Как найти мат ожидание произведения случайных величин - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В заметке рассмотрены основные свойства математического ожидания и дисперсии с доказательствами.

В статье приняты следующие обозначения:

(a ) — неслучайная величина (константа)

(X, Y ) — случайные величины

(M[X]) — Математическое ожидание X

(D[X]) — Дисперсия X

Математическое ожидание

Математическое ожидание неслучайной величины

[ M[a] = a]

Доказательство:

Доказать, это достаточно очевидное, свойство можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

[ M[a] = a * 1 = a ]

Математическое ожидание линейно

[ M[aX + bY] = aM[X] + bM[Y]]

Доказательство вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания

[ M[aX] = a M[X] ]

Доказательство прямо следует из линейности суммы и интеграла.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых.

Для дискретных величин

[ M[aX] = sum_{i} a x_i p _i = a sum_{i} x_i p_i = a M[X]]

Для непрерывных величин

[ M[aX] = intop_{ infty }^{infty} a x f(x) dx = a intop_{ infty }^{infty} x f(x) dx = a M[X]]

Доказательство математического ожидания суммы случайных величин

а) Пусть ((X, Y) ) — система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:

[ M[X + Y] = sum_{i} sum_{j} (x_i + y_i) p_{ij} \
= sum_{i}sum_{j} x_i p_{ij} + sum_{i}sum_{j} y_i p_{ij} \
= sum_{i} x_isum_{j} p_{ij} + sum_{j} y_jsum_{i} p_{ij} ]

Но (sum_{j} p_{ij} ) представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина (X ) примет значение (x_i ):

[ sum_{j} p_{ij} = P(X = x_i) = p_i ]

следовательно,

[ sum_{i} x_isum_{j} p_{ij} = sum_{i} x_i p_i = M[X] ]

Аналогично докажем, что

[ sum_{j} y_jsum_{i} p_{ij} = M[Y] ]

б) Пусть ((X, Y) ) — система непрерывных случайных величин.

[ M[X + Y] = int intop_{ infty }^{infty } (x+y) f(x,y) dx dy = int intop_{ infty }^{infty } x f(x,y) dx dy + int intop_{ infty }^{infty } y f(x,y) dx dy ]

Преобразуем первый из интегралов:

[ int intop_{ infty }^{infty } x f(x,y) dx dy = intop_{ infty }^{infty } x (intop_{ infty }^{infty } f(x,y)dy) dx = intop_{ infty }^{infty } x f_1(x) dx = M[X] ]

аналогично второй:

[ int intop_{ infty }^{infty } y f(x,y) dx dy = M[X] ]

Математическое ожидание произведения

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

[ M[XY] = M[X] M[Y] + cov(XY)]

для независимых величин:

[ M[XY] = M[X] M[Y] ]

Доказательство

Будем исходить из определения корреляционного момента:

[ cov(X,Y) = M[ stackrel{ circ }{X} stackrel{ circ }{Y} ] = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] ]

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

[ cov(X,Y) = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] = \
M[XY] — M[X] M[Y] — M[Y]M[X] + M[X]M[Y] = \
M[X Y] — M[X] M[Y] ]

что, очевидно, равносильно доказываемому соотношению

Дисперсия

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

[ D[X] = M[X^2] — (M[X])^2 ]

Дисперсия не зависит от знака

[ D[-X] = D[X] ]

Дисперсия суммы случайной и постоянной величин

[ D[X+b] = D[X] ]

Дисперсия неслучайной величины

[ D[a] = 0 ]

Доказательство:

По определению дисперсии:

[ D[a] = M[stackrel{ circ }{a^2}] = M[a — M[a]^2 ] = M[(a-a)^2] = M[0] = 0]

Дисперсия суммы случайных величин

[ D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2*cov(X,Y) ]

Доказательство:

Обозначим (XY = Z ).

По теореме сложения математических ожиданий:

[ M[Z] = M[X] + M[Y] ]

Перейдем от случайных величин (X, Y, Z ). к соответствующим центрированным величинам (stackrel{ circ }{X}, stackrel{ circ }{Y}, stackrel{ circ }{Z} ), имеем:

[ stackrel{ circ }{Z} = stackrel{ circ }{X} + stackrel{ circ }{Y} ]

По определению дисперсии

[ D[X+Y] = D[Z] = M[stackrel{ circ }{Z}^2] = M[stackrel{ circ }{X}^2] + 2M[stackrel{ circ }{X} stackrel{ circ }{Y}] + M[stackrel{ circ }{Y}^2] \
= D[X] + 2 cov(X,Y) + D[Y] ]

Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную

[ D[aX] = a^2 D[X]]

Доказательство:

По определению дисперсии

[ D[aX] = M[(a X — M[a X])^2] = M[(a X — a M[X])^2] = a^2 M[(X — M[X])^2] = c^2 D[X] ]

Дисперсия произведения независимых величин

[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]]

Доказательство:

Обозначим (XY = Z ). По определению дисперсии

[ D[XY] = D[Z] = M[Z^2] = M[Z-M[Z]]^2]

Так как величины (XY) независимы, то (M[Z] = M[X]M[Y]) и

[ D[XY] = M[(XY — M[X]M[Y])^2] \

= M[X^2 Y^2] — 2M[X]M[Y]M[XY]+ M[X]^2M[Y]^2 ]

При независимых (XY) величины (X^2Y^2) также независимы, следовательно:

[ M[X^2 Y^2] = M[X^2] M[Y^2], M[XY] = M[X]M[Y]]

[ D[XY] = M[X^2]M[Y^2] — M[X]^2M[Y]^2 ]

но (M[X]^2) есть не что иное, как второй начальный момент величины (X) , и, следовательно, выражается через дисперсию:

[ M[X^2] = D[X]+M[X]^2 ]

аналогично

[ M[Y^2] = D[Y]+M[Y]^2 ]

Подставляя эти выражения и приводя подобные члены, приходим к формуле

[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]]

Источник

Лекция 7.

Основные числовые характеристики
дискретных и непрерывных случайных
величин: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения
и ряд распределения или плотность
веро-ятности) полностью описывают
поведение случайной величины. Но в ряде
задач доста-точно знать некоторые
числовые характеристики исследуемой
величины (например, ее среднее значение
и возможное отклонение от него), чтобы
ответить на поставленный во-прос.
Рассмотрим основные числовые характеристики
дискретных случайных величин.

Математическое
ожидание.

Определение 7.1. Математическим
ожиданием дискретной случайной
величины называ-ется сумма произведений
ее возможных значений на соответствующие
им вероятности:

М(Х) = х₁р₁
+ х₂р₂ + … + х_пр_п
. (7.1)

Если число возможных значений случайной
величины бесконечно, то
,
если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание
называют иногда взвешенным средним,
так как оно приближенно равно среднему
арифметическому наблюдаемых значений
случайной величины при большом числе
опытов.

Замечание 2. Из определения
математического ожидания следует, что
его значение не меньше наименьшего
возможного значения случайной величины
и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание
дискретной случайной величины есть
неслучай-ная (постоянная) величина.
В дальнейшем увидим, что это же справедливо
и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание
случайной величины Х – числа
стандартных деталей среди трех, отобранных
из партии в 10 деталей, среди которых 2
бракованных. Составим ряд распределения
для Х. Из условия задачи следует,
что Х может принимать значения 1, 2,
3.

