Как найти массу в задачах на проценты

Один из способов решения задач на
проценты

При решении задач на проценты учащиеся
испытывают определенные трудности, особенно при
нахождении массы сухого вещества.

Предлагаю один из самых доступных (на
мой взгляд) способов решения задач такого типа.

А.Г. Мордкович “Математика 6”

Задача № 362

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный
– 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17кг
свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы
получить 3,4кг сушеных?

Решение.

Составим таблицу:

1 часть задачи:

Так как масса сухого вещества в сухих и
свежих грибах остается неизменной, получим
уравнение: 0,85х = 1,7,

х = 1,7 : 0,85,
х = 2.

2 часть задачи:

0,1х = 2,89,
х = 2,89 : 0,1,
х = 28.9.

Ответ: из 17кг свежих грибов
получится 2кг сушеных; чтобы получить 3,4кг
сушеных грибов, надо взять 28,9кг свежих.

Задача № 573

Свежий виноград содержит 90% воды, а
изюм – 55%. Сколько изюма получится из 13,5кг
винограда? Сколько винограда надо взять, чтобы
получить 10кг изюма?

Задача №575

На столе лежал расколотый арбуз массой
10кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время
часть воды испарилась, и ее процентное
содержание в арбузе понизилась до 96%. Найдите
новую массу арбуза.

Решение:

0,04х = 0,1,
х = 2,5.

Ответ: 2,5кг – новая масса арбуза

Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова “Сборник
заданий для подготовки к итоговой аттестации в
9-м классе”

Задача № 7.29(1)

Влажность свежескошенной травы 60%,
сена 20%. Сколько сена получится из 1т
свежескошенной травы?

Задача № 7.29.(2)

Влажность свежих грибов 90%, а сухих –
15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?

Введение

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике “Математика, 5«,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема «Проценты» изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три. В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н задач на проценты и процентную концентрацию черыре. Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в 2003, 2004, 2005 годах. Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы[5], я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.

Задачи исследования:

1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. 
2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 
3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. 
4) Выявить практическое применение таких задач.
5) Определить план дальнейшей работы над темой.

Практическая значимость работы. Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты»

В данной главе приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе. 

Обращаем внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее. Мы же видим свою задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты.

1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля — копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название — процент. Значит одна копейка — один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра.

Один процент — это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 * а 

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.

Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах — 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%

Ответ: 110%

Пример. 

Ответ: 66 2/3 %, 40 %.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение: 1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2) = 85% сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х — 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%. 

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

Решение. Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов — это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

1.2. Решение задач на понятия «процентное содержание», «концентрация», «%-й раствор».

Процентное содержание. Процентный раствор.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к — концентрация вещества; р — процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

1.3. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение. Если а (рублей) — размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской?

Решение. Если х — январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

(1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 —100=84-100= −16(%), т.е. цена упала на 16 %

Ответ: цена упала на 16%.

Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.

Глава 2. Разные задачи на проценты ( с решениями)

В данной главе рассматривается выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.

2.1 Тестовые задания на проценты.

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг.

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?

Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.

Ответ. 1руб. 50 коп

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.

Ответ. Да.

Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Решение. Пусть данная дробь, новая дробь. , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%

Ответ. 40%

Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий — 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

Решение. Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р —0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.

Ответ. 31,5%

Задача 9. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Решение. 6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га — это половина луга, весь луг 20 га

Ответ. 20 га

Задача 10. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

Решение. АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ — площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится на 9%

Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков

Ответ. 125%

Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х — объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 13. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.

Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В, в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена. В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.

2003. Тренировочный вариант. Задание В7

Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?

Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда р=10%

Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.

2003. Демонстрационный вариант. Задание В7

Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов, владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?

Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки снизил цену на 20%.

Ответ: 20%

2003. ЕГЭ

Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р —коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%.

Ответ: 25%

2003. ЕГЭ

К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;

2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе;

3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе.

Ответ: 32%

2003. ЕГЭ

За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?

Решение. Пусть А- первоначальный размер стипендии, 1,1А — размер стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент увеличения. Так как за год стипендия увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что означает , что стипендия во 2 полугодии составляет 120% стипендии 1 полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20%

Ответ: на 20%.

2004. ЕГЭ

Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток — 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке.

2) 240+60=300(г) —масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение 0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100

Ответ: 100г.

2004 ЕГЭ

Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав — 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г, тогда получаем уравнение.

225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1-0,82)*300, откуда х=430г

Ответ: 430г

ЕГЭ 2004

В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% — ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.

Решение. 200*0,8=160(г)-масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г раствора, осталось (200-х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а концентрация

[(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г).

Ответ: провизор добавил 50г воды.

ЕГЭ 2004

В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта.

Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60%

Ответ: 60%

ЕГЭ 2005

Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?

Решение. А- первоначальное количество жителей Таганрога. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем

А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000

Ответ: 280000 чел

ЕГЭ 2005

Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?

Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л.

Ответ: 4,5 л

Демонстрационный вариант 2007

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет на счете в конце 1 года. Пусть х руб. положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету было не менее 10000 руб, нужно положить не менее12 40руб.

Ответ: 1240 руб.

Заключение

Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле. Можно провести сравнительный анализ банковских процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература

1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ: Наука, 1992.

4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

5. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001

6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.

[1] «Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337

[2] «Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001, с.215, 223

[3] «Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.

[4] «Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.

«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г.» М: Центр тестирования, 2004.

«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006», М: Центр тестирования, 2005.

[5] «Конкурсные задачи по математике», Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., М: Наука, 1992, с330-332.

«В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2004, с 53-64

«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005, с. 46-51

Автор: Валентина Молибоженко

---

---

Смесь, состоящая из частиц растворителя, растворяемого вещества и продуктов их взаимодействия, называется раствором. Это гомогенные структуры однородной консистенции, состоящие из двух либо нескольких компонентов. Решение задач на растворы – определение их концентрации, степени растворимости веществ, условий протекания растворообразующих процессов.

Задачи на растворы по химии

Чистое вещество либо смесь нескольких компонентов, попадая в растворитель, могут проявлять свойства:

• хорошей растворимости;
• малой растворимости;
• быть нерастворимыми.

При растворении в воде образуются многочисленные атомно-молекулярные связи. Их количество зависит от коэффициента растворимости – химической величины, которая рассчитывается путем деления массы растворяемого вещества на массу растворителя.

Кроме этого, в задачах могут присутствовать массовая доля вещества, растворенного в соответствующем растворителе.

Как решать задачи с процентными растворами

Растворы с выраженной концентрацией активного (растворенного) вещества носят название процентных. В задачах по химии ставятся цели определить содержание массы растворенного вещества, массы образовавшегося либо первоначального раствора, процентного содержания вещества до или после растворения.  

Растворы, о которых идет речь в задачах по химии, обладают общими свойствами:

• они однородны;
• смешивание компонентов происходит за малый отрезок времени, как и изменение их концентрации;
• в результате смешивания двух (или более) растворов с различной концентрацией, происходит не только увеличение общей массы и объема раствора, но и усреднение процентного содержания растворенного вещества.

Поэтому существуют общие принципы их решения. Так, увеличение концентрации происходит в результате упаривания (испарения растворителя), а уменьшение – разбавления. В результате смешения может наблюдаться как увеличение, так и уменьшение, в зависимости от конкретных условий задачи.

В любом случае характеристики начального и конечного продуктов будут различаться, поэтому важно, данные в условии сведения не перепутать. Для этого применяется их нумерация.

Чтобы грамотно составить алгоритм решения, часто бывает полезно использовать уравнение химической реакции относительно активного вещества либо кислоты.

Концентрация растворов и способы ее выражения

На бытовом уровне понятие концентрации раствора выражается в отношении массы растворенного вещества к массе раствора, выраженном в процентах. Однако правомерно более широкое определение, охватывающее различные способы выражения концентрации.

Концентрация раствора – количественный показатель состава активного вещества в растворе, выраженное в определенных единицах и заключенное в единице массы или объема. Выражается в долях, процентах, массовых долях, молярности, мольных долях, титрах. Из них чаще применяются молярность и мольная доля.

1. О массовой доле ((omega)) идет речь в задачах, когда можно составить соотношение масс растворенного компонента и всего раствора. Для ее выражения существует формула:

(omega=M_{в-ва}div M_{р-ра})

Выражается она в процентах либо долевых частях единицы.

2. Молярность (по-другому – молярная концентрация) или (С) показывает сколько молей растворяемого компонента содержится в литре раствора. Ее формула имеет вид:

(С=ndiv V)

где (n) – это растворенное вещество в молях. Исходя из его значения, раствор может быть одномолярным (содержит 1 моль в 1 литре), децимолярным (0,1 моля в 1 л), сантимолярным (0,01 моль) и т.д.  

3. Концентрация моляльная (обозначается (С_х)) – моляльность – показатель количества (n) молей растворенного компонента в 1 кг растворителя ((M_{р-ля})).

(C_x=ndiv M_{р-ля})

4. Для определения содержания (в граммах) вещества в 1 л раствора применяется понятие «титр» ((Т)).

(T=M_{в-ва}div V_{р-ра})

5. Под растворимостью ((S)) понимают максимальную массу растворяемого вещества, способного раствориться в 100 г растворителя:

(S=(M_{в-ва}div M_{р-ля})times100 {})

6. Коэффициент растворимости ((K_s)) – показатель, который определяется отношением массы вещества к массе растворителя при условии получения насыщенного раствора при обозначенной температуре:

(K_s=M_{в-ва}div M_{р-ля})

Решение задач на упаривание растворов

Выпаривание раствора происходит в результате испарения воды, что ведет за собой уменьшение общего объема и массы. В то же время масса растворенного вещества остается без изменений. Существуют случаи, когда, кроме растворителя, испаряется растворенное вещество, если оно обладает повышенной летучестью.

Пример. Водный раствор аммиака

Рассмотрим пример решения задачи на упаривание.

Условие: В наличии 800 г раствора с 15%-ной концентрацией определенного вещества. Нужно увеличить его массовую долю на 5%. Сколько г воды должно испариться?

Этапы решения:

1. Какова масса вещества в первичном растворе?

(M_в=omega_вtimes M_р=0,15×800=120)г, где (M_в) – масса вещества, (M_р) – масса раствора

Найденное значение останется постоянным, поскольку при выпаривании изменения массы растворенного вещества не происходит. Значит M’=120г

2. (M_р=M_вdivomega_в= 120÷0.2=600)г

3. Теперь можно найти массу испаренной воды:

(M{исп;в}=M_р-M’=800-600=200)г

Решение задач на разбавление растворов

В результате процесса разбавления масса того вещества, которое растворено, не меняется в отличие от массы всего раствора и растворителя.

Задача

Масса имеющегося раствора NaCl 200г, его концентрация – 15%. К раствору добавлено 40г воды. Определить массовую долю NaCl в конце реакции.

Решение

1. Определение массы раствора в конце процесса:

(M’=M_{р-ра}+M_{добH2O}=240)г

2. Определение массы NaCl в начале процесса:

(M_{NaCl}=(omega_{NaCl}times M_р)div100%=15%times200гdiv100%=30 {})г

В конечном растворе (M’_ {NaCl}=M_{NaCl})

3. Определение массовой доли NaCl в конце процесса:

(omega’_{NaCl}=M_{NaCl}div M’_рtimes100%=12,5%)

Решение задач на концентрирование растворов

Повышение концентрации происходит при добавлении вещества в раствор. При этом конечная масса растворенного вещества равна сумме первоначального содержимого и того, который добавлен.

Задача. Имеется 180 г раствора с 8%-ной концентрацией соли (формула NaCl). В этот раствор всыпали еще 20 г поваренной соли. Какая массовая доля NaCl получилась в конце реакции?

Решение

1. Определение окончательной массы раствора:

(M’_р=M_р+M_{доб}=200)г

2. Определение конечной массы NaCl:

M’=M+Mдоб

Следовательно, нужно найти (M) – массу в начале процесса. 

(M=(omega_{NaCl}times M_р)÷100%=14,4)г

Тогда (M’=14,4г+20г=34,4)г

3. Определение массовой доли NaCl в конечном продукте:

(omega’=M’_{NaCl}div M’_рtimes100%=17,2%)

Решение задач на смешение растворов

Смешение растворов с различной концентрацией растворенного вещества происходит с соблюдением «конверта Пирсона». Это – диагональная модель, при которой нельзя складывать массовые доли, а можно – лишь массы растворенных компонентов и растворов.

Задача

Дано два раствора с массами (M) и (M_1). Массовые доли растворенного вещества обозначим соответственно (ω) и (ω_1). В конечном продукте аналогичная величина – (ω_3). Необходимо приготовить третий раствор с отличной от имеющихся концентраций.

Решение

1. Определение общей массы растворенного вещества:

(M_1omega_1+M_2omega_2=omega_3(M_1+M_2))

2. Математические действия:

(M_1(omega_1-omega_3)=M_2=(omega_3-omega_2))

(M_1div M_2=(omega_3-omega_2)div(omega_1-omega_3))

Следовательно, согласно этому математическому выражению, и нужно взять соотношение растворов.

Задачи на определение процентной концентрации раствора

Задача 1

Какая процентная концентрация раствора (KNO_3), если нормальная равна (0,2) моль/л. Плотность равна (1) г/мл.

Решение:

1. Определение массы раствора объемом (1000) мл:

(M=rhotimes V=1times1000=1000)г

2. Составление и решение следующей пропорции:

(20,0)г (KNO_3) – (1000) г раствора

(Х_г) – (100) г раствора

(Х=2,02) г или (ω=2,02%)

Задача 2

Нужно приготовить (300) г 25%-ного раствора соли, имея 60%-ный и 10%-ный. Сколько нужно взять таких компонентов (m1 и m2)?

Для решения применим правило Креста:

1. Определение веса одной из 50-ти частей образуемого раствора:

(300div5=6)

2. Определение массы каждой части (m_1) и (m_2):

(m_1=6times15=90)

(m_2=6times35=210)

Задача 3

Используя 250г 45%-ного раствора соли, нужно понизить его концентрацию до 10%. Сколько воды необходимо использовать?

Концентрация соли в воде, используемой в качестве добавки, равна 0.

По методу креста образуется 45 частей раствора:

Решение

1. Масса одной части первичного раствора равна: (250div10=25)г

2. Определение массы воды, что необходима: (25times35=875)г

С целью проверки можно выполнить следующие действия:

1. Определение массы конечного продукта-раствора:

(875+25=1125г)

2. Для исходного раствора действует пропорция:

В 250г 40%-ного р-ра содержится Хг соли

в 100 г – 45г

Отсюда Х=112,5 г соли

3. Определение конечной концентрации раствора:

 1125 г раствора – 112,5 соли

100г – Х

Х=10г или 10%

Следовательно, нужно взять 875 г воды.

Решать задачи на растворы – интересное занятие! Знание основных закономерностей будет полезно с теоретической и практической точек зрения. Однако бывают случаи, когда нужно быстро сдать контрольную либо перепроверить собственные решения. Тогда можно обратиться на сайт ФениксХелп.