Как найти масштаб в физике

Всем здравствуйте! Решила рассмотреть несколько задачек на масштаб – оказалось, есть такая нужда у моих учеников. Может, и вам пригодится!

Всем нам знакомы карты местности – так или иначе, но каждый встречался с ними, в школе или по жизни. Понятно, что карта – лишь только изображение, и по сравнению с расстоянием на местности объекты на карте должны быть меньше (иначе зачем она нужна?). Масштаб – это как раз отношение, которое показывает, во сколько раз карта меньше, чем реальная местность, то есть во сколько раз расстояние на карте меньше, чем на местности.

Но масштаб призван также и увеличивать что-то маленькое так, чтобы можно было сделать подробный чертеж или внимательно рассмотреть что-то мелкое.

Первый, “уменьшающий”, масштаб, может быть записан, например, так: 1:5. Тогда расстояние на карте (или чертеже) в пять раз меньше, чем в реальности. Масштаб, записанный так: 1: 100 000 означает, что изображение меньше в сто тысяч раз.

“Увеличивающий” масштаб записывается: 100:1, или 1000:1. Это значит, что расстояние увеличили в сто или тысячу раз, чтобы его можно было изобразить.

В зависимости от конкретной задачи выбирают и масштаб: карта не должна быть слишком уж мелкой, а понятной и подробной, но в то же время не должна быть гигантской, а простую, но небольшую деталь вовсе необязательно увеличивать в десятки раз, когда может быть достаточно и пяти.

Когда работаешь с масштабом, очень важно уметь составлять отношения (пропорции). Давайте потренируемся в этом!

1. Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрезком 1 см. Определите масштаб плана.

Чтобы определить масштаб, нужно узнать, во сколько раз расстояние на карте меньше, чем на местности. Для этого нужно расстояние на местности привести к тем же единицам, что и на плане:

20 м = 20*100 см=2000 см.

Тогда, если одному см на карте соответствуют 2000 см на местности, то и масштаб 1:2000, то есть на карте длина отрезка меньше в 2000 раз.

2. Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности, если план сделан в масштабе 1:300?

Так как масштаб показывает, во сколько раз карта или план меньше действительного расстояния, или, иначе говоря, во сколько дом больше своего изображения, то:

см, или 75 м.

3. Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе: а) 1:10 000 000; б) 1:2 000 000?

Обозначим за расстояние на карте. Переведем длину магистрали в сантиметры:

3140 км = 3 140 000 м = 314 000 000 см.

Тогда

По правилу пропорции x=31,4 см.

Изображение карты во втором масштабе – крупнее (2 миллиона меньше, чем 10). Так как отношение масштабов – 1:5, то и изображение будет крупнее в пять раз: 157 см. В этом можно убедиться, решив задачу “стандартным” способом.

4. Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная?

Снова за обозначим расстояние на карте. Тогда

, или x=100 см.

5. Длина железной дороги Москва – Петербург приближенно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1:10 000 000.

Переведем километры в сантиметры:

650 км = 650 000 м = 65 000 000 см.

Обозначаем расстояние на карте неизвестной и составляем пропорцию:

, или x=6,5 см.

6. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см?

Такую задачу можно решать длинным путем: определить масштаб карты и затем найти расстояние между городами, зная масштаб.

Тогда масштаб будет таким:

А второе расстояние найдем так:

Почему бы тогда не упростить себе задачу, не определяя масштаб, а составить пропорцию сразу:

Отсюда см, или 25,2 км

7. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:3, равна 2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 2:1?

Нам не нужно знать, каковы реальные размеры детали – нас об этом не спрашивают. Поэтому мы и не будем их искать, а найдем новый размер чертежа через отношение масштабов:

см

8. Площадь земельного участка изображается на плане, масштаб которого 1:250, в виде прямоугольника площадью 128 кв. см. Найдите действительную площадь этого земельного участка.

Хорошая задача. Не пугайтесь, что длина и ширина участка неизвестны – нам и не надо знать их. Однако для лучшего понимания все же обозначим их, например, и . Тогда на карте расстояние изображается отрезком a/250 , а расстояние – отрезком b/250 . Если перемножить длину и ширину изображения участка, то получим как раз 128 кв. см. Но тогда получается, что , или ${a*b}=128*{250^2}$ , то есть реальная площадь участка получится, если площадь изображения умножить на квадрат масштаба: ${a*b}=128*{250^2}=8 000 000$ кв. см. Переведем это в кв. метры, для этого нужно разделить не на 100, а на 100^2 : 800 кв. м, а если нужны квадратные километры, тогда еще на 1000^2 : 0,0008 кв. км.

9. Площадь земельного участка прямоугольной формы 6 га. Найдите площадь прямоугольника, изображающего этот участок на плане, масштаб которого 1:5000.

Аналогичная задача. Вспомним, что такое га: это квадрат со стороной 100 м, то есть это 10 000 кв. м. Тогда в сантиметрах это (умножаем на 100^2 ) 100 000 000 кв. см. А у нас – 600 000 000 кв. см.Поделим на масштаб в квадрате, чтобы определить площадь этого прямоугольника на карте: ${600 000 000}/{5000^2}=24$ кв.см.

Нетрудно догадаться, что, если бы речь шла об объеме, то масштаб пришлось бы возводить в куб: в данном случае масштаб – это коэффициент подобия. Площади относятся как квадрат коэффициента подобия, а объемы – как куб коэффициента подобия.

Источник

Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и высоту картины Л. да Винчи (рис.15).
Запишите результаты измерений с учётом погрешности. Используя Интернет, найдите название картины, её истинный размер и определите масштаб, в котором картина представлена на учебнике.

рис.15

reshalka.com

ГДЗ учебник по физике 7 класс Перышкин. §5. Задание. Номер №3

Решение

Размеры картины “Мона Лиза” в учебнике следующие: длина равна 5,1 см, а ширина 3,5 см. Погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора. Цена деления линейки − 1 мм, следовательно, погрешность измерения равна

1
2

мм = 0,5 мм = 0,05 см.
Таким образом, длина картины с учётом погрешности будет равна (5,1±∆0,05) см, ширина картины с учётом погрешности − (3,5±∆0,05) см. Истинный размер картины следующий: длина 77 см, ширина 53 см. Определим масштаб:

5
,
1

≈

1
15

.
В учебнике картина изображена в масштабе 1:15.

Источник

Масштаб расстояний — принятая в определённой физической теории характерная длина или расстояние, определённое с точностью до порядка величины. Важность концепции масштаба расстояний определяется тем, что нефундаментальные физические явления разных масштабов расстояний не могут влиять друг на друга.^[1]^[2] Раздельное рассмотрение различных масштабов расстояний позволяет получить для каждого масштаба расстояний самосогласованную физическую теорию, которая описывает только физические явления для данного масштаба расстояний.^[1] Редукционизм утверждает, что физические законы в масштабах малых расстояний могут быть использованы для получения эффективного описания в масштабах больших расстояний. Идея о том, что можно вывести описания законов физики в разных масштабах расстояний друг из друга, может быть количественно выражена с помощью ренормализационной группы.

В квантовой электродинамике масштаб расстояний рассматриваемого явления связан с его длиной волны де Бройля где hbar — приведённая постоянная Планка и — это исследуемый импульс. В релятивистской механике масштабы времени и расстояния связаны скоростью света. В релятивистской квантовой механике или релятивистской квантовой теории поля масштабы расстояний связаны с масштабами импульса, времени и энергии через постоянную Планка и скорость света. Часто в физике элементарных частиц естественные системы единиц используются там, где масштабы длины, времени, энергии и импульса описываются в одних и тех же единицах (обычно с единицами энергии, такими как ГэВ).

Масштаб расстояний обычно является инструментальным масштабом (или, по крайней мере, одним из масштабов) в анализе размерности. Например, в теории рассеяния наиболее распространённая величина для расчёта представляет собой эффективное сечение рассеяния, которая имеет размерность длины в квадрате и измеряется в барн. Поперечное сечение данного процесса обычно равно квадрату масштаба расстояний.

Примеры[править | править код]

Масштаб расстояний электрослабого взаимодействия меньше, примерно ${displaystyle ell _{w}sim 10^{-18}}$ метров и задаётся массой покоя электрослабых векторных бозонов, которая составляет примерно 100 ГэВ. Величина масштаба расстояний слабого взаимодействия была первоначально получена на основе оценки постоянной Ферми из экспериментальных данных по распадам нейтронов и мюонов.

Мезоскопический масштаб – это длина, на которой квантово-механическое поведение в жидкостях или твёрдом теле может быть описано макроскопическими концепциями.

