Как найти максимум функции графически

2.1. Задача с двумя переменными

Пусть требуется
найти максимальное значение функции

F(X)
= с₁
х₁
+ с₂
х₂

при ограничениях

Алгоритм
решения ЗЛП с двумя переменными
графическим методом:

1. Строится область
   допустимых решений.

2. Строится
   вектор
   
   =
   (с₁,
   с₂)
   с точкой приложения в начале координат.

3. Перпендикулярно
   вектору

   проводится одна из линий уровня, например
   линия уровня, соответствующая уравнению
   с₁х₁
   + с₂х₂
   = 0.

4.Линия уровня
перемещается до положения опорной
прямой. На этой прямой и будет находиться
максимум или минимум функции.

Пример
1. Решить
задачу линейного программирования
графическим
методом: F(X)=2x₁+4x₂→
max,

Решение.
Изобразим
на плоскости систему координат Ох₁х₂
и построим
граничные прямые области допустимых
решений (номера прямых
соответствуют их порядковому номеру в
системе). Область
допустимых решений определяется
многоугольником OABCD
(рис. 2.1).

Для линий уровня
2х₁
+ 4х₂
= с
(с
= const)
строим нормальный вектор

=
(2, 4).
Перпендикулярно вектору

построим
одну из линий уровня (на рис. 2.4 она
проходит через начало координат). Так
как задача на максимум, то перемещаем
линию уровня в направлении вектора

до опорной
прямой.

Р

Рис. 2.1

В данном
случае опорной прямой является прямая,
проходящая через точку пересечения
граничных прямых L₁
и L₂,
т.е. через
точку В =
L₁∩L₂.
Для определения
координат точки В
решаем
систему уравнений

ешение.
Изобразим
на плоскости систему координат Ох₁х₂
и

Получаем х₁
= 3, х₂
= 6. Это и будет оптимальное решение
данной задачи, которому соответствует
максимальное значение целевой функции

max
F(X)
= 2 · 3 + 4 · 6 =
30.

Пример
2. Найти
минимум функции F(X)=2x₁+x₂→
min
при ограничениях

О

Рис. 2.2

тличие этого примера от предыдущего
состоит в том, что здесь ищется не
максимум, а минимум функции F.
Областью решений данной
системы ограничений является треугольник
АВС (рис.2.2).
На рисунке изображены также
исходная линия уровня и вектор q
= (2; 1),
показывающий направление движения
этой линии для достижения максимума
функции F.
Так как
требуется найти
минимум этой функции, то будем передвигать
исходную линию уровня в сторону,
противоположную вектору q.
Как видно из рис. 2.2, минимум функции F
достигается
в угловой точке А,
координаты
которой служат решением системы уравнений

Отсюда А
(6/7; 25/7) и F_min
= 37/7.

2.2. Графический метод решения задач линейного программирования с п переменными

Графическим методом
можно решить ЗЛП, имеющие каноническую
форму и удовлетворяющие условию n–r≤2,
где п
— число
неизвестных системы; r
— ранг
системы векторов-условий (число линейно
независимых уравнений системы).

Если уравнения
системы ограничений линейно независимы,
то r
= т, где
т —
число уравнений.

Рассмотрим алгоритм
метода на конкретном примере.

Пример. Решить
графическим методом задачу

F(X)=x₁+x₂+5x₃+3x₄→
max,

Решение.
Проверяем, применим ли графический
метод при решении данной задачи. Нетрудно
видеть, что любые два из векторов-условий,
например

линейно
независимы, так как их координаты
непропорциональны. Поэтому ранг системы
векторов-условий r=2.
Находим п-
r=
4-2
= 2 ≤ 2.
Следовательно, метод применим.

Приведем систему
уравнений-ограничений к равносильной,
с помощью линейных преобразований,
предварительно записав её в матричной
форме:

.

Таким образом,
получили систему:

.

Выразим переменные
х₁
и х₂:
х₂=4-2х₃–
х₄

х₁=9-2х₂
-3х₃-3х₄=9-2(4-2х₃–
х₄)-3х₃-3х₄=9-8+4х₃+2х₄
-3х₃-3х₄=1+х₃–
х₄

Т.к. х₁≥0
и х₂≥0,
то систему уравнений мы записываем в
виде системы неравенств:

.

В результате
получим эквивалентную задачу линейного
программирования с двумя переменными,
которая решается графическим методом

F(X)=
1+х₃–
х₄+4-2х₃–
х₄+5х₃+3х₄=5+4х₃+
х₄
→
max

,
х₃≥0,
х₄≥0.

Изобразим
на плоскости систему координат Ох₁х₂
и построим
граничные прямые области допустимых
решений.
Находим оптимальное решение эквивалентной
задачи и соответствующее ему максимальное
значение целевой функции: С(2,0),
F(C)=5+4·2+0=13.

Используем
систему ограничений исходной задачи,
приведенную к каноническому виду, и
оптимальное решение задачи с двумя
переменными для нахождения оптимального
решения исходной задачи:

Р

ис.
2.3

х₂=4-2х₃–
х₄=4-2·2-0=0,
х₁=1+х₃–
х₄=1+2-0=3.

Следовательно,
X=(3,0,2,0);
F(X)=3+0+5·2+3·0=13.

Ответ: max
F(X)=
13, при X=(3,0,2,0)
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

1. Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
2. Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
3. Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

 Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
2. Если запись непрерывная – ищем производную.
3. После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
4. Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
5. Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
6. Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

Здесь:

1. Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
2. Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
3. На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью