Как найти математическое ожидание двумя способами

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Определение. Математическим
ожиданием

дискретной случайной величиныназывается выражение, вычисляемое по
формуле:

,
(6.1.1)

где
— значения случайной величины,— соответствующие им вероятности,
которые определяются равенством.

Для существования математического
ожидания необходимо, чтобы ряд (6.1.1)
сходился абсолютно, т.е.

,(6.1.2)

в противном
случае говорят, что математическое
ожидание не существует.

Пример 1.Пусть— случайная величина, равная числу
выпавших очков при бросании игрального
кубика. Найти математическое ожидание
случайной величины.

 Решение. Случайная величинаимеет следующий ряд распределения:

	1	2	3	4	5	6

Применяя формулу (6.1.1), получим

.

Таким образом, математическое ожидание
числа выпавших очков при бросании
игрального кубика равно
.

Пример 2. Найти математическое
ожидание случайной величины— число успехов в схеме Бернулли.

 Решение. Как известно, распределение
случайной величинызадается формулой

где
— вероятность «успеха»,,— количество испытаний в схеме Бернулли.

Используя формулу (6.1.1), получим

Таким образом, математическое ожидание
числа успехов в схеме Бернулли равно
.

Определение.Математическим
ожиданием
непрерывной случайной величиныназывается интеграл :

.
(6.1.3)

Условием существования математического
ожидания непрерывной случайной величины
является абсолютная сходимость интеграла

.
(6.1.4)

Пример 3. Найти математическое
ожидание случайной величины,
плотность которой имеет вид:

 Решение: Используя (6.1.3), получим

.


Пример 4. Найти математическое
ожидание случайной величины,
плотность которой имеет вид:

.

 Решение. Используя (6.1.3), получим

.
(6.1.5)

Делаем замену
или.
В этом случае (6.1.5) примет вид:

(6.1.6)

Первое слагаемое равно нулю, т.к. равен
нулю интеграл

.

Интеграл во втором слагаемом равен 1,
т.к. этот интеграл равен функции
распределения нормального закона с
параметрами
при значении аргумента равным,
т.е.

.

Таким образом, математическое ожидание
равно
.

Пример 5. Случайная величинаимеет плотность Коши:

.
(6.1.7)

Проверить,
имеет ли случайная величина
математическое ожидание.

 Решение. Проверим условие (6.1.4)
существования математического ожидания

.

Математическое ожидание случайной
величины
,
имеющей плотность Коши, не существует,
т.к. условие существования математического
ожидания не выполнено.

§2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания

Пусть
— функция от случайной величины.
Определим математическое ожидание.
Это возможно сделать двумя способами.
Первый способ состоит в том, что сначала
строится распределение случайной
величины,
затем уже находим.
Мы рассмотрим другой способ. Пусть
сначала— дискретная случайная величина,
принимающая значения.
Тогда случайная величинапринимает значенияс теми же вероятностями.
В этом случае математическое ожидание
определяется по формуле

.
(6.2.1)

В случае, если случайная величина
принимает счетное число значений, то
математическое ожидание случайной
величиныопределяется по формуле

.
(6.2.2)

При этом
условие существования математического
ожидания (6.1.4) примет вид:

.
(6.2.3)

Пример 6. Случайная величинаимеет ряд распределения:

	4	16	100
	0,7	0,1	0,2

Найти
математическое ожидание математической
величины:
.

 Решение. Для решения задачи
применим формулу (6.2.1).

Таким образом, математическое ожидание
математической величины
равно 28,2.

Пусть
— непрерывная случайная величина,
имеющая плотность распределения.
Пусть функциянепрерывная (за исключением, быть может,
счетного числа точек). Тогда математическое
ожидание случайной величиныопределяется по формуле

.
(6.2.4)

Условие существования математического
ожидания случайной величины
имеет вид:

.
(6.2.5)

Пример 7. Случайная величинаимеет нормальное распределение с
параметрами,
т.е. ее плотность имеет вид:

.

Найти
математическое ожидание случайной
величины
.

 Решение. Используя формулу (6.2.4),
получаем:

.

Пример 8. Случайная величинараспределена равномерно в интервале,
т.е.

Найти
математическое ожидание случайной
величины
.

 Решение.Используя формулу (6.2.4.)
, получаем:

.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной
равно самой этой постоянной, т.е.

,
где.

Доказательство. Постояннуюможно рассматривать как случайную
величину, принимающую только одно
значениес вероятностью 1. Следовательно,

.

2.
.

Доказательство. Пусть— непрерывная случайная величина. Тогда
для случайной величиныпо формуле (6.2.4.) получаем:

Аналогично доказывается и для дискретной
случайной величины. 

3. Для любых случайных величин
иматематическое ожидание их суммы
случайных величин равно сумме их
математических ожиданий, т.е.

.

Доказательство. Пусть случайные
величиныи— дискретные. Случайная величинапринимает значения_,
а случайная величинапринимает значения.
Рассмотрим случайную величину.
Случайная величинапринимает значенияс вероятностями.
Тогда:

При доказательстве
воспользовались тем, что

и.

