Как найти машинный ноль

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 сентября 2019 года; проверки требуют 7 правок.

Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль^[1].

Машинный эпсилон (англ. Machine epsilon) — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок).^[2] Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа^[3]. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.

Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.

В языках программирования[править | править код]

Язык Си[править | править код]

В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2⁻²³ ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2⁻⁵² ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2⁻⁶³ ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2⁻²⁴ , 2⁻⁵³ и 2⁻⁶⁴ .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2⁻¹¹² ≈ 1.93e-34 и 2⁻¹¹³ ≈ 9.63e-35.

Пример[править | править код]

Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си.

float macheps(void)
{
	float e = 1.0f;

	while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f)
		e /= 2.0f;
	return e;
}

Пример на языке C++.

# include <iostream>
# include <stdint.h>
# include <iomanip>

template<typename float_t, typename int_t>
float_t machine_eps()
{
	union
	{
		float_t f;
		int_t   i;
	} one, one_plus, little, last_little;

	one.f    = 1.0;
	little.f = 1.0;
	last_little.f = little.f;

	while(true)
	{
		one_plus.f = one.f;
		one_plus.f += little.f;

		if( one.i != one_plus.i )
		{
			last_little.f = little.f;
			little.f /= 2.0;
		}
		else
		{
			return last_little.f;
		}
	}
}

int main()
{
	std::cout << "machine epsilon:n";
	std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl;
	std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl;
}

Пример на Python

def machineEpsilon(func=float):
    machine_epsilon = func(1)
    while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1):
        machine_epsilon_last = machine_epsilon
        machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2)
    return machine_epsilon_last

Вывод может быть таким (с использованием IPython):

In [1]: machineEpsilon(int)
Out[1]: 1

In [2]: machineEpsilon(float)
Out[2]: 2.2204460492503131e-16

In [3]: machineEpsilon(complex)
Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)

См. также[править | править код]

• −0 (программирование)

Примечания[править | править код]

Эту задачу не часто спрашивают на собеседованиях, но знать человеку технической специальности об этом желательно, чтобы при случае поддержать высокоинтеллектуальный разговор.

О чём речь

С точки зрения математики, на любом отрезке находится бесконечное количество рациональных чисел, так как они располагаются всюду плотно (математический термин) на числовой оси. На любом компьютере, ввиду физических ограничений окружающего нас мира и особенностей конструкции вычислительной техники, есть ограничение на возможность представления всех этих чисел. Существует некая граница, все числа меньше которой, для машины неотличимы от 0 – это и есть машинный ноль.

Зачем его искать

На каждой машине он может быть разным и нигде в явном виде не написан. В некоторого типа вычислениях научного толка бывает важно знать значение машинного нуля, чтобы предусмотреть это в расчетах и избежать ошибок. Поэтому задача его поиска может возникнуть как естественным образом, так и поставлена во втором семестре первого года обучения в университете для развития навыков программирования.

Реализация

В интернете можно найти элегантные решения данной задачи, для данной статьи я же напишу такое, которое делал во времена своего студенчества. Просто делим число на 2 до того момента, пока оно не станет равно нулю.

Если смутило найденное число

Возможно раньше с этим не сталкивались, но число обычно настолько маленькое, что возвращается оно в форме экспоненциальной записи, которая как раз и придумана для записи как очень больших, так и очень маленьких числа. Результат, полученный в нашем эксперименте, можно представить как “5 умножить на 10 в минус 324 степени”.

Вот в общем-то и все, как Вы успели убедиться, задача на поиск машинного нуля совсем не сложная.

Программа вычисляет и выводит на экран значение машинного нуля m0 для типов float и double. Машинным нулем называется наименьшее положительное число, представимое в данном формате вещественных чисел. Поиск производить посредством многократного деления единицы до получения нужного значения.

Примечание: Все операции производятся в функции main(). Начиная с этого раздела, во всех дальнейших задачах необходимо самостоятельно обнаруживать ситуации с переполнением, делением на ноль и т.д. Также необходимо проверять корректность ввода. Это включает в себя не только проверку на соответствие типу данных, но и проверку условий исходя из условий задачи. Например, при воде длин сторон треугольника необходимо проверить что вводимые длины на не отрицательны и что сумма любых двух из них больше третьей.