Как найти массу контура

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

---

Длина дуги

Длину дуги

 плоской или пространственной линии

 определяют по формуле:

Масса дуги

Если

 – линейная плотность вещества в точках дуги,
то массу

 дуги

 определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические
моменты

 и

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты
инерции

,

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный
момент инерции

 плоской дуги

 относительно начала координат определяют по
формуле:

Площадь фигуры

Площадь

фигуры, расположенной в плоскости

 и ограниченной замкнутой линией

, вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой

 приложенной в точке

 при перемещении ее по дуге

, вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

---

Задача 1

Найти
момент инерции относительно оси

 четверти однородной окружности

, расположенной в первом
квадранте.

Решение

Окружность
однородна, следовательно

, следовательно искомый
момент инерции:

Для
удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

---

Задача 2

Найти
массу дуги кривой

 от точки

 до

, если плотность в каждой точке
ее равна абсциссе точки;

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Плотность
дуги: 

Искомая масса будет выражаться
криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ:

.

---

Задача 3

Найти
массу дуги окружности

, лежащей в первой
четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет
выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое
уравнение окружности:

Окружность лежит в
первой четверти, поэтому

Ответ:

.

---

Задача 4

Вычислить
работу силы

 при обходе точки ее приложения по границе

 области

 в положительном направлении, начиная от точки

.

Решение

Искомая
работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для
вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ:

.

---

Задача 5

Вычислить
работу силового поля

 при перемещении материальной точки вдоль пути

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр

:

Перейдем к
определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ: 

---

Задача 6

Вычислить
работу силы

 при перемещении материальной точки вдоль линии

 от точки

 до точки

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный
интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

Криволинейный
интеграл первого рода

Пусть
на дуге

гладкой кривой L
определена непрерывная функция
.
Разобьем дугу

произвольным образом точками

на п частей. Длину частичной дуги
обозначим
,
а
.
На каждой дуге
возьмем
произвольную точку P_i(_i,
_i)
и вычислим значения
.
Составим интегральную сумму

.

Определение

Если
существует конечный предел при _n0
последовательности {_n}
интегральных сумм, не зависящий ни от
способа разбиения дуги
,
ни от выбора точек P_i(_i,
_i),
то этот предел называется криволинейным
интегралом первого рода от функции
f(х, у) по дуге

и обозначается
.

Таким
образом, по определению

,

Криволинейный
интеграл I
рода называют еще криволинейным
интегралом по длине
дуги (т.к.

есть дифференциальный элемент длины
дуги кривой
).

Свойства
криволинейного интеграла первого рода:

1.
,
где
–
длина дуги

(геометрическая интерпретация
криволиней­ного интеграла I
рода).

2.
Криволинейный интеграл I
рода не зависит от направления пути
интегрирования, т.е.
.

3.

– свойство линейности

4.
Если
,
то
=+(свойство
аддитивности)

5.
Если f(P)

g(P),
 то



6.
Если m 
f(P)

M, PL,
то mL



ML

7.
Существует точка Q
L:
=
f(Q)L
(Теорема о среднем.)

С
физической точки
зрения

определяет массу материальной
кривой (массу тонкого
неоднородного криволинейного стержня)
с плотностью
:

.

Статические
моменты относительно осей координат
материальной кривой l
с плотностью
определяются
по формулам

,

,

а
координаты центра масс
такой кривой равны

,

.

Кроме
того, для материальной кривой l
моменты инерции
относительно
осей Ох, Оу и начала координат
равны соответственно

,

,

.

Вычисление
криволинейного интеграла первого рода

Вычисление
криволинейного интеграла I
рода, также как и двойного интеграла,
сводится к вычислению определенного
интеграла.

1. Если
   кривая L задана
   уравнением y
   = (x),
   а дуга
   
   соответствует изменению x
   на отрезке [a, b],
   то

1. Если
   
   определена уравнением x
   = (y),
   y 
   [c, d],
   то

.

1. Если
   дугу
   
   определяют параметрические уравнения
   t[,],
   то

.