Действительно,
учитывая, что

,

то

,

аналогично
доказывается, что

.

Аналогично доказывается и для непрерывной
случайной величины. 

4. Если
инезависимые случайные величины, то
математическое ожидание произведения
случайных величин равно произведению
их математических ожиданий, т.е.

.

Доказательство. Пусть величиныи— дискретные. В силу независимости
случайных величин имеет место равенство:

.
Тогда

Аналогично доказывается и для дискретной
случайной величины. 

Заметим, что свойство 3 допускает
обобщение на сумму любого числа слагаемых,
а свойство 4 допускает обобщение на
произведение любого числа независимых
(в совокупности) сомножителей.

Пример 9. Найти математическое
ожидание случайной величины— число успехов в схеме Бернулли.

 Решение. Представим число успеховв схеме Бернулли изnиспытаний в виде,
где— число успехов вi-ом
испытании. Очевидно, что.
По свойству 3 математического ожидания,
получаем

.

Этот результат
совпадает с результатом примера 3, но
получен более легкими вычислениями. 

Пример 10. Производится ряд независимых
опытов, в каждом из которых может
появиться событиеA.
Вероятность событияAв
каждом опыте равнаp. Опыты
производятся до первого появления
события А, после чего они прекращаются.
Случайная величина— число произведенных опытов. Найти.

 Решение. Рассмотрим событие,
в этом случае событиеAпроизошло при первом опыте, т.о..
Перейдем к событию,
в этом случае событиеAпри первом опыте не произошло, но
произошло при втором опыте, т.о..

Производя
аналогичные рассуждения, получаем ряд
распределения:

	1	2	3	…
				…

Используя
формулу (6.1.1), получим:

Таким образом,
математическое ожидание равно
.

Пример 11. Независимые случайные
величиныизаданы своими рядами распределений:

Для случайной
величины
найти математическое ожидание двумя
способами:

1. по
   определению математического ожидания;

2. по свойствам
   математического ожидания.

 Решение. Рассмотрим 1 способ
нахождения математического ожидания.
Для этого составим ряд распределения
случайной величины.
Для этого удобно воспользоваться
таблицей сумми соответствующих им вероятностей.
Например:.

Далее очень легко получить ряд
распределения случайной величины
.

Z	-1	0	1	2	3
P	1/24	1/6	7/24	1/3	1/6

Естественно, можно было бы обойтись и
без таблицы. Например:

Используя ряд распределения, находим
математическое ожидание

.

Перейдем ко второму способу нахождения
математического ожидания случайной
величины
.
Используя свойство 3, получим:

.

Соседние файлы в папке пособия

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Свойства математического
ожидания

Свойство  1.  Математическое  ожидание 
по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2.   Постоянный
множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: М(СХ) =
СМ(Х).

Для понимания последующих
свойств дополнительно введем несколько комментарий

Две случайные величины
называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит
от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае
случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают
взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не
зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведение независимых
случай­ных величин X и Y можно определить как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного
значения X на каждое
возможное значение У; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных
значений сомножителей. Причем некоторые произведения  могут оказаться рав­ными между собой. В этом
случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих
вероятностей.

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух
независимых случайных величин равно произведе­нию математических ожиданий
сомножителей

M(XY) = M(X)·M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния
нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий.

Например, для трех
случайных  величин имеем:

М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z).

Для произвольного числа
случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух
случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое
ожидание разности двух случайных величин равно разности  их математических ожиданий слагаемых.

M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y)
= M(X)-M(Y)

Эти свойство также
распространяется на любое количество событий

Задание 5-6.
Выполнить задания, используя свойства математического ожидания.

1. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами распределения:

X         5         2         4                                      Y         7         9

р        0,6       0,1      0,3                                    р       
0,8      0,2

Найти математическое ожидание
случайной величины XY .и X+Y

Решение.
М(Х) = 4.4;   М (Y)= 7,4;   
M(XY)=4,4·7,4=32,56;

  M(X+Y) =
4,4+7,4=11,8

2. Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4; р_а
= 0,3 и р_а = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа
попаданий.

Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть слу­чайная величина Xi, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с
вероятностью Pi =
0,4 и 0 (промах) с вероятностью 0=1-0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа
попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, М(Х₁)=
0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и
третьем выстрелах: М(Х₂)=0,3, М (X₃) = 0.6.

Общее число попаданий есть
также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Математическое ожидание
находим по теореме о мате­матическом ожидании суммы:

М (X) = М(Х_г + X_z + Х_я) = М (Х₁)
+ М (Х₂) + М (Х₃) =.0,4+0,3 + 0,6 = 1,3
(попаданий).

3.  Найти математическое ожидание суммы числа
очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение.
Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй – через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и
6, причем вероят­ность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое
ожидание числа очков, которые могут выпасть на каждой кости:

M(X) = М (У) = 1·1/6 + 2·6 +3·1/6 +4·6+5·6+5·6=
7/2.