Тогда

Пример 2. Определим математическое
ожидание случайной величины Х –
числа бросков монеты до первого появления
герба. Эта величина может принимать
бесконечное число значений (множество
возможных значений есть множество
натуральных чисел). Ряд ее распределения
имеет вид:

Х	1	2	…	п	…
р	0,5	(0,5)²	…	(0,5)^п	…

Тогда
..+

+
(при вычислении дважды использовалась
формула суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
,
откуда
).

Свойства
математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной
равно самой постоянной:

М(С) = С.
(7.2)

Доказательство. Если рассматривать С
как дискретную случайную величину,
принимающую только одно значение С
с вероятностью р = 1, то М(С)
= С·1 = С.

Постоянный множитель можно выносит за
знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х).
(7.3)

Доказательство. Если случайная величина
Х задана рядом распределения

x_i	x₁	x₂	…	x_n
p_i	p₁	p₂	…	p_n

то ряд распределения для СХ имеет
вид:

Сx_i	Сx₁	Сx₂	…	Сx_n
p_i	p₁	p₂	…	p_n

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁
+ Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п
= С( х₁р₁ + х₂р₂
+ … + х_пр_п) =
СМ(Х).

Определение 7.2. Две случайные величины
называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит
от того, какие значения приняла другая.
В противном случае случайные величины
зависимы.

Определение 7.3. Назовем произведением
независимых случайных величин Х
и Y случайную
величину XY, возможные
значения которой равны произведениям
всех возможных значений Х на все
возможные значения Y,
а соответствующие им вероят-ности равны
произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)
= M(X)M(Y).
(7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений
ограничимся случаем, когда Х и Y
принимают только по два возможных
значения:

x_i	x₁	x₂
p_i	p₁	p₂

у_i	у₁	у₂
g_i	g₁	g₂

Тогда ряд распределения для XY
выглядит так:

ХY	x₁y₁	x₂y₁	x₁y₂	x₂y₂
p	p₁g₁	p₂g₁	p₁g₂	p₂g₂

Следовательно, M(XY)
= x₁y₁·p₁g₁
+ x₂y₁·p₂g₁
+ x₁y₂·p₁g₂
+ x₂y₂·p₂g₂
= y₁g₁(x₁p₁
+ x₂p₂)
+ + y₂g₂(x₁p₁
+ x₂p₂)
= (y₁g₁
+ y₂g₂)
(x₁p₁
+ x₂p₂)
= M(X)·M(Y).

Замечание 1. Аналогично можно доказать
это свойство для большего количества
возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо
для произведения любого числа независимых
случайных величин, что доказывается
методом математической индукции.

Определение 7.4. Определим сумму
случайных величин Х и Y
как случайную величину Х + Y,
возможные значения которой равны суммам
каждого возможного значения Х с
каждым возможным значением Y;
вероятности таких сумм равны произведениям
вероятностей слагаемых (для зависимых
случайных величин – произведениям
вероятности одного слагаемого на
условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X
+ Y) = M
(X) + M
(Y).
(7.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины,
заданные рядами распределения,
приведен-ными при доказательстве
свойства 3. Тогда возможными значениями
X + Y
являются х₁ + у₁,
х₁ + у₂, х₂
+ у₁, х₂ + у₂.
Обозначим их вероятности соответственно
как р₁₁, р₁₂, р₂₁
и р₂₂. Найдем М( Х +Y
) = (x₁ + y₁)p₁₁
+ (x₁ + y₂)p₁₂
+ (x₂ + y₁)p₂₁
+ (x₂ + y₂)p₂₂
=

= x₁(p₁₁
+ p₁₂)
+ x₂(p₂₁
+ p₂₂)
+ y₁(p₁₁
+ p₂₁)
+ y₂(p₁₂
+ p₂₂).

Докажем, что р₁₁ + р₂₂
= р₁. Действительно, событие,
состоящее в том, что X
+ Y примет значения
х₁ + у₁или х₁
+ у₂ и вероятность которого
равна р₁₁ + р₂₂,
совпадает с событием, заключающемся в
том, что Х = х₁ (его вероятность
– р₁). Аналогично дока-зывается,
что p₂₁ + p₂₂
= р₂, p₁₁
+ p₂₁ = g₁,
p₁₂ + p₂₂
= g₂. Значит,

M(X
+ Y) = x₁p₁
+ x₂p₂
+ y₁g₁
+ y₂g₂
= M (X)
+ M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует,
что сумма любого числа случайных величин
равна сумме математических ожиданий
слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание
суммы числа очков, выпавших при броске
пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа
очков, выпавших при броске одной кости:

М(Х₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое
ожидание числа очков, выпавших на любой
кости. Следовательно, по свойству 4
М(Х)=

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о
поведении случайной величины, недостаточно
знать только ее математическое ожидание.
Рассмотрим две случайные величины: Х
и Y, заданные рядами
распределения вида

Х	49	50	51
р	0,1	0,8	0,1

Y	0	100
p	0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50,
М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 =
50. Как видно, мате-матические ожидания
обеих величин равны, но если для Х
М(Х) хорошо описывает пове-дение
случайной величины, являясь ее наиболее
вероятным возможным значением (при-чем
остальные значения ненамного отличаются
от 50), то значения Y
существенно отсто-ят от М(Y).
Следовательно, наряду с математическим
ожиданием желательно знать, на-сколько
значения случайной величины отклоняются
от него. Для характеристики этого
показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией
(рассеянием) случайной величины
называется математи-ческое ожидание
квадрата ее отклонения от ее математического
ожидания:

D(X)
= M (X
– M(X))².
(7.6)

Пример.

Найдем дисперсию случайной величины Х
(числа стандартных деталей среди
отобранных) в примере 1 данной лекции.
Вычислим значения квадрата отклонения
каждого возможно-го значения от
математического ожидания:

(1 – 2,4)² = 1,96; (2 – 2,4)² = 0,16; (3 –
2,4)² = 0,36. Следовательно,

Замечание 1. В определении дисперсии
оценивается не само отклонение от
среднего, а его квадрат. Это сделано для
того, чтобы отклонения разных знаков
не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии
следует, что эта величина принимает
только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная
для расчетов формула для вычисления
дисперсии, справедливость которой
доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1. D(X)
= M(X
²) – M ²(X).
(7.7)

Доказательство.

Используя то, что М(Х) – постоянная
величина, и свойства математического
ожидания, преобразуем формулу (7.6) к
виду:

D(X)
= M(X
– M(X))²
= M(X²
– 2X·M(X)
+ M²(X))
= M(X²)
– 2M(X)·M(X)
+ M²(X)
=

= M(X²)
– 2M²(X)
+ M²(X)
= M(X²)
– M²(X),
что и требовалось доказать.

Пример. Вычислим дисперсии случайных
величин Х и Y,
рассмотренных в начале этого раздела.
М(Х) = (49²·0,1 + 50²·0,8 +
51²·0,1) – 50² = 2500,2 – 2500 = 0,2.

М(Y) = (0²·0,5
+ 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 =
2500. Итак, дисперсия второй случайной
величины в несколько тысяч раз больше
дисперсии первой. Таким образом, даже
не зная законов распределения этих
величин, по известным значениям дисперсии
мы можем утверждать, что Х мало
отклоняется от своего математического
ожидания, в то время как для Y
это отклонение весьма существенно.

Свойства
дисперсии.

Дисперсия постоянной величины С
равна нулю:

D
(C) = 0.
(7.8)

Доказательство. D(C)
= M((C
– M(C))²)
= M((C
– C)²) = M(0)
= 0.

Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX)
= C²D(X).
(7.9)

Доказательство. D(CX)
= M((CX
– M(CX))²)
= M((CX
– CM(X))²)
= M(C²(X
– M(X))²)
=

= C²D(X).

Дисперсия суммы двух независимых
случайных величин равна сумме их
дисперсий:

D(X
+ Y) = D(X)
+ D(Y).
(7.10)

Доказательство. D(X
+ Y) = M(X²
+ 2XY +
Y²) –
(M(X)
+ M(Y))²
= M(X²)
+ 2M(X)M(Y)
+

+ M(Y²)
– M²(X)
– 2M(X)M(Y)
– M²(Y)
= (M(X²)
– M²(X))
+ (M(Y²)
– M²(Y))
= D(X)
+ D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких
взаимно независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной
и случайной величин равна дисперсии
случайной величины.

Дисперсия разности двух независимых
случайных величин равна сумме их
дисперсий:

D(X
– Y) = D(X)
+ D(Y).
(7.11)

Доказательство. D(X
– Y) = D(X)
+ D(-Y)
= D(X)
+ (-1)²D(Y)
= D(X)
+ D(X).

Дисперсия дает среднее значение квадрата
отклонения случайной величины от
среднего; для оценки самого отклонения
служит величина, называемая средним
квадратическим отклонением.

Определение 7.6. Средним квадратическим
отклонением σ случайной величины Х
называется квадратный корень из
дисперсии:

.
(7.12)

Пример. В предыдущем примере средние
квадратические отклонения Х и Y
равны соответственно

Соседние файлы в папке Лекции-4с

Источник

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:

Если множество возможных
значений счетное, то

Причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание
приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

где

– плотность распределения случайной величины

.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу

,
то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание
константы равно этой константе:

Свойство 2.

Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3.

Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойство 4.

Математическое ожидания
произведения случайных величин:

где

–
ковариация случайных величин

В частности, если

независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p₁=0,4; p₂=0,3 и p₃=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина

, которая может принимать
только два значения:

1 –
попадание с вероятностью

0 –
промах с вероятностью

Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

Пример 2

Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρ_XY=0.35

Найдите математическое ожидание M(XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:

Пример 3

Даны законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y:

Требуется:

–
составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;

– найти
числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;

–
проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);

–
построить функцию распределения для

Z и построить ее график.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим закон распределения

или

Проверка:

Закон
распределения величины

Найдем математические
ожидания:

Проверим
свойство:

– выполняется

Найдем
дисперсии:

Средние
квадратические отклонения:

Запишем
функцию распределения:

График функции распределения

Пример 4

Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.

Решение

Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через

, и на второй – через

Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Найти
математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что
M(X)=2; M(Y)=3.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y

– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.

a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?

Задача 3

Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y –
независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5,
M(Y)=2, D(Y)=2.

Задача 4

Независимые
случайные величины заданы законами распределения:

Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y.
Проверить свойства:

M(Z)=M(X)-M(Y)

D(Z)=D(X)+D(Y)

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Независимые
случайные величины X и Y заданы следующими законами
распределения:

Найти
математическое ожидание случайной величины XY

Задача 6

Дискретная
случайная величина X принимает три возможных значения: x₁=4 с вероятностью p₁=0.5; x₂=6 c вероятностью p₂=0.3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что M(X)=8.

Задача 7

Дан
перечень возможных значений случайной величины X: x₁=-1, x₂=0, x₃=1, а также известны
математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=0.1, M(X²)=0.9.

Найти
вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным
значениям x₁, x₂, x₃.

Задача 8

Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины X:

x₁=1, x₂=2, x₃=3

А также
известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=2.3

M(X²)=5.9

Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

A product distribution is a probability distribution constructed as the distribution of the product of random variables having two other known distributions. Given two statistically independent random variables X and Y, the distribution of the random variable Z that is formed as the product Z=XY is a product distribution.

Algebra of random variables[edit]

The product is one type of algebra for random variables: Related to the product distribution are the ratio distribution, sum distribution (see List of convolutions of probability distributions) and difference distribution. More generally, one may talk of combinations of sums, differences, products and ratios.

Many of these distributions are described in Melvin D. Springer’s book from 1979 The Algebra of Random Variables.^[1]

Derivation for independent random variables[edit]

If and are two independent, continuous random variables, described by probability density functions $f_{X}$ and $f_{Y}$ then the probability density function of Z=XY is^[2]

${displaystyle f_{Z}(z)=int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx.}$

Proof[edit]

We first write the cumulative distribution function of starting with its definition

${displaystyle {begin{aligned}F_{Z}(z)&,{stackrel {text{def}}{=}} mathbb {P} (Zleq z)\&=mathbb {P} (XYleq z)\&=mathbb {P} (XYleq z,Xgeq 0)+mathbb {P} (XYleq z,Xleq 0)\&=mathbb {P} (Yleq z/X,Xgeq 0)+mathbb {P} (Ygeq z/X,Xleq 0)\&=int _{0}^{infty }f_{X}(x)int _{-infty }^{z/x}f_{Y}(y),dy,dx+int _{-infty }^{0}f_{X}(x)int _{z/x}^{infty }f_{Y}(y),dy,dxend{aligned}}}$

We find the desired probability density function by taking the derivative of both sides with respect to . Since on the right hand side, appears only in the integration limits, the derivative is easily performed using the fundamental theorem of calculus and the chain rule. (Note the negative sign that is needed when the variable occurs in the lower limit of the integration.)

${displaystyle {begin{aligned}f_{Z}(z)&=int _{0}^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{x}},dx-int _{-infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{x}},dx\&=int _{0}^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx+int _{-infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx\&=int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx.end{aligned}}}$

where the absolute value is used to conveniently combine the two terms.^[3]

Alternate proof[edit]

A faster more compact proof begins with the same step of writing the cumulative distribution of starting with its definition:

${displaystyle {begin{aligned}F_{Z}(z)&{overset {underset {mathrm {def} }{}}{=}} mathbb {P} (Zleq z)\&=mathbb {P} (XYleq z)\&=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)u(z-xy),dy,dxend{aligned}}}$

where is the Heaviside step function and serves to limit the region of integration to values of and satisfying .

We find the desired probability density function by taking the derivative of both sides with respect to .

${displaystyle {begin{aligned}f_{Z}(z)&=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)delta (z-xy),dy,dx\&=int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x)left[int _{-infty }^{infty }delta (z-xy),dyright],dx\&=int _{-infty }^{infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx.end{aligned}}}$

where we utilize the translation and scaling properties of the Dirac delta function delta .

A more intuitive description of the procedure is illustrated in the figure below. The joint pdf ${displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y)}$ exists in the – plane and an arc of constant value is shown as the shaded line. To find the marginal probability ${displaystyle f_{Z}(z)}$ on this arc, integrate over increments of area on this contour.

Diagram to illustrate the product distribution of two variables.

Starting with ${displaystyle y={frac {z}{x}}}$ , we have ${displaystyle dy=-{frac {z}{x^{2}}},dx=-{frac {y}{x}},dx}$ . So the probability increment is ${displaystyle delta p=f(x,y),dx,|dy|=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {y}{|x|}},dx,dx}$ . Since implies , we can relate the probability increment to the -increment, namely ${displaystyle delta p=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx,dz}$ . Then integration over , yields ${displaystyle f_{Z}(z)=int f_{X}(x)f_{Y}(z/x){frac {1}{|x|}},dx}$ .

