Как найти математическое ожидание случайной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Рассмотрим случайную
функцию Х(t).
При фиксированном значении аргумента,
например при t=t₁,
получим
сечение—случайную величину Х(t₁)
с математическим ожиданием М[X(t₁)].
(Полагаем, что математическое ожидание
любого сечения существует.) Таким
образом, каждое фиксированное значение
аргумента определяет сечение—случайную
величину, а каждой случайной величине
соответствует ее математическое
ожидание. Отсюда следует, что каждому
фиксированному значению аргумента t
соответствует определенное математическое
ожидание; это означает, что математическое
ожидание случайной функции есть функция
(неслучайная) от аргумента t;
ее обозначают через m_x(t).
В частном случае функция т_x(t)
может сохранять постоянное значение
при всех допустимых значениях аргумента.
Дадим теперь определение математического
ожидания.

Математическим
ожиданием случайной функции Х(t)
называют
неслучайную функцию m_x(t),
значение которой при каждом фиксированном
значении аргумента t
равно математическому ожиданию сечения,
соответствующего этому же фиксированному
значению аргумента:

m_x(t)=M[X(t)].

Геометрически
математическое ожидание случайной
функции можно истолковать как «среднюю
кривую», около которой расположены
другие кривые—реализации; при
фиксированном значении аргумента
математическое ожидание есть среднее
значение сечения («средняя ордината»),
вокруг которого расположены его возможные
значения (ординаты).

§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции

Используя свойства
математического ожидания случайной
величины, легко получить свойства
математического ожидания случайной
функции.

Свойство
1.
Математическое
ожидание неслучайной функции
φ(t)(О
равно
самой неслучайной функции:

М[φ(t)]=φ(t).

Свойство
2.
Неслучайный
множитель
φ(t)
можно выносить за знак математического
ожидания:

М[φ(t)Х(t)]=φ(t)М[X(t)]=φ(t)т_x(t).

Свойство
3.
Математическое
ожидание суммы двух случайных функций
равно сумме математических ожиданий
слагаемых:

M[X(t)+Y(t)]=m_x(t)+m_y(t).

Следствие.
Для
того чтобы найти математическое ожидание
суммы случайной и неслучайной функций,
достаточно к математическому ожиданию
случайной функции прибавить неслучайную
функцию:

M[X(t)+φ(t)]=m_x(t)+φ(t).

Рекомендуем
самостоятельно доказать приведенные
свойства, учитывая, что при любом
фиксированном значении аргумента
случайная функция является случайной
величиной, а неслучайная функция—постоянной
величиной. Например, свойство 3 доказывается
так: при фиксированном значении аргумента
случайные функции Х(t)
и У(t)
являются случайными величинами, для
которых математическое ожидание суммы
равно сумме математических ожиданий
слагаемых.

Пример.
Найти математическое ожидание случайной
функции X(t)=Ucost,
где U—случайная
величина, причем M(U)=2.

Решение. Найдем
математическое ожидание, учитывая, что
неслучайный множитель cost
можно вынести за знак математического
ожидания:

М[X(t)]=М
[Ucos
t]
=
cos tM(U)
=
2 cost.

Итак, искомое
математическое ожидание m_x(t)=3cost.

§ 6, Дисперсия случайной функции

Рассмотрим случайную
функцию Х(t).
При фиксированном значении аргумента,
например при t=t₁,
получим
сечение—случайную величину Х(t₁)
с дисперсией D[X(t₁)]=0
(предполагается, что дисперсия любого
сечения существует). Таким образом,
каждое фиксированное значение аргумента
определяет сечение—случайную величину,
а каждой случайной величине соответствует
ее дисперсия. Отсюда следует, что каждому
фиксированному значению аргумента t
соответствует определенная дисперсия;
это означает, что дисперсия случайной
функции есть функция (неслучайная,
причем неотрицательная) от аргумента
t;
ее обозначают через D_x(t).
В частном случае D_x(t)
может сохранять постоянное значение
при всех допустимых значениях аргумента.
Дадим теперь определение дисперсии.

Дисперсией
случайной функции Х(t)
называют неслучайную неотрицательную
функцию D_x(t),
значение которой при каждом фиксированном
значении аргумента t
равно дисперсии сечения, соответствующего
этому же фиксированному значению
аргумента:

D_x(t)=D[X(t)].

Дисперсия
характеризует степень рассеяния
возможных реализации (кривых) вокруг
математического ожидания случайной
функции («средней кривой»). При
фиксированном значении аргумента
дисперсия характеризует степень
рассеяния возможных значений (ординат)
сечения вокруг математического ожидания
сечения («средней ординаты»).

