Как найти мат ожидание равномерного распределения

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 октября 2020 года; проверки требуют 5 правок.

Непрерывное равномерное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	, — коэффициент сдвига, — коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода	любое число из отрезка
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие некоторому промежутку конечной длины, характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом промежутке почти всюду постоянна.

Определение[править | править код]

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке , где , если её плотность имеет вид:

Пишут: . Иногда значения плотности в граничных точках и меняют на другие, например или . Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения[править | править код]

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка , то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

.

Производящая функция моментов[править | править код]

Простым интегрированием получаем производящую функцию моментов:

,

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

,

,

.

Вообще,

.

Стандартное равномерное распределение[править | править код]

Если и , то есть , то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным.

Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина и , то .

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

Существуют также частные преобразования, позволяющие на основе равномерного распределения получить случайные распределения другого вида. Так, например, для получения нормального распределения служит преобразование Бокса — Мюллера.

См. также[править | править код]

• Дискретное равномерное распределение;
• Метод обратного преобразования.

Равномерно распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ – распределенных по равномерному закону.

В сущности, равномерное распределение – самое простое из семейства непрерывных, и определяется тем, что плотность распределения постоянна (равна константе) на всем интервале: $f(x)=c=frac{1}{b-a}, xin (a;b)$ (а вне его равна нулю):

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x le a\
frac {1}{b-a}, a lt x le b, \
0, x gt b, \
end{array}
right.
$$

Функция распределения для нее вычисляется практически в уме:

$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x le a\
frac {x-a}{b-a}, a lt x le b, \
1, x gt b, \
end{array}
right.
$$

Для равномерного на интервале $(a;b)$ распределения известны формулы для числовых характеристик. Математическое ожидание $M(X)=frac{a+b}{2}$, дисперсия $D(X)=frac{(b-a)^2}{12}$, среднее квадратическое отклонение $sigma(X)=frac{b-a}{2sqrt{3}}$.

В жизни равномерным распределением часто моделируют время ожидания транспорта, ошибки округления в пределах цены деления.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются равномерно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина $xi$ – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.

Задача 2. Телефонный звонок должен последовать от 10 ч до 10 ч 20 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 мин указанного промежутка, если момент звонка случаен?

Задача 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 3 минут. Найти а) плотность распределения времени ожидания, б) вероятность ожидания лифта более чем 2 минуты, в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 15 секунд, г) среднее время ожидания лифта и дисперсию времени ожидания.

Задача 5. Случайная величина $X$ задана интегральной $F(x)$ или дифференциальной $f(x)$ функцией. Требуется:
а) найти параметр $C$;
б) при заданной интегральной функции найти дифференциальную функцию; а при заданной дифференциальной функции найти интегральную функцию;
в) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$;
г) найти математическое ожидание $M[X]$ дисперсию $D[X]$ среднее квадратическое отклонение $sigma[X]$;
д) вычислить вероятность попадания в интервал $P(alt X lt b)$;
е) определить, квантилем какого порядка является точка $x_p$;
ж) вычислить квантиль порядка $p$.

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
{0,x lt -1,} \
{C, -1 le x le 1} \
{0, xgt 1.}
end{array}
right.
$$

Задача 6. Дана плотность распределения $p(x)$ случайной величины $xi$. Найти параметр $gamma$, математическое ожидание $Mxi$, дисперсию $Dxi$, функцию распределения случайной величины $xi$, вероятность выполнения неравенства $x_1 lt xi lt x_2$.
$$a=1, b=1,8, x_1=1,3, x_2=1,6.$$
$$
p(x)=
left{
begin{array}{l}
{1,x in [gamma; 1,8],} \
{0,x notin [gamma; 1,8].} \
end{array}
right.
$$

Задача 7. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1;8). Найти:
а) дифференциальную функцию,
б) интегральную функцию,
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,
г) вероятность попадания в интервал (3;5).

Задача 8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
{0,x lt a,} \
{frac{x-1}{2}, x in [a,b]} \
{1, xgt b.}
end{array}
right.
$$
Определить параметры $а$ и $b$, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал $[-1, 2]$. Построить графики $р(x)$ и $F(x)$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Равномерное
распределение

Определение.
Будем говорить, что распределение
вероятностей непрерывной случайной
величины является равномерным
распределением, если плотность вероятности
случайной величины Х имеет вид:

f(x)=

Найдем
значение с.

Так
как плотность вероятности удовлетворяет
условию:

=1,

то
получаем:

.

Так
как f(x)=c
на промежутке [a;b],
то
,
следовательно,c
=.

Итак,
равномерно распределённая случайная
величина имеет плотность вероятности:

f(x)=

Пример. Если
распределение случайной величины Х –
равномерное и задан отрезок [2;8], то b–a= 8 – 2 = 6 и

f(x)=

Найдем числовые характеристики
равномерного распределения.

1. Математическое
   ожидание равномерного распределения.

М(Х)==.

Пример.
Для предыдущей задачи найдем математическое
ожидание

М(Х)=
.

1. Дисперсия
   равномерного распределения.

D(Х)
==

=.

Пример. Для предыдущей задачи найдем
дисперсию:

D(Х)
=.

Нормальное
распределение

Определение.
Случайная величина Х имеет нормальный
закон распределения, если ее функция
плотности вероятности имеет вид:

f(x)=,

где
σ и a–
параметры распределения.

Определение.
График функции f(x)
называется нормальной
кривой или
кривой нормального распределения.

Методами
дифференциального исчисления можно
установить, что:

1. кривая
   симметрична относительно прямой х=a;

2. функция
   имеет максимум при х=a
   f(a)=
   ;

3. по
   мере удаления х от точки a
   функция убывает и при х→∞
   кривая приближается к оси Ох;

4. кривая
   выпукла вверх при х є (a– σ; a
   + σ) и

выпукла
вниз при х є (–∞;
a
– σ) и х є
(a
+ σ; + ∞).

f(x)

0
a
X

Рис.
4. Кривая нормального распределения.

Замечание.
Форма кривой изменяется с изменением
параметра σ. С возрастанием σ кривая
f(x)
становится более пологой и растянутой
вдоль оси Ох.

Значениям случайной величины, близким
к математическому ожиданию, соответствует
большая плотность вероятности, то есть
малые отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания
встречаются чаще, чем большие.

Так как случайная величина определена
на всей числовой оси, то при вычислении
числовых характеристик рассматривается
интеграл на промежутке (– ∞; +∞). Можно
показать, что:

М(Х)
==,

D(Х)=,

σ(Х)
= σ.

Свойства
нормального распределения.

1. Вероятность
   того, что нормально распределенная
   случайная величина Х примет значение,
   принадлежащее интервалу (α;
   β), находится по формуле:

Р(α
< Х < β) = Ф—Ф,

где
Φ(х)
– функция Лапласа (см. приложение 2).

1. Вероятность
   того, что абсолютная величина отклонения
   меньше положительного числа δ находится
   по формуле:

Р(<δ)=2Ф().

В
частности при a=0
справедливо равенство:

Р(<δ)=
2Ф().

Правило
«3 σ».

Для
нормально распределенной случайной
величины велика вероятность того, что
при однократном испытании отклонение
величины от ее математического ожидания
не превышает среднего квадратического
отклонения.

Преобразуем
формулу Р(<δ)=2Ф(),
положив δ=σ·t. В итоге получим

Р(<σ·t)=2Ф(t).

Если
t=3
и, следовательно, σ·t=3σ, то
<=,
то есть вероятность того, что отклонение
от математического ожидания по абсолютной
величине будет меньше утроенного
среднего квадратического отклонения,
равна 0,9973. Это и есть правило «3 σ».

Другими
словами, вероятность того, что абсолютная
величина отклонения превысит утроенное
среднее квадратическое отклонение,
очень мала, а именно равна 0,0027.

Это
означает, что лишь в 0,27% случаев так
может произойти, что значения нормально
распределенной случайной величины
выйдут за пределы интервала (a
– 3σ; a
+ 3σ). Такие события, исходя из принципа
невозможности маловероятных событий,
можно считать практически невозможным.
В этом и состоит сущность правила трех
сигм.

Пример
1. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение нормально распределенной
случайной величины Х равны соответственно
11 и 4. Найти вероятность того, что в
результате испытания Х примет значение,
заключенного в интервале (19;23).

Решение. Воспользуемся формулой:

Р(α<Х<β)=Ф—Ф.

По
условию, α = 19; β = 23; а = 11; σ = 4, тогда

Р(19<Х<23)=Ф–Ф=
Ф(3)–Ф(2).

По
таблице приложения 2 находим: Ф(3)=0,49865,
Ф(2)=0,4772.

Найдем
искомую вероятность (вероятность того,
что в результате испытания Х примет
значение, заключенное в интервале
(19;23)):

Р(19<Х<23)=0,49865
–0,4772=0,02145.

Пример 2. Математическое ожидание
нормально распределенной случайной
величины Х равно 5 и среднее квадратическое
отклонение равно 2. Написать плотность
вероятности Х.

Решение. Плотность нормально распределенрон
случайной величины Х имеет вид:

f(x)=.

Подставив
a=5
и σ=2, получим:

f(x)=.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #