Как найти массу многоугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: $V~=~pi~*~{D^2/4}~*~H$ , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/4000}~*~rho$

3. Масса шара

шар Объем шара: $V~=~pi~*~{D^3/6}$ , где — диаметр шара.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^3}/6000}~*~rho$

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: $V~=~{1/6}pi*H*(H^2+~{3/4}D^2)$ , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(4H^2+~3D^2)}/24000}~*~rho$

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: $V~=~{1/12}pi*D^2*H$ , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/12000}~*~rho$

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : $V~=~{1/12}pi*(D1^2*H1~-~D2^2*H2)$ , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
$V~=~{1/12}pi*H*(D1^2+D1*D2+D2^2)$ , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(D1^2~+~D1*D2~+~D2^2)}/12000}~*~rho$

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями W1*L1 и W2*L2 : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: $V~=~{1/3}H*~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}$ , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: $V~=~{1/3}H*~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}$ .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

$m~=~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}~*~{H~*~rho}/3000$

или

$m~=~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}~*~{H~*~rho}/3000$

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

$m~=~(A1^2~+~A1A2~+~A2^2)~*~{H~*~rho}/3000$

Источник

Как найти массу треугольника

Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

Ответ. 3:2.

Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

Условие

Углы остроугольного треугольника равны [latex]alpha[/latex], [latex]beta[/latex] и [latex]gamma[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:

В точку пересечения высот?
В центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:

В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
В центр вписанной окружности?

Решение

Пусть в вершинах треугольника [latex]ABC[/latex] расположены массы [latex]m_[/latex], [latex]m_[/latex] и [latex]m_[/latex] соответственно. Проведем прямые [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex], пересекающиеся внутри треугольника в точке [latex]O[/latex] (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точку[latex]O[/latex], необходимо выполнение соотношений [latex]frac>=frac[/latex] и [latex]frac>=frac[/latex]. Перейдем теперь к решению задачи.

Пусть [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex] — высоты в треугольнике [latex]ABC[/latex] (рис. 2). Тогда [latex]frac=tg alpha[/latex], [latex]frac=tg gamma[/latex], то есть [latex]frac=frac[/latex].
Согласно сделанному замечанию, [latex]frac>=frac[/latex] и аналогично [latex]frac>=frac[/latex]. Значит, в вершины [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] и [latex]C[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex] можно поместить, например, массы [latex]m_=tg alpha[/latex], [latex]m_=tg beta[/latex], [latex]m_=tg gamma[/latex].

Пусть [latex]O[/latex] — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
[latex]frac=frac>[/latex],
[latex]frac=frac>[/latex]
(теорема синусов для треугольника [latex]ABD[/latex] и [latex]BCD[/latex]). Поэтому [latex]frac=frac>>[/latex].
Треугольник [latex]BAK[/latex] — прямоугольный ([latex]measuredangle BAK=90^<circ>[/latex]) и [latex]measuredangle BKA=measuredangle BCA=gamma[/latex]; поэтому [latex]sin beta_<1>=cos gamma[/latex]. Аналогично [latex]sin beta_<2>=cos alpha[/latex].
Итак, [latex]frac=fraccdot frac=frac[/latex].
Учитывая замечание, получаем:
[latex]frac>=frac[/latex].
Таким же образом [latex]frac>=frac[/latex].
Значит, можно взять [latex]m_=sin 2alpha[/latex], [latex]m_=sin 2beta[/latex], [latex]m_=sin 2gamma[/latex].

Легко видеть (см. рис. 4), что [latex]AD=p-a[/latex], [latex]DC=p-c[/latex], где [latex]p=frac<2>[/latex], поэтому [latex]frac>=frac[/latex].
Аналогично [latex]AE=p-a[/latex], [latex]EB=p-b[/latex], то есть [latex]frac>=frac[/latex].
Поэтому достаточно положить [latex]m_=frac<1>[/latex], [latex]m_=frac<1>[/latex], [latex]m_=frac<1>[/latex].

Так как [latex]BD[/latex] — биссектриса угла [latex]B[/latex] (см. рис. 5), то [latex]frac=frac[/latex] или [latex]frac>=frac[/latex]; соответственно [latex]CE[/latex] — биссектриса угла [latex]C[/latex] и [latex]frac=frac[/latex], то есть [latex]frac>=frac[/latex]. Поэтому можно взять [latex]m_=a[/latex], [latex]m_=b[/latex], [latex]m_=c[/latex].

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.

Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.

Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian “Finding Centroids the Easy Way”.

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

Центр масс системы точек — вершин многогранника.

Центр масс каркаса — рёбер многогранника.

Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.

Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

[spoiler title=”источники:”]

http://ib.mazurok.com/2015/05/27/m237/

http://e-maxx.ru/algo/gravity_center

[/spoiler]

Источник

Как найти массу квадрата

Иногда интернет-запросы просто поражают: как найти массу или объем треугольника, квадрата или круга. Ответ – никак. Квадрат, треугольник и т.д. – плоские фигуры, вычисление массы и объема возможно только у объемных фигур. А под квадратом может подразумеваться куб или параллелепипед, одна из сторон которого представляет собой квадрат. Зная параметры этих фигур, можно найти и объем и массу.

Инструкция

Для расчета объема куба или параллелепипеда вы должны знать три величины: длину, ширину и высоту. Для вычисления массы необходимы объем и плотность материала, из которого изготовлен предмет (m = v*ρ). Плотность газов, жидкостей, пород и т.д. можно найти в соответствующих таблицах.

Пример 1. Найдите массу гранитного блока, длина которого 7 м, ширина и высота по 3 м. Объем такого параллелепипеда будет равен V = l*d*h, V = 7м*3м*3м = 63 м³. Плотность гранита 2,6 т/м³. Масса гранитного блока: 2,6 т/м³ * 63 м³ = 163,8 т. Ответ: 163,8 тонн.

Нужно учитывать, что исследуемый образец может быть неоднородным или содержать примеси. В таком случае вам потребуется не только плотность основного вещества, но и плотность примесей.

Пример 2. Найдите массу куба со стороной 6 см, который на 70% состоит из сосны, а на 30% из ели. Объем куба со стороной l = 6 см равен 216 см³ (V=l*l*l). Объем, который занимает в образце сосна, можно вычислить через пропорцию:216 см³ – 100%X – 70%; X = 151,2 см³

Объем, который занимает ель: 216 см³ – 151,2 см³ = 64,8 см³. Плотность сосны 0,52 г/см³, значит, масса сосны, содержащейся в образце 0,52 г/см³*151,2 см³ = 78,624 г. Плотность ели 0,45 г/см³, соответственно – масса равна 0,45 г/см³*64,8 см³ = 29,16 г. Ответ: общая масса образца, состоящего из ели и сосны 78,624 г + 29,16 г = 107,784 г

И даже если вам нужно вычислить массу квадратного металлического листа, то вычислять вы будете массу параллелепипеда, длина которого l, ширина d и высота (толщина листа) h.

Пример 3. Найдите массу квадратного медного листа 10 см на 10 см, толщина которого 0,02 см. Плотность меди 89,6 г/см³. Объем медного листа: 10 см*10 см*0,02 см = 2 см³. m(листа) = 2 см³*89,6 г/см³ = 179,2 г. Ответ: масса листа – 179,2 г.

Обратите внимание

В металлопрокате существует понятие массы квадрата. Имеется в виду масса откалиброванного металлического прута с квадратным сечением. Но, независимо от того, как «это» называется, по сути, этот прут все тот же параллелепипед.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти массу шара через диаметр

Задание:

Как найти массу шара через диаметр

Ответ нейросети:

Для нахождения массы шара через диаметр необходимо знать формулу для вычисления объема шара, а затем применить формулу для вычисления массы, используя плотность материала, из которого сделан шар.

Формула для объема шара: V = (4/3)πr^3, где r – радиус шара, который можно вычислить, зная диаметр шара (d) – r = d/2.

Таким образом, получаем формулу для нахождения объема: V = (4/3)π(d/2)^3 = (π/6)d^3.

Далее, чтобы вычислить массу, необходимо знать плотность материала, из которого сделан шар. Пусть плотность равна ρ. Тогда масса (m) вычисляется так: m = ρV.

Подставляем значение V и получаем итоговую формулу: m = (ρπ/6)d^3.

Таким образом, чтобы найти массу шара через диаметр, необходимо знать плотность материала и использовать формулу m = (ρπ/6)d^3.

Написать сочинение по запросу

Такое бывает: среди простых задач оказываются те, что никак не хотят решаться. Например, как найти массу шара через диаметр? Из школьных учебников мы знаем, что нужно поделить диаметр на 2, возвести результат в куб и умножить на число пи. Но что делать, если голова уже забита другими формулами и не хочет работать?

В таких случаях приходят на помощь современные технологии. Нейросеть онлайн прекрасно справляется с этой задачей, исходя из диаметра шара, считает его массу и дает ответ в считанные секунды. Воспользоваться ей очень просто: зайдите на сайт и введите нужные данные. Оставьте сложные расчеты за нейросетью, пусть она пишет тексты, решает уравнения и делает жизнь проще!

Создать текст по запросам:

Источник

В свете новых доказательств я твердо верю, что ваша данная формула неверна. Позвольте мне предоставить другой алгоритм. Я попытался заставить его посмотреть С++ ish, но я уверен, что у меня что-то не так. Если ты хочешь наброситься на них, это прекрасно. Если вы хотите сфокусироваться на них, я не могу вас остановить, но я бы предпочел, чтобы вы отредактировали их, чтобы сделать пост лучше. 🙂

// use doubles if appropriate
float xsum = 0.0;
float ysum = 0.0;
float area = 0.0;
for(int i = 0; i < points.size - 1; i++) {
    // I'm not a c++ guy... do you need to use pointers? You make the call here
    Point p0 = points[i];
    Point p1 = points[i+1];

    double areaSum = (p0.x * p1.y) - (p1.x * p0.y)

    xsum += (p0.x + p1.x) * areaSum;
    ysum += (p0.y + p1.y) * areaSum;
    area += areaSum;
}

float centMassX = xsum / (area * 6);
float centMassY = ysum / (area * 6);

corsiKa
13 сен. 2011, в 21:48

Общий подход состоит в том, чтобы разделить фигуру на части, для которых вычисление проще, вычислить центры масс для них и объединить их: C = сумма (C [i] * масса [i])/сумма (масса [i])

Прежде всего, вы должны определить, как распределяется масса в многоугольнике. Возможные (простые) распределения:

Концентрированный в вершинах (равномерно) – формулы в вашем вопросе для этого случая
Равномерно распределенная на границе многоугольника – в этом случае вы должны вычислить центр масс каждой линии (это только середина строки), умножить его на длину строки, добавить все из них и разделить на всю длину границы
Равномерно распределенная по площади многоугольника – простейшая для понимания способ состоит в том, чтобы разбить ее на треугольники, вычислить центр масс для каждого из них, умножить на ее площадь, добавить все из них, разделить на всю площадь многоугольника

maxim1000
14 сен. 2011, в 04:17

Попробуйте приведенный здесь алгоритм. Он будет работать для выпуклых многоугольников.

Michael Anderson
13 сен. 2011, в 23:04

Вы можете использовать простую среднюю функцию, примерно так:

template <typename T, typename iterator> T avg(iterator const& begin, iterator const& end) {
  T result;
  size_t size(0);
  for (iterator it = begin; it != end; ++it) {
    result += *it;
    size++;
  }
  return result/size;
}

Теперь, если ваши значения находятся в наборе, вы можете сделать следующее:

std::set<double> xs; // assuming your values are in there
double x = avg<double,std::set<double>::iterator>(xs.begin(), xs.end());

Не пропустив его через g++, я не уверен, какой из параметров шаблона можно было бы вывести автоматически.

bitmask
13 сен. 2011, в 22:36

Ещё вопросы

0Использование перегруженной функции внутри шаблона с параметром шаблона
0Слайдер изображений jquery не работает в ie8
1Canvas Rectangle Movement On Keydown
0Отображается ли id элемента управления aspx всегда одинаковым в исходном HTML-коде?
0Необработанное исключение в Visual Studio при использовании Open CV
1Как подключить несколько схем одновременно в одной базе данных, используя Java-код
1Передача StorageFile в OnNavigatedTo в приложении C # WinRT
1Как отправить контактные номера в базу данных Firebase?
0Почему мой код выводит только часть входной строки?
1Как сохранить произвольный словарь в файле, чтобы его можно было прочитать и на Фортране?
0Можно ли позже конвертировать MySQL в AWS (веб-сервисы Amazon)?
1Поле фрагмента равно нулю после поворота устройства в Android
0PHP HTTP Почтовый сервер – не могу получить почтовые запросы
1Ошибка параметров ограниченного типа Java
1Отделение сервиса ServiceStack от бизнес-логики
0PHP mysqli не может распознать SSL-сертификаты для удаленной базы данных
1прекратите зарядку, когда батарея полностью заряжена
1Запутывание, e.StackTrace не читается
1Как протестировать SpringReReestBody, который получает пользовательский объект, используя MockMvc
0Программа останавливается при вызове конструктора, c ++
1Как я могу выбрать все подузлы узла, а не всех потомков?
1Java не может получить доступ к защищенной переменной во внутреннем классе
0Проблемы с прототипированием структуры (неправильное использование неопределенного типа) c ++
0Попытка включить «или» в случае на MySQL – код ошибки: 1241. Операнд должен содержать 1 столбец (ы)
1Код EF сначала подключается к SQL Server 2008 R2
0Синтаксическая ошибка при обновлении столбцов
1Я пытаюсь вернуть список, заполнив дочерний узел
0не могу понять термин «статический»
1Ошибки Entity Framework Validation неправильно обрабатываются клиентом breeze.sharp
2Я получаю утечку памяти, когда начинаю переход с общими элементами из элемента утилизатора
1Котлин как проблема мультиплатформенности
0Для цикла условие является переменной без сравнения
1Почему я получаю неопределенный при использовании document.write ()?
0Ошибка msvcr110d.dll! memcpy при тестировании структур и массивов
1Расширение Python с помощью ошибки C: Ошибка сегментации: 11 в Python [MacOS X]
0кодовое имя setURL с HTML-файлом не работает на устройстве
1Удаление несистемного приложения с использованием оболочки ADB на устройстве Android
1Как сопоставить результат с оператором return действия, возвращающего объект в Struts 2?
1стратегия tablePerHierarchy без столбца дискриминатора в Hibernate
0Конвертировать простые коды в HTML-стили
0MySQLIntegrityConstraintViolationException не показывает имена столбцов в сообщении об исключении
1Создание прокручиваемого «графика» в c # (визуализация данных)
0Связывание AngularJS и TypeScript не работает
0Uncaught ReferenceError: anOpen не определен
0Диалог JQuery «Закрыть»
1Где добавить массив?
0Водяной знак в mPDF (PHP) не работает правильно
0CSS jQuery с функциями и свойствами
0Лучший способ связи между настольным приложением и службой Windows
0Экспресс-проверка Paypal не отображается должным образом в Firefox

Источник

Масса сплошной детали

1. Масса параллелепипеда (бруска)

2. Масса цилиндра

3. Масса шара

4. Масса сегмента шара

5. Масса конуса

6. Масса усеченного конуса

7. Масса пирамиды

8. Масса усеченной пирамиды

Как найти массу треугольника

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

Условие

Решение

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Двумерный случай: многоугольники

Центр масс системы точек

Центр масс каркаса

Центр масс сплошной фигуры

Случай треугольника

Случай треугольника: доказательство

Случай многоугольника

Случай многоугольника: альтернативный способ

Трёхмерный случай: многогранники

Центр масс системы точек

Центр масс каркаса многогранника

Центр масс поверхности многогранника

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Случай произвольного многогранника

Как найти массу квадрата

Как найти массу шара через диаметр

Ещё вопросы

Вам также может понравиться

Как составить сложную производную

Как мне найти свою скайп

Как будет найти по испански

Добавить комментарий Отменить ответ