A Bayesian interpretation[edit]

Let be a random sample drawn from probability distribution ${displaystyle f_{x}(x)}$ . Scaling by theta generates a sample from scaled distribution ${displaystyle theta Xsim {frac {1}{|theta |}}f_{X}left({frac {x}{theta }}right)}$ which can be written as a conditional distribution ${displaystyle g_{x}(x|theta )={frac {1}{|theta |}}f_{x}left({frac {x}{theta }}right)}$ .

Letting theta be a random variable with pdf ${displaystyle f_{theta }(theta )}$ , the distribution of the scaled sample becomes ${displaystyle f_{X}(theta x)=g_{X}(xmid theta )f_{theta }(theta )}$ and integrating out theta we get ${displaystyle h_{x}(x)=int _{-infty }^{infty }g_{X}(x|theta )f_{theta }(theta )dtheta }$ so is drawn from this distribution ${displaystyle theta Xsim h_{X}(x)}$ . However, substituting the definition of we also have
${displaystyle h_{X}(x)=int _{-infty }^{infty }{frac {1}{|theta |}}f_{x}left({frac {x}{theta }}right)f_{theta }(theta ),dtheta }$ which has the same form as the product distribution above. Thus the Bayesian posterior distribution ${displaystyle h_{X}(x)}$ is the distribution of the product of the two independent random samples theta and .

For the case of one variable being discrete, let theta have probability $P_{i}$ at levels ${displaystyle theta _{i}}$ with ${displaystyle sum _{i}P_{i}=1}$ . The conditional density is ${displaystyle f_{X}(xmid theta _{i})={frac {1}{|theta _{i}|}}f_{x}left({frac {x}{theta _{i}}}right)}$ . Therefore ${displaystyle f_{X}(theta x)=sum {frac {P_{i}}{|theta _{i}|}}f_{X}left({frac {x}{theta _{i}}}right)}$ .

Expectation of product of random variables[edit]

When two random variables are statistically independent, the expectation of their product is the product of their expectations. This can be proved from the law of total expectation:

{displaystyle operatorname {E} (XY)=operatorname {E} (operatorname {E} (XYmid Y))}

In the inner expression, Y is a constant. Hence:

{displaystyle operatorname {E} (XYmid Y)=Ycdot operatorname {E} [Xmid Y]}

{displaystyle operatorname {E} (XY)=operatorname {E} (Ycdot operatorname {E} [Xmid Y])}

This is true even if X and Y are statistically dependent in which case is a function of Y. In the special case in which X and Y are statistically
independent, it is a constant independent of Y. Hence:

{displaystyle operatorname {E} (XY)=operatorname {E} (Ycdot operatorname {E} [X])}

{displaystyle operatorname {E} (XY)=operatorname {E} (X)cdot operatorname {E} (Y)}

Variance of the product of independent random variables[edit]

Let X,Y be uncorrelated random variables with means ${displaystyle mu _{X},mu _{Y},}$ and variances ${displaystyle sigma _{X}^{2},sigma _{Y}^{2}}$ .
If, additionally, the random variables $X^{2}$ and Y^2 are uncorrelated, then the variance of the product XY is

${displaystyle operatorname {Var} (XY)=(sigma _{X}^{2}+mu _{X}^{2})(sigma _{Y}^{2}+mu _{Y}^{2})-mu _{X}^{2}mu _{Y}^{2}}$

In the case of the product of more than two variables, if ${displaystyle X_{1}cdots X_{n},;;n>2}$ are statistically independent then^[4] the variance of their product is

${displaystyle operatorname {Var} (X_{1}X_{2}cdots X_{n})=prod _{i=1}^{n}(sigma _{i}^{2}+mu _{i}^{2})-prod _{i=1}^{n}mu _{i}^{2}}$

Characteristic function of product of random variables[edit]

Assume X, Y are independent random variables. The characteristic function of X is $varphi _{X}(t)$ , and the distribution of Y is known. Then from the law of total expectation, we have^[5]

${displaystyle {begin{aligned}varphi _{Z}(t)&=operatorname {E} (e^{itXY})\&=operatorname {E} (operatorname {E} (e^{itXY}mid Y))\&=operatorname {E} (varphi _{X}(tY))end{aligned}}}$

If the characteristic functions and distributions of both X and Y are known, then alternatively, ${displaystyle varphi _{Z}(t)=operatorname {E} (varphi _{Y}(tX))}$ also holds.

Mellin transform[edit]

The Mellin transform of a distribution f(x) with support only on xgeq 0 and having a random sample is

${displaystyle {mathcal {M}}f(x)=varphi (s)=int _{0}^{infty }x^{s-1}f(x),dx=operatorname {E} [X^{s-1}].}$

The inverse transform is

${displaystyle {mathcal {M}}^{-1}varphi (s)=f(x)={frac {1}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }x^{-s}varphi (s),ds.}$

if are two independent random samples from different distributions, then the Mellin transform of their product is equal to the product of their Mellin transforms:

$mathcal{M}_{XY}(s) = mathcal{M}_X(s)mathcal{M}_Y(s)$

If s is restricted to integer values, a simpler result is

${displaystyle operatorname {E} [(XY)^{n}]=operatorname {E} [X^{n}];operatorname {E} [Y^{n}]}$

Thus the moments of the random product are the product of the corresponding moments of and this extends to non-integer moments, for example

${displaystyle operatorname {E} [{(XY)^{1/p}}]=operatorname {E} [X^{1/p}];operatorname {E} [Y^{1/p}].}$

The pdf of a function can be reconstructed from its moments using the saddlepoint approximation method.

A further result is that for independent X, Y

${displaystyle operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=operatorname {E} [X^{p}]operatorname {E} [Y^{q}]}$

Gamma distribution example To illustrate how the product of moments yields a much simpler result than finding the moments of the distribution of the product, let X,Y be sampled from two Gamma distributions, ${displaystyle f_{Gamma}(x;theta ,1)=Gamma (theta )^{-1}x^{theta -1}e^{-x}}$ with parameters
whose moments are

${displaystyle operatorname {E} [X^{p}]=int _{0}^{infty }x^{p}Gamma (x,theta ),dx={frac {Gamma (theta +p)}{Gamma (theta )}}.}$

Multiplying the corresponding moments gives the Mellin transform result

${displaystyle operatorname {E} [(XY)^{p}]=operatorname {E} [X^{p}];operatorname {E} [Y^{p}]={frac {Gamma (alpha +p)}{Gamma (alpha )}};{frac {Gamma (beta +p)}{Gamma (beta )}}}$

Independently, it is known that the product of two independent Gamma-distributed samples (~Gamma(α,1) and Gamma(β,1)) has a K-distribution:

${displaystyle f(z,alpha ,beta )=2Gamma (alpha )^{-1}Gamma (beta )^{-1}z^{{frac {alpha +beta }{2}}-1}K_{alpha -beta }(2{sqrt {z}})={frac {1}{alpha beta }}f_{K}left({frac {z}{alpha beta }};1,alpha ,beta right),;zgeq 0}$

To find the moments of this, make the change of variable , simplifying similar integrals to:

${displaystyle int _{0}^{infty }z^{p}K_{nu }(2{sqrt {z}}),dz=2^{-2p-1}int _{0}^{infty }y^{2p+1}K_{nu }(y),dy}$

thus

${displaystyle 2int _{0}^{infty }z^{{frac {alpha +beta }{2}}-1}K_{alpha -beta }(2{sqrt {z}}),dz=2^{-(alpha +beta )-2p+1}int _{0}^{infty }y^{(alpha +beta )+2p-1}K_{alpha -beta }(y),dy}$

The definite integral

${displaystyle int _{0}^{infty }y^{mu }K_{nu }(y),dy=2^{mu -1}Gamma left({frac {1+mu +nu }{2}}right)Gamma left({frac {1+mu -nu }{2}}right)}$

is well documented and we have finally

${displaystyle {begin{aligned}E[Z^{p}]&={frac {2^{-(alpha +beta )-2p+1};2^{(alpha +beta )+2p-1}}{Gamma (alpha );Gamma (beta )}}Gamma left({frac {(alpha +beta +2p)+(alpha -beta )}{2}}right)Gamma left({frac {(alpha +beta +2p)-(alpha -beta )}{2}}right)\\&={frac {Gamma (alpha +p),Gamma (beta +p)}{Gamma (alpha ),Gamma (beta )}}end{aligned}}}$

which, after some difficulty, has agreed with the moment product result above.

If X, Y are drawn independently from Gamma distributions with shape parameters then

${displaystyle operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=operatorname {E} [X^{p}];operatorname {E} [Y^{q}]={frac {Gamma (alpha +p)}{Gamma (alpha )}};{frac {Gamma (beta +q)}{Gamma (beta )}}}$

This type of result is universally true, since for bivariate independent variables ${displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$ thus

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]&=int _{x=-infty }^{infty }int _{y=-infty }^{infty }x^{p}y^{q}f_{X,Y}(x,y),dy,dx\&=int _{x=-infty }^{infty }x^{p}{Big [}int _{y=-infty }^{infty }y^{q}f_{Y}(y),dy{Big ]}f_{X}(x),dx\&=int _{x=-infty }^{infty }x^{p}f_{X}(x),dxint _{y=-infty }^{infty }y^{q}f_{Y}(y),dy\&=operatorname {E} [X^{p}];operatorname {E} [Y^{q}]end{aligned}}}$

or equivalently it is clear that ${displaystyle X^{p}{text{ and }}Y^{q}}$ are independent variables.

Special cases[edit]

Lognormal distributions[edit]

The distribution of the product of two random variables which have lognormal distributions is again lognormal. This is itself a special case of a more general set of results where the logarithm of the product can be written as the sum of the logarithms. Thus, in cases where a simple result can be found in the list of convolutions of probability distributions, where the distributions to be convolved are those of the logarithms of the components of the product, the result might be transformed to provide the distribution of the product. However this approach is only useful where the logarithms of the components of the product are in some standard families of distributions.

Uniformly distributed independent random variables[edit]

Let be the product of two independent variables ${displaystyle Z=X_{1}X_{2}}$ each uniformly distributed on the interval [0,1], possibly the outcome of a copula transformation. As noted in “Lognormal Distributions” above, PDF convolution operations in the Log domain correspond to the product of sample values in the original domain. Thus, making the transformation , such that ${displaystyle p_{U}(u),|du|=p_{X}(x),|dx|}$ , each variate is distributed independently on u as

${displaystyle p_{U}(u)={frac {p_{X}(x)}{|du/dx|}}={frac {1}{x^{-1}}}=e^{u},;;-infty <uleq 0}$

and the convolution of the two distributions is the autoconvolution

${displaystyle c(y)=int _{u=0}^{y}e^{u}e^{y-u}du=-int _{u=y}^{0}e^{y}du=-ye^{y},;;-infty <yleq 0}$

Next retransform the variable to ${displaystyle z=e^{y}}$ yielding the distribution

${displaystyle c_{2}(z)=c_{Y}(y)/|dz/dy|={frac {-ye^{y}}{e^{y}}}=-y=ln(1/z)}$

on the interval [0,1]

For the product of multiple (> 2) independent samples the characteristic function route is favorable. If we define then above is a Gamma distribution of shape 1 and scale factor 1, ${displaystyle c({tilde {y}})={tilde {y}}e^{-{tilde {y}}}}$ , and its known CF is ${displaystyle (1-it)^{-1}}$ . Note that so the Jacobian of the transformation is unity.

The convolution of independent samples from therefore has CF ${displaystyle (1-it)^{-n}}$ which is known to be the CF of a Gamma distribution of shape :

${displaystyle c_{n}({tilde {y}})=Gamma (n)^{-1}{tilde {y}}^{(n-1)}e^{-{tilde {y}}}=Gamma (n)^{-1}(-y)^{(n-1)}e^{y}}$

Making the inverse transformation ${displaystyle z=e^{y}}$ we get the PDF of the product of the n samples:

${displaystyle f_{n}(z)={frac {c_{n}(y)}{|dz/dy|}}=Gamma (n)^{-1}{Big (}-log z{Big )}^{n-1}e^{y}/e^{y}={frac {{Big (}-log z{Big )}^{n-1}}{(n-1)!;;;}};;;0<zleq 1}$

The following, more conventional, derivation from Stackexchange^[6] is consistent with this result.
First of all, letting ${displaystyle Z_{2}=X_{1}X_{2}}$ its CDF is

${displaystyle {begin{aligned}F_{Z_{2}}(z)=Pr {Big [}Z_{2}leq z{Big ]}&=int _{x=0}^{1}Pr {Big [}X_{2}leq {frac {z}{x}}{Big ]}f_{X_{1}}(x),dx\&=int _{x=0}^{z}1dx+int _{x=z}^{1}{frac {z}{x}},dx\&=z-zlog z,;;0<zleq 1end{aligned}}}$

The density of ${displaystyle z_{2}{text{ is then }}f(z_{2})=-log(z_{2})}$

Multiplying by a third independent sample gives distribution function

${displaystyle {begin{aligned}F_{Z_{3}}(z)=Pr {Big [}Z_{3}leq z{Big ]}&=int _{x=0}^{1}Pr {Big [}X_{3}leq {frac {z}{x}}{Big ]}f_{Z_{2}}(x),dx\&=-int _{x=0}^{z}log(x),dx-int _{x=z}^{1}{frac {z}{x}}log(x),dx\&=-z{Big (}log(z)-1{Big )}+{frac {1}{2}}zlog ^{2}(z)end{aligned}}}$

Taking the derivative yields
${displaystyle f_{Z_{3}}(z)={frac {1}{2}}log ^{2}(z),;;0<zleq 1.}$

The author of the note conjectures that, in general,
${displaystyle f_{Z_{n}}(z)={frac {(-log z)^{n-1}}{(n-1)!;;;}},;;0<zleq 1}$

The geometry of the product distribution of two random variables in the unit square.

The figure illustrates the nature of the integrals above. The shaded area within the unit square and below the line z = xy, represents the CDF of z. This divides into two parts. The first is for 0 < x < z where the increment of area in the vertical slot is just equal to dx. The second part lies below the xy line, has y-height z/x, and incremental area dx z/x.

Independent central-normal distributions[edit]

The product of two independent Normal samples follows a modified Bessel function. Let x, y be samples from a Normal(0,1) distribution and .
Then

${displaystyle p_{Z}(z)={frac {K_{0}(|z|)}{pi }},;;;-infty <z<+infty }$

The variance of this distribution could be determined, in principle, by a definite integral from Gradsheyn and Ryzhik,^[7]

${displaystyle int _{0}^{infty }x^{mu }K_{nu }(ax),dx=2^{mu -1}a^{-mu -1}Gamma {Big (}{frac {1+mu +nu }{2}}{Big )}Gamma {Big (}{frac {1+mu -nu }{2}}{Big )},;;a>0,;nu +1pm mu >0}$

thus
${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {z^{2}K_{0}(|z|)}{pi }},dz={frac {4}{pi }};Gamma ^{2}{Big (}{frac {3}{2}}{Big )}=1}$

A much simpler result, stated in a section above, is that the variance of the product of zero-mean independent samples is equal to the product of their variances. Since the variance of each Normal sample is one, the variance of the product is also one.

[edit]

The product of correlated Normal samples case was recently addressed by Nadarajaha and Pogány.^[8]
Let be zero mean, unit variance, normally distributed variates with correlation coefficient

Then

${displaystyle f_{Z}(z)={frac {1}{pi {sqrt {1-rho ^{2}}}}}exp left({frac {rho z}{1-rho ^{2}}}right)K_{0}left({frac {|z|}{1-rho ^{2}}}right)}$

Mean and variance: For the mean we have from the definition of correlation coefficient. The variance can be found by transforming from two unit variance zero mean uncorrelated variables U, V. Let

${displaystyle X=U,;;Y=rho U+{sqrt {(1-rho ^{2})}}V}$

Then X, Y are unit variance variables with correlation coefficient rho and

${displaystyle (XY)^{2}=U^{2}{bigg (}rho U+{sqrt {(1-rho ^{2})}}V{bigg )}^{2}=U^{2}{bigg (}rho ^{2}U^{2}+2rho {sqrt {1-rho ^{2}}}UV+(1-rho ^{2})V^{2}{bigg )}}$

Removing odd-power terms, whose expectations are obviously zero, we get

${displaystyle operatorname {E} [(XY)^{2}]=rho ^{2}operatorname {E} [U^{4}]+(1-rho ^{2})operatorname {E} [U^{2}]operatorname {E} [V^{2}]=3rho ^{2}+(1-rho ^{2})=1+2rho ^{2}}$

Since ${displaystyle (operatorname {E} [Z])^{2}=rho ^{2}}$ we have

${displaystyle operatorname {Var} (Z)=operatorname {E} [Z^{2}]-(operatorname {E} [Z])^{2}=1+2rho ^{2}-rho ^{2}=1+rho ^{2}}$

High correlation asymptote
In the highly correlated case, the product converges on the square of one sample. In this case the ${displaystyle K_{0}}$ asymptote is ${displaystyle K_{0}(x)rightarrow {sqrt {tfrac {pi }{2x}}}e^{-x}{text{ in the limit as }}x={frac {|z|}{1-rho ^{2}}}rightarrow infty }$
and

${displaystyle {begin{aligned}p(z)&rightarrow {frac {1}{pi {sqrt {1-rho ^{2}}}}}exp left({frac {rho z}{1-rho ^{2}}}right){sqrt {frac {pi (1-rho ^{2})}{2z}}}exp left(-{frac {|z|}{1-rho ^{2}}}right)\&={frac {1}{sqrt {2pi z}}}exp {Bigg (}{frac {-|z|+rho z}{(1-rho )(1+rho )}}{Bigg )}\&={frac {1}{sqrt {2pi z}}}exp {Bigg (}{frac {-z}{1+rho }}{Bigg )},;;z>0\&rightarrow {frac {1}{Gamma ({tfrac {1}{2}}){sqrt {2z}}}}e^{-{tfrac {z}{2}}},;;{text{ as }}rho rightarrow 1\end{aligned}}}$

which is a Chi-squared distribution with one degree of freedom.

Multiple correlated samples. Nadarajaha et al. further show that if ${displaystyle Z_{1},Z_{2},..Z_{n}{text{ are }}n}$ iid random variables sampled from ${displaystyle f_{Z}(z)}$ and ${displaystyle {bar {Z}}={tfrac {1}{n}}sum Z_{i}}$ is their mean then

${displaystyle f_{bar {Z}}(z)={frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}exp left({frac {beta -gamma }{2}}zright){W}_{0,{frac {1-n}{2}}}(|z|),;;-infty <z<infty .}$

where W is the Whittaker function while ${displaystyle beta ={frac {n}{1-rho }},;;gamma ={frac {n}{1+rho }}}$ .

Using the identity ${displaystyle W_{0,nu }(x)={sqrt {frac {x}{pi }}}K_{nu }(x/2),;;xgeq 0}$ , see for example the DLMF compilation. eqn(13.13.9),^[9] this expression can be somewhat simplified to

${displaystyle f_{bar {z}}(z)={frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}exp left({frac {beta -gamma }{2}}zright){sqrt {{frac {beta +gamma }{pi }}|z|}};K_{frac {1-n}{2}}left({frac {beta +gamma }{2}}|z|right),;;-infty <z<infty .}$

The pdf gives the distribution of a sample covariance. The approximate distribution of a correlation coefficient can be found via the Fisher transformation.

Multiple non-central correlated samples. The distribution of the product of correlated non-central normal samples was derived by Cui et al.^[10] and takes the form of an infinite series of modified Bessel functions of the first kind.

Moments of product of correlated central normal samples

For a central normal distribution N(0,1) the moments are

${displaystyle operatorname {E} [X^{p}]={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}int _{-infty }^{infty }x^{p}exp(-{tfrac {x^{2}}{2sigma ^{2}}}),dx={begin{cases}0&{text{if }}p{text{ is odd,}}\sigma ^{p}(p-1)!!&{text{if }}p{text{ is even.}}end{cases}}}$

where n!! denotes the double factorial.

If are central correlated variables, the simplest bivariate case of the multivariate normal moment problem described by Kan,^[11] then

${displaystyle operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]={begin{cases}0&{text{if }}p+q{text{ is odd,}}\{frac {p!q!}{2^{tfrac {p+q}{2}}}}sum _{k=0}^{t}{frac {(2rho )^{2k}}{{Big (}{frac {p}{2}}-k{Big )}!;{Big (}{frac {q}{2}}-k{Big )}!;(2k)!}}&{text{if }}p{text{ and }}q{text{ are even}}\{frac {p!q!}{2^{tfrac {p+q}{2}}}}sum _{k=0}^{t}{frac {(2rho )^{2k+1}}{{Big (}{frac {p-1}{2}}-k{Big )}!;{Big (}{frac {q-1}{2}}-k{Big )}!;(2k+1)!}}&{text{if }}p{text{ and }}q{text{ are odd}}end{cases}}}$

where

is the correlation coefficient and

[needs checking]

[edit]

The distribution of the product of non-central correlated normal samples was derived by Cui et al.^[10] and takes the form of an infinite series.

These product distributions are somewhat comparable to the Wishart distribution. The latter is the joint distribution of the four elements (actually only three independent elements) of a sample covariance matrix. If ${displaystyle x_{t},y_{t}}$ are samples from a bivariate time series then the ${displaystyle W=sum _{t=1}^{K}{dbinom {x_{t}}{y_{t}}}{dbinom {x_{t}}{y_{t}}}^{T}}$ is a Wishart matrix with K degrees of freedom. The product distributions above are the unconditional distribution of the aggregate of K > 1 samples of ${displaystyle W_{2,1}}$ .

Independent complex-valued central-normal distributions[edit]

Let ${displaystyle u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}$ be independent samples from a normal(0,1) distribution.
Setting
${displaystyle z_{1}=u_{1}+iv_{1}{text{ and }}z_{2}=u_{2}+iv_{2}{text{ then }}z_{1},z_{2}}$ are independent zero-mean complex normal samples with circular symmetry. Their complex variances are ${displaystyle operatorname {Var} |z_{i}|=2.}$

The density functions of

${displaystyle r_{i}equiv |z_{i}|=(u_{i}^{2}+v_{i}^{2})^{frac {1}{2}},;;i=1,2}$

are Rayleigh distributions defined as:

${displaystyle f_{r}(r_{i})=r_{i}e^{-r_{i}^{2}/2}{text{ of mean }}{sqrt {tfrac {pi }{2}}}{text{ and variance}}{frac {4-pi }{2}}}$

The variable ${displaystyle y_{i}equiv r_{i}^{2}}$ is clearly Chi-squared with two degrees of freedom and has PDF

${displaystyle f_{y_{i}}(y_{i})={tfrac {1}{2}}e^{-y_{i}/2}{text{ of mean value }}2}$

Wells et al.^[12] show that the density function of ${displaystyle sequiv |z_{1}z_{2}|}$ is

${displaystyle f_{s}(s)=sK_{0}(s),;;sgeq 0}$

and the cumulative distribution function of is

${displaystyle P(a)=Pr[sleq a]=int _{s=0}^{a}sK_{0}(s)ds=1-aK_{1}(a)}$

Thus the polar representation of the product of two uncorrelated complex Gaussian samples is

${displaystyle f_{s,theta }(s,theta )=f_{s}(s)p_{theta }(theta ){text{ where }}p(theta ){text{ is uniform on }}[0,2pi ]}$

The first and second moments of this distribution can be found from the integral in Normal Distributions above

${displaystyle m_{1}=int _{0}^{infty }s^{2}K_{0}(s),dx=2Gamma ^{2}({tfrac {3}{2}})=2({tfrac {sqrt {pi }}{2}})^{2}={frac {pi }{2}}}$

${displaystyle m_{2}=int _{0}^{infty }s^{3}K_{0}(s),dx=2^{2}Gamma ^{2}({tfrac {4}{2}})=4}$

Thus its variance is ${displaystyle operatorname {Var} (s)=m_{2}-m_{1}^{2}=4-{frac {pi ^{2}}{4}}}$ .

Further, the density of ${displaystyle zequiv s^{2}={|r_{1}r_{2}|}^{2}={|r_{1}|}^{2}{|r_{2}|}^{2}=y_{1}y_{2}}$ corresponds to the product of two independent Chi-square samples $y_{i}$ each with two DoF. Writing these as scaled Gamma distributions ${displaystyle f_{y}(y_{i})={tfrac {1}{theta Gamma (1)}}e^{-y_{i}/theta }{text{ with }}theta =2}$ then, from the Gamma products below, the density of the product is

${displaystyle f_{Z}(z)={tfrac {1}{2}}K_{0}({sqrt {z}}){text{ with expectation }}operatorname {E} (z)=4}$

Independent complex-valued noncentral normal distributions[edit]

The product of non-central independent complex Gaussians is described by O’Donoughue and Moura^[13] and forms a double infinite series of modified Bessel functions of the first and second types.

Gamma distributions[edit]

The product of two independent Gamma samples, ${displaystyle z=x_{1}x_{2}}$ , defining ${displaystyle Gamma (x;k_{i},theta _{i})={frac {x^{k_{i}-1}e^{-x/theta _{i}}}{Gamma (k_{i})theta _{i}^{k_{i}}}}}$ , follows^[14]

${displaystyle {begin{aligned}p_{Z}(z)&={frac {2}{Gamma (k_{1})Gamma (k_{2})}}{frac {z^{{frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{(theta _{1}theta _{2})^{frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}}K_{k_{1}-k_{2}}left(2{sqrt {frac {z}{theta _{1}theta _{2}}}}right)\\&={frac {2}{Gamma (k_{1})Gamma (k_{2})}}{frac {y^{{frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{theta _{1}theta _{2}}}K_{k_{1}-k_{2}}left(2{sqrt {y}}right){text{ where }}y={frac {z}{theta _{1}theta _{2}}}\end{aligned}}}$

Beta distributions[edit]

Nagar et al.^[15] define a correlated bivariate beta distribution

${displaystyle f(x,y)={frac {x^{a-1}y^{b-1}(1-x)^{b+c-1}(1-y)^{a+c-1}}{B(a,b,c)(1-xy)^{a+b+c}}},;;;0<x,y<1}$

where

${displaystyle B(a,b,c)={frac {Gamma (a)Gamma (b)Gamma (c)}{Gamma (a+b+c)}}}$

Then the pdf of Z = XY is given by

${displaystyle f_{Z}(z)={frac {B(a+c,b+c)z^{a-1}(1-z)^{c-1}}{B(a,b,c)}}{_{2}F_{1}}(a+c,a+c;a+b+2c;1-z),;;;0<z<1}$

where ${displaystyle {_{2}F_{1}}}$ is the Gauss hypergeometric function defined by the Euler integral

${displaystyle {_{2}F_{1}}(a,b,c,z)={frac {Gamma (c)}{Gamma (a)Gamma (c-a)}}int _{0}^{1}v^{a-1}(1-v)^{c-a-1}(1-vz)^{-b},dv}$

Note that multivariate distributions are not generally unique, apart from the Gaussian case, and there may be alternatives.

Uniform and gamma distributions[edit]

The distribution of the product of a random variable having a uniform distribution on (0,1) with a random variable having a gamma distribution with shape parameter equal to 2, is an exponential distribution.^[16] A more general case of this concerns the distribution of the product of a random variable having a beta distribution with a random variable having a gamma distribution: for some cases where the parameters of the two component distributions are related in a certain way, the result is again a gamma distribution but with a changed shape parameter.^[16]

The K-distribution is an example of a non-standard distribution that can be defined as a product distribution (where both components have a gamma distribution).

Gamma and Pareto distributions[edit]

The product of n Gamma and m Pareto independent samples was derived by Nadarajah.^[17]

Notes[edit]

^ Springer, Melvin Dale (1979). The Algebra of Random Variables. Wiley. ISBN 978-0-471-01406-5. Retrieved 24 September 2012.
^ Rohatgi, V. K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley Series in Probability and Statistics. New York: Wiley. doi:10.1002/9781118165676. ISBN 978-0-19-853185-2.
^ Grimmett, G. R.; Stirzaker, D.R. (2001). Probability and Random Processes. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0. Retrieved 4 October 2015.
^ Sarwate, Dilip (March 9, 2013). “Variance of product of multiple random variables”. Stack Exchange.
^ “How to find characteristic function of product of random variables”. Stack Exchange. January 3, 2013.
^ heropup (1 February 2014). “product distribution of two uniform distribution, what about 3 or more”. Stack Exchange.
^ Gradsheyn, I S; Ryzhik, I M (1980). Tables of Integrals, Series and Products. Academic Press. pp. section 6.561.
^ Nadarajah, Saralees; Pogány, Tibor (2015). “On the distribution of the product of correlated normal random variables”. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I. 354 (2): 201–204. doi:10.1016/j.crma.2015.10.019.
^ Equ(13.18.9). “Digital Library of Mathematical Functions”. NIST: National Institute of Standards and Technology.
^ ^a ^b Cui, Guolong (2016). “Exact Distribution for the Product of Two Correlated Gaussian Random Variables”. IEEE Signal Processing Letters. 23 (11): 1662–1666. Bibcode:2016ISPL…23.1662C. doi:10.1109/LSP.2016.2614539.
^ Kan, Raymond (2008). “From moments of sum to moments of product”. Journal of Multivariate Analysis. 99 (3): 542–554. doi:10.1016/j.jmva.2007.01.013.
^ Wells, R T; Anderson, R L; Cell, J W (1962). “The Distribution of the Product of Two Central or Non-Central Chi-Square Variates”. The Annals of Mathematical Statistics. 33 (3): 1016–1020. doi:10.1214/aoms/1177704469.
^ O’Donoughue, N; Moura, J M F (March 2012). “On the Product of Independent Complex Gaussians”. IEEE Transactions on Signal Processing. 60 (3): 1050–1063. Bibcode:2012ITSP…60.1050O. doi:10.1109/TSP.2011.2177264.
^ Wolfies (August 2017). “PDF of the product of two independent Gamma random variables”. stackexchange.
^ Nagar, D K; Orozco-Castañeda, J M; Gupta, A K (2009). “Product and quotient of correlated beta variables”. Applied Mathematics Letters. 22: 105–109. doi:10.1016/j.aml.2008.02.014.
^ ^a ^b
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions Volume 2, Second edition. Wiley. p. 306. ISBN 978-0-471-58494-0. Retrieved 24 September 2012.
^ Nadarajah, Saralees (June 2011). “Exact distribution of the product of n gamma and m Pareto random variables”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 235 (15): 4496–4512. doi:10.1016/j.cam.2011.04.018.

References[edit]

Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1970). “The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables”. SIAM Journal on Applied Mathematics. 18 (4): 721–737. doi:10.1137/0118065. JSTOR 2099424.
Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1966). “The distribution of products of independent random variables”. SIAM Journal on Applied Mathematics. 14 (3): 511–526. doi:10.1137/0114046. JSTOR 2946226.

Источник

Функции случайных величин

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=varphi(X_1,X_2,ldots,X_n).

(6.1)

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=varphi(X).

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{X}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Тогда Y=varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) . Если все значения y_1,y_2,ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,ldots,n события ${X=x_k}$ и ${Y=y_k=varphi(x_k)}$ тождественны. Следовательно,

$P{Y=y_k}=P{X=x_k}=p_k$

и искомый ряд распределения имеет вид

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{Y}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Если же среди чисел y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция x=psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

g(y)=fbigl(psi(y)bigr)cdot |psi'(y)|.

(6.2)

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-x^2/2}$

Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-infty;+infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции varphi(x)=x^3 есть psi(y)=sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y} , ее производная $psi'(y)=frac{1}{3sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$ . Следовательно,

$g(y)=frac{1}{3sqrt{2pi}}e^{-sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}/2}frac{1}{sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=varphi(x) такова, что обратная функция x=psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим x_1=psi_1(y),x_2=psi_2(y),ldots,x_n=psi_n(y) , где — число участков, на которых функция y=varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

$g(y)=sumlimits_{k=1}^{n}fbigl(psi_k(y)bigr)cdot |psi'_k(y)|.$

(6.3)

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

$begin{gathered}x_1=psi_1(y)=+sqrt{y};\x_2=psi_2(y)=-sqrt{y}.end{gathered}$

Применяя формулу (6.3), получаем:

$begin{gathered}g(y)=f(psi_1(y))|psi'_1(y)|+f(psi_2(y))|psi'_2(y)|=\\=frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(-sqrt{y^2}right)^2/2}!left|-frac{1}{2sqrt{y}}right|+frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(sqrt{y^2}right)^2/2}!left|frac{1}{2sqrt{y}}right|=frac{1}{sqrt{2pi{y}}},e^{-y/2}.end{gathered}$

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .

Пусть f(x_1;x_2) — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

$left{!begin{gathered}y=varphi(x_1;x_2);hfill\y_1=x_1.hfillend{gathered}right.$

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

$left{!begin{gathered}x_2=psi(y;y_2);hfill\x_1=y_1.hfillend{gathered}right.$

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

$g_1(y)=intlimits_{-infty}^{+infty}f(x_1;psi(y;x_1))!left|frac{partialpsi(y;x_1)}{partial{y}}right|dx_1.$

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Y=varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[varphi(X)].

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{x_i}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{y_i=varphi(x_i)}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины можно определить по формуле

$M[varphi(X)]=sumlimits_{i=1}^{n}varphi(x_i)p_i,$

(6.4)

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции , а достаточно знать закон распределения аргумента .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

$M[varphi(X)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi(x)f(x),dx,$

где f(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

$M(XY)=M(X)M(Y)+mu_{xy}.$

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[varphi(x)]=M[(varphi(x)-M(varphi(x)))^2] , где M(varphi(x))=M[varphi(X)] .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=varphi(X) дисперсия выражается формулой

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}(varphi(x)-M(varphi(x)))^2f(x),dx,$

(6.5)

где M(varphi(x))=M[varphi(X)] — математическое ожидание функции ; f(x) — плотность распределения величины .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi^2(x)f(x),dx-M^2(X)$

Рассмотрим теоремы о дисперсиях, которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]+2sumlimits_{i<j}mu_{x_ix_j}$

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]$

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

D[XY]=D[X]D[Y]+M^2(X)D[Y]+M^2(Y)D[X].

Корреляционный момент функций случайных величин

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин и , имеем

$mu_{xy}=M[(X-M(X))(Y-M(Y))].$

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

$mu_{xy}=M(XY)-M(X)M(Y).$

(6.6)

Рассмотрим две функции случайной величины

Y_1=varphi_1(X);qquad Y_2=varphi_2(X).

Согласно формуле (6.6)

$mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).$

отсюда

$mu_{y_1y_2}=M(varphi_1(X)varphi_2(X))-M(varphi_1(X))M(varphi_2(X)).$

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции.

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

$|mu_{xy}|leqslantsqrt{D[X]cdot D[Y]}=sigma_xcdot sigma_y,$

где sigma_x,sigma_y — средние квадратические отклонения величин и .

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

$|r_{xy}|leqslant1.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Математическое ожидание

Математическое ожидание неслучайной величины

Доказательство:

Математическое ожидание линейно

Доказательство вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания

Для дискретных величин

Для непрерывных величин

Доказательство математического ожидания суммы случайных величин

Математическое ожидание произведения

Доказательство

Дисперсия

Дисперсия не зависит от знака

Дисперсия суммы случайной и постоянной величин

Дисперсия неслучайной величины

Доказательство:

Дисперсия суммы случайных величин

Доказательство:

Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную

Доказательство:

Дисперсия произведения независимых величин

Доказательство:

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Краткая теория

Свойства математического ожидания

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Algebra of random variables[edit]

Derivation for independent random variables[edit]

Proof[edit]

Alternate proof[edit]

A Bayesian interpretation[edit]

Expectation of product of random variables[edit]

Variance of the product of independent random variables[edit]

Characteristic function of product of random variables[edit]

Mellin transform[edit]

Special cases[edit]

Lognormal distributions[edit]

Uniformly distributed independent random variables[edit]

Independent central-normal distributions[edit]

[edit]

[edit]

Independent complex-valued central-normal distributions[edit]

Independent complex-valued noncentral normal distributions[edit]

Gamma distributions[edit]

Beta distributions[edit]

Uniform and gamma distributions[edit]

Gamma and Pareto distributions[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Функции случайных величин

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

Закон распределения функции двух случайных величин

Математическое ожидание функции случайных величин

Дисперсия функции случайных величин

Корреляционный момент функций случайных величин

Вам также может понравиться

Как найти кеш флоу

Как найти хорошего мужа магия

Как найти отношения вич

Добавить комментарий Отменить ответ