Как найти массу через закон всемирного тяготения

Как найти массу через закон всемирного тяготения

как выразить массу тела из закона всемирного тяготения

dfcvz dgtj



Ученик

(94),
закрыт



11 лет назад

Лучший ответ

*Aня*

Мастер

(1444)


11 лет назад

закон F=G*m1m2/r^2
m1m2*G=F*r^2
m1=F*r^2/m2*G
( простое решения уравнения путем нахождения неизвестого!)

Остальные ответы

Похожие вопросы

Источник

Закон всемирного тяготения Ньютона

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Нью́то́на (Зако́н всеми́рного тяготе́ния Нью́то́на) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года, опубликован в 1687 году в «Началах» Ньютона.

Закон гласит, что сила F гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами m_1 и m_2, разделёнными расстоянием r, действует вдоль соединяющей их прямой, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния[1].

То есть:

{displaystyle F=Gcdot {m_{1}cdot m_{2} over r^{2}}}. (1)

Здесь G — гравитационная постоянная, равная[2]: 6,67430(15)·10−11 м³/(кг·с²).

Свойства ньютоновского тяготения[править | править код]

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, называемое гравитационным полем.

Гравитационное взаимодействие в теории Ньютона распространяется мгновенно, так как сила тяготения зависит только от взаимного расположения притягивающихся тел в данный момент времени. Также для ньютоновских гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции: сила тяготения, действующая на частицу со стороны нескольких других частиц, равна векторной сумме сил притяжения со стороны каждой частицы.

Ускорение, которое тело А приобретает под воздействием притяжения тела В, не зависит от массы тела А. Причина этого в том, что сила притяжения, действующая на тело А со стороны тела В, пропорциональна массе тела А – но ускорение, приобретаемое любым телом под действием любой силы, обратно пропорционально его массе по второму закону Ньютона; таким образом, увеличение массы тела А в равной мере увеличивает действующую на него силу и его сопротивление этой силе. В современной физике это свойство формулируют как равенство гравитационной и инертной масс.

В теории тяготения Ньютона ускорение точечного или маленького тела под действием гравитационной силы всегда в точности равно напряжённости гравитационного поля в точке, в которой находится тело[3], определяемой как отношение {displaystyle {vec {g}}={vec {F}}/m.}

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела. Внутри сферически симметричной оболочки (имеющей сферическую полость или выделенной условно, являясь реально частью какого-то тела) поле, создаваемое ею[4], имеет нулевую напряженность (и, соответственно, постоянный потенциал), то есть, сферически симметричная оболочка не притягивает находящиеся внутри неё тела, и вообще никак на них не действует посредством гравитации.

Сюда следует добавить и то, очевидное из сказанного выше и третьего закона Ньютона, утверждение, что на сферически симметричное тело гравитация сторонних источников также действует в точности как на точечное тело той же массы, расположенное в центре симметрии. А отсюда следует, что и два сферически симметричных тела конечных размеров притягиваются в точности так же, как точечные тела тех же масс, расположенные в их центрах. Это утверждение оказывается достаточно важным для небесной механики, ведь многие небесные тела имеют именно сферически симметричную форму (пусть и не точно), что, в дополнение к тому, что расстояния между небесными телами часто (обычно) во много раз превосходят их размеры, упрощает применение теории к ним, т.к. сила их взаимодействия (в соответствующем приближении, которое оказывается обычно очень хорошим), а соответственно и ускорение, вычисляется так же просто, как для материальных точек – т.е. просто по формуле (1).

Гравитационное поле в теории Ньютона является потенциальным, в связи с этим для его описания можно использовать гравитационный потенциал varphi. В случае, если поле создаётся расположенной в начале координат точечной массой M, гравитационный потенциал определяется формулой:

{displaystyle varphi ({vec {r}})=-G{frac {M}{r}}}, (1.1)

(здесь потенциал на бесконечности, как это делается обычно, принят равным нулю).

В общем случае, когда плотность вещества rho распределена произвольно, varphi удовлетворяет уравнению Пуассона:

{displaystyle Delta varphi ({vec {r}})=-4pi Grho ({vec {r}})}. (1.2)

Решение данного уравнения[5] записывается в виде:

{displaystyle varphi ({vec {r}})=-Gint _{V^{prime }}{frac {rho ({vec {r}}^{prime })dV^{prime }}{|{vec {r}}-{vec {r}}^{prime }|}}+C}. (1.3)

Здесь {vec {r}} — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, {displaystyle {vec {r}}^{prime }} — радиус-вектор элемента объёма {displaystyle dV^{prime }} c плотностью вещества {displaystyle rho ({vec {r}}^{prime })}, а интегрирование охватывает все такие элементы; C — произвольная постоянная; чаще всего ее принимают равной нулю, как это сделано в формуле выше для одного точечного источника.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m, связана с потенциалом формулой:

{displaystyle {vec {F}}({vec {r}})=-mnabla varphi ({vec {r}})}. (1.4)

Если поле создаётся точечной массой M, расположенной в начале координат, то на точку массой m действует сила

{displaystyle {vec {F}}({vec {r}})=-G{frac {mM}{r^{3}}}cdot {vec {r}}}. (1.5)

Величина этой силы зависит только от расстояния r между массами, но не от направления радиус-вектора {vec {r}} (см. формулу в преамбуле).