См. также[править | править код]

Шкала расстояний в астрономии
Высота однородной атмосферы

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² И.Ю. Кобзарев, Ю.И. Манин Элементарные частицы. Диалоги физика и математика. — М., Фазис, 1997 — с. 48
↑ Сабина Хосснфельдер Уродливая Вселенная: как поиски красоты заводят физиков в тупик. – Серия: Сенсация в науке. – М., Эксмо, 2021. – ISBN: 978-5-04-103209-8. – с. 61-66
↑ Вальтер Е. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. —- М., Высшая школа, 1964. — c. 16

Источник

ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Задание №3, § 5 по учебнику Физика. 7 класс. : белый учебник для общеобразовательных учреждений / А. В. Перышкин. – 2-е издание: Дрофа, 2013-2019г

Условие

Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и высоту картины Л. да Винчи (рис. 15). Запишите результаты измерений с учётом погрешности. Используя Интернет, найдите название картины, её истинный размер и определите масштаб, в котором картина представлена в учебнике.

Решение 1

Подробное решение

Рекомендовано

Белый фонпереписывать в тетрадь

Цветной фонтеория и пояснения

Решение 2

Решение 3

История

Естественные единицы измерений физических величин возникли в конце 19-го века, когда Джордж Джонсон Стони вывел в 1881 году единицы длины, времени и массы исходя из масштаба элементарного электрического заряда, который и определяет масштаб этих величин, сегодня называемый масштабом Стони.

Макс Планк первым получил фундаментальное значение для массы m_P, которое полностью вытекает из других фундаментальных физических постоянных и сегодня в его честь называется массой Планка, в статье опубликованной в Прусской Академии наук в мае 1899 года [1], [2].
В этой статье также впервые появилась Постоянная Планка, сначала под символом b, а позже переименованная в h. Также имеются числовые значения величин в метрической системе единиц достаточно близкие к значениям, представленным в Таблице 1. Сегодня неизвестно каким образом Планк пришел к открытию этого масштаба физических величин, поскольку в статье отсутствуют алгебраические детали вывода. Но он пояснил почему так высоко оценил следующими словами:

…ihre Bedeutung fur alle Zeiten und fur alle, auch au?erirdische und au?ermenschliche Kulturen notwendig behalten und welche daher als »naturliche Ma?einheiten« bezeichnet werden konnen…
…Их значение обязательно останется на все времена и для всех цивилизаций, даже внеземных, имеющих нечеловеческую природу, и поэтому эти величины составляют базис «природной системы» единиц…

Фундаментальные единицы вакуума

Диэлектрическая постоянная [15]:

${displaystyle varepsilon _{E}=varepsilon _{0}=8.854187817cdot 10^{-12} }$

Ф м⁻¹

Магнитная постоянная:

${displaystyle mu _{E}=mu _{0}={frac {1}{varepsilon _{0}c^{2}}}=1.2566370614cdot 10^{-6} }$

Г м⁻¹

Электродинамическая скорость света:

${displaystyle c_{E}={frac {1}{sqrt {varepsilon _{E}mu _{E}}}}=2.99792458cdot 10^{8} }$

м с⁻¹

Электродинамическое волновое сопротивление вакуума:

${displaystyle rho _{E0}={sqrt {frac {mu _{E}}{varepsilon _{E}}}}=376.730313461 }$

Ом

Электро-подобная гравитационная константа:

${displaystyle varepsilon _{G}={frac {1}{4pi G}}=1.192708cdot 10^{9} }$

кг с² м⁻³

Магнито-подобная гравитационная константа:

${displaystyle mu _{G}={frac {4pi G}{c^{2}}}=9.328772cdot 10^{-27} }$

м кг⁻¹

Гравидинамическая скорость света:

${displaystyle c_{G}={frac {1}{sqrt {varepsilon _{G}mu _{G}}}}=2.9979246cdot 10^{8} }$

m s⁻¹

Гравитационный импеданс вакуума:

${displaystyle rho _{G0}={sqrt {frac {mu _{G}}{varepsilon _{G}}}}=2.7966954cdot 10^{-18} }$

м² кг⁻¹ с⁻¹

Учитывая то, что все единицы масштабов Стони и Планка являются производными от единиц вакуума, поэтому последние более фундаментальны чем единицы любого масштаба.

Представленные выше фундаментальные константы естественным образом определяют следующие взаимоотношения между массой и электрическим зарядом:

${displaystyle m_{P}={sqrt {2hcvarepsilon _{G}}}=e{sqrt {frac {varepsilon _{G}}{alpha _{S}varepsilon _{E}}}} }$

и поэтому они определяют базовые единицы масштаба Планка.

Первичные единицы масштаба Планка

Гравитационные единицы масштаба Планка

Масса Планка:

${displaystyle m_{P}={sqrt {2hcvarepsilon _{G}}}=m_{S} {sqrt {alpha }}=2.17644(11)cdot 10^{-8} }$

кг,

где ${displaystyle m_{S} }$ – масса Стони.
Гравитационная постоянная «статического» силового взаимодействия:

${displaystyle alpha _{GP}={frac {m_{P}^{2}}{2hcvarepsilon _{G}}}=alpha _{P}=1. }$

«Динамическая масса Планка», или гравитационный магнито-подобный поток:

${displaystyle varphi _{GP}={frac {h}{m_{P}}}=3.04396cdot 10^{-26} }$

Дж с кгsup>−1

Гравитационная постоянная «динамического» силового взаимодействия [4]:

${displaystyle beta _{GP}={frac {varphi _{GP}^{2}}{2hcmu _{G}}}=1/4=0.25. }$

Квант гравитационного импеданса Планка:

${displaystyle R_{GP}={frac {varphi _{GS}}{m_{P}}}={frac {h}{m_{P}^{2}}}=1.39835cdot 10^{-18} }$

Дж с кг⁻¹

Электромагнитные единицы Планка

Заряд Планка:

${displaystyle q_{P}=e=1.875545870(47)cdot 10^{-18} }$

Кл

Электрическая постоянная «статического» силового взаимодействия:

${displaystyle alpha _{EP}={frac {q_{P}^{2}}{2hc,varepsilon _{E}}}=1. }$

«Магнитный заряд Планка» или поток:

${displaystyle varphi _{MP}={frac {h}{q_{P}}}={sqrt {alpha _{S}}}varphi _{0}=3.53290cdot 10^{-16} }$

Вб

Магнитная постоянная «динамического» силового взаимодействия [4]:

${displaystyle beta _{MP}={frac {varphi _{MP}^{2}}{2hcmu _{E}}}=1/4=0.25. }$

Электродинамический квант импеданса Планка:

${displaystyle R_{EP}={frac {varphi _{MP}}{q_{P}}}=alpha _{S}{frac {h}{e^{2}}}=1.88365cdot 10^{2} }$

Ом

является т.н. постоянной фон Клитцинга для масштаба Планка.

Производные величины масштаба Планка

Во всех системах единиц измерения, в том числе и в системе СИ, базовыми единицами являются метр, секунда, и т.д. В системе единиц Стони базовыми являются длина Стони, время Стони, и т.д.
Вторичные единицы поэтому являются производными от первичных единиц масштаба Стони, и они представлены в Таблице 1. Как и все системы естественных единиц измерения, единицы Стони являются примером размерностного анализа.

В таблице использованы следующие ключевые понятия: L = длина, T = время, M = масса, Q = электрический заряд, ? = температура. Величины представленные без неопределенностей являются точными, т.е. приведенные к точности определения метра и ампера.

Table 1: Secondary Planck units

Имя	Размерность	Выражение	Приближенный эквивалент в системе СИ [3]
Planck wavelength	Длина (L)	${displaystyle lambda _{P}={frac {h}{m_{P}c}}}$	${displaystyle 1.01356cdot 10^{-34}}$ м
Время Планка	Время (T)	${displaystyle t_{P}={frac {lambda _{P}}{c}}}$	${displaystyle 3.96474cdot 10^{-42}}$ с
Классический радиус Планка	Длина (L)	${displaystyle r_{Pc}={frac {alpha lambda _{P}}{2pi }}}$	${displaystyle 1.61313cdot 10^{-35}}$ м
Радиус Шварцшильда-Планка	Длина (L)	${displaystyle r_{SP}=2r_{Pc} }$	${displaystyle 3.22626cdot 10^{-35}}$ м
Температура Планка	Температура (?)	${displaystyle T_{P}={frac {m_{P}c^{2}}{k_{B}}}}$	${displaystyle 1.416785(71)cdot 10^{32}}$ K

Силы масштаба Планка

Статические силы масштаба Планка

Электрическая сила масштаба Планка:

${displaystyle F_{P}(q_{P}cdot q_{P})={frac {1}{4pi varepsilon _{E}}}cdot {frac {q_{P}^{2}}{r^{2}}}={frac {alpha _{PE}hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle alpha _{PE}={frac {q_{P}^{2}}{2hcvarepsilon _{E}}}=1 }$ «электрическая постоянная тонкой структуры».
Гравитационная сила масштаба Планка:

${displaystyle F_{P}(m_{P}cdot m_{P})={frac {1}{4pi varepsilon _{G}}}cdot {frac {m_{P}^{2}}{r^{2}}}={frac {alpha _{PG}hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle alpha _{PG}={frac {m_{P}^{2}}{2hcvarepsilon _{G}}}=1 }$ – «гравитационная постоянная тонкой структуры».
Смешанная сила (зарядово-массового взаимодействия):

${displaystyle F_{P}(m_{P}cdot q_{P})={frac {1}{4pi {sqrt {varepsilon _{G}varepsilon _{E}}}}}cdot {frac {m_{P}cdot q_{P}}{r^{2}}}={frac {1}{alpha _{S}}}{sqrt {alpha _{G}alpha _{E}}}{frac {hbar c}{r^{2}}}={frac {hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle {sqrt {alpha _{SG}alpha _{SE}}}=alpha _{S} }$ – «смешанная постоянная тонкой структуры».

Таким образом, в рамках масштаба Планка мы имеем равенство всех статических сил, которые описывают взаимодействия между статическими зарядами и массами:

${displaystyle F_{P}(q_{P}cdot q_{P})=F_{P}(m_{P}cdot m_{P})=F_{P}(m_{P}cdot q_{P})={frac {hbar c}{r^{2}}}. }$

Динамичные силы масштаба Планка

Магнитная сила масштаба Планка:

${displaystyle F_{P}(varphi _{MP}cdot varphi _{MP})={frac {1}{4pi mu _{E}}}cdot {frac {varphi _{MP}^{2}}{r^{2}}}={frac {beta _{PE}hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle beta _{PE}={frac {varphi _{MP}^{2}}{2hcmu _{E}}}=1/4 }$ – «магнитная постоянная тонкой структуры».

Гравитационная магнето-подобная сила:

${displaystyle F_{P}(varphi _{GP}cdot varphi _{GP})={frac {1}{4pi mu _{G}}}cdot {frac {varphi _{GP}^{2}}{r^{2}}}={frac {beta _{PG}hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle beta _{PG}={frac {varphi _{GP}^{2}}{2hcmu _{G}}}=1/4 }$ – «магнето-подобная гравитационная постоянная тонкой структуры».
Смешанная динамическая (зарядово-массовое взаимодействие) сила:

${displaystyle F_{P}(varphi _{MP}cdot varphi _{GP})={frac {1}{4pi {sqrt {mu _{G}mu _{E}}}}}cdot {frac {varphi _{MP}cdot varphi _{GP}}{r^{2}}}=alpha _{S}{sqrt {beta _{PG}beta _{PE}}}{frac {hbar c}{r^{2}}}={frac {alpha _{S}beta _{S}hbar c}{r^{2}}}, }$

где ${displaystyle {sqrt {beta _{PG}beta _{PE}}}=beta _{S}={frac {1}{4alpha _{S}}}. }$

Таким образом, в рамках масштаба Стони мы имеем равенство всех динамических сил, которые описывают взаимодействия между динамическими зарядами и массами:

${displaystyle F_{P}(varphi _{MP}cdot varphi _{MP})=F_{P}(varphi _{GP}cdot varphi _{GP})=F_{P}(varphi _{MP}cdot varphi _{GP})={frac {alpha _{S}beta _{S}hbar c}{r^{2}}}={frac {hbar c}{r^{2}}}. }$

Смотри также

Масса Планка
Масса Стони
Самосогласованные гравитационные константы
Гравитационный характеристический импеданс вакуума

Литература

1. Planck Max (1899) Uber irreversible Strahlungsvorgange. Sitzungsberichte der Koniglich Preu?ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Vol.5, p.440 [1]
2. Tomilin, K. A., 1999, “Natural Systems of Units: To the Centenary Anniversary of the Planck System,” 287-96.
3. Latest (2006) values of the constants [2]
4. Yakymakha O.L.(1989). High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET’s (In Russian). Kyiv: Vyscha Shkola. p.91. ISBN 5-11-002309-3. djvu

Источник