Часто вместо
дисперсии рассматривают среднее
квадратическое отклонение случайной
функции, которое определяют по аналогии
со средним квадратическим отклонением
случайной величины.

Средним
квадратическим отклонением случайной
функции
называют квадратный корень из дисперсии:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Функции случайных величин

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=varphi(X_1,X_2,ldots,X_n).

(6.1)

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=varphi(X).

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{X}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Тогда Y=varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) . Если все значения y_1,y_2,ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,ldots,n события ${X=x_k}$ и ${Y=y_k=varphi(x_k)}$ тождественны. Следовательно,

$P{Y=y_k}=P{X=x_k}=p_k$

и искомый ряд распределения имеет вид

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{Y}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Если же среди чисел y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция x=psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

g(y)=fbigl(psi(y)bigr)cdot |psi'(y)|.

(6.2)

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-x^2/2}$

Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-infty;+infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции varphi(x)=x^3 есть psi(y)=sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y} , ее производная $psi'(y)=frac{1}{3sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$ . Следовательно,

$g(y)=frac{1}{3sqrt{2pi}}e^{-sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}/2}frac{1}{sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=varphi(x) такова, что обратная функция x=psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим x_1=psi_1(y),x_2=psi_2(y),ldots,x_n=psi_n(y) , где — число участков, на которых функция y=varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

$g(y)=sumlimits_{k=1}^{n}fbigl(psi_k(y)bigr)cdot |psi'_k(y)|.$

(6.3)

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

$begin{gathered}x_1=psi_1(y)=+sqrt{y};\x_2=psi_2(y)=-sqrt{y}.end{gathered}$

Применяя формулу (6.3), получаем:

$begin{gathered}g(y)=f(psi_1(y))|psi'_1(y)|+f(psi_2(y))|psi'_2(y)|=\\=frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(-sqrt{y^2}right)^2/2}!left|-frac{1}{2sqrt{y}}right|+frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(sqrt{y^2}right)^2/2}!left|frac{1}{2sqrt{y}}right|=frac{1}{sqrt{2pi{y}}},e^{-y/2}.end{gathered}$

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .

Пусть f(x_1;x_2) — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

$left{!begin{gathered}y=varphi(x_1;x_2);hfill\y_1=x_1.hfillend{gathered}right.$

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

$left{!begin{gathered}x_2=psi(y;y_2);hfill\x_1=y_1.hfillend{gathered}right.$

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

$g_1(y)=intlimits_{-infty}^{+infty}f(x_1;psi(y;x_1))!left|frac{partialpsi(y;x_1)}{partial{y}}right|dx_1.$

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Y=varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[varphi(X)].

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{x_i}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{y_i=varphi(x_i)}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины можно определить по формуле

$M[varphi(X)]=sumlimits_{i=1}^{n}varphi(x_i)p_i,$

(6.4)

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции , а достаточно знать закон распределения аргумента .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

$M[varphi(X)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi(x)f(x),dx,$

где f(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

$M(XY)=M(X)M(Y)+mu_{xy}.$

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[varphi(x)]=M[(varphi(x)-M(varphi(x)))^2] , где M(varphi(x))=M[varphi(X)] .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=varphi(X) дисперсия выражается формулой

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}(varphi(x)-M(varphi(x)))^2f(x),dx,$

(6.5)

где M(varphi(x))=M[varphi(X)] — математическое ожидание функции ; f(x) — плотность распределения величины .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi^2(x)f(x),dx-M^2(X)$

Рассмотрим теоремы о дисперсиях, которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]+2sumlimits_{i<j}mu_{x_ix_j}$

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]$

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

D[XY]=D[X]D[Y]+M^2(X)D[Y]+M^2(Y)D[X].

Корреляционный момент функций случайных величин

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин и , имеем

$mu_{xy}=M[(X-M(X))(Y-M(Y))].$

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

$mu_{xy}=M(XY)-M(X)M(Y).$

(6.6)

Рассмотрим две функции случайной величины

Y_1=varphi_1(X);qquad Y_2=varphi_2(X).

Согласно формуле (6.6)

$mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).$

отсюда

$mu_{y_1y_2}=M(varphi_1(X)varphi_2(X))-M(varphi_1(X))M(varphi_2(X)).$

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции.

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

$|mu_{xy}|leqslantsqrt{D[X]cdot D[Y]}=sigma_xcdot sigma_y,$

где sigma_x,sigma_y — средние квадратические отклонения величин и .

