Как найти математическое ожидание для функции распределения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 октября 2021 года; проверки требуют 7 правок.

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины^[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Обозначается через ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert);
в русскоязычной литературе также встречается обозначение M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятности «единицы». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определенного кол-ва единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np^[3].

Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству Omega , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или .

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{Omega }!X(omega ),mathbb {P} (domega ).}$

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Если $F_{X}(x)$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!x,dF_{X}(x)}$

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f_{X}(x)$ , равно

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx}$

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

${displaystyle mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}}$

, ${displaystyle sum limits _{i=1}^{infty }p_{i}=1}$

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

${displaystyle mathbb {E} [X]=sum limits _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i}}$

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

${displaystyle mathbb {P} (X=j)=p_{j}}$

, ${displaystyle sum limits _{j=0}^{infty }p_{j}=1}$

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности ${p_{i}}$

$P(s)=sum _{{k=0}}^{infty };p_{k}s^{k}$

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то $lim _{{sto 1}}P'(s)=infty$ и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения ${q_{k}}$

${displaystyle q_{k}=mathbb {P} (X>k)=sum _{j=k+1}^{infty }{p_{j}}}$

, ${displaystyle Q(s)=sum _{k=0}^{infty }q_{k}s^{k}.}$

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: $Q(s)={frac {1-P(s)}{1-s}}$ при |s|<1 . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

{displaystyle mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)}

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Пусть $X=(X_{1},dots ,X_{n})^{{top }}colon Omega to {mathbb {R}}^{n}$ — случайный вектор. Тогда по определению

${displaystyle mathbb {E} [X]=(mathbb {E} [X_{1}],dots ,mathbb {E} [X_{n}])^{top }}$

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=sum limits _{i=1}^{infty }g(x_{i})p_{i},}$

если имеет дискретное распределение;

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x)f_{X}(x),dx,}$

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $mathbb {P} ^{X}$ случайной величины общего вида, то

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x),mathbb {P} ^{X}(dx).}$

В специальном случае, когда ${displaystyle g(X)=X^{k}}$ , математическое ожидание ${displaystyle mathbb {E} [g(X)]=mathbb {E} [X^{k}]}$ называется -м моментом случайной величины.

Свойства математического ожидания[править | править код]

Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

— константа;

Математическое ожидание линейно^[4], то есть

{displaystyle mathbb {E} [aX+bY]=amathbb {E} [X]+bmathbb {E} [Y]}

где

— случайные величины с конечным математическим ожиданием, а

— произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно — разности) их математических ожиданий.

{displaystyle 0leqslant mathbb {E} [X]leqslant mathbb {E} [Y]}

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то

{displaystyle mathbb {E} [X]=mathbb {E} [Y]}

Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных^[5] случайных величин равно произведению их математических ожиданий

{displaystyle mathbb {E} [XY]=mathbb {E} [X]cdot mathbb {E} [Y]}

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины ${displaystyle Xcolon Omega to mathbb {R} ^{+}}$ определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство:

${displaystyle mathbb {P} left(Xgeqslant aright)leqslant {frac {mathbb {E} (X)}{a}}}$

, где

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, — выпуклая борелевская функция, такие, что $X,varphi (X)in L^{1}(Omega ,{mathcal {F}},{mathbb {P}})$ , то

{displaystyle varphi (mathbb {E} (X))leqslant mathbb {E} (varphi (X))}

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

${displaystyle lim limits _{nto infty }mathbb {E} (X_{n})=mathbb {E} (X)}$

${displaystyle mathbb {E} left(sum _{i=1}^{N}X_{i}right)=mathbb {E} (N)mathbb {E} (X)}$

Примеры[править | править код]

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $mathbb {P} (X=x_{i})={frac {1}{n}},;i=1,ldots ,n.$ Тогда её математическое ожидание

${displaystyle mathbb {E} [X]={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}}$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{a}^{b}!{frac {x}{b-a}},dx={frac {a+b}{2}}}$

Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx=infty$

то есть математическое ожидание не определено.

См. также[править | править код]

Дисперсия случайной величины
Моменты случайной величины
Условное математическое ожидание

Примечания[править | править код]

↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — : «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
↑ А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — : МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ В.Е.Гмурман. Часть вторая. Случайные величины. ->
Глава 4. Дискретные случайные величины. ->
Параграф 3. // [http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ]. — 1979. — С. 63. — 400 с. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
↑ Пытьев Ю. П., Шишмарев И. А., Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический факультет МГУ, 2010.
↑ Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках. sernam.ru. Дата обращения: 10 января 2018. Архивировано 10 января 2018 года.

Литература[править | править код]

Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки[править | править код]

Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru

Источник

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Понравилось? Добавьте в закладки

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку “Вычислить”.
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Источник

Определение
1.
Математическим
ожиданием непрерывной случайной величины
X
с
плотностью
вероятности
f(х)
называют величину несобственного
интеграла (если он сходится):

Определение
2.
Дисперсией
непрерывной случайной величины X,
математическое ожидание которой М(Х)
= а и
функция
f(х)
является
ее плотностью вероятности, называется
величина несобственного интеграла
(если он сходится):

Можно показать,
что математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины имеют
те же свойства, что и математическое
ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины.

Для
непрерывной случайной величины X
среднее
квадратическое отклонение

(Х)
определяется, как и для дискретной
величины, формулой

.

Пример
4.
Случайная величина X
задана плотностью вероятности

Определить
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
величины X.

Решение.
Согласно
определениям 1 и 2

и,
наконец,

4.5. Некоторые законы распределения случайных величин

1.
Биномиальное распределение. Пусть
производится п
испытаний,
причем вероятность появления события
А
в
каждом испытании равна р
и
не зависит от исхода других испытаний
(независимые испытания). Так как
вероятность наступления события А
в
одном испытании равна р,
то вероятность его ненаступления равна
q
= 1

р.

Найдем
вероятность того, что при n
испытаниях событие А
наступит
т
раз
(т

п).

Пусть
событие А
наступило
в первых т
испытаниях
т
раз
и не наступило во всех последующих
испытаниях. Это сложное событие можно
записать в виде произведения:

Общее
число сложных событий, в которых событие
А
наступает
т
раз,
равно числу сочетаний из п
элементов
по т
элементов.
При этом вероятность каждого сложного
события равна: p^mqⁿ^–^m.
Так
как эти сложные события являются
несовместимыми, то вероятность их суммы
равна сумме их вероятностей. Итак, если
Р_п(т)
есть
вероятность появления события А
т раз
в п
испытаниях,
то

или

(1)

Формулу
(1) называют формулой
Бернулли.

Пример
1.
Пусть всхожесть семян данного растения
составляет 90%. Найти вероятность того,
что из четырех посеянных семян взойдут:
а) три; б) не менее трех.

Решение.
а) В данном случае n
= 4, т
= 3,
р
= 0,9,
q
= 1

p
= 0,1.
Применим
формулу
Бернулли
(1):

б)
Здесь событие А
состоит
в том, что из четырех семян взойдут или
три, или четыре. По теореме сложения
вероятностей
.
Но Р₄(4)
=
(0,9)⁴
=
0,6561. Поэтому Р(А)
= 0,2916
+ 0,6561 = 0,9477.

Снова
рассмотрим n
независимых испытаний, в каждом из
которых наступает событие А
с
вероятностью р.
Обозначим
через X
случайную
величину, равную числу появлений события
А
в
п
испытаниях.

Понятно,
что событие А
может
вообще не наступить, наступить один
раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить
п
раз.
Следовательно, возможными значениями
величины X
будут
числа 0, 1, 2, …, n

1, п.
По
формуле Бернулли можно найти вероятности
этих значений:

Запишем полученные
данные в виде таблицы распределения:

	0	1	…	m	…	n
p	qⁿ		…		…	pⁿ

Построенный
закон распределения дискретной случайной
величины X
называют
законом
биномиального распределения.

Найдем
М(Х).
Очевидно,
что X_i

число
появлений события А
в
каждом испытании 
представляет собой случайную величину
со следующим распределением:

X_i	0	1
p_i	q	p

Поэтому
М(Х_i)
=

.
Но
так как X
=
Х₁
+ … +Х_n,
то
М(Х)
= пр.
Найдем далее D(X)
и

(Х).
Так
как величина

имеет
распределение

X_i²	0²	1²
p_i	q	p

то
M(X_i²)=

.
Поэтому

Наконец,
в силу независимости величин X₁,
X₂,
…, Х_n,

Отсюда

Пример
2.
Случайная величина X
определена
как число выпавших гербов в результате
100 бросаний монеты. Вычислить математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение X.

Решение.
Вероятность появления герба в каждом
бросании монеты

.
Следовательно, вероятность непоявления
герба

.
Случайная
величина X
имеет
биномиальное распределение при п
= 100
и

.
Поэтому

Пример
3.
Допустим, что для хищника вероятность
поимки отдельной жертвы составляет 0,4
при каждом столкновении с жертвой.
Каково ожидаемое число пойманных жертв
в 20 столкновениях?

Решение.
Это пример биномиального распределения
при п
= 20
и р
= 0,4.
Ожидаемое число есть М(Х)
= пр =

=
=8.

