Как найти мат ожидание распределения пуассона

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 июля 2022 года; проверки требует 1 правка.

Распределение Пуассона
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение[править | править код]

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием , записывается: .

Моменты[править | править код]

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

,

откуда

,

.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

,

где Фигурные же скобки обозначают Числа Стирлинга второго рода.

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона[править | править код]

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

.

Асимптотическое стремление к распределению[править | править код]

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого выполнено при .

Простейшим примером является случай, когда имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха в каждом из испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами[править | править код]

Рассмотрим последовательность случайных величин принимающих целые неотрицательные значения. Если при и любом фиксированном (где  — -й факториальный момент), то для всякого при выполнено .

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью .^[1]

История[править | править код]

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»^[2], в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году^[3]. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.^[4]

См. также[править | править код]

• Биномиальное распределение
• Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с. — ISBN 978-5-406-00565-1. — С. 135.
• Винс, Ральф. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: Альпина Паблишер, 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
• Пуассон С. Д. Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8. [Poisson.pdf]. Архивировано 1 ноября 2014 года.
• Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. — Journal of Modern Mathematics Frontier, 2012, 1. — P. 21—28. Архивная копия от 21 февраля 2018 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]

• Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор

2.3.3. Распределение Пуассона

Случайная величина ,

распределённая по этому закону, принимает бесконечное и счётное количество значений , вероятности появления которых определяются формулой:

Или, если расписать подробно:

Вспоминая разложение экспоненты в ряд,

легко убедиться, что:

Математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно  и дисперсия – тому же самому значению: .

Во всех задачах параграфа Формула Пуассона мы лишь ПОЛЬЗОВАЛИСЬ распределением Пуассона для

приближенного расчёта вероятностей, в то время как ТОЧНЫЕ значения следовало находить по формуле Бернулли, т.е., там имело место биномиальное распределение. И

последующие задачи отличаются принципиально –
– отличие состоит в том, что сейчас речь идёт именно о РАСПРЕДЕЛЕНИИ Пуассона:

Задача 99
Случайная величина  подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием,

равным . Найти

вероятность того, что данная случайная величина  примет значение, меньшее, чем её математическое

ожидание.

Решение: известно, что математическое ожидание распределения Пуассона в точности равно , таким образом, случайная величина  принимает значения  с вероятностями:

Интересующее нас событие  состоит в трёх несовместных исходах: случайная величина  примет значение  или , или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
  – вероятность

того, что случайная величина  примет значение, меньшее, чем ее математическое

ожидание.

Ответ:

Аналогичная задача на понимание:

Задача 100
Случайная величина  подчинена закону Пуассона с единичным математическим

ожиданием. Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце книги.

Помимо прочего, распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики

простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют

простейшим, если он удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последствий и ординарности.
Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других

временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что

вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или

наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени

практически невероятно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в

дверь?» – нет уж, увольте, рубить удобнее по порядку.
Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью  заявок в некоторую единицу времени (минуту,

час, день или в любой другой). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени, в систему поступит ровно  заявок, равна:

Поразительно, с какой скоростью устаревают задачи:

Задача 101
Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти

вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение: используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
 вызова – в среднем

за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность

того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

По формуле Пуассона:
 – вероятность

того, что в течение 5 минут не будет ни одного звонка.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
 –

вероятность того, что в течение 5 минут будет хотя бы один вызов.

Ответ: а) , б)

Обращаю внимание, что в отличие от задач параграфа Формула Пуассона, эту задачу уже нельзя

решить по формуле Бернулли. По той причине, что заранее не известно общее количество исходов  (точное количество звонков в тот или иной

час).
И предсказать это значение, разумеется, невозможно.

Для самостоятельного решения:

Задача 102
Среднее число автомобилей, проходящих таможенный досмотр в течение часа, равно 3. Найти вероятность того, что: а) за 2 часа пройдут

досмотр от 7 до 10 автомобилей; б) за пол часа успеет пройти досмотр только 1 автомобиль.

Таможня пройдена, достаём припрятанное:

2.3.4. Гипергеометрическое распределение вероятностей

2.3.2. Биномиальное распределение вероятностей

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Если число испытаний
велико, а вероятность р появления события
в каждом испытании очень мала, то
используют приближенную формулу Pn(m)=

(m=0,1,2…),
где m-число
появления события в n
независимых испытаниях,

(среднее
число появлений события n
в испытаниях), и говорят, что случайная
величина распределена по
закону Пуассона.

Док-во:
Пусть даны вероятность наступления
события А в одном испытании р и число
независимых испытаний n.
Обозначим

.
Подставим это выражение в формулу
Бернулли:

При достаточно
большом n
и сравнительно небольшом m
все выражения в скобках, за исключением
предпоследнего, можно принять равными
единице, т.е.

.
Учитывая то, что n
достаточно велико, правую часть этого
выражения можно рассмотреть при

,
т.е. найти предел

.

Тогда получим:

Ряд распределения  закона
Пуассона имеет вид:

Очевидно, что
определение закона Пуассона корректно,
так как основное свойство ряда
распределения

выполнено,
ибо сумма ряда

(учтено, что в
скобках записано разложение в ряд
функции

при
).

Теорема.
Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины X,
распределённой по  закону Пуассона,
совпадают и равны значению параметра

этого
закона, т. е.

При условии

закон
распределения Пуассона является
предельным случаем биномиального
закона. Так как при этом вероятность p
события A
в
каждом
испытании мала, то закон распределения
Пуассона называют часто законом
редких явлений.

Замечание.
Если случайная величина представляет
собой сумму двух независимых случайных
величин, распределённых по закону
Пуассона, то она также распределена по
закону Пуассона.

 На рисунке
приведены многоугольники (полигоны)
распределения случайной величины X,
имеющей закон распределения Пуассона
с параметром 

(для

=0,5;
1; 2; 3,5; 5).

m

19.Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения
называют функцию F(x),
определяющую вероятность того, что
случайная величина Х в результате
испытания примет значение, меньше х,
т.е. F(x)=
P
(X<x).

Случайную величину
называют непрерывной, если ее функция
распределения есть непрерывная,
кусочно-дифференцируемая функция с
непрерывной производной.

СВОЙСТВА:

1. Значение функции
   распределения принадлежит отрезку
   [0,1]:

0≤F(x)
≤1

Док-во: Свойство
вытекает из определения функции
распределения как вероятности: вероятность
всегда есть неотрицательное число, не
превышающее единицы.

1. F(x)–неубывающая
   функция, т.е. F(x₂)≥F(x₁),
   если x₂>x₁

Док-во: Пусть x₂>x_1.
Событие,
состоящее в том, что Х примет значение,
меньше x_2,
можно
подразделить на следующие два несовместных
события: 1) Х примет значение, меньшее
x_1,
с вероятностью
P(X<
x₁);

2) X
примет значение, удовлетворяющее
неравенству x₁≤Х<
x_2,
с вероятностью
P(x₁≤Х<
x₂).

По теореме сложения
имеем

P(X<x₂)=P(X<
x₁)+
P(x₁≤Х<
x₂).

Отсюда

P(X<x₂)-
P(X<
x₁)=
P(x₁≤Х<
x₂),

или

F(x₂)-
F(x₁)=
P(x₁≤Х<
x₂)

Т.к любая вероятность
есть число неотрицательное, то F(x₂)-
F(x₁)
≥0, или F(x₂)≥F(x₁),
ч.т.д.

Следствие 1:

Вероятность того,
что случайная величина примет значение,
заключенное в интервале (a,b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a≤Х<b)=
F(b)-F(a).
Это важное следствие вытекает из формулы,
если положить x₂=b,
x₁=a.

Следствие 2:

Вероятность того,
что непрерывная случайная величина Х
примет одно определенное значение,
равно 0.

1. Если возможные
   значения случайной величины принадлежат
   интервалу (a,b),то:1)
   F(x)=0
   при x≤a;
   2) F(x)=1
   при х≥b.

Док-во: 1) Пусть
х1≤a.
Тогда событие Х<x1,
невозможно (т.к. значений, меньших х1,
величина Х по условию не принимает) и,
следовательно, вероятность его равна
нулю.

2) Пусть х₂
≥b.
Тогда событие Х<x₂
достоверно (т.к. все возможные значения
Х меньше х₂)
и, следовательно, вероятность его равна
единицы.

Следствие: Если
возможные значения непрерывной случайной
величины расположены на всей оси х, то
справедливо следующие предельное
соотношение:

lim F(x)=0: lim F(x)=1.

(x→
– ∞) (x→
∞)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Закон распределения Пуассона

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.

Краткая теория

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:

$$
P(X=k)=frac{lambda^k}{k!}cdot e^{-lambda}, k=0,1,2,…
$$

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания. При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt{lambda})$. В свою очередь, оно само является “приближенной” моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).

Примеры решенных задач

Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 4. Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 le X lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.

Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 7. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.

Задача 8. В тексте учебника по психологии содержатся опечатки: в среднем, одна на
десять страниц. Пусть Х – число опечаток на одной странице. Определить закон распределения для Х. Найти вероятность, что на странице есть хотя бы одна опечатка.

Решебник по терверу

Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей: