Загрузить PDF
Загрузить PDF
Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: 
или через координаты вершины параболы: 
. Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.
-
1
Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция – это функция, уравнение которой включает переменную
. Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.[1]
-
2
-
3
-
4
Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
-
5
Реклама
-
1
Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:[3]
-
2
-
3
Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента
. В приведенных выше примерах:
-
4
Реклама
-
1
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде:
. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.[5]
- Например: .
- Например:
-
2
Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна
.[6]
-
3
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:[7]
-
4
-
5
-
6
Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере
координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна .[10]
Реклама
Советы
- Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 96 023 раза.
Была ли эта статья полезной?
» 2015 » Октябрь » 1 » Как найти максимум или минимум квадратичной функции
|
03:35 Как найти максимум или минимум квадратичной функции |
Как найти максимум или минимум квадратичной функции3 методика:Квадратичная функция вида y = ax2 + bx + cКвадратичная функция вида y = a(x-h)2 + kПримеры Координата «у» вершины параболы и есть максимум или минимум квадратичной функции (график которой – парабола). Шаги
Метод 1 из 3: Квадратичная функция вида y = ax2 + bx + c
|
Категория: Вопросы и ответы | | Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[
Регистрация
|
Вход
]
Download Article
Download Article
For a variety of reasons, you may need to be able to define the maximum or minimum value of a selected quadratic function. You can find the maximum or minimum if your original function is written in general form, , or in standard form, . Finally, you may also wish to use some basic calculus to define the maximum or minimum of any quadratic function.
-
1
-
2
Advertisement
-
3
-
4
Find the corresponding f(x) value. Insert the value of x that you just calculated into the function to find the corresponding value of f(x). This will be the minimum or maximum of the function.
-
5
Advertisement
-
1
Write your quadratic function in standard or vertex form. The standard form of a general quadratic function, which can also be called the vertex form, looks like this:[4]
-
2
-
3
Identify the minimum or maximum value. When the function is written in standard form, finding the minimum or maximum value is as simple as stating the value of the variable
. For the two example functions given above, these values are:
-
4
Advertisement
-
1
Start with the general form. Write your quadratic function in general form,
. If necessary, you may need to combine like terms and rearrange to get the proper form.[7]
- Begin with the sample function .
- Begin with the sample function
-
2
Use the power rule to find the first derivative. Using basic first-year calculus, you can find the first derivative of the general quadratic function to be
.[8]
-
3
Set the derivative equal to zero. Recall that derivative of a function tells you the slope of the function at that selected point. The minimum or maximum of a function occurs when the slope is zero. Therefore, to find where the minimum or maximum occurs, set the derivative equal to zero. Continue with the sample problem from above:[9]
-
4
-
5
-
6
Report your solution. The solution gives you the vertex of the maximum or minimum point. For this sample function,
, the vertex occurs at . The coefficient is positive, so the function opens upward. Therefore, the minimum value of the function is the y-coordinate of the vertex, which is .[12]
Advertisement
Practice Problems and Answers
Add New Question
-
Question
How do you tell if a parabola is maximum or minimum?
Jake Adams
Academic Tutor & Test Prep Specialist
Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.
Academic Tutor & Test Prep Specialist
Expert Answer
Support wikiHow by
unlocking this expert answer.First solve for a. If the value of a is a positive number, you’ll have an upward-facing parabola and you’ll need to find its minimum value. If a is a negative number, you’ll have a downward-facing parabola and you’ll need to find its maximum value.
-
Question
How do you tell if a parabola is up or down?
Jake Adams
Academic Tutor & Test Prep Specialist
Jake Adams is an academic tutor and the owner of Simplifi EDU, a Santa Monica, California based online tutoring business offering learning resources and online tutors for academic subjects K-College, SAT & ACT prep, and college admissions applications. With over 14 years of professional tutoring experience, Jake is dedicated to providing his clients the very best online tutoring experience and access to a network of excellent undergraduate and graduate-level tutors from top colleges all over the nation. Jake holds a BS in International Business and Marketing from Pepperdine University.
Academic Tutor & Test Prep Specialist
Expert Answer
Support wikiHow by
unlocking this expert answer.You can remember this concept by thinking about smiles and frowns. If someone is positive they smile, and if someone is negative, they frown. Similarly, a positive number will have an upward-facing parabola, and a negative number will have a downward-facing parabola.
-
Question
How do I graph a quadratic function?
First, create a data table with multiple experimental values for x. Sub in those x coordinates and get y coordinates. Plot these along the x and y axis and join the dots with a smooth curve.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
The parabola’s axis of symmetry is x = h.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find the maximum or minimum value of a quadratic function, start with the general form of the function and combine any similar terms. For example, if you’re starting with the function f(x) = 3x + 2x – x^2 + 3x^2 + 4, you would combine the x^2 and x terms to simplify and end up with f(x) = 2x^2 + 5x + 4. Now figure out which direction the parabola opens by checking if a, or the coefficient of x^2, is positive or negative. If it’s positive, the parabola opens upward. If it’s negative, the parabola opens downward. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, the coefficient of x^2 is positive, so the parabola opens upward. Next, find the x value of the vertex by solving -b/2a, where b is the coefficient in front of x and a is the coefficient in front of x^2. In the function f(x) = 2x^2 + 5x + 4, b = 5 and a = 2. Therefore, you would divide -5 by 2 times 2, or 4, and get -1.25. Finally, plug the x value into the function to find the value of f(x), which is the minimum or maximum value of the function. The function f(x) = 2x^2 + 5x + 4 would become f(-1.25) = 2(-1.25)^2 + 5(-1.25) + 4, or f(-1.25) = 0.875. If the parabola opens upward, your answer will be the minimum value. If the parabola opens downward, your answer is the maximum value. In this example, since the parabola opens upward, f(-1.25) = 0.875 is the minimum value of the function. If you want to learn how to use standard or vertex form for your formula, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,392,707 times.
Reader Success Stories
-
FantageGamer
Apr 13, 2017
“Unlike other sites or even YouTube videos, this website will break it down for you like you’re a six-year-old.…” more
Did this article help you?
Как решать задачи B15 без производных
Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.
В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.
Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:
Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:
Другими словами, для возрастающей функции Для убывающей функции все наоборот:
Например, логарифм монотонно возрастает, если основание и монотонно убывает, если Не забывайте про область допустимых значений логарифма:
f ( x ) = log a x ( a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:
Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет и убывает Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только
f ( x ) = a x (a > 0)
Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.
Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.
Координаты вершины параболы
Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:
- Ветви параболы — могут уходить вверх или вниз Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.
Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:
Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:
Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.
Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:
- Отрезок [ a ; b ] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
- Но таких точек всего одна — это вершина параболы координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.
Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:
- Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле:
- Найти значение исходной функции в этой точке: Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.
На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.
Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.
Задача. Найдите наименьшее значение функции:
Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент
x 0 = − b /(2 a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3
Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке функция принимает наименьшее значение.
Корень монотонно возрастает, значит точка минимума всей функции. Имеем:
Задача. Найдите наименьшее значение функции:
Под логарифмом снова квадратичная функция: График — парабола ветвями вверх,
x 0 = − b /(2 a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1
Итак, в точке квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция монотонная, поэтому:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = . = log 2 8 = 3
Задача. Найдите наибольшее значение функции:
В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде:
Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз Поэтому вершина будет точкой максимума:
Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке
Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.
Следствия из области определения функции
Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
y = log a f ( x ) ⇒ f ( x ) > 0
Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:
Задача. Найдите наибольшее значение функции:
Под корнем снова квадратичная функция: Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):
3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ⇒
Теперь найдем вершину параболы:
Точка принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции а также на концах ОДЗ:
Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.
Задача. Найдите наименьшее значение функции:
Внутри логарифма стоит квадратичная функция Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:
6 x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6 x + 5 x 0 = − b /(2 a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Вершина параболы подходит по ОДЗ: Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только
y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) =
Минимум/максимум квадратичной функции
Минимум квадратного трехчлена
0.
0.1. Посмотрите картинки, например, здесь
0.2. Общее слово для «максимум» и «минимум» – «экстремум» (как «фрукт» для «яблоко» и «груша»).
0.3. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Возможны опечатки!
1.
1.1 f(x) = x 2 всегда неотрицательна и равна 0 только при x=0. Поэтому f(x) = x 2 имеет минимум при x=0 и этот минимум равен 0.
1.2. f(x) = 5x 2 и вообще f(x) = kx 2 при k >0 – аналогично.
1.3. f(x) = –kx 2 , где k > 0 – аналогично. Только при x=0 будет не максимум, а минимум.
1.4. f(x) = ax 2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=0 функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a 2 – аналогично п. 1.1. Значения функции положительны, если x не равно p; f(x) = 0, если x=p. Функция имеет минимум при x=p; значение функции в точке минимума равно 0.
2.2. f(x) = 5(x-p) 2 и вообще f(x) = k(x-p) 2 при k >0 – аналогично.
2.3. f(x) = –k(x-p) 2 , где k > 0 – аналогично. Только при x=p будет не максимум, а минимум.
2.4. f(x) = a(x-p) 2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=p функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a r1. Введем такие обозначения:
s = (r1+r2)/2; d = r2-s
Т.к. s – это среднее для r1 и r2, то
[Кто не уверен – проверьте: s-d = (r1+r2)/2 – (r2- (r1+r2)/2) = и т.д.]
Подставим в формулу s+d вместо r2 и s-d вместо r1. Получим:
(x – (s-d) ) * (x – (s+d) ) = (x-s + d) * (x-s – d) = ((x-s) +d) * ( (x-s) –d) =
[Напоминаю: (a+b)*(a-b) = a 2 – b 2 . Кто забыл – проверьте! ] Итак:
f(x) = (x-r1)*(x-r2) = (x-s) 2 – d 2
Здесь s = (r1+r2)/2; d = r2 – s = r2 – (r1+r2)/2 = (r2-r1)/2 [я пропускаю некоторые вычисления, кто не уверен – перепроверяйте].
Теперь понятно (см. п. 2.4), что наша функция имеет минимум при x = (r1+r2)/2. Значение функции в точке минимума равно – (r2-r1) 2 / 4 . К слову, это значение всегда отрицательное.
Еще кстати (для тех, кто забыл): r1, r2 – корни уравнения (x-r1)*(x-r2)=0.
3.2. f(x) = (x-r1)*(x-r2)+c. Эта функция имеет минимум в той же точке, что и уже знакомая нам функция f(x) = (x-r1)*(x-r2). Т.е. при x = (r1+r2)/2. А вот значение функции в точке минимума будет другое: с – (r2-r1) 2 / 4 .
3.3. f(x) = a*(x-r1)*(x-r2)+c. Умножение на a тоже не влияет на положение точки экстремума (если a>0, это будет минимум, если a 2 / 4
Советую самостоятельно вычислить значение функции в точке экстремума.
4. Общий случай.
4.1. f(x) = ax 2 +bx + c. Сводится к 2.4 с помощью выделения полного квадрата
Это означает вот что:
ax 2 +bx + c = a*(x+b/2a) 2 – (b 2 -4ac)/4a
Подробнее – см., например, здесь . Таким образом:
– наша функция имеет экстремум в точке x = -b/2a;
– экстремум будет минимум при a> 0 и максимумом при a 2 -4ac)/4a
Как решать квадратные уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.
Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.
Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
- x 2 — 2x + 6 = 0
- x 2 — x — 1/4 = 0
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.
- 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:
Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.
Полные и неполные квадратные уравнения
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
| Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия: | |
|---|---|
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0.
Как решить уравнение ax 2 + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.
Разделим обе части на 8: Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 0,5x = 0,125, Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнениеС помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравненияЧтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корнейТеперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравненийКак решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.
Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.
Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.
Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.
D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентовРассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 – ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:
Формула ВиетаЕсли в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравненийЕсли мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентамиМы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: [spoiler title=”источники:”] http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya [/spoiler] |
Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} или через координаты вершины параболы: f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.
Квадратичная функция записана в стандартном виде
-
Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция – это функция, уравнение которой включает переменную x2{displaystyle x^{2}}. Уравнение может включать или не включать переменную x{displaystyle x}. Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.
- Например, дана функция f(x)=3x+2x−x2+3×2+4{displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}. Сложите члены с переменной x2{displaystyle x^{2}} и члены с переменной x{displaystyle x}, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
- f(x)=2×2+5x+4{displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}
- Например, дана функция f(x)=3x+2x−x2+3×2+4{displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}. Сложите члены с переменной x2{displaystyle x^{2}} и члены с переменной x{displaystyle x}, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
-
Определите направление параболы. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a{displaystyle a} при переменной x2{displaystyle x^{2}} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a{displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:
- f(x)=2×2+4x−6{displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}. Здесь a=2{displaystyle a=2}, поэтому парабола направлена вверх.
- f(x)=−3×2+2x+8{displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}. Здесь a=−3{displaystyle a=-3}, поэтому парабола направлена вниз.
- f(x)=x2+6{displaystyle f(x)=x^{2}+6}. Здесь a=1{displaystyle a=1}, поэтому парабола направлена вверх.
- Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.
-
Вычислите -b/2a. Значение −b2a{displaystyle -{frac {b}{2a}}} – это координата x{displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}, воспользуйтесь коэффициентами при x{displaystyle x} и x2{displaystyle x^{2}} следующим образом:
- В функции f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} коэффициенты a=1{displaystyle a=1} и b=10{displaystyle b=10}. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
- x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}
- x=−10(2)(1){displaystyle x=-{frac {10}{(2)(1)}}}
- x=−102{displaystyle x=-{frac {10}{2}}}
- x=−5{displaystyle x=-5}
- В качестве второго примера рассмотрим функцию f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}. Здесь a=−3{displaystyle a=-3} и b=6{displaystyle b=6}. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
- x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}
- x=−6(2)(−3){displaystyle x=-{frac {6}{(2)(-3)}}}
- x=−6−6{displaystyle x=-{frac {6}{-6}}}
- x=−(−1){displaystyle x=-(-1)}
- x=1{displaystyle x=1}
- В функции f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} коэффициенты a=1{displaystyle a=1} и b=10{displaystyle b=10}. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
-
Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
- В первом примере f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x=−5{displaystyle x=-5}. В исходной функции вместо x{displaystyle x} подставьте −5{displaystyle -5}, чтобы найти ее максимальное значение:
- f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
- f(x)=(−5)2+10(−5)−1{displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
- f(x)=25−50−1{displaystyle f(x)=25-50-1}
- f(x)=−26{displaystyle f(x)=-26}
- Во втором примере f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x=1{displaystyle x=1}. В исходной функции вместо x{displaystyle x} подставьте 1{displaystyle 1}, чтобы найти ее максимальное значение:
- f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
- f(x)=−3(1)2+6(1)−4{displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
- f(x)=−3+6−4{displaystyle f(x)=-3+6-4}
- f(x)=−1{displaystyle f(x)=-1}
- В первом примере f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x=−5{displaystyle x=-5}. В исходной функции вместо x{displaystyle x} подставьте −5{displaystyle -5}, чтобы найти ее максимальное значение:
-
Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x{displaystyle x} и y{displaystyle y} (или f(x){displaystyle f(x)}). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y{displaystyle y} (или f(x){displaystyle f(x)}). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a{displaystyle a}, чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.
- В первом примере f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} значение a{displaystyle a} положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (−5,−26){displaystyle (-5,-26)}, а минимальное значение функции равно −26{displaystyle -26}.
- Во втором примере f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} значение a{displaystyle a} отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (1,−1){displaystyle (1,-1)}, а максимальное значение функции равно −1{displaystyle -1}.
Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы
-
Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:
- f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}
- Если функция уже записана в таком виде, просто найдите значения коэффициентов a{displaystyle a},h{displaystyle h} и k{displaystyle k}. Если функция дана в стандартном виде f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, дополните ее до полного квадрата и запишите через координаты вершины параболы.
- Чтобы узнать, как дополнять до полного квадрата, прочитайте эту статью.
-
Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a{displaystyle a}. Если коэффициент a{displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a{displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:
- f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}. Здесь a=2{displaystyle a=2}, то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
- f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}. Здесь a=−3{displaystyle a=-3}, то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
- Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.
-
Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k{displaystyle k}. В приведенных выше примерах:
- f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}. Здесь k=−4{displaystyle k=-4}. Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
- f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}. Здесь k=2{displaystyle k=2}. Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.
-
Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h,k){displaystyle (h,k)}. Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x−h){displaystyle (x-h)}, поэтому значение h{displaystyle h} берется с противоположным знаком.
- f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}. Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, h=−1{displaystyle h=-1}. Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны (−1,−4){displaystyle (-1,-4)}.
- f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}. Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, h=2{displaystyle h=2}. Координаты вершины равны (2,2).
Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций
-
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.
- Например: f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}.
-
Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f′(x)=2ax+b{displaystyle f^{prime }(x)=2ax+b}.
- f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
- f′(x)=4x−4{displaystyle f^{prime }(x)=4x-4}
- f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
-
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:
- f′(x)=4x−4{displaystyle f^{prime }(x)=4x-4}
- 0=4x−4{displaystyle 0=4x-4}
-
Найдите «x». С помощью математических операций изолируйте «x», чтобы найти значение этой переменной, когда производная равна нулю. Так вы вычислите координату «x» вершины параболы, в которой находится ее максимум или минимум.
- 0=4x−4{displaystyle 0=4x-4}
- 4=4x{displaystyle 4=4x}
- 1=x{displaystyle 1=x}
-
Полученное значение «x» подставьте в исходную функцию. Минимальное или максимальное значение функции равно значению f(x){displaystyle f(x)} при полученном x{displaystyle x}. Значение x{displaystyle x} подставьте в исходную функцию и решите уравнение, чтобы найти минимум или максимум.
- В нашем примере f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} при x=1{displaystyle x=1},
- f(1)=2(1)2−4(1)+1{displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1}
- f(1)=2−4+1{displaystyle f(1)=2-4+1}
- f(1)=−1{displaystyle f(1)=-1}
- В нашем примере f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} при x=1{displaystyle x=1},
-
Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} координаты вершины равны (1,−1){displaystyle (1,-1)}. Коэффициент a{displaystyle a} положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна −1{displaystyle -1}.
Советы
- Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.
