексный анализ текста 2 класс школа россии