Искомое математическое
ожидание  М (X + Y) = М (X) + М (У) = 7/2 + 7/2 = 7.

Замечание. При проведении независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность наступления события одинаковая, математическое ожидание равно
произведению числа таковых испытаний на эту вероятность.

Задание 5-7. Найти
математическое ожидание независимых испытаний

1. Произведено
10 выстрелов. Вероятность попадания 
каждого – 0,6. Вычислить математическое ожидание события попаданий.

Решение. M=10·0,6=6

Задание 5-8.

1.
Найти   математическое ожидание случайной
дискретной величины, зная  закон ее распределения:

X         6         3        1

р      0,2      0,3      0,5            Ответ:2,6.

2.  Производится  
4   выстрела.  Вероятность попадания каждого в цель равна 0,6;
0,2; 0.4; 0.5; 0,7.  Найти
математическое ожидание общего числа попаданий.

Ответ: 2,2 попадания.

4.  Независимые случайные дискретные величины
заданы законами распределения:

Х       1       
2                          Y       
0,5        1

р      0,2      0,8                         р        0,3     
0,7

Найти математическое  ожидание произведения XY двумя способами: а)   составив  
закон   распределения   XY;   б)  
пользуясь   свойством   3.    
Ответ: 1,53.

4.
Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти
математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут
подвергнуты 10 деталей.    Ответ: 2
детали.

5.  Найти  
математическое  ожидание   произведения   числа очков, которые могут выпасть при одном
бросании двух игральных костей.    Ответ:12,25
очка.

6. Найти математическое ожидание
числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20
билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.     Ответ: 6 билетов.

5.2. Дисперсия случайной
дискретной   величины  

Для  сравнения нескольких величин не всегда
достаточно одного математического ожидания. 
Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые
математические ожидания, но возможные различные значения.

Рассмотрим случайные
дискретные величины X и Y, заданные
сле­дующими законами распределения;

X     -0,01    
0,01         Y    
-100     100

р       0,5      0,5           р        0,5     
0,5         М(Х) = 0 для обеих
величин одинаковое.

Несмотря на то математические
ожидания этих величин одинаковые и равны, возможные значения этих величин различны.
Причем величина X
имеет воз­можные значения, близкие к математическому ожиданию, а величина У –
далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь
математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие
возможные значения она может принимать, ни о том, как они рас­сеяны вокруг математического
ожидания. Другими сло­вами, математическое ожидание полностью случайную
величину не характеризует.

Для того чтобы оценить
характер отклонения (рассеивания) зна­чений случайной величины вокруг ее
математического ожидания вводится числовой характе­ристикой  – дисперсия.

Пусть X – случайная величина,  М (X) – ее ма­тематическое ожидание.

Отклонением (центрированной
случайной вели­чиной) называется
величина, равная разности между случайной ве­личиной и ее математическим
ожиданиям. X – М(Х).

Xi	x1	x2	…	xn
Pi	p1	p2	…	pn

Пусть закон распределения X известен и задан таблицей

Напишем закон распределения
отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х_i – М
(X), доста­точно, чтобы
случайная величина приняла значение х_i  Вероятность же этого события равна р_i‘, следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х_i
 – М (X), также равна р_i.

хi – М (X)	x1  – М(Х)	x2– М(Х)	…	xn– М(Х)
Pi	p1	p2	…	pn

Таким образом, отклонение
имеет следующий закон распределения:

Глава 7. Задача 3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

и

Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами:
а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3.

Решение.

Решение а).

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y:

(x_1y_1 = 1cdot 0,5 = 0,5).

(x_1y_2 = 1cdot 1 = 1).

(x_2y_1 = 2cdot 0,5 = 1).

(x_2y_2 = 2cdot 1 = 2).

Вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей:

(p_1g_1 = 0,2cdot 0,3 = 0,06).

(p_1g_2 = 0,2cdot 0,7 = 0,14).

(p_2g_1 = 0,8cdot 0,3 = 0,24).

(p_2g_2 = 0,8cdot 0,7 = 0,56).

Произведения (x_1y_2) и (x_2y_1) равны между собой, поэтому вероятность возможного значения произведения будет равна сумме соответствующих вероятностей ((p_1g_2 + p_2g_1)).

Закон распределения XY:

XY	0,5	1	2
p	0,06	0,38	0,56

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

(M(XY) = 0,5cdot 0,06 +1cdot 0,38 +2cdot 0,56 = 1,53).

Решение б).

Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

(M(X) = 1cdot 0,2 + 2cdot 0,8 = 1,8).

(M(Y) = 0,5cdot 0,3 +1cdot 0,7 = 0,85).

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

(M(XY) = M(X)cdot M(Y) = 1,8cdot 0,85 = 1,53).

Ответ. 1,53.

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

1. Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
2. Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет “1” — 1/6, “2” — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
2. Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
3. Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
4. Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
5. Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.