Рассмотрим
примеры вычисления криволинейных
интегралов I рода.

Пример
1.

Вычислить
,
если L:

а) отрезок прямой
3x–2y+6=0
между точками A(-2,0)
и B(2,6);

б) верхняя половина
окружности
,
.

Решение.

а)
Чтобы
преобразовать заданный криволинейный
интеграл к определенному интегралу,
нужно линию L,
по которой идет интегрирование, описать
условиями одного из трех видов:

,
где
;

,
где
;

где
.

В нашей задаче
линия L
задана уравнением 3x–2y+6=0.
Выразим из этого уравнения переменную
у:
.
Поскольку рассматривается отрезок АВ
этой прямой, где A(-2,0)
и B(2,6),
то на этом отрезке переменная х
принимает значения из промежутка
.
Следовательно, линия L
определена условиями вида
,

.
Поэтому преобразование криволинейного
интеграла к определенному интегралу
производим по формуле

.

Тогда имеем

В этой задаче
переменной интегрирования можно было
выбрать также y,
выразив из уравнения прямой переменную
х
через у:
.
При этом на отрезке АВ переменная у
принимает значения из промежутка
.
Тогда линия интегрирования L
будет определена условиями вида
,

и переход к определенному интегралу
осуществляется по формуле:

.

Используя
эту формула, получим

Получили тот же
результат.

б)
Параметрические
уравнения
,

определяют на координатной плоскости
окружность с центром в начале координат
и радиусом a
(рис.1), причём верхняя половина этой
окружности соответствует изменению
параметра t
от 0 до π.

Рисунок 1

Поскольку линия
интегрирования L
задана условиями вида

,
то преобразование криволинейного
интеграла к определенному производим
по формуле:

.

Тогда получим

Пример
2.

Найти
массу дуги параболы y²
= 2x + 4 между
точками пересечения её с осями координат,
если плотность масс в любой точке дуги
пропорциональна ординате этой точки.

Решение.

Парабола
,
или

симметрична относительно оси Ох,
вершина её находится в точке
.
Ось Ох
эта
парабола пересекает в точке
,
а в точках
и

она пересекает ось Оу (рис. 2). Найдем
массу дуги l параболы,
заключенной между точками

и
.

В
каждой точке этой дуги, по условию,
плотность масс пропорциональна ординате
этой точки, и значит, равна
,
где
,
а

– коэффициент пропорциональности.

Как
отмечалось выше (стр.2), масса материальной
дуги кривой может быть найдена по формуле

.

Значит,
масса рассматриваемой дуги l
параболы равна

.

Чтобы
преобразовать этот криволинейный
интеграл к определенному, запишем
уравнение параболы в виде
.
На рассматриваемой дуге параболы y

[0, 2]. Тогда

(ед.
массы).

Аналогично
понятию криволинейного интеграла по
кривой на плоскости (в
)
может быть дано понятие криволинейного
интеграла по пространственной кривой.

Пусть

– дуга гладкой пространственной кривой,
на которой определена и непрерывна
функция
.
Тогда

,

где
–
длины отрезков разбиения дуги,
,
()
–произвольная точка, взятая на k-той
частичной дуге разбиения.

Если
дуга

задана условиями:
,
то

и

.

Пример
3.

Вычислить
,
если L
– отрезок прямой от точки A(1,0,1)
до точки B(0,3,4).

Решение.

Чтобы вычислить
данный интеграл, нужно сначала описать
уравнениями линию, по которой идет
интегрирование. Поскольку это – прямая,
проходящая через заданные точки, то
чтобы найти её уравнения, используем
соответствующую формулу:

.

Получим:









Из этих уравнений
координаты точки

получаются при
,
а координаты точки
получаются
при
.
Таким образом, линия интегрирования L
определяется условиями

.

Тогда

.

Пример
4.

Найти центр масс
контура треугольника с вершинами
,
,
,
если плотность в каждой точке этого
контура равна сумме квадратов координат
этой точки.

Решение.

