Как найти массу пластинки через двойной интеграл

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» площади которых обозначим через а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через (см. рис. 214).

В каждой области выберем произвольную точку умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D — область интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом равенство (53.2) можно записать в виде

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей , площади которых равны A Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием через , получим

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» ,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок неограниченно увеличивается а каждая площадка стягивается в точку за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (53.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим плотность в ней:

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения Считая приближенно плотность в каждой точке области постоянной, равной , можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна Для ее вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии

или, согласно равенству (53.2),

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

3.Если область D разбить линией на две области такие, что а пересечение состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

4.Если в области D имеет место неравенство то и Если в области D функции f(x;y) и удовлетворяют неравенству то и

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка, что Величину

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми, причем функции непрерывны и таковы, что для всех (см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно,

Это равенство обычно записывается в виде

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми кривыми

для всех т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить где область D ограничена линиями у

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: . Получаем:

Ответ, разумеется, один и тот же.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами

В качестве инь возьмем полярные координаты Они связаны с декартовыми координатами формулами (см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами и кривыми где т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Внутренний интеграл берется при постоянном

Замечания:

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид область D есть круг, кольцо или часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по (исследуя закон изменения точки при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить где область D — круг

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения:

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример:

Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, — коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Двойной интеграл

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Тройной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат