Как найти массу кривой через криволинейный интеграл

Рассмотрим
физическую задачу, которая приводит к
понятию криволинейного интеграла I
типа. Пусть вдоль некоторой спрямляемой
кривой L
распространена масса с плотностью (М)
ML.

Задача.
Определить
массу
всей
этой кривой.

Разобьем кривую
L
на частичные дуги

.
На каждой частичной дуге выберем
произвольно точку
,

– плотность в точке
.
Будем считать, что плотность на всей
частичной дуге

постоянна и равна
.
Тогда

– масса дуги
,
следовательно,

– масса всей кривой L.

Последнее равенство
тем точнее, чем меньше разбиение. Пусть
.
Тогда

.

Физический смысл
криволинейного интеграла I
типа

физически выражает
массу кривой L,
плотность в каждой точке которой равна
f(M).

4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный
интеграл I
типа вычисляется путем сведения его к
обыкновенному определенному интегралу.
Пусть требуется вычислить
.

Теорема. Пусть
кривая L=AB
задана параметрически

, (3)

где (t)
и (t)
– непрерывно дифференцируемы на [t₁;t₂].
Пусть f(x;y)
непрерывна на кривой L.
Тогда

. (4)

Доказательство.

Пусть для
определенности меньшему значению
параметра t₁
соответствует точка A.
Функция f(x;y)
непрерывна вдоль кривой L,
т. е. непрерывна в любой точке М(x;y)L.
Положение точки

на кривой L
определяется длиной дуги
.
Этим самым координаты x,
y
точки M
тоже определяются как функции от s:

Это есть параметрическое представление
кривой L
с параметром s[0;S],
где S
– длина всей кривой L.
Тогда f(x;y)=f(x(s);y(s))=F(s)
– сложная функция от s.

Пусть

– произвольное разбиение кривой L
на дуги
.
Произвольно выберем на


точку
.
Обозначим через

и

значения параметра s,
отвечающие соответственно точкам

и
.
Тогда

. (5)

Справа в (5) –
обычная интегральная сумма для функции
F(s),
где
.
Переходя в (5) к

,
получим

, (6)

где интегрирование
по s
уже обозначает взятие обыкновенного
определенного интеграла от функции
одной переменной F(s).
Так как f(x;y)
непрерывна и x=x(s),
y=y(s)
непрерывны, то сложная функция F(s)
непрерывна и, следовательно, существуют
все интегралы в (6).

С другой стороны
длину s
дуги

можно рассматривать как функцию параметра
t:
s=s(t).
Таким образом, M=M((t);(t)).
С возрастанием t
от t₁
до t₂
величина s
возрастает от 0 до S.
Известно, что дифференциал дуги

.

Выполнив замену
переменной в (6) получим:

=.

Замечание.
Если кривая L
задана явным уравнением y=(x)
(x[a;b],
(x)-
непрерывно дифференцируемая функция),
то принимая за параметр переменную
,
получим параметрическое уравнение
кривой:

Следовательно,

. (7)

Пример
1. Вычислить
,

– дуга астроиды
,
лежащей в первой четверти.

Δ Параметрическое
уравнение части астроиды, лежащей в
первой четверти:

, .

По формуле (4)

.
Δ

Пример
2. Вычислить
массу всей цепной линии
,
если линейная плотность ее
.

Δ
.
Применим формулу (7):

.

,

,

.

Следовательно,

.
Δ

§2. Криволинейные интегралы II типа

1. Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная
точка М,
двигаясь прямолинейно под действием
постоянной силы

совершает перемещение
.
Работой А,
производимой этой силой, называется
скалярное произведение вектора силы

на вектор перемещения
:

.

Если в каждой точке
М
области (P)
определена сила, величина и направление
которой зависят только от приложения
точки М,
то говорят, что на области (P)
задано силовое поле.

Пусть материальная
точка М
движется по кривой ВС,
лежащей в области (P)
под действием силового поля.

Задача.
Определить
работу А
силового поля при перемещении материальной
точки из точки В
в точку С
по кривой.

Разобьем кривую
ВС
произвольными точками
,
взятыми по направлению от В
к С,
на n
частичных дуг. На каждой частичной дуге


выберем
произвольно точки
.
На частичной дуге

заменим
приближенно
переменную силу

постоянной силой
,
равной вектору силы

в точке
.
А движение материальной точки по этой
дуге заменим ее движением по хорде

этой дуги.
Выполним
это все
.
В результате приближенных замен имеем:

1)
материальная точка движется по ломаной,
вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене
ломаной на материальную точку действует
постоянная сила.

Работа силы

на хорде

равна

.

Суммируя по
,
получим

,
(1)

– работа ступенчатой
силы при движении материальной точки
по ломаной
,
вписанной в кривую ВС.
Эту работу считают приближением искомой
работы А
силы

при перемещении материальной точки по
кривой ВС:
.

Пусть , ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть

– длина
,
.
Переходя в (2) к
,
получим точное равенство:

. (3)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Если подынтегральная функция равна единиц, то криволинейный интеграл

равен длине S кривой L, т.е. 

2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z=f(x,y)≥0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Оz и заключенной между L и поверхностью z=f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

3. Если L=AB – материальная кривая с плотностью, равной ρ=ρ(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле

(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны

 

где ρ(х,у) – плотность распределения кривой L а   – координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы

  

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью ρ(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.

ПРИМЕРЫ:1. Вычислить криволинейный интеграл

где L – дуга параболы у² = 2х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем

 

Следовательно, данный интеграл равен

Ответ: 

2. Вычислить криволинейный интеграл

где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0)
Поскольку

то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА :

1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у=1 – х, то . Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим х=0, 0 ≤ у ≤ 1,  откуда

3) (ОА):  .

4) Окончательно

Ответ:  
3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – окружность 
Введем полярные координаты   Тогда, поскольку  уравнение окружности примет вид  т.е.  а дифференциал дуги

При этом  Следовательно,

Ответ:  
4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

где L – дуга кривой, заданной параметрически    
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через t дифференциал dl:

Таким образом,

Ответ:  

5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра  , ограниченной снизу плоскостью О_ху, а сверху поверхностью 
Искомая площадь вычисляется по формуле

где L – окружность x²+y²=R². Поверхность цилиндра и поверхность  симметричны относительно координатных плоскостей О_xz и O_yz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у≥0, х≥0, т.е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем

 

Следовательно,

Получили определенный интеграл, который берем подстановкой  откуда

  

Ответ:  

6. Найти массу четверти эллипса

расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом k.
Поскольку р(х, у)=ky, имеем

L – четверть эллипса

 х≥0, у≥0.

Переходим к параметрическим координатам эллипса  Напомним, что – фокусное расстояние эллипса, а  – эксцентриситет эллипса. Находим 

Переходим к вычислению массы

Воспользуемся формулой

где  Получаем

Учитывая, что  получим окончательно

Ответ:  

7. Найти координаты центра тяжести дуги окружности x²+y²=R²(0≤ x ≤R, 0≤ y ≤R).
Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина  В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью симметрии, имеем . Теперь находим

Ответ: 
Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл 

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qi и ds=idx+jdy:

В таком случае

Выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки М=М(х,у) вдоль кривой L=AB от точки А до точки В.
При А=В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой , ( – обозначение границы области D), а в области D и на ее границе  функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема: Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 2).
Тогда следующие условия равносильны:
1.  (условие Грина).
2.  (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3.  (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4.  (выражение  представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х_о, у_о) и (х₁, у₁) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

где U(x, y) – некоторая первообразная для P dx + Q dy. 
С другой стороны, первообразная U(x, y) выражения P dx + Q dy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(х,у), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Здесь предполагается, что обход границы области D в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S=S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второговрода:

(эта формула получается из формулы Грина с ).

ПРИМЕРЫ:1. Даны функции Р(х ,у) = 8х+4у+2, Q(х ,у) = 8у+2 и точки А(3, 6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

где:
1) L – отрезок ОА;
2) L – ломаная ОВА;
3) L – ломаная ОСА;
4) L – парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: у=2х, . Тогда dy=2dx и

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:
а) ОВ: здесь у=0, 0≤х≤3, т.е. dy=0, откуда

б) ВА: х=3, 0≤у≤6, т.е. dx=0, и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
а) ОС: х=0, (т.е. dx=0), 0≤y≤6, откуда

б) СА: 0≤х≤3 , у=6, dy=0, следовательно,

Окончательно

4) Подставив координаты точки А(3;6) в равенство у=ах² найдем уравнение данной параболы . При этом 0≤х≤3 и  откуда (путь ОА по параболе обозначим )

5) Имеем

т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1) – 4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
2. Вычислить интеграл

где L – верхняя половина эллипса  пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х=a cost, y=b sin t,  т.е. dx = – a sin t dt, dy = b cos t dt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от π до 0), получаем
Ответ:  

3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок, соединяющий точку С(2, 3, -1) с точкой D(3, -2, 0).
Составим параметрические уравнения отрезка СD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда . Далее, находим  подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

Ответ: 

4. Вычислить  где К – отрезок прямой от А(0 ;0) до В (4; 3).
Уравнение прямой АВ имеет вид у=(3; 4)х. Находим у^/= ¾ и, следовательно,

Ответ: 

5. Вычислить  если 
Найдем  Тогда

Ответ: 

6. Найти массу М дуги кривой x=t, y=t²/2, z=t³/3 (0≤ t ≤1), линейная плотность которой меняется по закону 

Ответ: 

7. Вычислить криволинейный интеграл  от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) (рис. 3):
1) по прямой 2х+у=2;
2) по дуге параболы 4х+у²=4;
3) по дуге эллипса x=cost, y=2sint.
1) Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем его:

у=2-2х, dy=-2dx,

2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у:

3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем его: x=cost, dx=-sintdt; y=2sint; dy=2costdt:

Ответ: I₁=1, I₂=-1/5, I₃=4/3. 

8. Вычислить криволинейный интеграл  между точками Е 
(-1, 0) и Н (0, 1):
1) по прямой ЕН;
2) по дуге астроиды х=cos³t, y=sin³t.
1) Вначале составляем уравнение линии интегрирования – прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей через две известные точки: у-х=1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для дифференциала дуги плоской кривой преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной х и вычисляем его:

2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем:

 ибо π/2≤ t ≤π;

Ответ: 

9. Даны точки А(3, -6, 0) и В(-2, 4, 5). Вычислить криволинейный интеграл 
1) по прямолинейному отрезку ОВ;
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x²+y²+z²=45, 2x+y=0.
1) Вначале составляем уравнения линии интегрирования – прямой ОВ.
Пользуясь общими уравнениями прямой, проходящей через две точки  получим  Приравнивая эти равные отношения параметру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой ОВ к параметрическому виду: x=-2t, y=4t, z=5t.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вычисляем его

2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметрическому виду. Полагая х=t, получим у=-2t (из второго данного уравнения),  (из первого уравнения). Отсюда  и

Ответ:  

10. Вычислить криволинейные интегралы:
1) 

2) вдоль периметра треугольника с 

вершинами А(-1,0), В (0,2) и С (2,0)
Составив уравнение прямой АВ, у-2х=2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволинейный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:

у=2х+2, dy=2dx, 

Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на отрезках ВС и СА, получим

х=2-у, dx=-dy,

Следовательно,

2) Здесь подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, ибо (уcosx)^’_y =(sinx)^’_x =cosx. Вследствии этого данный криволинейный интеграл, взятый по периметру данного треугольника равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.

Ответ: 

11. Найти длину кардиоиды x=2acost-acos2t, y=2asint-asin2t.
Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений кардиоиды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы в обыкновенный интеграл с переменной t.

Ответ: L=16a. 
12. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом x=a cost, y=b sint;
2) петлей декартова листа х³+у³-3аху=0.
1) Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вычисляем его:

2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметрическому виду. Полагая у=хt, получим 
Геометрический параметр t=y/x есть угловой коэффициент полярного радиуса ОМ (рис. 6), точка М(х, у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до +∞.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы  в обыкновенный интеграл с переменной t , получим

Ответ: S=3a²/2. 

13. Найти массу дуги АВ кривой у=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: х_А=1, х_В=3.
Применяем формулу , исходя из данного уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной х

Ответ: 

14. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии х=аcost, y=asint, z=bt, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки: t_A=0, t_B=π.
Применяя формулы  вычислим криволинейные интегралы, преобразуя их в обыкновенные интегралы с переменной t:

Следовательно, 
Ответ: 

15. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.
Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси О_z совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила  а ее проекции на оси координат F_x=P=O, F_y=Q=0, F_z=R=mg.
Искомая работа согласно формуле 

Она зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

16. Найти работу силового поля, в каждой точке (х,у) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) , когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Подставляя в формулу  проекции силы  действующей на точку: F_x=m(x+y), F_y= – mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим

Ответ: Е=2πma².

Библиографический список

1. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.

---

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные; приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле .

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией находится по формуле .

Масса кривой

Масса материальной кривой (провод, цепь, трос,…) определяется формулой , где — плотность кривой в точке .

Разобьем кривую на элементарных дуг . Пусть — произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги :

Суммируя, находим приближенное значение массы :

За массу кривой примем предел суммы (55.7) при условии, что , т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей и и координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой моменты инерции относительно осей , и начала координат соответственно равны:

Пример №55.3.

Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ().

Решение:

Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси (см. рис. 236). Поэтому . Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому .

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности . Имеем:

Следовательно, . Итак, .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Масса

$mathbf { textit { m } } $ материальной кривой $mathop { AB } limits^cup $ с плотностью $mu (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } $,$mathbf { textit { z } } )$ вычисляется по формуле $m=intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { mu (x,y,z)dell } $.

Пример 1

Найти массу четверти лемнискаты $r^2=a^2cos 2varphi $, если плотность выражается формулой $mu (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )=ksqrt { x^2+y^2 } =kr$.

Решение:

$r=asqrt { cos 2varphi } $, $ { r } ‘=-afrac { sin 2varphi } { sqrt { cos 2varphi } } $ , поэтому

$m=intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { krdell } = kintlimits_0^ { pi / 4 } { asqrt { cos 2varphi } } cdot sqrt { a^2cos 2varphi +frac { a^2sin ^22varphi } { cos 2varphi } } dvarphi = frac { 1 } { 4 } pi ka^2$

Статические моменты и координаты центра масс

Пусть плоская материальная кривая $mathop { AB } limits^cup $ имеет плотность $mu (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$.

Статический момент относительно оси $mathbf { textit { Ox } } $ определяется по формуле $M_x =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { ymu (x,y)dell } $, относительно оси Oy: $M_y =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { xmu (x,y)dell } $.

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам $ M_ { xy } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { zmu dell } , quad M_ { xz } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { ymu dell } , quad M_ { yz } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { xmu dell } $

Координаты центра масс могут быть найдены по формулам

$x_c =frac { M_ { y } } { m } ,quad ;y_c =frac { M_ { x } } { m } quad $ – для плоской кривой;

$x_c =frac { M_ { yz } } { m } ,quad ;y_c =frac { M_ { xz } } { m } ,quad ;z_c =frac { M_ { xy } } { m } quad -$ для пространственной кривой, где $mathbf { textit { m } } $ – масса кривой.

Пример 1

Найти центр масс четверти однородной окружности $x^2+y^2=a^2,xgeqslant 0,ygeqslant 0$

Решение:

Можно считать, что $mu =1$. Тогда масса кривой равна ее длине $m=frac { 2pi a } { 4 } =frac { pi a } { 2 } $. Статический момент $M_x $ равен $ M_x =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { ydell } =intlimits_0^a { sqrt { a^2-x^2 } cdot sqrt { 1+frac { x^2 } { a^2-x^2 } } dx } =a^2. $ Из соображений симметрии $M_y =M_x $, поэтому координаты центра масс равны $ x_c =frac { M_y } { m } =frac { 2a } { pi } ,quad ;y_c =frac { M_x } { m } =frac { 2a } { pi } . $

Моменты инерции

Моменты инерции плоской кривой $mathop { AB } limits^cup $с плотностью $mu $ относительно координатных осей вычисляются по формулам $ I_ { Ox } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { y^2mu dell } , quad I_ { Oy } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { x^2mu dell } ; $ моменты инерции относительно начала координат $ I_0 =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (x^2+y^2)mu dell } =I_x +I_y $ В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам $ I_ { Ox } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (y^2+z^2)mu dell } , quad I_ { Oy } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (x^2+z^2)mu dell } , quad I_ { Oz } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (x^2+y^2)mu dell } , quad I_0 =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (x^2+y^2+z^2)mu dell =frac { I_ { Ox } +I_ { Oy } +I_ { Oz } } { 2 } } . $

Пример 1

Найти момент инерции относительно оси $mathbf { textit { Oz } } $ однородной винтовой линии $mu =1mathbf { textit { x } } =mathbf { textit { a } } cos mathbf { textit { t } } , mathbf { textit { y } } =mathbf { textit { a } } sin mathbf { textit { t } } , mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { at } } ; 0 leqslant mathbf { textit { t } } leqslant 2pi $

Решение:

$I_ { Oz } =intlimits_ { mathop { AB } limits^cup } { (x^2+y^2)mu dell } =intlimits_0^ { 2pi } { (a^2cos ^2t+a^2sin ^2t)sqrt { a^2+a^2sin ^2t+a^2cos ^2t } dt=a^3sqrt 2 intlimits_0^ { 2pi } { dt=2sqrt 2 pi a^3 } } $.

Соберем в одном месте все формулы.

Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода:

[math]m=int_{L}gamma(x,y,z);dl[/math]

Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной :

* Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),hspace{2mm}tin[alpha,beta][/math], то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t),z(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)};dthspace{10mm}(1)[/math]

* Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2};dthspace{37mm}(2)[/math]

В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), xin[a,b][/math] имеем

[math]m=int_{a}^{b}gamma(x,f(x))sqrt{1+f'(x)^2};dxhspace{47mm}(3)[/math]

* Если плоская кривая задана уравнением [math]rho=rho(phi}), hspace{3mm}phiin[alpha,beta][/math] в полярных координатах, то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(rhocosphi,rhosinphi)sqrt{rho^2+rho ‘^2};dphihspace{45mm}(4)[/math]

———————————————————————–
В данной задаче надо применить формулу (3):

[math]gamma(x,y)=frac{2sqrt x-y}{sqrt{1+frac{1}{x}}},hspace{3mm}y=f(x)=2sqrt x-1, hspace{3mm}xin [0,4][/math]

[math]gamma(x,f(x))=frac{2sqrt x -(2sqrt x-1)}{sqrt{1+frac{1}{x}}}=frac{1}{{sqrt{1+frac{1}{x}}}[/math]

Так как
[math]f'(x)=frac{1}{sqrt x}[/math]
то
[math]sqrt{1+f'(x)^2}=sqrt{1+frac{1}{x}}[/math]

И получаем миленький интегральчик.