Как найти максимальный угол отклонения маятника

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, theta — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения^[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

${displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника[править | править код]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса^[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ( ${displaystyle ma_{tau }=F_{tau })}$ , получится выражение

{displaystyle mL{ddot {theta }}=-mgsin theta }

так как ${displaystyle a_{tau }={dot {v}}=d/dt(Ldtheta /dt)}$ , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту ${displaystyle F_{tau }}$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}sin theta =0}$

где неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, ― длина подвеса, ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов это уравнение превращается в

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}theta =0}$

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол theta и его производную при t=0 .

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости от угла theta . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Маятник висит
Малые колебания (размах 45°)
Колебания с размахом 90°
Колебания с размахом 135°
Колебания с размахом 170°
Фиксация в верхнем положении
Движение близкое к сепаратрисе
Вращение маятника

Гармонические колебания[править | править код]

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена , называется гармоническим уравнением:

${displaystyle {ddot {theta }}+omega _{0}^{2}theta =0}$

где ${displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» (ось лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]:

${displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )}$

где — амплитуда колебаний маятника, alpha — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной , то при t=0 необходимо задать координату $x_{0}$ и скорость ${displaystyle v_{x0}}$ , что позволит найти две независимые константы , alpha из соотношений ${displaystyle x_{0}=Asin alpha }$ и ${displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha }$ .

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

${displaystyle sin {frac {theta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}$

где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр определяется выражением

${displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}}$

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}}$

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}}right)^{2}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots +left[{frac {left(2n-1right)!!}{left(2nright)!!}}right]^{2}sin ^{2n}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots right}}$

где $T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}}$ — период малых колебаний, $theta _{0}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)}$

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года^[3]:

${displaystyle T={frac {2pi }{M{big (}cos(theta _{0}/2){big )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}}$

где — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и .

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты[править | править код]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Если амплитуда колебания маятника близка к , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения^[4].
Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также[править | править код]

Физический маятник
Маятник Фуко
Маятник Дубошинского

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Главный редактор А. М. Прохоров. Маятник // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983. — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
↑ Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
↑ В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5. Архивировано 14 февраля 2017 года.

Ссылки[править | править код]

Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР

Источник

Маятник длиной 1 м качается, отклоняясь от отвесного положения на угол 30°. В момент прохождения положения равновесия нить его зацепилась за гвоздь на середине его длины. Найти максимальный угол отклонения укороченного маятника.

Источник: “Сборник задач по физике для 8-10 класов средней школы”. В. П .Демкович, Л. П. Демкович. 1981 г., Москва, “Просвещение”.

версия для печати
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Однако при столкновении маятник отдает часть своей кинетической энергии. В итоге, скорость маятника уменьшается. К тому же длина маятника уменьшилась вдвое, а значит уменьшился период (до столкновения) в 1,4 раза, значит, уменьшается амплитуда колебаний вместе с углом отклонения.

Угол отклонения мы найдем по формуле: cos β = x/x_m.

Вопрос: как найти x и скорость маятника? А может быть, их и вообще не надо находить?!

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 – 21:22 пользователем В. Грабцевич

Потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии в конечном состоянии:

mgl(1 − cos α) = mg(l/2)(1 − cos β).

Из последнего уравнения находите угол отклонения β.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 – 21:57 пользователем Mr.Serge

А почему потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии во втором состоянии? Ведь после столкновения амплитуда уменьшается, ускорение уменьшается, а значит, и уменьшается потенциальная энергия. Или я не прав?

И еще один вопрос. Как Вы нашли потенциальную энергию? Кажется, формулу Вы вывели с помощью сложения сил, действующих на маятник?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 1 марта, 2009 – 22:05 пользователем Mr.Serge

Постойте, потенциальная энергия равна mgh. Очевидно, что h = l (1 − cos α). Только эту запись я не понял.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 2 марта, 2009 – 15:40 пользователем Mr.Serge

Все, все. До меня дошло. Я понял, как вывести эту формулу. Это же так просто. Видимо, вчера голова совсем не соображала.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 4 марта, 2009 – 23:05 пользователем Mr.Serge

У меня возник еще один вопрос. Допустим, дана масса маятника. Как найти кинетическую энергию? В положении равновесия она будет такой же, как и потенциальная энергия в точке наибольшего отклонения маятника?