2.
Локальная и интегральная предельные
теоремы Лапласа. Если
число испытаний п
велико,
то вычисления по формуле Бернулли
становятся затруднительными. Лаплас
получил важную приближенную формулу
для вероятности Р_n(т)
появления
события А
точно
m
раз, если п
достаточно
большое число. Им же получена приближенная
формула и для суммы вида

.

Локальная
предельная теорема Лапласа.
Пусть р=Р(А)

вероятность события А, причем 0
< р
< 1.
Тогда вероятность того, что в условиях
схемы Бернулли событие А при п испытаниях
появится точно т раз, выражается
приближенной формулой Лапласа

(2)

где

Для
функции

имеется
таблица (см. приложение 1) ее значений
для положительных значений х
(функция

четная).

Пример
4.
Вероятность поражения цели стрелком
при одиночном выстреле равна р
= 0,2.
Какова вероятность того, что при 100
выстрелах цель будет поражена ровно 20
раз?

Решение.
Здесь р
= 0,2, q
= 0,8,
n
= 100 и т
= 20.
Отсюда

и, следовательно,

Учитывая,
что

,
из формулы (2) получаем

(для
получения приближен-ного равенства

можно использовать калькулятор).

Перейдем
к интегральной
предельной теореме
Лапласа.
Поставим следующий вопрос, какова
вероятность того, что в условиях схемы
Бернулли событие А,
имеющее
вероятность Р(А)
= р (0 < р
< 1), при п
испытаниях
(как и прежде, число испытаний велико)
появится не менее k
раз и не
более l
раз. Эту искомую вероятность обозначим
через P_n(k,
l).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
01.05.2022204.8 Кб0Учебники 6027.doc
#

Источник

Функция распределения случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Пусть

– действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что

примет значение, меньшее

, то есть вероятность
события

обозначим через

. Разумеется, если

изменяется, то, вообще говоря, изменяется и

, то есть

– функция от

Функцией распределения называют функцию

, определяющую вероятность
того, что случайная величина

в результате испытания примет значение,
меньшее

, то есть:

Геометрически
это равенство можно истолковать так:

есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки

Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».

Функцию
распределения дискретной случайной величины

можно представить следующим соотношением:

Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции

равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения
функции распределения принадлежат отрезку

Свойство 2.

– неубывающая функция, то есть:

,
если

Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу

,
то:

при

;

при

Свойство 4.

Справедливо равенство:

Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная
величина

примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности

означает, что событие

невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным

Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси

,
то справедливы следующие предельные соотношения:

Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Математическое ожидание
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач

Пример 1

Дан ряд
распределения случайной величины

	1	2	6	8
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Будем задавать различные значения

и находить для них

1. Если

,
то, очевидно,

в том числе и при

2. Пусть

(например

)

Очевидно, что и

3. Пусть

(например

);

Очевидно, что и

4. Пусть

Очевидно, что и

5. Пусть

Итак:

График функции распределения

Пример 2

Случайная
величина

задана функцией распределения:

Найти
вероятность того, что в результате испытания

примет значение:

а) меньше
0,2;

б) меньше
трех;

в) не
меньше трех;

г) не
меньше пяти.

Решение

а) Так
как при

функция

, то

то есть
при

б)

в)
События

противоположны, поэтому

Отсюда:

г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в
силу того что при

функция

, получим:

Пример 3

Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

, сразу можем отметить,
что:

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

Получаем:

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

4) Вычислим
математическое ожидание:

В нашем случае:

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

5) Вероятность того, что

примет значение из интервала

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=

Задача 2

Случайная
величины X задана функцией распределения

Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)

Задача 3

Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1)
функцию распределения F(x) и ее график;

2)
математическое ожидание M(X);

3)
дисперсию D(X).

	-5	5	25	45	65
	0.2	0.15	0.3	0.25	0.1

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Найти

; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)

Задача 5

В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).

Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить
графики функций f(x);F(x).

Задача 6

Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна

(

). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.

Задача 7

Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1)
параметр a;

2)
плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

Задача 8

Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).

Задача 9

Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).

Задача 10

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а)
постоянную C=const;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1

г)
построить графики f(x), F(x).

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Свойства математического ожидания[править | править код]

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Как найти математическое ожидание?

Формула среднего случайной величины

Пример нахождения математического ожидания

Вычисление математического ожидания онлайн

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Полезные ссылки

4.5. Некоторые законы распределения случайных величин

Функция распределения случайной величины

Краткая теория

Свойства функции распределения

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Вам также может понравиться

Как найти второй вектор

Как составить электронные формулы атомов 3 периода

Как найти управу на судебных приставов исполнителей

Добавить комментарий Отменить ответ