Как найти массу конца стержня

Не могли бы вы помочь мне выполнить следующее задание по высшей математике на тему “Определенный интеграл”?

Мария Инжуватова

Знаток

(294),
закрыт

13 лет назад

Здраствуйте! Не могли бы вы помочь мне выполнить следующее задание по высшей математике на тему “Определенный интеграл”?Найти массу стержня длины 50 см, если его линейная плотность p = (20х + 0,15х^2) г/см, где х – расстояние точки от конца стрежня.Заранее спасибо.
Найти массу стержня длины 50 см, если его линейная плотность p = (20х + 0,15х^2) г/см, где х – расстояние точки от конца стрежня.
Заранее спасибо.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти массу дуги кривой l, если p – плотность в форуме Интегральное исчисление	BakTi	1	522	02 апр 2017, 18:49
Найти: момент инерции, массу прямолин. стержня, коорд. центр в форуме Интегральное исчисление	ZMEJ	0	848	30 май 2013, 10:46
Найти стороны золотого сечения если известна площадь в форуме Геометрия	Rain13	1	125	29 ноя 2020, 08:25
Найти массу, где μ(ρ) – плотность: в форуме Интегральное исчисление	Trop	1	346	02 окт 2013, 13:05
Что если антиматерия имеет отрицательную массу? в форуме Атомная и Ядерная физика	Exzellenz	7	269	18 апр 2022, 18:57
Определить вероятность если задана плотность распределения в форуме Теория вероятностей	dneprovsskin	5	171	18 май 2020, 21:58
Найти настоящую длину стержня в форуме Школьная физика	daritadora	1	214	29 янв 2022, 00:29
Найти 4 и 5 производную, когда известна вторая в форуме Ряды	Tatiana_1	5	160	26 ноя 2022, 20:54
Найти зависимость разности потенциалов на концах стержня в форуме Электричество и Магнетизм	marii	2	298	15 ноя 2020, 17:35
Известна ли закономерность? в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики	Sanny7	7	345	27 мар 2017, 14:45

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).

   При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.

   Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.

а)                  б)

Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.

   Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:

   Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:

Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:

Отсюда необходимая площадь стержня равна:

   От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .

   Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.

   Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.

   В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,

   Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.

   Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .

Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.

Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления

Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:

и

где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине

   Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .

   Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:

Отсюда:

После интегрирования получаем:

При площадь ; подставляя эти значения, имеем:

и

Отсюда

,

   Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

   В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.

Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления

   Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:

   Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка:

   Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.

Деформации при действии собственного веса.

   При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение . Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца стержня (Рис.4).

Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.

Абсолютное удлинение этого участка равно

Полное удлинение стержня равно:

Величина представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:

подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.

Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым , относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно

Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:

где обозначения соответствуют приведенным на рис.1.

   Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.

Дальше…

Масса – стержень

Cтраница 2

Массой стержня и нити, а также трением между поверхностями стержня и шаров пренебречь.
 [16]

Массой стержня 0В, шарннрно закрепленного в точке О, пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален.
 [17]

Массой стержня 0В, шарнирно закрепленного в точке О, пре – – небречь. В положении равновесия стержень горизонтален.
 [18]

Если масса стержня мала по сравнению с массой ударяющего груза Р, то величина Т мала по сравнению с Г и ее можно не учитывать.
 [19]

Если масса стержня мала по сравнению с массами тх и щ, то ею можно пренебречь.
 [21]

Если масса стержня мала по сравнению с массами / HJ и т %, то ею можно пренебречь.
 [23]

Центр масс стержня займет низшее положение, когда стержень встанет вертикально.
 [24]

Центр масс стержня лежит на его оси, так как это ось его симметрии.
 [25]

Обозначая массу стержня через М, вычислим все входящие в это уравнение величины.
 [26]

Определить массу стержня длины / 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону б 6 – [ – 0 3.x: кг 1м, где х – расстояние от одного из концов стержня.
 [27]

Определить массу стержня длины / 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону 6 6 – – 0Злг KSJM, где х – расстояние от одного из концов стержня.
 [28]

Определить массу стержня длины / 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону 6 6 0 3л: кг / м, где х – расстояние от одного из концов стержня.
 [29]

Определить массу стержня длины / 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону 6 6 0 3х кг / м, где х – расстояние от одного из концов стержня.
 [30]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4