Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 октября 2021 года; проверки требуют 7 правок.
Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.
Обозначается через ![{mathbb {E}}[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa)
[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert);
в русскоязычной литературе также встречается обозначение ![M[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b00856eb008c4ea9bc42894bb2bfa0b8605ac2)
(возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение 
.
Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятности «единицы». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определенного кол-ва единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np[3].
Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.
На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.
Определение[править | править код]
Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]
Пусть задано вероятностное пространство 
и определённая на нём случайная величина 
. То есть, по определению, 
— измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству 
, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{Omega }!X(omega ),mathbb {P} (domega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c47eba9464e1dfddc4436d9220183b3ba849a36)
Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]
Если 
— функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
![{displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!x,dF_{X}(x)}](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%200%200'%3E%3C/svg%3E)
, .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!x,dF_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b4798954e081221a3693f8e75ddc6edbba6e8c)
Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]
Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью 
, равно
- .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5df9b7d5a6627fabb034a1aeb5edf03f39085ea)
Определение для дискретной случайной величины[править | править код]
Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение
- , ,
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
- .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=sum limits _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c71fe1d2fc122fd23422f849bd71251b36ec80f)
Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]
- Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
- , , ,
то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности 
как значение первой производной в единице: ![{displaystyle mathbb {E} [X]=P'(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2e607e95b3f1066a982f9ef824e923f80b3d13)
. Если математическое ожидание бесконечно, то 
и мы будем писать ![{displaystyle P'(1)=mathbb {E} [X]=infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcae4173f7ad0f9e03a817d06b36745b5110c8c)
Теперь возьмём производящую функцию 
последовательности «хвостов» распределения 
- ,
Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией 
свойством: 
при 
. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
![{displaystyle mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d04bcab881398d2122f343fdca9ae068506f71)
Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]
Пусть 
— случайный вектор. Тогда по определению
- ,
![{displaystyle mathbb {E} [X]=(mathbb {E} [X_{1}],dots ,mathbb {E} [X_{n}])^{top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df0f66ebaa61250bd3ff312ffd8a82b4b3eeca3)
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]
Пусть 
— борелевская функция, такая что случайная величина 
имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула
![{displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=sum limits _{i=1}^{infty }g(x_{i})p_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffa946f68de20938beb982930e5d0d6d24ff382)
если имеет дискретное распределение;
![{displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x)f_{X}(x),dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bad706ef5dc04debc41d2b52b661a8d2fdabd06)
если имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение 
случайной величины общего вида, то
![{displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x),mathbb {P} ^{X}(dx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b937706506d22524d36d963e9a1ae3a0a2b95a89)
В специальном случае, когда 
, математическое ожидание ![{displaystyle mathbb {E} [g(X)]=mathbb {E} [X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304b08ae7de9b67c4c7c2a71c3e0e4129b89afbf)
называется 
-м моментом случайной величины.
Свойства математического ожидания[править | править код]
- Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.
-
- — константа;
![{displaystyle mathbb {E} [a]=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b471aa432eab6dd8656039224530737a66e7f9)
- Математическое ожидание линейно[4], то есть
-
- ,
- где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;
![{displaystyle mathbb {E} [aX+bY]=amathbb {E} [X]+bmathbb {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f83f47490968b9a9cda0fe680e6a5b338c69107)
В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно — разности) их математических ожиданий.
-
- .
![{displaystyle 0leqslant mathbb {E} [X]leqslant mathbb {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7f723c5c5be286fc7cc10b6b5e45cda3fc409f)
- Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то
-
- .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=mathbb {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be5e6e91e583340e8a743e96ba7a6b5f324cc09)
- Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных[5] случайных величин равно произведению их математических ожиданий
-
- .
![{displaystyle mathbb {E} [XY]=mathbb {E} [X]cdot mathbb {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be69189c0c41bbba79a6d69409c8fac14d9914a8)
Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]
Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины 
определённой на вероятностном пространстве 
с конечным математическим ожиданием 
выполняется неравенство:
- , где .
Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, 
— выпуклая борелевская функция, такие, что 
, то
- .
Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]
- .
- .
Примеры[править | править код]
- Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание
![{displaystyle mathbb {E} [X]={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dff7b25a47f89fa59d7adade8131b235aeeecc)
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- .
![{displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{a}^{b}!{frac {x}{b-a}},dx={frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c562c6dc39ede28c8636333e5a2e8c6f709d5733)
- Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда
- ,
то есть математическое ожидание не определено.
См. также[править | править код]
- Дисперсия случайной величины
- Моменты случайной величины
- Условное математическое ожидание
Примечания[править | править код]
- ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — : «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
- ↑ А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — : МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
- ↑ В.Е.Гмурман. Часть вторая. Случайные величины. ->
Глава 4. Дискретные случайные величины. ->
Параграф 3. // [http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ]. — 1979. — С. 63. — 400 с. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine - ↑ Пытьев Ю. П., Шишмарев И. А., Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический факультет МГУ, 2010.
- ↑ Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках. sernam.ru. Дата обращения: 10 января 2018. Архивировано 10 января 2018 года.
Литература[править | править код]
- Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.
Ссылки[править | править код]
- Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru
Определение
1.
Математическим
ожиданием непрерывной случайной величины
X
с
плотностью
вероятности
f(х)
называют величину несобственного
интеграла (если он сходится):
Определение
2.
Дисперсией
непрерывной случайной величины X,
математическое ожидание которой М(Х)
= а и
функция
f(х)
является
ее плотностью вероятности, называется
величина несобственного интеграла
(если он сходится):
Можно показать,
что математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины имеют
те же свойства, что и математическое
ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины.
Для
непрерывной случайной величины X
среднее
квадратическое отклонение
(Х)
определяется, как и для дискретной
величины, формулой
.
Пример
4.
Случайная величина X
задана плотностью вероятности
Определить
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
величины X.
Решение.
Согласно
определениям 1 и 2
и,
наконец,
4.5. Некоторые законы распределения случайных величин
1.
Биномиальное распределение. Пусть
производится п
испытаний,
причем вероятность появления события
А
в
каждом испытании равна р
и
не зависит от исхода других испытаний
(независимые испытания). Так как
вероятность наступления события А
в
одном испытании равна р,
то вероятность его ненаступления равна
q
= 1
р.
Найдем
вероятность того, что при n
испытаниях событие А
наступит
т
раз
(т
п).
Пусть
событие А
наступило
в первых т
испытаниях
т
раз
и не наступило во всех последующих
испытаниях. Это сложное событие можно
записать в виде произведения:
Общее
число сложных событий, в которых событие
А
наступает
т
раз,
равно числу сочетаний из п
элементов
по т
элементов.
При этом вероятность каждого сложного
события равна: pmqn–m.
Так
как эти сложные события являются
несовместимыми, то вероятность их суммы
равна сумме их вероятностей. Итак, если
Рп(т)
есть
вероятность появления события А
т раз
в п
испытаниях,
то
или
(1)
Формулу
(1) называют формулой
Бернулли.
Пример
1.
Пусть всхожесть семян данного растения
составляет 90%. Найти вероятность того,
что из четырех посеянных семян взойдут:
а) три; б) не менее трех.
Решение.
а) В данном случае n
= 4, т
= 3,
р
= 0,9,
q
= 1
p
= 0,1.
Применим
формулу
Бернулли
(1):
б)
Здесь событие А
состоит
в том, что из четырех семян взойдут или
три, или четыре. По теореме сложения
вероятностей
.
Но Р4(4)
=
(0,9)4
=
0,6561. Поэтому Р(А)
= 0,2916
+ 0,6561 = 0,9477.
Снова
рассмотрим n
независимых испытаний, в каждом из
которых наступает событие А
с
вероятностью р.
Обозначим
через X
случайную
величину, равную числу появлений события
А
в
п
испытаниях.
Понятно,
что событие А
может
вообще не наступить, наступить один
раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить
п
раз.
Следовательно, возможными значениями
величины X
будут
числа 0, 1, 2, …, n
1, п.
По
формуле Бернулли можно найти вероятности
этих значений:
Запишем полученные
данные в виде таблицы распределения:
|
0 |
1 |
… |
m |
… |
n |
|
|
p |
qn |
|
… |
|
… |
pn |
Построенный
закон распределения дискретной случайной
величины X
называют
законом
биномиального распределения.
Найдем
М(Х).
Очевидно,
что Xi
число
появлений события А
в
каждом испытании
представляет собой случайную величину
со следующим распределением:
|
Xi |
0 |
1 |
|
pi |
q |
p |
Поэтому
М(Хi)
=
.
Но
так как X
=
Х1
+ … +Хn,
то
М(Х)
= пр.
Найдем далее D(X)
и
(Х).
Так
как величина
имеет
распределение
|
Xi2 |
02 |
12 |
|
pi |
q |
p |
то
M(Xi2)=
.
Поэтому
Наконец,
в силу независимости величин X1,
X2,
…, Хn,
Отсюда
Пример
2.
Случайная величина X
определена
как число выпавших гербов в результате
100 бросаний монеты. Вычислить математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение X.
Решение.
Вероятность появления герба в каждом
бросании монеты
.
Следовательно, вероятность непоявления
герба
.
Случайная
величина X
имеет
биномиальное распределение при п
= 100
и
.
Поэтому
Пример
3.
Допустим, что для хищника вероятность
поимки отдельной жертвы составляет 0,4
при каждом столкновении с жертвой.
Каково ожидаемое число пойманных жертв
в 20 столкновениях?
Решение.
Это пример биномиального распределения
при п
= 20
и р
= 0,4.
Ожидаемое число есть М(Х)
= пр =
=
=8.
2.
Локальная и интегральная предельные
теоремы Лапласа. Если
число испытаний п
велико,
то вычисления по формуле Бернулли
становятся затруднительными. Лаплас
получил важную приближенную формулу
для вероятности Рn(т)
появления
события А
точно
m
раз, если п
достаточно
большое число. Им же получена приближенная
формула и для суммы вида
.
Локальная
предельная теорема Лапласа.
Пусть р=Р(А)
вероятность события А, причем 0
< р
< 1.
Тогда вероятность того, что в условиях
схемы Бернулли событие А при п испытаниях
появится точно т раз, выражается
приближенной формулой Лапласа
(2)
где
Для
функции
имеется
таблица (см. приложение 1) ее значений
для положительных значений х
(функция
четная).
Пример
4.
Вероятность поражения цели стрелком
при одиночном выстреле равна р
= 0,2.
Какова вероятность того, что при 100
выстрелах цель будет поражена ровно 20
раз?
Решение.
Здесь р
= 0,2, q
= 0,8,
n
= 100 и т
= 20.
Отсюда
и, следовательно,
.
Учитывая,
что
,
из формулы (2) получаем
(для
получения приближен-ного равенства
можно использовать калькулятор).
Перейдем
к интегральной
предельной теореме
Лапласа.
Поставим следующий вопрос, какова
вероятность того, что в условиях схемы
Бернулли событие А,
имеющее
вероятность Р(А)
= р (0 < р
< 1), при п
испытаниях
(как и прежде, число испытаний велико)
появится не менее k
раз и не
более l
раз. Эту искомую вероятность обозначим
через Pn(k,
l).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
01.05.2022204.8 Кб0Учебники 6027.doc
- #
Как найти математическое ожидание?
Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.
Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Понравилось? Добавьте в закладки
Формула среднего случайной величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Пример нахождения математического ожидания
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.
Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$
Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.
Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.
Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$
Другие задачи с решениями по ТВ
Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей
Вычисление математического ожидания онлайн
Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.
- Введите число значений случайной величины К.
- Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
- Нажмите на кнопку “Вычислить”.
- Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)
Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Полезные ссылки
А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:
Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.
Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.
Случайная величина может быть двух типов:
- Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
- Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:
Где:
М — математическое ожидание,
X — случайная величина,
p — вероятность появления случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет “1” — 1/6, “2” — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).
Для непрерывной случайной величины используется эта формула:
Где:
М — математическое ожидание
f (x) — функция (которая будет предоставлена в условии задачи)
x — случайная величина
dx — элемент интегрирования
В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.
Примеры вычисления математического ожидания
Кратко:
- если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
- если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.
Пример 1
Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:
| xi | −1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,3 |
Используется формула для дискретной случайной величины:
M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2
Пример 2
Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.
Используется формула для непрерывной случайной величины:
Пример 3
Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
Используется формула для дискретной случайной величины:
M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6
Пример 4
Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.
Используется формула для непрерывной случайной величины:
Узнайте больше про Интегралы.
Основные свойства математического ожидания
- Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
- Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
- Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
- Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
- Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).
Узнайте больше про Теорию вероятностей.
Непрерывная случайная величина
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Случайная величина называется непрерывной, если ее функция
распределения
непрерывно дифференцируема. В этом случае
имеет производную, которую обозначим через
– плотность распределения вероятностей.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной
величины
называются функцию
– первую производную от функции распределения
:
Из этого определения следует, что функция распределения является
первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной
случайной величины плотность распределения неприменима.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу
равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от
до
.