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Аналогия с электростатикой[править | править код]

С точки зрения физики, гравитационное поле сильно отличается от электростатического — например, массы всегда притягиваются, а заряды могут и отталкиваться, в гравитации нет аналога таким эффектам, как электростатическая индукция и т. д. Однако классические математические модели обеих теорий во многом сходны, а в ряде случаев даже тождественны. В связи с этим для ньютоновской гравитации применимы по сути все те теоретические конструкции и методы решения задач, которые применяются в электростатике. В этом, формальном (но математически вполне содержательном) смысле, можно сказать, что теория одна[6].

Среди теорем и методов, одинаково имеющих силу (и место для применения) в ньютоновской теории гравитации и электростатике, можно назвать теорему Гаусса, теорему Ирншоу, метод изображений, метод конформных отображений, полностью теорию потенциала, не говоря уже о принципе суперпозиции и других разного рода математических принципах и приёмах.

Ньютоновская гравитация гораздо более точно соответствует эксперименту, чем электростатика — она реже даёт существенную ошибку, и величина этой ошибки обычно гораздо меньше. Также можно заметить, что более общие теории для гравитации и электростатики (это соответственно ОТО и электродинамика) совершенно различны.

Точность закона всемирного тяготения Ньютона[править | править код]

Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности.[7] Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали[8], что приращение delta в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r^{-(1+delta)} на расстояниях нескольких метров находится в пределах {displaystyle (2,1pm 6,2)cdot 10^{-3}}. Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения[9].

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено[10].

В 2021 г. закон всемирного тяготения Ньютона был проверен для тел с массой 90 мг на расстояниях от 3 до 5 мм.[11][12].

Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны[13] подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3cdot 10^{{-11}}.

Связь с геометрией евклидова пространства[править | править код]

Факт равенства с очень высокой точностью (10^{{-9}}) показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса[14].

Исторический очерк[править | править код]

(См. также Ньютон, Исаак#Всемирное тяготение и астрономия).

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие[15]. Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире[16]. Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда, Рена и Гука[17]. Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).[18]. Кроме того, Ньютон пришел к пониманию того, что гравитация универсальна: другими словами, одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну вращаться вокруг Земли[19].

В своём основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Исаак Ньютон вывел закон тяготения, основываясь на эмпирических законах Кеплера, известных к тому времени. Он показал, что:

  • наблюдаемые движения планет свидетельствуют о наличии центральной силы;
  • обратно, центральная сила притяжения приводит к эллиптическим (или гиперболическим) орбитам.

Кроме того, Ньютон достиг существенного продвижения в таких практически значимых темах, связанных с тяготением, как проблема фигуры Земли, теория приливов, предварение равноденствий.

Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической. Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.

Теория Ньютона имела ряд существенных отличий от гипотез предшественников. Ньютон не просто опубликовал предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:

  • закон тяготения;
  • закон движения (второй закон Ньютона);
  • система методов для математического исследования (математический анализ).

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел и тем самым создаёт основы небесной механики. До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить. Последующие исследователи достигли также существенного прогресса в небесной механике, и «астрономическая точность» расчётов вошла в поговорку.

В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнанным, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы[20]. Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества[21]. После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.

Недостатки классической теории тяготения[править | править код]

В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главные из них следующие.

  1. Необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания.
  2. Если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает неразрешимый гравитационный парадокс, который поставил под сомнение применимость ньютоновской теории в космологических масштабах.
  3. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия[22].

В течение XVIII—XIX веков делались неоднократные попытки модифицировать или обобщить классическую теорию тяготения — физики изменяли формулу ньютоновского закона, объясняли механизм тяготения участием мирового эфира. По мере осознания принципов теории относительности начались попытки построить релятивистское обобщение теории гравитации. По-видимому, первую чёткую формулировку проблемы опубликовал Анри Пуанкаре в 1905 году:

Возможно ли найти такой закон, который удовлетворил бы условиям, поставленным Лоренцем [имеются в виду преобразования Лоренца] и одновременно сводился к закону Ньютона во всех случаях, когда скорости небесных тел достаточно малы для того, чтобы можно было пренебречь их квадратами (а также произведениями ускорений на расстояния) по сравнению с квадратом скорости света?

Пуанкаре в статье «О динамике электрона» предложил два варианта релятивистского обобщения закона тяготения. Оба они исключали дальнодействие (скорость гравитации совпадала со скоростью света). Историк науки В. П. Визгин в своей монографии пишет[23]:

Релятивистская теория тяготения, развитая Пуанкаре, не привлекла внимания физиков, хотя в принципиальном
отношении она была значительным шагом вперед в развитии гравитационной проблемы. Причины этого невнимания, с нашей точки зрения, таковы:

  1. теория не объясняла аномальное смещение перигелия Меркурия;
  2. большинство физиков в 1906—1908 годах не разделяло релятивистской программы;
  3. формально-алгебраический метод построения теории отодвинул на задний план физические аспекты теории;
  4. неоднозначность свидетельствовала о незаконченности теории;
  5. в период преобладания электромагнитно-полевой программы настоящее обобщение ньютоновской теории тяготения требовало использования явного полевого подхода — теория же Пуанкаре не давала уравнений гравитационного поля, из которых можно было получить найденные им лоренц-инвариантные элементарные законы взаимодействия.

Далее наброски релятивистской теории тяготения опубликовали в начале 1910-х годов Макс Абрахам, Гуннар Нордстрём и Альберт Эйнштейн. Все они до создания ОТО не соответствовали данным наблюдений.

Дальнейшее развитие[править | править код]

Общая теория относительности[править | править код]

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году — созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия, оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

  1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик: frac{varphi}{c^2} ll 1. В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение {displaystyle |varphi |/c^{2}} составляет всего 2{,}12cdot 10^{{-6}}. Заметным релятивистским эффектом является только упомянутое выше смещение перигелия Меркурия[24].
  2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света: frac{v}{c} ll 1.

В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона

Delta Phi = - 4 pi G rho.

Известно, что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:

Phi = - frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1).

Найдём компоненту тензора энергии-импульса T_{44} из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:

R_{ik} = - varkappa (T_{ik} - frac{1}{2}g_{ik}T),

где R_{ik} — тензор кривизны.
Для T_{ik} мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса rho u_{i} u_{k}. Пренебрегая величинами порядка u/c, можно положить все компоненты T_{ik}, кроме T_{44}, равными нулю. Компонента T_{44} равна
T_{44} = rho c^{2}
и, следовательно T = g^{ik} T_{ik} = g^{44} T_{44} = - rho c^{2}.
Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R_{44}=-frac{1}{2} varkappa rho c^{2}. Вследствие формулы

R_{ik} = frac{partial Gamma_{i alpha}^{alpha}}{partial x^{k}} - frac{partial Gamma_{ik}^{alpha}}{partial x^{alpha}} + Gamma_{i alpha}^{beta} Gamma_{k beta}^{alpha} - Gamma_{ik}^{alpha} Gamma_{alpha beta}^{beta}

значение компоненты тензора кривизны R_{44} можно взять равным R_{44} = - frac{partialGamma^{alpha}_{44}}{partial x^{alpha}} и так как Gamma^{alpha}_{44} approx - frac{1}{2}frac{partial g_{44}}{partial x^{alpha}}, R_{44} = frac{1}{2} sum_{alpha} frac{partial^{2} g_{44}}{partial x_{alpha}^{2}} = frac{1}{2} Delta g_{44} = - frac{Delta Phi}{c^{2}}. Таким образом, приходим к уравнению Пуассона:

Delta Phi = frac{1}{2} varkappa c^{4} rho, где varkappa = - frac{8 pi G}{c^{4}}[25]

Квантовая гравитация[править | править код]

Применение принципа корпускулярно-волнового дуализма к гравитационному полю показывает, что гравитационные волны можно рассматривать как поток квантов поля — гравитонов. В большинстве процессов во Вселенной квантовые эффекты гравитации очень малы. Они становятся существенными лишь вблизи сингулярностей поля тяготения, где радиус кривизны пространства-времени очень мал. Когда он становится близким к планковской длине, квантовые эффекты становятся доминирующими. Эффекты квантовой гравитации приводят к рождению частиц в гравитационном поле чёрных дыр и их постепенному испарению[26]. Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации — одна из важнейших нерешённых задач современной физики.

С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности, энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса фотона, равна нулю[27][28]. Разница между законом ньютоновского тяготения и законом Кулона (существует два вида электрических зарядов и один вид «гравитационных зарядов» с притяжением между ними) объясняется тем, что спин фотона равен 1, а спин гравитона равен 2[29].

См. также[править | править код]

  • Закон Кулона
  • Гравитационная неустойчивость
  • Гравитационная модель внешней торговли

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Всемирного тяготения закон // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 348. — ISBN 5-85270-034-7.
  2. ↑ CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants (англ.). Дата обращения: 7 марта 2020. Архивировано 27 августа 2011 года.
  3. ↑ Удобство использования физической величины напряженности связано с тем, что она не зависит от конкретного тела, помещаемого в данную точку, (будет одинаковой, если мы поместим в эту точку разные тела разной массы) и, таким образом, является характеристикой только самого поля, не зависящего непосредственно от тела, на которое оно действует (косвенная зависимость может быть за счёт действия самого этого тела на тела-источники поля, и только при изменении в результате этого воздействия их положения).
  4. ↑ То есть, речь не идет, конечно, об экранировке гравитационных полей, создаваемых другими источниками, которые могут находиться как внутри оболочки, так и вне её, а только лишь о том поле, которое создаётся самой оболочкой, именно его напряжённость равна нулю (а поля остальных источников тогда по принципу суперпозиции как раз останутся внутри сферической оболочки неизменными, как будто оболочки нет).
  5. ↑ Это решение естественно получается используя формулу решения с одним точечным источником, приведенную выше, и принцип суперпозиции – то есть просто сложением полей от (бесконечного) множества точечных источников, массой rho dV каждый, расположенных в соответствующих точках пространства.
  6. ↑ Это утверждение не столько дело вкуса, сколько указание на то, что можно достаточно свободно пользоваться методами и результатами одной теории применительно к другой, невзирая на то, на электростатическом или гравитационном языке всё описано, соблюдая, конечно, минимально необходимую осторожность, когда дело касается их немногочисленных отличий и особенностей.
  7. ↑ Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили Гравитация, М.: Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00538-8
  8. ↑ 10th International conference on General Relativity and Gravitation: Contribut. pap. — Padova, 1983. — Vol. 2, 566 p.
  9. ↑ Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». — М.: МГПИ, 1984. — 308 с.
  10. ↑ Ю. Н. Ерошенко Новости физики в сети Internet (по материалам электронных препринтов) Архивная копия от 16 августа 2013 на Wayback Machine, УФН, 2007, т. 177, № 2, с. 230
  11. ↑ Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Measurement of gravitational coupling between millimetre-sized masses Архивная копия от 22 августа 2021 на Wayback Machine // Nature volume 591, pages 225–228, 2021
  12. ↑ ArXiv.org Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Measurement of gravitational coupling between millimetre-sized masses Архивная копия от 14 марта 2021 на Wayback Machine
  13. ↑ Турышев С. Г. «Экспериментальные проверки общей теории относительности: недавние успехи и будущие направления исследований» Архивная копия от 14 апреля 2015 на Wayback Machine, УФН, 179, с. 3-34, (2009)
  14. ↑ Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Книга 1. Механика. — М.: Наука, 1994. — 138 с.
  15. ↑ Архивированная копия. Дата обращения: 1 марта 2010. Архивировано из оригинала 12 февраля 2007 года.Архивированная копия. Дата обращения: 1 марта 2010. Архивировано из оригинала 12 февраля 2007 года.
  16. ↑ Спасский Б. И. История физики. — Т. 1. — С. 140—141.
  17. ↑ Ход их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А., указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс, при круговом движении центростремительная сила Fsim (пропорциональна) v^2over R, где v — скорость тела, R — радиус орбиты. Но vsim frac R T, где T — период обращения, то есть v^2sim frac {R^2} {T^2}. Согласно 3-му закону Кеплера, T^2sim R^3, поэтому v^2sim frac {1} {R}, откуда окончательно имеем: F sim frac {1} {R^2}.
  18. ↑ Точнее, никто не смог это сделать последовательно для эллиптических орбит. Для круговых, используя третий закон Кеплера и формулу Гюйгенса для центробежной силы, это было сделать довольно нетрудно, и сам Ньютон вспоминал, что сделал это довольно давно, но никому не сообщал, так как был не удовлетворен неудачей тогда с решением общей задачи. Это же, видимо, позже, сделал Гук (это его письмо сохранилось), побудивший Ньютона вернуться к общей задаче. Гук же обосновал второй закон Кеплера, применив методологически важный в тот момент прием суперпозиции свободного движения и движения с ускорением, направленным к центру. Однако только Ньютон решил в итоге задачу полностью, для некруговых орбит, впервые корректно и доказательно теоретически получив их форму, он же первый всё полно и систематически изложил.
  19. ↑ «Бог создал целые числа». Глава из книги. Архивная копия от 21 июня 2022 на Wayback Machine Elementy.ru, «Книжный клуб».
  20. ↑ Визгин В. П., 1981, с. 25.
  21. ↑ Визгин В. П., 1981, с. 27.
  22. ↑ Визгин В. П., 1981, с. 27—29.
  23. ↑ Визгин В. П., 1981, с. 69—75.
  24. ↑ Гинзбург В. Л. Гелиоцентрическая система и общая теория относительности (от Коперника до Эйнштейна) // Эйнштейновский сборник. — М.: Наука, 1973. — С. 63..
  25. ↑ В. Паули Теория относительности, ОГИЗ, 1947
  26. ↑ Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок Nov не указан текст
  27. ↑ Фриш Д., Торндайк А. Элементарные частицы. — М.: Атомиздат, 1966. — С. 98.
  28. ↑ Окунь Л. Б. Элементарное введение в физику элементарных частиц. — М.: Физматлит, 2009. — С. 105. — ISBN 978-5-9221-1070-9
  29. ↑ Киббл Т. «Квантовая теория гравитации» Архивная копия от 5 января 2016 на Wayback Machine, УФН, 96, с. 497—517, (1968)

Литература[править | править код]

  • Визгин, В. П. Релятивистская теория тяготения. Истоки и формирование. 1900-1915 гг. — М. : Наука, 1981. — 352 с.
  • Ньютон, И. Математические начала натуральной философии = Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica : [пер. с лат.] / Исаак Ньютон ; ред. и предисл. Л. С. Полака ; пер. и комм. А. Н. Крылова. — М. : Наука, 1989. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.
  • Тюлина, И. А. Об основах ньютоновой механики (к трехсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М. : МГУ, 1989. — Вып. 36. — С. 184—196.
Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 12 № 311964

i

Из закона всемирного тяготения F=G дробь: числитель: mM, знаменатель: r в квадрате конец дроби выразите массу m и найдите её величину (в килограммах), если F = 13,4 Н, r = 5 м, M = 5 умножить на 10 в степени 9 кг и гравитационная постоянная G=6,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка дробь: числитель: м в кубе , знаменатель: кг умножить на с в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Выразим массу: m= дробь: числитель: r в квадрате умножить на F, знаменатель: G умножить на M конец дроби . Подставим значения переменных:

m= дробь: числитель: 5 в квадрате умножить на 13,4, знаменатель: 6,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 10 в степени 9 конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 13,4 умножить на 100, знаменатель: 6,7 конец дроби = 1000.

Ответ: 1000.

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.3 Тек­сто­вые за­да­чи.

Спрятать решение

·

Помощь

Источник

Содержание

  1. Как найти массу земли по закону всемирного тяготения?
  2. Что такое закон всемирного тяготения?
  3. Как использовать закон всемирного тяготения для определения массы Земли?
  4. Заключение
  5. Как найти массу Земли по закону всемирного тяготения
  6. Что такое масса Земли?
  7. Как измерить массу Земли?
  8. Формула для расчета массы Земли
  9. Какая точность можно достичь при измерении массы Земли по закону всемирного тяготения?
  10. Заключение
  11. Как найти массу земли по закону всемирного тяготения
  12. Что такое закон всемирного тяготения
  13. Как найти массу земли
  14. Шаг 1: измерение ускорения свободного падения
  15. Шаг 2: измерение радиуса Земли
  16. Шаг 3: расчет массы Земли
  17. Вывод

Как найти массу земли по закону всемирного тяготения?

Одним из наиболее важных исследований в области астрофизики является определение массы Земли. Это не только позволяет лучше понимать нашу планету и ее свойства, но также является ключевым параметром для многих других научных работ. Так как мы не можем точно измерить массу Земли непосредственно, мы должны определить ее косвенным путем, используя закон всемирного тяготения.

Что такое закон всемирного тяготения?

Закон всемирного тяготения, сформулированный английским физиком Исааком Ньютоном в 1687 году в его знаменитой книге «Математические начала натуральной философии», утверждает, что все объекты во Вселенной притягивают друг друга с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной расстоянию между ними.

Закон всемирного тяготения был одним из краеугольных камней в науке о физике и стал фундаментальным законом во Вселенной. — Стивен Хокинг

Это означает, что большие объекты, такие как планеты, оказывают гораздо больший тяготительный эффект, чем, например, маленькие камешки. Они также оказывают взаимное воздействие на друг друга, вызывая вращение или орбитальные движения.

Как использовать закон всемирного тяготения для определения массы Земли?

Используя закон всемирного тяготения, мы можем определить массу Земли, измерив насколько быстро различные объекты падают к ее поверхности. Этот феномен известен как свободное падение и объясняется тем, что Земля притягивает различные объекты к своей поверхности силой тяжести.

Известно, что свободное падение на поверхности Земли составляет около 9,8 м/с². Это означает, что каждую секунду падающий объект ускоряется на 9,8 м/с². Мы можем использовать эту информацию для расчета массы Земли, используя следующую формулу:

масса Земли = (ускорение свободного падения * радиус Земли²) / гравитационная постоянная

  • ускорение свободного падения = 9,8 м/с²
  • радиус Земли = 6 371 000 м
  • гравитационная постоянная = 6,67430 × 10^-11 м³/(кг * с²)

Подставив значения в эту формулу, мы получим массу Земли, которая составляет примерно 5,97 × 10^24 кг. Это означает, что наша планета имеет очень большую массу, которая позволяет ей удерживать атмосферу и обеспечивать условия для жизни.

Заключение

Определение массы Земли является одной из важнейших задач в астрофизике. Используя закон всемирного тяготения и информацию об ускорении свободного падения на поверхности Земли, мы можем рассчитать ее массу. Имея эту информацию, мы можем лучше понять нашу планету и ее свойства, а также использовать эту информацию в других научных исследованиях. Таким образом, закон всемирного тяготения и его применение позволяют продвигаться вперед в науке и расширять наши знания о мире вокруг нас.

Как найти массу Земли по закону всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения — один из наиболее известных законов природы. Этот закон описывает взаимодействие масс до бесконечности. Все объекты с массой взаимодействуют друг с другом, притягиваясь с силой, пропорциональной массам обоих объектов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Этот закон был открыт в 1687 году Исааком Ньютоном и стал одним из фундаментальных законов физики.

Что такое масса Земли?

Масса Земли — это количество материи в Земле, выраженное в килограммах. Это одна из фундаментальных характеристик Земли, которая описывает ее взаимодействие с другими объектами в космосе, такими как Луна и Солнце. Масса Земли также важна для изучения геологических процессов на планете и ее атмосферы.

Как измерить массу Земли?

Существует несколько способов измерения массы Земли. Один из наиболее точных способов — измерение скорости, с которой объекты падают на Землю, и расчет массы Земли по формуле, основанной на законе всемирного тяготения.

Формула для расчета массы Земли

Сила, действующая на объект массой m1 со стороны объекта массой m2, равна G * (m1 * m2) / r^2, где G — гравитационная постоянная, r — расстояние между объектами.

Можно использовать эту формулу для расчета массы Земли, зная массу тела, падающего на Землю, и расстояние между ним и Землей.

  • Шаг 1: Измерьте время, за которое объект падает на Землю. Это можно сделать с помощью стоп-часов или других устройств, которые могут измерять время точно.
  • Шаг 2: Измерьте расстояние между объектом и Землей. Это можно сделать с помощью GPS или других инструментов для измерения расстояния.
  • Шаг 3: Используя формулу, рассчитайте массу Земли. Вы можете сделать это, если замените G на известный числовой коэффициент и вставьте измеренные значения для массы падающего объекта и расстояния между объектом и Землей.

Какая точность можно достичь при измерении массы Земли по закону всемирного тяготения?

Результаты измерения массы Земли, основанные на законе всемирного тяготения, могут быть весьма точными. Однако, точность исследований зависит от качества измерений, а также от учета всех факторов, которые могут повлиять на точность результатов.

Для достижения наиболее точных результатов, необходимо обеспечить последовательность измерений массы объекта, с которым проводятся измерения, а также расстояния между этим объектом и Землей. Для уменьшения ошибок измерений, также необходимо осуществлять измерения в контролируемых условиях, учитывая влияние других объектов в космосе.

Заключение

Измерение массы Земли — это сложный и точный процесс, основанный на измерении гравитационного взаимодействия между Землей и другими объектами в космическом пространстве. Однако, с помощью формул, основанных на законе всемирного тяготения, можно достичь весьма точных результатов. Для достижения наибольшей точности измерений, необходимо учитывать все факторы, влияющие на исследование, и осуществлять измерения в контролируемых условиях, обеспечивая последовательность и точность измерений.

Как найти массу земли по закону всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения является одним из наиболее фундаментальных законов физики, описывающим силу взаимодействия между телами. Он является ключевым при расчете массы планет, включая нашу собственную Землю.

Что такое закон всемирного тяготения

Когда два тела находятся друг от друга на определенном расстоянии, они взаимодействуют друг с другом силой, называемой гравитационной силой. Эта сила зависит от массы тел и расстояния между ними.

Закон всемирного тяготения, открытый известным физиком Исааком Ньютоном, описывает силу гравитационного взаимодействия между двумя телами. Он указывает, что гравитационная сила между этими телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

«Любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой, направленной вдоль линии соединения их центров масс, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними».

Математическая формула, описывающая закон всемирного тяготения выглядит следующим образом:

𝐹=G(𝑚1𝑚2)/r^2

где G — гравитационная постоянная, 𝑚1 и 𝑚2 — массы тел, а r — расстояние между ними.

Как найти массу земли

Закон всемирного тяготения может быть использован для определения массы Земли. Этот процесс состоит из нескольких шагов.

Шаг 1: измерение ускорения свободного падения

Первый шаг состоит в измерении ускорения свободного падения на поверхности Земли. Это может быть сделано с помощью гравитационного ареометра, который измеряет время, необходимое для того, чтобы шарик, полностью погруженный в жидкость, например, масло, некоторое время кликнул до дна. Метод позволяет определить ускорение свободного падения с точностью до 0,1%. Обычно это значение принимается равным 9,8 м/с².

Шаг 2: измерение радиуса Земли

Второй шаг заключается в измерении радиуса Земли. Это можно сделать с помощью геодезических и спутниковых измерений. Существует несколько способов для решения подобной задачи, но все они требуют специального оборудования и навыков.

Шаг 3: расчет массы Земли

Наконец, используя формулу, описывающую закон всемирного тяготения, можно рассчитать массу Земли. Это делается следующим образом:

  1. Измерьте ускорение свободного падения на поверхности Земли (g).
  2. Измерьте радиус Земли (r).
  3. Найдите гравитационную постоянную (G).
  4. Рассчитайте массу Земли, используя формулу:

𝑀=(𝑟^2*𝑔)/𝐺

где 𝑀 — масса Земли, 𝑟 — радиус Земли, 𝑔 — ускорение свободного падения, а 𝐺 — гравитационная постоянная.

Вывод

Таким образом, закон всемирного тяготения позволяет определить массу Земли. Этот процесс требует измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли (g) и радиуса Земли (r), а также знания гравитационной постоянной (G). Используя эти данные, вы можете рассчитать массу Земли, используя формулу:

𝑀=(𝑟^2*𝑔)/𝐺

Этот метод является фундаментальным в расчете масс планет и других небесных тел.

Источник

В статье обсуждаются несколько подходов и некоторые примеры проблем о том, как вычислить массу по гравитационной силе.

Каждый объект с массой во Вселенной оказывает гравитационное воздействие на другой. Вот почему сила тяжести прямо пропорциональна массе объекта. Таким образом, используя различные формулы, связанные с гравитационной силой, мы можем вычислить ненулевую массу объекта. 

Узнайте больше о Как рассчитать массу по силе и расстоянию.

Как рассчитать массу по гравитационной силе, используя второй закон движения Ньютона

Как рассчитать массу по гравитационной силе?

Как рассчитать массу по гравитационной силе?

Рассчитаем массу, используя второй закон движения Ньютона:

Во втором законе движения Ньютон описывает, что сила действует на объект с ненулевой массой, чтобы ускорить его в том же направлении. Гравитационная сила – это естественная сила, которая всегда действует вниз на каждый объект, чтобы ускорить его, в зависимости от его массы. 

Мы уже изучили два основных типа сил которые действуют на тела. гравитационная сила или гравитация, бесконтактная сила, всегда действует между массами каждого объекта.

Согласно второму закону Ньютона,

F = ма ………………… (*)

Когда действует сила тяжести, каждый объект ускоряется в соответствии со вторым законом движения. Ускорение, вызванное силой тяжести, постоянно, называется ускорение силы тяжести ‘грамм’. Поскольку гравитация всегда действует на нас, возникла идея нашего «веса» как «mg», который включает нашу массу m и ускорение «a». По этой причине гравитационную силу также называют силой тяжести. сила веса.

Как рассчитать массу по гравитационной силе?

Сила тяжести как сила веса
(Кредит: Shutterstock)

Следовательно, формула второго закона Ньютона принимает следующий вид: 

Fg = мг …………………………. (1)

Согласно уравнениям (*) и (1), 

Чтобы поднять более тяжелое тело, мы должны создать восходящую силу (ма), превышающую силу тяжести (мг).

Поскольку g имеет постоянное значение 9.8 м / с2, гравитационная сила Fg зависит только от массы объекта m. Чем массивнее объект, тем больше силы требуется для его ускорения.

Если к объекту приложена сила тяжести, мы можем вычислить его массу по формуле второго закона движения Ньютона..

Узнайте больше о Законы движения Ньютона.

Сила тяжести, действующая на бегающую в парке девушку, равна 490. Вычислите массу девушки.

Данный:

Fg = 490 Н

g = 9.8 м / с

Найти: м =?

Формула:

F = ma

Решение:

Масса девушки рассчитывается с помощью Второй закон движения Ньютона формула,

F = ma

Компания сила гравитации дан кем-то,

Fg = мг

m=Fg/g

м=490/9.8

m = 50 кг …………………………………. а)

Масса бегущей в парке девушки 50 кг.

Как найти массу с гравитационной силой и радиусом?

Давайте вычислим массу с гравитационной силой, используя закон тяготения Ньютона следующим образом:

Закон тяготения обнаруживает, что гравитационная сила между двумя объектами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату радиуса между их центрами масс. Если второй объект – Земля с фиксированной массой, мы можем вычислить массу первого объекта.  

