Как найти максимальный объем конуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ответ:

V = 6224,272 * √3 π см³

Объяснение:

Рассмотрим осевое сечение конуса (см. рис.). SO — высота конуса (h), AO — радиус (r), AS — образующая конуса (43,8 см). Тогда по теореме Пифагора r² + h² = 43,8².

Объём конуса вычисляется по формуле $V=dfrac{1}{3}pi r^2h$ . Из предыдущего уравнения r² = 43,8² – h². Подставим это в уравнение объёма:

$V=dfrac{1}{3}pi (43{,}8^2-h^2)h=dfrac{43{,}8^2pi}{3}h-dfrac{pi}{3}h^3$

Найдём максимальное значение с помощью производной:

$V'(h)=dfrac{43{,}8^2pi}{3}-pi h^2\V'(h)=0Leftrightarrow dfrac{43{,}8^2pi}{3}=pi h^2Leftrightarrow h=pmdfrac{43{,}8}{sqrt{3}}$

Будем рассматривать только положительные значения h, так как отрицательной высота быть не может. При $0<h<dfrac{43{,}8}{sqrt{3}} V'(h)>0$ , при $h>dfrac{43{,}8}{sqrt{3}} V'(h)<0$ . Значит, $h=dfrac{43{,}8}{sqrt{3}}$ — точка максимума. При данном значении h объём конуса максимален.

$V_{max}=dfrac{1}{3}pileft(43{,}8^2-dfrac{43{,}8^2}{3}right)cdotdfrac{43{,}8}{sqrt{3}}=dfrac{1}{3}pi cdotdfrac{2}{3}cdot 43{,}8cdot 43{,}8cdotdfrac{43{,}8}{3}sqrt{3}=\=14{,}6cdot 2cdot 14{,}6cdot 14{,}6sqrt{3}pi=6224{,}272sqrt{3}pi$

Приложения:

Источник

Пифагор: h^2=l^2-r^2, где ^ – степень, r – радиус основания.

Объём конуса: V=1/3*pi*r^2*koren(l^2-r^2).

Обозначим для удобства x=r^2, x > 0.
Объём наибольший, когда функция y(x)=x*koren(l^2-x) имеет наибольшее значение. При этом f(x)=x^2*(l^2-x) тоже будет максимально.

Приравниваем к 0 производную:

(x^2*l^2-x^3)’=0, 2x*l^2-3x^2=0, x=2/3*l^2.

Итак, максимальный объем при r^2=2/3*l^2.
Осталось подставить это в формулу для V.

Анастасия СерыхУченик (88)

8 лет назад

“Объём наибольший, когда функция y(x)=x*koren(l^2-x)”-а куда делось 1/3pi?

Alexander Alenitsyn
Высший разум
(754455)
Функция у (х) отличается от объема только постоянным множителем, поэтому значение х, при котором объём максимальный, то же самое, при котором у (х) максимальна.

Источник

Пускай $%x$% – радиус основания конуса. Тогда его высота равна $%R+sqrt{R^2-x^2}$%,
$%V=frac{1}{3}pi x^2left(R+sqrt{R^2-x^2}right)$%. Далее стандартно: находим производную, приравниваем её к нулю и получаем, что $$V_{max}=frac{32}{81}pi R^3$$ при $$x=frac{2sqrt{2}}{3}R.$$

ссылка

отвечен
18 Дек ’14 15:47

EdwardTurJ
50●13●96●197

10|600
символов нужно
символов осталось

Источник

Найти наибольший объем конуса

	28.10.2013, 02:49
Найти наибольший объем конуса, образующая которого имеет данную длину l.
1 2 3 4 5 Категория: Задачи на доказательство \| Добавил: alexlat
Просмотров: 4201 \| Загрузок: 0 \| Рейтинг: 5.0/1

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.

[

Регистрация

Вход

]

Статистика

Источник

30 / 17 / 0

Регистрация: 21.10.2012

Сообщений: 346

Определить размеры конуса наибольшего объема

21.09.2013, 22:09. Показов 10184. Ответов 24

Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность S равна 10 см^2

4216 / 3411 / 396

Регистрация: 15.06.2009

Сообщений: 5,818

30.09.2013, 22:56

Сообщение было отмечено как решение

Решение

Площадь боковой поверхности:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=pi r l=pi r sqrt{r^2+h^2}$

Целевая функция (метод множителей Лагранжа):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Phi (r,h,lambda )=frac{1}{3}pi r^2h+lambda (S-pi r sqrt{r^2+h^2})$

Частные производные (это для ТС задача)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?left{begin{matrix}partial Phi /partial r=0\ partial Phi /partial h=0\ partial Phi /partial lambda =0end{matrix}right.$
После элементарной школьной алгебры первые два уравнения сводятся к

а из третьего уравнения (которое и есть исходное ограничение):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r^2=frac{S}{pi sqrt{3}}$

1765 / 969 / 180

Регистрация: 24.02.2013

Сообщений: 2,784

Записей в блоге: 12

30.09.2013, 23:54

Сообщение от Даниил 007

Но все же, возможно ли в ручную решить эту “недетскую” системку трех нелинейных уравнений, или же это из разряда фантастики ?

В ручную лично я давно ничего не решаю.Для этого существуют матпакеты.
Маткад, например, символьно решить вышеназванную систему из трех уравнений не смог.Помогать ему, естественно, не стал – решил численно (Маткад).
P.S.Ну, вот Том Ардер говорит, что система просто решается….

4216 / 3411 / 396

Регистрация: 15.06.2009

Сообщений: 5,818

01.10.2013, 02:34

Сообщение от Nacuott

Маткад, например, символьно решить вышеназванную систему из трех уравнений не смог

Mathcad 14, решение есть.

Миниатюры

Изображения

Вложения

30 / 17 / 0

Регистрация: 21.10.2012

Сообщений: 346

01.10.2013, 20:40

[ТС]

Сообщение от Том Ардер

Площадь боковой поверхности:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=pi r l=pi r sqrt{r^2+h^2}$

Целевая функция (метод множителей Лагранжа):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Phi (r,h,lambda )=frac{1}{3}pi r^2h+lambda (S-pi r sqrt{r^2+h^2})$

а из третьего уравнения (которое и есть исходное ограничение):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r^2=frac{S}{pi sqrt{3}}$

Огромное Вам спасибо, что пролили истину на эту задачу, но меня мучает еще один вопрос:
Вот нашли мы радиус и высоту, а как доказать, что при этих радиусе и высоте объем конуса будет наибольшим, то есть как доказать, что это максимумы целевой функции ?

4216 / 3411 / 396

Регистрация: 15.06.2009

Сообщений: 5,818

01.10.2013, 22:21

Сообщение от Даниил 007

как доказать, что это максимумы целевой функции ?

Исследовать вторые производные, если нужно строгое формальное доказательство.

Источник

Определить размеры конуса наибольшего объема

Решение

Вам также может понравиться

Скорость приема меньше скорости передачи как исправить

Как найти свою конечную цель

Как найти мой логин от фейсбука

Добавить комментарий Отменить ответ