Как найти максимальный угол отклонения стержня

Решить систему полученных уравнений.2. Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.7.3. Примеры решения задач7.3.1. Законы сохранениямомента импульса и механической энергииЗадача 7.1Вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку закрепления математического маятника массой m и длиной l, может вращаться без трения однородный стержень массой M и длиной L ≥ l,шарнирно закрепленный в той же точке (см. рис. 7.2). Маятник отпускают из горизонтального положения.

Найти максимальный уголотклонения стержня αmax после абсолютно упругого соударения cмаятником.Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии239РешениеI. Выберем лабораторную инерциmπ/2 lальную систему отсчета, жестко связанную с точкой подвеса математическогомаятника и стержня. Направим горизонтальную ось вращения за плоскость чер- M, Lтежа (см. рис. 7.2).Выберем четыре момента времени:Рис. 7.2t1 – момент начала движения математического маятника, t2 – момент непосредственно перед соударениеммаятника со стержнем, t3 – момент сразу после соударения, t4 – момент, соответствующий максимальному отклонению стержня.

Втечение временного интервала (t1, t2) сохраняется механическаяэнергия математического маятника. В промежутке времени (t2, t3)сохраняются механическая энергия и момент импульса системытел «маятник + стержень». Импульс системы тел в этом промежутке не сохраняется, поскольку в точке подвеса стержня во время соударения возникают дополнительные силы, импульс которых отличен от нуля. В промежутке времени (t3, t4) сохраняется механическая энергия стержня вследствие отсутствия сил трения.Потенциальные энергии математического маятника и стержня будем считать равными нулю при их вертикальной ориентации.II.

Запишем закон сохранения механической энергии (7.17)для математического маятника на интервале времени (t1, t2):2J1ω1mgl =.(7.25)2Здесь mgl – потенциальная энергия маятника в его исходном гори2J1ω1– кинетиче2ская энергия маятника непосредственно перед соударением (в момент времени t2), J1 – момент инерции маятника относительно осивращения, ω1 – его угловая скорость перед соударением.Для временного интервала (t2, t3) закон сохранения моментаимпульса (7.4) и механической энергии (7.17) для системы тел «маятник + стержень» имеют вид:J1ω1 = J 2ω2 + J1ω3 ,(7.26)зонтальном положении (в момент времени t1),МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ240222JωJ1ω1Jω(7.27)= 2 2 + 1 3 ,222где J2 – момент инерции стержня, ω2 и ω3 – угловые скорости вращения стержня и маятника сразу после соударения.Запишем также закон сохранения механической энергии(7.17) для стержня на интервале времени (t3, t4):2J 2ω2MgL(1 − cos α max ) .=(7.28)22Моменты инерции маятника J 1 и стержня J 2 относительновыбранной оси вращения равны:J1 = ml 2 ,(7.29)1J 2 = ML 2 .(7.30)3III.

Решая систему уравнений (7.25) – (7.30) относительно искомого максимального угла отклонения стержня, получаем:⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24α max = arccos⎜1 −⋅.(7.32)2⎜ ⎛⎟2l⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝⎠⎠⎝ ⎝⎠Поскольку α max не может превышать π / 2 , то на соотношения масс M / m и длин L / l стержня и математического маятниканакладывается условие:24L⋅ <1,(7.33)22⎛⎞ lML⎞⎛⎜3 + ⎜ ⎟ ⎟⎜m ⎝ l ⎠ ⎟⎠⎝при нарушении которого стержень ударится о потолок.На рис. 7.3 изображены области значений отношений длин имасс маятника и стержня, при которых максимальный угол отклонения стержня в результате соударения с математическим маятником меньше или равен π / 2 .

Кривая, изображенная на рис. 7.3 соответствует значениям отношений длин l / L и масс m / M маятника и стержня, при которых стержень принимает горизонтальноеположение, не соударяясь с потолком. Область значений отноше-Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии241ний длин и масс, расположенная выше изображенной кривой, соответствует случаю соударения стержня с потолком.l/L10.8α max = π / 20.60.4α max < π / 20.2000.40.8 1.2m/M1.62Рис. 7.3На рис. 7.4 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения длин маятника истержня α max (l / L ) при различных значениях отношения их масс(m / M ) .α max ,°90m/M = 210,5600,30,130000.20.40.60.81l/LРис. 7.4Как видим, при увеличении отношения длин маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, при-МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ242чем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениямасс маятника и стержня.На рис. 7.5 изображены зависимости максимального угла отклонения стержня после соударения от отношения масс маятника истержня α max (m / M ) при различных значениях отношения их длин(l / L) .α max ,°90l/L = 10,30,5600,2300,1000.40.8 1.2m/M1.62Рис. 7.5Как видим, при увеличении отношения масс маятника истержня максимальный угол отклонения стержня возрастает, причем скорость возрастания увеличивается с увеличением отношениядлин маятника и стержня.⎛⎞⎜⎟⎜⎟L⎟24⋅.Ответ: α max = arccos⎜1 −⎜ ⎛2 2 l ⎟⎞⎜ ⎜ 3 + M ⎛⎜ L ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎜ ⎜⎟ml⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝⎠Задача 7.2На гладкой горизонтальной поверхности лежат небольшаяшайба массой m и тонкий однородный стержень длиной L и массойM. Шайбе сообщили скорость υ в горизонтальном направленииперпендикулярно стержню (см.

рис. 7.6). Шайба абсолютно упругосоударяется со стержнем в точке B на расстоянии l от его центра(точка O). Определить это расстояние в трех случаях:Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии2431) сразу после соударения шайбаYостанавливается,A2) шайба передает стержню максимальный импульс,3) скорость конца стержня (точкаA на рис.

7.6) после соударения равнаOXнулю.υРешениеBI. Задачу решаем относительно лабораторной инерциальной системы отсчета. Поскольку соударение шайбы соРис. 7.6стержнем является абсолютно упругим, ана систему тел «стержень + шайба» не действуют внешние силывдоль горизонтальной поверхности, то выполняются все три законасохранения: закон сохранения импульса, закон сохранения моментаимпульса и закон сохранения механической энергии. Выберем систему координат так, как показано на рис.

7.6. Ось, относительнокоторой будем рассматривать вращение, удобно взять проходящейчерез центр стержня перпендикулярно горизонтальной поверхности и направленной из плоскости чертежа.II. Запишем три закона сохранения для выбранной системытел для интервала времени до соударения – сразу после соударения.Закон сохранения проекции импульса на ось X выбраннойсистемы координат:mυ = mυ ′ + Mυ ′′ .(7.34)Закон сохранения момента импульса относительно выбранной оси:mυl = mυ ′l + J 0ω .(7.35)Закон сохранения механической энергии:mυ 2 mυ ′2 Mυ ′′2 J 0ω 2=++.(7.36)2222Здесь υ ′ , υ ′′ – проекции скоростей шайбы и центра стержня на осьX сразу после соударения (проекции скоростей на ось Y в этот момент времени равны нулю), ω – угловая скорость вращения стержня в тот же момент времени.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ244Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, равен (6.43):1(7.37)J 0 = ML 2 .12В соответствии с принципом суперпозиции движений (см.(1.26) в Главе 1) скорость υ A точки А стержня складывается изскорости центра масс и скорости вращательного движения этойточки вокруг оси, проходящей через центр масс:Lυ A = υ ′′ − ω .(7.38)2III.

Решение системы уравнений (7.34) – (7.38) относительноискомых величин имеет вид:(m − M ) J 0 + Mml 2υ′ = υ,(7.39)(m + M ) J 0 + Mml 2m2 MJ 0υ ′′ = υ ⋅,(7.40)M (m + M ) J 0 + Mml 2ml2 MJ 0ω =υ ⋅,(7.41)J 0 (m + M ) J 0 + Mml 2⎛ 12mMJ 0lL ⎞⎜ −⎟.(7.42)2 ⎜(m + M ) J 0 + Mml ⎝ M 2 J 0 ⎟⎠Расстояние l от точки соударения до начала координат, прикотором шайба остановится после удара, найдем из (7.39) приυ ′ = 0 с учетом (7.37):M −m.(7.43)l=L12mКак следует из (7.40), максимальное значение скорости центра стержня достигается при l = 0.

При этом условии шайба передаст стержню максимальный импульс.Значение l, при котором скорость точки A сразу после ударабудет равна нулю, находим из (7.42) с учетом (7.37):1l = L.(7.44)6После попадания шайбы в точку с такими координатамистержень сразу после удара будет совершать только вращательноеυA =Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии245движение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей черезточку A.Ответ:M −m1) шайба остановится сразу после удара, если l = L;12m2) шайба передаст стержню максимальный импульс, если онапопадет в центр масс стержня (l = 0);3) скорость точки A сразу после удара будет равна нулю при1условии l = L .6Задача 7.3Два одинаковых однородных вращающихся тела сферической формы массой m и радиусом r движутся навстречу друг другус одинаковыми по модулю скоростями υ 0 .