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона,

Fg=G(мМ/р2)……………..(2)

Вся масса объекта сосредоточена в одной конкретной точке, в основном в его центральной точке, называемой его центр масс (см). Радиус r измеряет расстояние или разделение между центрами масс двух объектов.

Небольшая масса в 1 кг, разделенная радиусом 1, испытывала небольшую гравитационную силу 6.67 x 10-11 Нм.2/ кг2, совместимый с каждым объектом. Следовательно, это постоянное значение является значением постоянной пропорциональности в законе всемирного тяготения, также называемой величиной Универсальная гравитационная постоянная G.

Проще вычислить Fg между объектом и Землей как планетой с фиксированной массой M = 5.98 x 1024 кг, а также фиксированный радиус r от центра земли, r = 6.38 x 106m 

Сила тяжести, действующая на девушку, бегающую трусцой в парке, равна 490. Вычислите массу девушки, используя закон всемирного тяготения Ньютона.

Данный:

Fg = 490 Н

М = 5.98 х 1024 kg

г = 6.38 х 106m 

G = 6.67 х 10-11 nm2/ кг2

Найти: м =?

Формула:

Fg=G(мМ/р2)

Решение:

Масса девушки рассчитывается по Закон всемирного тяготения Ньютона является,

Fg=G(мМ/р2)

Переставляем на массу m,

м=Fgr2/ГМ

Подставляя все значения,

Из (а) и (б) мы заметили расчетная масса с использованием второго закона Ньютона и формулы закона всемирного тяготения такая же. 

Закон всемирного тяготения может применяться к двум объектам, имеющим одинаковые или разные массы.

Как рассчитать массу, используя закон всемирного тяготения?

Сила тяжести между двумя объектами
имея разные массы
(Кредит: Shutterstock)

Сила притяжения между вами и вашим коллегой составляет 3 x 10.-7 N, когда вы оба приближаетесь на расстоянии 1 м друг от друга в школьном коридоре. Поскольку ваша масса 60 кг, рассчитайте массу вашего коллеги. 

Данный:

Fg = 3 x 10-7 N

г = 1 м

m1 = 60 кг

G = 6.67 х 10-11 nm2/ кг2

Найти: м2 =?

Формула:

Fg=G(м1m2/r2)

Решение:

Масса коллеги рассчитывается по формуле Закон всемирного тяготения Ньютона является,

Fg=G(м1m2/r2)

Перестановка на массу m2,

m2=Fgr2/Гм1

Подставляя все значения,

Масса вашего коллеги 75 кг.

Как рассчитать массу по гравитационной силе, используя формулу центростремительной силы?

Рассчитаем массу с гравитационной силой, используя центростремительная сила формула следующим образом:

Когда объект движется по кругу, его скорость постоянно меняется в зависимости от его направления. Направление ускорения – к центру, вызванное центростремительной силой. Поскольку масса всего объекта сосредоточена в его центре, мы можем рассчитать ее по формуле центростремительной силы. 

Центростремительная сила получается из второго закона движения Ньютона.

Поскольку ускорение – это круговой путь, нам нужно учитывать радиус; вот почему ускорение становится

v2/r

Следовательно, согласно уравнению (*) центростремительная сила определяется как

Fc=мв2/r

Центростремительная сила – это центристская сила который действует на объект, чтобы двигаться по кругу к его центру. Земля оказывает центростремительное сила, действующая на спутник, чтобы поддерживать его круговое движение вокруг. 

Как рассчитать массу по формуле центростремительной силы?

Центростремительная сила Земли на Спутнике

Спутник непрерывно движется по орбите вокруг Земли со скоростью 20 м / с. Гравитационная сила между Землей и спутником составляет 500 Н, что создает центростремительную силу около 200 Н. Вычислите массу спутника. 

Данный:

Fg = 500 Н

Fc = 200 Н

v = 20 м / с

M = масса Земли = 5.98 x 1024 kg

G = 6.67 х 10-11 nm2/ кг2

Найти: м =?

Формула:

Fg=G(мМ/р2)

Fc=мв2/r

Решения:

Масса спутника рассчитывается по формуле закон всемирного тяготения Ньютона,

Fg=G(мМ/р2)

Компания центростремительная сила на спутнике есть,

Fc=мв2/r

Решая формулу для радиуса r,

г=мв2/Fc

Подставляя вышеприведенное уравнение в закон всемирного тяготения Ньютона, получаем

Fg=Fc2[ГМ/мв4]

Решая массу m,

Подставляя все значения,

м=159.4/8

м = 19.94 примерно 20 кг

Масса спутника, движущегося вокруг Земли, составляет 20 кг.

Источник

Добавить комментарий