Чтобы найти
координаты центра масс данной кривой,
используем формулы, приведенные на
странице 2:

,

.

Найдем сначала
массу линии – контура треугольника
АВС.
По условию, плотность масс в каждой
точке кривой равна сумме квадратов
координат этой точки, значит,
.
Контур рассмотренного треугольника
состоит из трех участков (рис.3): АВ,
ВС,
АС.
Найдем массу каждого участка отдельно:

1. Участок АВ
   задается уравнением
   ^*),
   .
   Тогда

.

1. Участок ВC
   задается
   уравнением
   ^*),
   .
   Тогда

.

1. Участок АC
   задается
   уравнением
   .
   Тогда

.

Следовательно,
масса всего контура треугольника равна

.

Найдем статические
моменты контура относительно осей
координат. Учитывая предыдущие вычисления,
получим

.

Аналогично

.

Тогда

,

.

Таким образом,
центр масс контура заданного треугольника
АВС
находится в точке
.

*)^*)
Уравнение этого участка можно найти
как уравнение прямой, проходящей через
точки (1,0) и (0, 1):

*)^*)
Это отрезок прямой, проходящей через
точки (–1,0) и (0, 1), поэтому.

11

Соберем в одном месте все формулы.

Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода:

[math]m=int_{L}gamma(x,y,z);dl[/math]

Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной :

* Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),hspace{2mm}tin[alpha,beta][/math], то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t),z(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)};dthspace{10mm}(1)[/math]

* Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2};dthspace{37mm}(2)[/math]

В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), xin[a,b][/math] имеем

[math]m=int_{a}^{b}gamma(x,f(x))sqrt{1+f'(x)^2};dxhspace{47mm}(3)[/math]

* Если плоская кривая задана уравнением [math]rho=rho(phi}), hspace{3mm}phiin[alpha,beta][/math] в полярных координатах, то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(rhocosphi,rhosinphi)sqrt{rho^2+rho ‘^2};dphihspace{45mm}(4)[/math]

———————————————————————–
В данной задаче надо применить формулу (3):

[math]gamma(x,y)=frac{2sqrt x-y}{sqrt{1+frac{1}{x}}},hspace{3mm}y=f(x)=2sqrt x-1, hspace{3mm}xin [0,4][/math]

[math]gamma(x,f(x))=frac{2sqrt x -(2sqrt x-1)}{sqrt{1+frac{1}{x}}}=frac{1}{{sqrt{1+frac{1}{x}}}[/math]

Так как
[math]f'(x)=frac{1}{sqrt x}[/math]
то
[math]sqrt{1+f'(x)^2}=sqrt{1+frac{1}{x}}[/math]

И получаем миленький интегральчик.

Приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Если подынтегральная функция равна единиц, то криволинейный интеграл

равен длине S кривой L, т.е. 

2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z=f(x,y)≥0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Оz и заключенной между L и поверхностью z=f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

3. Если L=AB – материальная кривая с плотностью, равной ρ=ρ(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле

(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны

 

где ρ(х,у) – плотность распределения кривой L а   – координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы

  

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью ρ(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.

ПРИМЕРЫ:1. Вычислить криволинейный интеграл

где L – дуга параболы у² = 2х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем

 

Следовательно, данный интеграл равен

Ответ: 

2. Вычислить криволинейный интеграл

где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0)
Поскольку

то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА :

1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у=1 – х, то . Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим х=0, 0 ≤ у ≤ 1,  откуда

3) (ОА):  .

4) Окончательно

Ответ:  
3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – окружность 
Введем полярные координаты   Тогда, поскольку  уравнение окружности примет вид  т.е.  а дифференциал дуги

При этом  Следовательно,

Ответ:  
4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

где L – дуга кривой, заданной параметрически    
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через t дифференциал dl:

Таким образом,

Ответ:  

5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра  , ограниченной снизу плоскостью О_ху, а сверху поверхностью 
Искомая площадь вычисляется по формуле

где L – окружность x²+y²=R². Поверхность цилиндра и поверхность  симметричны относительно координатных плоскостей О_xz и O_yz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у≥0, х≥0, т.е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем

 

Следовательно,

Получили определенный интеграл, который берем подстановкой  откуда

  

Ответ:  

6. Найти массу четверти эллипса

расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом k.
Поскольку р(х, у)=ky, имеем

L – четверть эллипса

 х≥0, у≥0.