Угловые скорости вращения тел, ω1 и ω2 , составляют угол α и равны по модулюω1 = ω2 = ω0 . В результате лобового абсолютно неупругого соударения образуется одно тело той же плотности, форму которогоможно также считать сферической. Определить угловую скоростьω вращения образовавшегося тела и изменение кинетическойэнергии системы ΔE k .РешениеI.

Система двух тел в данной задаче предполагается изолированной. Следовательно, суммарный импульс системы и суммарныймомент импульса в лабораторной инерциальной системе отсчетасохраняются. Направим ось X лабораторной системы отсчета вдольлинии, соединяющей центры масс двух тел до соударения.II. Запишем закон сохранения проекции импульса рассматриваемой системы тел на ось X для интервала времени, включающегомомент их соударения:mυ0 − mυ0 = 2mυ ,(7.45)где υ – проекция на ось X скорости поступательного движенияобразовавшегося после соударения тела массой 2m.

Как видим,υ = 0 , следовательно, движение образовавшегося тела являетсячисто вращательным.246МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗапишем закон сохранения момента импульса рассматриваемой системы тел относительно их общего центра масс на интервалевремени, включающем момент их соударения:L1 + L2 = L ,(7.46)где L1 и L2 – моменты импульса первого и второго тел до соударения, L – момент импульса образовавшегося тела после соударения. Поскольку скорости тел до соударения направлены вдоль линии, на которой находится центр масс системы, то в соответствии сформулой (6.27) Главы 6 момент импульса каждого из рассматриваемых тел относительно центра масс системы тел равен моментуимпульса тела относительно его центра масс.Моменты импульса каждого из сферически симметричныхтел относительно их собственных центров масс в соответствии сформулой (6.32) Главы 6 равны:L1 = J 0 ω1 ,(7.47)L2 = J 0ω2 ,(7.48)L = Jω ,(7.49)где J 0 и J – моменты инерции каждого из соударяющихся тел иобразовавшегося тела относительно их собственных осей вращения.

В соответствии с (6.45):2J 0 = mr 2 ,(7.50)52J = ( 2m ) R 2 .(7.51)5Радиус R образовавшегося тела находим из условия сохранения плотности (а, следовательно, и объема):442 πr 3 = πR 3 .(7.52)33Согласно условию задачи модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны:ω1 = ω2 = ω0 .(7.53)Изменение кинетической энергии рассматриваемой системытел ΔE k в результате их абсолютно неупругого соударения в соответствии с (7.6) равно:Глава 7.

Законы сохранения момента импульса и механической энергии247⎛ mυ0 2 J 0ω0 2 ⎞Jω 2⎟.− 2⎜⎜+(7.54)22 ⎟⎠⎝ 2III. Решая систему уравнений (7.46) – (7.53), получаем модуль угловой скорости вращения образовавшегося в результате соударения тела:3αα2Jω = 2ω0 0 cos = ω0cos .(7.55)222JПоскольку в соответствии с (7.46) – (7.49)Jω = 0 (ω1 + ω2 ) ,(7.56)Jа модули угловых скоростей вращения тел до их соударения равны(7.53), то угловая скорость вращения образовавшегося тела ω направлена по биссектрисе угла α, образованного векторами угловыхскоростей ω1 и ω2 .Искомое изменение кинетической энергии рассматриваемойсистемы тел в результате соударения получим, подставляя (7.55) в(7.54) с учетом (7.50) – (7.52):⎞⎛J2ΔE k = J 0ω02 ⎜ 0 (1 + cos α ) − 1⎟ − mυ0 =⎠⎝ JΔE k ==⎞2 2 2⎛ 3 2(1 + cos α ) − 1⎟⎟ − mυ 0 2 .mr ω0 ⎜⎜5⎠⎝ 4(7.57)Задача 7.4Две одинаковые гантели массой m в виде шариков, соединенных стержнем, скользят по гладкойDгоризонтальной поверхности навстречуυ2друг другу со скоростями υ1 и υ2 так, какCизображено на рис.