Зная плотность распределения
,
можно найти функцию распределения
по формуле:
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
,
возможные значения которой принадлежат всей оси
,
определяется равенством:
где
– плотность распределения случайной величины
.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
,
то:
Все свойства математического ожидания, указанные для
дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Дисперсия непрерывной случайной величины
,
возможные значения которой принадлежат всей оси
,
определяется равенством:
или равносильным равенством:
В частности, если все возможные значения
принадлежат интервалу
,
то
или
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных
величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Среднее квадратическое отклонение
непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной
величины:
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится
сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
- Нормальный закон распределения СВ
- Показательный закон распределения СВ
- Равномерный закон распределения СВ
Примеры решения задач
Пример 1
Дана
функция распределения F(х) непрерывной случайной величины
Х.
Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Плотность
распределения вероятностей:
Математическое
ожидание:
Дисперсию
можно найти по формуле:
Вероятность
попадания на отрезок:
Построим графики функций F(x) и f(x).
График плотности
распределения
График функции
распределения
Пример 2
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу c, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины X, а также вероятность ее попадания в интервал [0;0,25].
Решение
Константу
определим,
используя свойство плотности вероятности:
В нашем случае:
Найдем математическое
ожидание:
Найдем дисперсию:
Искомая дисперсия:
Найдем функцию
распределения:
для
:
для
:
для
:
Искомая функция
распределения:
Вероятность попадания
в интервал
:
Пример 3
Плотность
распределения непрерывной случайной величины
имеет вид:
Найти:
а)
параметр
;
б)
функцию распределения
;
в)
вероятность попадания случайной величины
в интервал
г)
математическое ожидание
и дисперсию
д)
построить графики функций
и
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
а)
Постоянный параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В нашем
случае эта формула имеет вид:
б)
Функцию распределения
найдем из
формулы:
Учитывая
свойства
, сразу можем отметить,
что:
Остается
найти выражение для
, когда
принадлежит
интервалу
:
Получаем:
в)
Вероятность
попадания случайной величины
в интервал
:
г)
Математическое ожидание находим по формуле:
Для
нашего примера:
Дисперсию
можно найти по формуле:
Среднее
квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
д) Построим графики
и
:
График плотности вероятности f(x)
График функции распределения F(x)
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
НСВ на всей
числовой оси oX задана интегральной функцией:
Найти
вероятность, что в результате 2 испытаний случайная величина примет значение,
заключенное в интервале (0;4).
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 2
Дана
дифференциальная функция непрерывной СВ Х. Найти: постоянную С, интегральную
функцию F(x).
Задача 3
Случайная
величина Х задана функцией распределения F(x):
а) Найти
плотность вероятности СВ Х – f(x).
б) Построить графики
f(x), F(x).
в) Найти вероятность
попадания НСВ в интервал (0; 3).
Задача 4
Дифференциальная
функция НСВ Х задана на всей числовой оси ОХ:
Найти:
а) постоянный
параметр С=const;
б) функцию
распределения F(x);
в) вероятность
попадания в интервал -4<X<4;
г) построить
графики f(x), F(X).
Задача 5
Случайная величина
Х задана функцией распределения F(x):
а) Найти
плотность вероятности СВ Х – f(x).
б) Построить
графики f(x), F(x).
в) Найти
вероятность попадания НСВ в интервал (0;π⁄2).
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 6
НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)
а) постоянный
параметр С=const;
б) функцию
распределения F(x);
в) вероятность
попадания в интервал -1<X<1;
г) построить
графики f(x), F(X).
Задача 7
Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:
а) найти
параметр C;
б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную
функцию f(x), а при заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную
функцию F(x);
в)
построить графики функций F(x) и f(x);
г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(X);
д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b);
е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;
ж)
вычислить квантиль порядка p
Задание 8
Дана
интегральная функция распределения случайной величины X. Найти дифференциальную
функцию распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение.
Задача 9
Случайная
величина X задана интегральной функцией распределения
Найти
дифференциальную функцию, математическое ожидание и дисперсию X.
Задача 10
СВ Х
задана функцией распределения F(x). Найдите вероятность
того, что в результате испытаний НСВ Х попадет в заданный интервал (0;0,5).
Постройте график функции распределения. Найдите плотность вероятности НСВ Х и
постройте ее график. Найдите числовые
характеристики НСВ Х, если
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
