Как найти массу стержня в физике

dashenka – 7 января, 2009 – 11:53

• версия для печати

Тема и номер урока в теме: «Определенный интеграл» урок № 5 (из 6, отведенных на изучение данной темы).

Базовый учебник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл./ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.

Задачник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11. / А.Г.Мордкович и др. /М.: Мнемозина, 2013.

Цель урока: дать представление о возможностях применения интеграла в физике.

Формируемые предметные результаты: познакомиться с применением интеграла для решения физических задач.

Формируемые метапредметные результаты:

• личностные универсальные учебные действия: формирование устойчивой мотивации к обучению, познавательного интереса; расширение кругозора.
• регулятивные универсальные учебные действия: уметь выделять математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах в окружающей жизни, самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем, уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, контролировать процесс и результат учебной деятельности
• познавательные универсальные учебные действия: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного, структурировать знания, преобразовывать информацию);

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: мультимедийный проектор, презентация или интерактивная доска с заготовками таблиц и заданий.

Структура и ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, настрой на урок.

II. Проверка домашнего задания (обсуждение решения заданий, вызвавших затруднения)

III. Формулирование темы и цели урока.

– Какие применения интеграла вам уже известны? (Для введения понятия определенного интеграла мы рассмотрели три задачи, приводящие к этому понятию: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление массы стержня и вычисление перемещения точки за определенный промежуток времени. Таким образом, нам уже знакомы три примера применения интеграла в геометрии и физике. На прошлом занятии познакомились с применением интеграла для вычисления объемов геометрических тел).

– Однако, область применения интеграла этим не ограничивается. И цель урока – познакомиться с широким спектром применения интеграла в физике. Итак, запишите тему урока: «Применение интеграла для описания физических процессов».

IV. Изучение нового материала (подводящий диалог)

– Назовите, пожалуйста, действие, обратное интегрированию. (Дифференцирование, т.е. вычисление производной).

– Изучая некоторые применения производной в физике и технике, мы с вами составили обобщающую таблицу. Давайте вспомним её (рассматривают таблицу, заготовленную на слайде или на доске):

Величины	Физическая зависимость в простейшем случае	Вычисление производной
A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время.	A=F×x N=A / t	F(x)=A’(x) N(t)=A’(t)
m – масса тонкого стержня, ρ – линейная плотность, x – линейный размер.	m= ρ×x	r(x)=m’(x)
q – электрический заряд, I – сила тока, t – время.	I=q / t	I(t)=q’(t)
S – перемещение, v – скорость, t – время.	v=S / t	v(t)=S’(t)
Q – количество теплоты; с – теплоемкость, t – температура.	c = Q / t	c(t)= Q’(t)

– Во всех этих случаях по заданной F(x) находили f(x) по формуле

f(x)=F̕ ʹ(х)

– А теперь вернемся к интегралу. С каким действием ассоциируется у вас вычисление интеграла? (Вычисление первообразной)

– Верно, а вычисление первообразной – это восстановление функции по заданной производной. Т.е. по заданной f(x) находят F(x) по формуле

.

Следовательно, если переменная сила F (х)– это производная работы А по координате x, то как, по вашему, можно вычислить работу переменной силы по перемещению тела из положения х = а в точку с координатой х = в? (Как определенный интеграл .)

– Добавим в нашей таблице ещё один столбец справа, куда будем записывать формулы для вычисления величин с помощью определенного интеграла, и запишем туда эту формулу.
– Как же тогда связать работу и мощность? (Высказываются предположения, записывается формула ).

– Заполните остальные строки таблицы самостоятельно. (Самостоятельная работа учащихся с последующей самопроверкой. Формулу для вычисления координаты центра масс тонкого стержня учитель сообщает после проверки и учащиеся вписывают её.)

Величины	Физическая зависимость в простейшем случае	Вычисление производной	Вычисление интеграла
A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время.	A=F×x N=A / t	F(x)=A’(x) N(t)=A’(t)
m – масса тонкого стержня, ρ – линейная плотность, x – линейный размер.	m=ρ×x	r(x)=m’(x)	– координата центра масс стержня
q – электрический заряд, I – сила тока, t – время.	I=q / t	I(t)=q’(t)
S – перемещение, v – скорость, t – время.	v=S / t	v(t)=S’(t)
Q – количество теплоты; с – теплоемкость, t – температура.	c = Q / t	c(t)= Q’(t)

– Итак, мы с вами получили ещё несколько примеров применения интеграла в физике, и это далеко не всё.

V. Первичное закрепление.

Рассмотрим примеры решения конкретных задач.

Задача 1: Тело движется со скоростью v(t)=t²+1 м/с. Вычислить его перемещение за первую секунду движения. (Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)

Решение: Перемещение материальной точки равно определенному интегралу

Ответ: 1,3 метров.

Задача 2: Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на L = 0,05 м, если известно, что для её растяжения на L1= 0,01 м нужна сила F1 = 1Н? (Более подготовленный учащийся решает на доске с комментированием и обсуждением, остальные учащиеся – в тетрадях.)

Решение: Согласно закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину на длину х, пропорциональна этому растяжению или сжатию х, т.е. F = kх (k – коэффициент пропорциональности, жесткость пружины). Из условия известно, что для растяжения пружины на 0,01 м требуется сила 1Н. Следовательно, k = F1/L1 =100 Н/м и F(x) = 100x. Тогда для растяжения пружины на 0,05 м эта сила должна совершить работу

Задача 3: Определить массу и координату центра масс стержня длины L=10 м, если плотность стержня меняется по закону ρ=5+0,2х кг/м, где х – расстояние от одного из концов стержня.

(Более подготовленный учащийся решает на доске с комментированием и обсуждением, остальные учащиеся – в тетрадях.)

Решение. Будем считать, что начало координатной оси ОХ совмещено с левым концом стержня. Тогда . Найдем сперва массу стержня:

Теперь определим координату центра масс:

считая от левого конца стержня.

Задача 4: Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [3;4], если сила тока задается формулой I(t) = 3t²+2t.

(Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)

Решение:

Ответ: 30 Кл.

Задача 5: Найти количество теплоты, выделенное за время , если теплоемкость c(t) = t².

(Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)

Решение: Согласно формуле, имеем:

Ответ: 2,33 Дж.

VI. Итоги урока.

– С каким новым применением интеграла вы познакомились сегодня?

– Какие задачи мы рассмотрели?

VII. Домашнее задание: §21, №№ 21.40(а, г), 21.42(б).

Дополнительно: Математическая зависимость между магнитным потоком F, пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции ei(t) в этом контуре задается соотношением .

Задача: При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая изменяется со временем по закону . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

Использованные материалы

1. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа к УМК А.Н.Колмогорова и др. 11 класс /А.Н.Рурукин,Е.В.Бровкова, Г.В.Лупенко и др. /М: «ВАКО», 2009.
2. Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл. Часть 1 Учебник/ А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.
3. Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл. Часть 2 Задачник/ А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.