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 5 марта, 2009 – 21:32 пользователем В. Грабцевич

Если пренебрегается потерями энергии на трение о воздух маятника, на трение нити и ее взаимодействие …, то выполняется закон сохранения механической энергии:

П = К.

В противном случае применяется закон сохранения полной энергии:

П = К + Q.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Опубликовано 17 мая, 2009 – 13:55 пользователем ushakovalexandr

Объясните, плз, подробнее решение задачи, особенно откуда h = l (1 − cos ?).

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Источник

Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости. Известно, что ускорение маятника в нижнем положении в 1,2 раза больше его ускорения при максимальном отклонении. Найти угол максимального отклонения маятника от положения равновесия.

Спрятать решение

Решение.

Пусть угол максимального отклонения маятника  — В точке максимального отклонения ускорение направлено по касательной к траектории (т. к. скорость маятника равна нулю, равно нулю и центростремительное ускорение маятника) и создается, следовательно, только силой тяжести. Поэтому

где a_m   — ускорение маятника в точке максимального отклонения. В нижней точке ускорение маятника направлено к точке подвеса и равно (l  — длина нити; центростремительное ускорение). Найдем скорость маятника в нижней точке. По закону сохранения энергии имеем

Отсюда

Используя теперь данные условия, получаем

Откуда находим

Спрятать критерии

Критерии проверки:

1. Использована основная идея — найти ускорение маятника при его произвольном отклонении из второго закона Ньютона — 0,5 балла.

2. Правильно найдено ускорение при максимальном отклонении — 0,5 балла.

3. Правильно найдена скорость маятника в нижнем положении и его ускорение — 0,5 балла.

4. Правильный найден максимальный угол отклонения — 0,5 балла.

Максимальная оценка за задачу — 2 балла.

Классификатор: Механика. Механические колебания

Источник

В своей основе физика является наукой экспериментальной и в этом ее сила. Однако без осмысления большого количества опытных фактов физика выродилась бы в описание огромного количества явлений и процессов. Так появились физические законы и соответствующие им модели, которые абстрагируются от несущественных черт рассматриваемого предмета. В последние десятилетия отмечается бурный прогресс в такой области как компьютерное моделирование или, как стало общепринято говорить, компьютерный эксперимент. Дело в том, что разработанные физические модели можно напрямую реализовать в виде вычислительного процесса на компьютере и исследовать интересуемые закономерности. В данной работе мы с вами выполним такой компьютерный эксперимент для хорошо известной системы как математический маятник.

Хорошо известна формула для периода колебаний математического маятника длины $l$, находящегося в однородном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$. Однако, эта формула применима только при малых углах отклонения. Основной вопрос, на который вам предстоит ответить при выполнении этой работы: «Какой угол отклонения можно считать малым?»

В учебной литературе, посвященной лабораторным практикумам, можно встретить указание о том, что максимальный угол отклонения не должен превышать $1^circ, 2^circ, 5^circ$ и т. д. На поставленный выше вопрос вы должны ответить на основании компьютерного эксперимента! А именно, вам предлагается изучить зависимость периода колебаний математического маятника от его амплитуды, в качестве которой принимается максимальный угол отклонения от вертикали.

Схема проведения и обработки результатов компьютерного эксперимента мало отличаются от проведения обычного, натурного эксперимента. Поэтому части данной задачи напрямую соответствуют основным этапам реального физического эксперимента.

Часть 1. Построение теоретической модели

Рассмотрим математический маятник, представляющий собой небольшой массивный шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной $l$. Маятник находится в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

1.1

Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.

Пусть в начальный момент времени $t_{0} =0$ угол отклонения нити от вертикали составляет $varphi _{0} $, а начальная скорость шарика равна нулю. Шарик движется по дуге окружности, поэтому его положение будем определять углом отклонения нити от вертикали $varphi $, а скорость изменения этого угла определяется угловой скоростью $omega =cfrac{dvarphi }{dt} $.