Переходим к параметрическим координатам эллипса  Напомним, что – фокусное расстояние эллипса, а  – эксцентриситет эллипса. Находим 

Переходим к вычислению массы

Воспользуемся формулой

где  Получаем

Учитывая, что  получим окончательно

Ответ:  

7. Найти координаты центра тяжести дуги окружности x²+y²=R²(0≤ x ≤R, 0≤ y ≤R).
Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина  В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью симметрии, имеем . Теперь находим

Ответ: 
Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл 

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qi и ds=idx+jdy:

В таком случае

Выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки М=М(х,у) вдоль кривой L=AB от точки А до точки В.
При А=В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой , ( – обозначение границы области D), а в области D и на ее границе  функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема: Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 2).
Тогда следующие условия равносильны:
1.  (условие Грина).
2.  (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3.  (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4.  (выражение  представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х_о, у_о) и (х₁, у₁) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

где U(x, y) – некоторая первообразная для P dx + Q dy. 
С другой стороны, первообразная U(x, y) выражения P dx + Q dy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(х,у), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Здесь предполагается, что обход границы области D в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S=S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второговрода:

(эта формула получается из формулы Грина с ).

ПРИМЕРЫ:1. Даны функции Р(х ,у) = 8х+4у+2, Q(х ,у) = 8у+2 и точки А(3, 6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

где:
1) L – отрезок ОА;
2) L – ломаная ОВА;
3) L – ломаная ОСА;
4) L – парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: у=2х, . Тогда dy=2dx и

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:
а) ОВ: здесь у=0, 0≤х≤3, т.е. dy=0, откуда

б) ВА: х=3, 0≤у≤6, т.е. dx=0, и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
а) ОС: х=0, (т.е. dx=0), 0≤y≤6, откуда

б) СА: 0≤х≤3 , у=6, dy=0, следовательно,

Окончательно

4) Подставив координаты точки А(3;6) в равенство у=ах² найдем уравнение данной параболы . При этом 0≤х≤3 и  откуда (путь ОА по параболе обозначим )

5) Имеем

т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1) – 4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
2. Вычислить интеграл

где L – верхняя половина эллипса  пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х=a cost, y=b sin t,  т.е. dx = – a sin t dt, dy = b cos t dt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от π до 0), получаем
Ответ:  

3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок, соединяющий точку С(2, 3, -1) с точкой D(3, -2, 0).
Составим параметрические уравнения отрезка СD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда . Далее, находим  подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

Ответ: 

4. Вычислить  где К – отрезок прямой от А(0 ;0) до В (4; 3).
Уравнение прямой АВ имеет вид у=(3; 4)х. Находим у^/= ¾ и, следовательно,

Ответ: 

5. Вычислить  если 
Найдем  Тогда

Ответ: 

6. Найти массу М дуги кривой x=t, y=t²/2, z=t³/3 (0≤ t ≤1), линейная плотность которой меняется по закону 

Ответ: 

7. Вычислить криволинейный интеграл  от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) (рис. 3):
1) по прямой 2х+у=2;
2) по дуге параболы 4х+у²=4;
3) по дуге эллипса x=cost, y=2sint.
1) Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем его:

у=2-2х, dy=-2dx,

2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у:

3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем его: x=cost, dx=-sintdt; y=2sint; dy=2costdt:

Ответ: I₁=1, I₂=-1/5, I₃=4/3. 

8. Вычислить криволинейный интеграл  между точками Е 
(-1, 0) и Н (0, 1):
1) по прямой ЕН;
2) по дуге астроиды х=cos³t, y=sin³t.
1) Вначале составляем уравнение линии интегрирования – прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей через две известные точки: у-х=1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для дифференциала дуги плоской кривой преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной х и вычисляем его:

2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем:

 ибо π/2≤ t ≤π;

Ответ: 

9. Даны точки А(3, -6, 0) и В(-2, 4, 5). Вычислить криволинейный интеграл 
1) по прямолинейному отрезку ОВ;
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x²+y²+z²=45, 2x+y=0.
1) Вначале составляем уравнения линии интегрирования – прямой ОВ.
Пользуясь общими уравнениями прямой, проходящей через две точки  получим  Приравнивая эти равные отношения параметру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой ОВ к параметрическому виду: x=-2t, y=4t, z=5t.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вычисляем его

2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметрическому виду. Полагая х=t, получим у=-2t (из второго данного уравнения),  (из первого уравнения). Отсюда  и

Ответ:  

10. Вычислить криволинейные интегралы:
1) 

2) вдоль периметра треугольника с 

вершинами А(-1,0), В (0,2) и С (2,0)
Составив уравнение прямой АВ, у-2х=2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволинейный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:

у=2х+2, dy=2dx, 

Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на отрезках ВС и СА, получим

х=2-у, dx=-dy,

Следовательно,

2) Здесь подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, ибо (уcosx)^’_y =(sinx)^’_x =cosx. Вследствии этого данный криволинейный интеграл, взятый по периметру данного треугольника равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.

Ответ: 

11. Найти длину кардиоиды x=2acost-acos2t, y=2asint-asin2t.
Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений кардиоиды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы в обыкновенный интеграл с переменной t.

Ответ: L=16a. 
12. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом x=a cost, y=b sint;
2) петлей декартова листа х³+у³-3аху=0.
1) Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вычисляем его:

2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметрическому виду. Полагая у=хt, получим 
Геометрический параметр t=y/x есть угловой коэффициент полярного радиуса ОМ (рис. 6), точка М(х, у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до +∞.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы  в обыкновенный интеграл с переменной t , получим

Ответ: S=3a²/2. 

13. Найти массу дуги АВ кривой у=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: х_А=1, х_В=3.
Применяем формулу , исходя из данного уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной х

Ответ: 

14. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии х=аcost, y=asint, z=bt, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки: t_A=0, t_B=π.
Применяя формулы  вычислим криволинейные интегралы, преобразуя их в обыкновенные интегралы с переменной t:

Следовательно, 
Ответ: 

15. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.
Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси О_z совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила  а ее проекции на оси координат F_x=P=O, F_y=Q=0, F_z=R=mg.
Искомая работа согласно формуле 

Она зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

16. Найти работу силового поля, в каждой точке (х,у) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) , когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Подставляя в формулу  проекции силы  действующей на точку: F_x=m(x+y), F_y= – mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим

Ответ: Е=2πma².

Библиографический список

1. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.

---

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»

Как найти массу дуги окружности

Центр масс и моменты инерции кривой;

Работа при перемещении тела в силовом поле;

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой (C,) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности (rho left( right).) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами [bar x = frac<<>>>,;;bar y = frac<<>>>,;;bar z = frac<<>>>,] где [ <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> > ] − так называемые моменты первого порядка .

Моменты инерции относительно осей (Ox, Oy) и (Oz) определяются формулами [ <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C <left( <+ > right)rho left( right)ds> .> ]

Работа при перемещении тела в силовом поле (mathbf) вдоль кривой (C) выражается через криволинейный интеграл второго рода [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> ,] где (mathbf) − сила, действующая на тело, (dmathbf) − единичный касательный вектор (рисунок (1)). Обозначение ( <mathbfcdot dmathbf>) означает скалярное произведение векторов (mathbf) и (dmathbf.)

Заметим, что силовое поле (mathbf) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы (mathbf) иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поле задано в координатной форме в виде [mathbf = left( right),Qleft( right),Rleft( right)> right),] то работа поля вычисляется по формуле [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = intlimits_C .] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой (C) в плоскости (Oxy,) справедлива формула [W = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = intlimits_C ,] где (mathbf = left( right),Qleft( right)> right).)

Если векторное поле (mathbf) потенциально , то работа по перемещению тела из точки (A) в точку (B) выражается формулой [W = uleft( B right) – uleft( A right),] где (uleft( right)) − потенциал поля.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией (mathbf) вдоль замкнутого контура (C) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром (C) (рисунок (2)). Это выражается формулой [intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = <mu _0>I,] где (<mu _0>) − магнитная проницаемость ваккуума , равная (1,26 times <10^< – 6>>,text<Н/м>.)

Очевидно, в силу симметрии, (bar y = 0.) Чтобы найти координату центра масс (bar x,) достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

(C) − отрезок прямой (y = x;)

(C) − кривая (y = sqrt x.)

Согласно закону Фарадея [varepsilon = ointlimits_C = – frac<><

>.] Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока (psi,) проходящего через кольцо.

Предположим, что магнитное поле (mathbf) перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время (Delta t) изменение потока равно [Delta psi = 2rBx = 2rBvDelta t,] где (x = vDelta t,) (v) − скорость самолета, (B) − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем [varepsilon = – frac<><

> = 2rBv.] Подставляя заданные величины [v = 900,text <км/ч>= 250,text<м/с>,;;r = 1,text <см>= 0,01,text<м>,;;B = 5 times <10^< – 5>>,text,] находим значение э.д.с.: [varepsilon = 2rBv = 2 cdot 0,01 cdot 5 times <10^< – 5>> cdot 250 = 0,00025,text<В>.] Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров.

Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле (varepsilon = intlimits_C <mathbfcdot dmathbf> .) В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл. [varepsilon = ointlimits_C <mathbfcdot dmathbf> = ointlimits_C = Eointlimits_C = 2pi rE.] Следовательно, напряженность электрического поля равна [E = frac<varepsilon ><<2pi r>> = frac<<0,00025>><<2pi cdot 0,01>> = 0,004,text<В/м>.]

Электронная библиотека

Вычисление интеграла (1.4) и (1.5) сводится к определенному. Пусть, например, кривая К задана уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), , тогда длина элементарной дуги , интеграл (1.4) выражается определенным интегралом:

Если, в частности, кривая К имеет явное задание y = y(x) , то

Из соотношения (1.7) и (1.8) следует, что криволинейный интеграл первого рода существует, если f – непрерывная функция на К.

Вычислить по длине плоской кривой y = ln x при .

Решение. Используем формулу (1.8), найдем, что и

Найти массу полуокружности x 2 + y 2 = 1, , если линейная плотность её в текущей точке M(x,y) пропорциональна ординате y.

Решение. За параметр возьмем величину угла t, тогда параметрическое уравнение линии К: x=cos t, y=sin t .

Элементарная масса dm = ky dl, т.е. тогда по формуле (1.7):

Решение. По формуле (1.7) имеем:

Задачи для упражнений

1) Найти , если К – дуга параболы , лежащая между и . Ответ: .

4) Определить массу окружности x 2 + y 2 = R 2 , если плотность её в точке М(х, у) равна: . Ответ: .

5) Определить координаты центра тяжести С(х₀, у₀) однородной полуокружности К: .

Указание. В механике доказано, что координаты центра тяжести однородной кривой К задаются формулами:

где L – длина дуги кривой К. Ответ: .

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) 002.gif” />=(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны

а координаты центра масс 009.gif” /> и — по формулам

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и ◄ Имеем: ◄ Имеем: Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности ◄Вследствие симметрии 026.gif” />. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 028.gif” />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем Отсюда 032.gif” />, т.е. центр масс C имеет координаты CПример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

http://libraryno.ru/1-1-2-vychislenie-krivolineynogo-integrala-pervogo-roda-spec_gl_vm/

http://www.km.ru/referats/B03D2170DEDE4D5EA26BC6C770E4CD27

[/spoiler]