1.2

Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $omega left(varphi right)$ при заданной амплитуде колебаний $varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.

Так как движение маятника является симметричным относительно вертикали, то для расчета периода колебаний достаточно рассчитать время $t_{1} $ его движения от максимального отклонения $varphi _{0} $ до нуля.

1.3

Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $omega left(varphi right)$.

1.4

Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.

В компьютерном эксперименте при выполнении расчетов никогда не используются реальные размерные величины, так как они могут иметь самые разные порядки и являются крайне неудобными. Обычно применяют так называемую процедуру обезразмеривания величин на некоторые характерные для данной задачи значения. Например, в нашей задаче характерным временем является период колебаний, поэтому удобно ввести безразмерное время $tau$, которое определяется по формуле:

$$tau =tsqrt{frac{g}{l} }$$

1.5

Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $widetilde{omega }=cfrac{dvarphi }{dtau } $ с ранее введенной угловой скоростью $omega $.

1.6

Определите период малых колебаний $widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.

1.7

Определите зависимость угловой скорости $widetilde{omega }$ от угла отклонения $varphi $: $widetilde{omega }left(varphi right)$.

Далее везде используются введенные безразмерные величины: время $tau $, период $widetilde{T}$ и угловую скорость $widetilde{omega }$, которые будем обозначать $t$, $T$ и $omega $.

Часть 2. Конструирование экспериментальной установки, планирование эксперимента

В компьютерном эксперименте этому этапу соответствует разработка алгоритма проведения расчетов. В данном случае основная идея численных (компьютерных) расчетов заключается в разбиении траектории движения на малые участки, на каждом из которых движение описывается приближенно.

Разобьем интервал движения от $varphi =varphi _{0} $ до $varphi =0$ на $N$ одинаковых интервалов шириной $Delta varphi $. Обозначим точки разбиения как $varphi _{k} $, $k=0, 1,dots N$, а угловые скорости в этих точках как $omega _{k} $. Основное приближение, используемое в дальнейших расчетах, состоит в том, что на каждом интервале от $varphi _{k} $ до $varphi _{k+1} $ движение маятника считается равноускоренным. Естественно ожидать, что с увеличением числа интервалов разбиения $N$ точность расчетов будет возрастать.

В рамках сделанного приближения не сложно найти время движения маятника на интервале от $varphi _{0} $ до 0. Алгоритм расчетов при заданных вами значениях амплитуды $varphi _{0} $ и числа интервалов разбиения $N$ раскрывается в последовательности ответов на следующие вопросы.

2.1

Определите интервал разбиения $Delta varphi $.

2.2

Определите координаты точек разбиения $varphi _{k} $.

2.3

Выразите угловую скорость $omega _{k} $ в точке $varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $varphi _{0} =cfrac{pi }{2} $.

2.4

Определите время $Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $varphi _{k-1} $ до $varphi _{k} $.

2.5

Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $varphi _{k-1} $.

2.6

Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.

Часть 3. Пробный эксперимент, оценка погрешностей

На этом этапе необходимо убедиться в работоспособности установки, что в данном случае означает возможность проведения расчетов по разработанному выше алгоритму, а также оценить, достигается ли необходимая точность результатов.

Как было отмечено ранее, погрешности расчетов зависят от числа интервалов разбиения $N$. В данном задании вам предстоит проводить расчеты не на компьютере, а «вручную», с помощью калькулятора. Увеличение $N$ уменьшает погрешность расчетов, но увеличивает время их проведения. Поэтому важно выбрать оптимальное значение этой величины — минимальное значение, при котором достигается требуемая точность. На данном этапе все расчеты проводите для $varphi _{0} =cfrac{pi }{2} $.

ВНИМАНИЕ! Здесь и далее расчеты следует проводить с точностью до 4 десятичных знаков. Для экономии времени тщательно продумывайте всю последовательность расчетов: используйте ранее рассчитанные величины, вводите необходимые константы, присутствующие в формулах (чтобы не пересчитывать их несколько раз), записывайте результаты промежуточных расчетов в наиболее удобном виде.

3.1

Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.

3.2

Постройте График 1 закона движения маятника $varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.

3.3

На том же Графике 1 постройте закон движения $varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.

В качестве оценки относительной погрешности расчета периода колебаний при разбиении на $N$ интервалов используем величину

$$varepsilon _{N} =cfrac{T_{N} -T_{32} }{T_{32} } ,$$

где $T_{32} $ — значение периода, рассчитанное для $N=32$, что наиболее близко к истинному значению.

Зависимость относительной погрешности расчета $varepsilon _{N} $ от числа разбиений $N$ описывается приближенной формулой

$$varepsilon _{N} =frac{C}{N^{gamma } } ,$$

где $C$ и $gamma $ — некоторые постоянные величины.

3.4

Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.

3.5

Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $gamma $.

3.6

Определите минимальное значение $N_{min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2%.

В дальнейших расчетах используйте найденное значение числа интервалов разбиения $N_{min } $.

Часть 4. Эксперимент: зависимость периода от амплитуды

На этом этапе компьютерного эксперимента определим зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды $Tleft(varphi _{0} right)$, которая описывается функцией

$$Tleft(varphi _{0} right)=T_{0} left(a+cfrac{varphi _{0}^{2} }{b} right),$$

где $T_{0} $ — период малых колебаний маятника, $a, b$ — постоянные величины.

4.1

Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $varphi _{0} $: $15^circ ,30^circ ,45^circ ,60^circ ,75^circ $ и $90^circ $, который вы уже определили.

4.2

Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.

4.3

Определите значения параметров $a,b$.

Пусть погрешность измерения периода колебаний маятника в реальном эксперименте составляет примерно $5%$.

4.4

Обоснуйте, при каких углах $varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.

Источник

Как найти угол отклонения маятника

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .

Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .

Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол на тело будет действовать возвращающая сила , которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения , тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе , сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период колебаний математического маятника

$[T=2pi sqrt{frac{l}{g}} ]$

Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.

Примеры решения задач

Задание

Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?

Решение

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$[T=2pi sqrt{frac{l}{g}} ]$

Ускорение свободного падения м/с $^{2}$

$[T=2pi sqrt{frac{1}{9,8}}=2 c]$

Математический маятник совершает гармонические колебания, поэтому смещение материальной точки зависит от времени по гармоническому закону:

$[x=Asin left(omega t+{varphi }_0right)]$

Так как в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия, начальная фаза колебаний равна нулю.

$[omega =frac{2pi }{T},]$

$[omega =frac{2pi }{2}=pi rad/c]$

Путь, равный 1 см, т.е. равный в данном случае амплитуде колебаний, маятник пройдет за четверть периода, т.е. за 0,5 с.

а) В данном случае смещение:

$[x=frac{A}{2},]$

поэтому можно записать:

$[frac{A}{2}=Asin pi t;]$

$[sin pi t=frac{1}{2};]$

$[pi t=text{arcsin} left(frac{1}{2}right)=frac{pi }{6};]$

$[t=frac{1}{6}=0,17 c]$

б) Если на прохождение всего пути, равного амплитуде, маятник тратит 0,5 с, а на прохождение его первой половины – 0,17 с, на вторую половину пути маятник затратит:

Формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $_0$ — амплитуда колебаний; $_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=frac$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Источник

Характер движения маятника[править | править код]

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

Гармонические колебания[править | править код]

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Факты[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Комментарии

Как найти угол отклонения маятника

Математический маятник

Период колебаний математического маятника

Примеры решения задач

Формулы математического маятника

Уравнение движения математического маятника

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Уравнение энергии для математического маятника

Примеры задач с решением

Добавить комментарий Отменить ответ

Характер движения маятника[править | править код]

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

Гармонические колебания[править | править код]

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Факты[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Комментарии

Как найти угол отклонения маятника

Математический маятник

Период колебаний математического маятника

Примеры решения задач

Формулы математического маятника

Уравнение движения математического маятника

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Уравнение энергии для математического маятника

Примеры задач с решением

Вам также может понравиться

Как найти сторону треугольник через радиус окружности

Как правильно составить план своей квартиры

Как найти место для вечеринки

Добавить комментарий Отменить ответ