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

$|r_{xy}|leqslant1.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции

При решении различных задач,
связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко
пользуется аппаратом случайных величин. Для того чтобы пользоваться этим
аппаратом, необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче
случайных величии. Вообще говоря, эти законы могут быть определены из опыта, но
обычно опыт, целью которого является определение закона распределения случайной
величины или системы случайных величин (особенно в области военной техники),
оказывается и сложным и дорогостоящим. Естественно возникает задача – свести
объем эксперимента к минимуму и составлять суждение о законах распределения
случайных величин косвенным образом, на основании уже известных законов
распределения других случайных величин. Такие косвенные методы исследования
случайных величин играют весьма большую роль в теории вероятностей. При этом
обычно интересующая нас случайная величина представляется как функция других
случайных величин; зная законы распределения аргументов, часто удается
установить закон распределения функции. С рядом задач такого типа мы встретимся
в дальнейшем (см. главу 12).

Однако на практике часто
встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон
распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его
числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, иногда – некоторые
из высших моментов. К тому же очень часто самые законы распределения аргументов
бывают известны недостаточно хорошо. В связи с этим часто возникает задача об
определении только числовых характеристик функций случайных величин.

Рассмотрим такую задачу:
случайная величина есть
функция нескольких случайных величин :

Пусть нам известен закон
распределения системы аргументов ; требуется найти числовые характеристики
величины , в
первую очередь – математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось
тем или иным способом найти закон распределения величины . Тогда задача об определении числовых
характеристик становится тривиальной; они находятся по формулам:

;

и т.д.

Однако самая задача нахождения
закона распределения величины
часто
оказывается довольно сложной. К тому же для решения поставленной нами задачи
нахождение закона распределения величины как такового вовсе и не нужно: чтобы
найти только числовые характеристики величины , нет надобности знать ее закон
распределения; достаточно знать закон распределения аргументов . Более того, в
некоторых случаях, для того чтобы найти числовые характеристики функции, не
требуется даже знать закона распределения ее аргументов; достаточно бывает
знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов.

Таким образом, возникает задача
определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов
распределения этих функций.

Рассмотрим задачу об определении
числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов.
Начнем с самого простого случая – функции одного аргумента – и поставим
следующую задачу.

Имеется случайная величина с заданным законом
распределения; другая случайная величина связана с функциональной зависимостью:

Требуется, не находя закона
распределения величины , определить ее математическое ожидание:

. (10.1.1)

Рассмотрим сначала случай, когда есть прерывная
случайная величина с рядом распределения:

Выпишем возможные значения
величины и
вероятности этих значений:

(10.1.2)

Таблица (10.1.2) не является в
строгом смысле слова рядом распределения величины , так как в общем случае некоторые из
значений

(10.1.3)

могут
совпадать между собой; к тому же эти значения в верхнем столбце таблицы
(10.1.2) не обязательно идут в возрастающем порядке. Для того чтобы от таблицы
(10.1.2) перейти к подлинному ряду распределения величины , нужно было бы расположить
значения (10.1.3) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствующие
равным между собой значениям , и сложить соответствующие вероятности.
Но в данном случае нас не интересует закон распределения величины как таковой; для наших
целей – определения математического ожидания – достаточно такой
«неупорядоченной» формы ряда распределения, как (10.1.2). Математическое
ожидание величины можно
определить по формуле

(10.1.4)

Очевидно,
величина ,
определяемая по формуле (10.1.4), не может измениться от того, что под знаком
суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (10.1.4) для
математического ожидания функции не содержится в явном виде закона
распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента.
Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не
требуется знать закон распределения этой функции, а достаточно знать закон
распределения аргумента.

Заменяя в формуле (10.1.4) сумму
интегралом, а вероятность – элементом вероятности, получим
аналогичную формулу для непрерывной случайной величины:

. (10.1.5)

где
– плотность
распределения величины .

Аналогично может быть определено
математическое ожидание функции от двух случайных аргументов и . Для прерывных величин

, (10.1.6)

где
–
вероятность того, что система примет значения .

Для непрерывных величин

, (10.1.7)

где
– плотность
распределения системы .

Совершенно аналогично
определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных
аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

, (10.1.8)

где
– плотность
распределения системы .

Формулы типа (10.1.8) весьма часто
встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об
осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое
ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо
закона распределения функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые
характеристики функции – моменты различных порядков. Так как каждый момент
представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой
случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено
приемами, совершенно аналогичными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные
формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного
случайного аргумента выражается формулой

, (10.1.9)

где
–
математическое ожидание функции ; – плотность распределения величины .

Аналогично выражается дисперсия
функции двух аргументов:

, (10.1.10)

где
–
математическое ожидание функции ; – плотность распределения системы .

Наконец, в случае произвольного
числа аргументов, в аналогичных обозначениях:

. (10.1.11)

Заметим, что часто при вычислении
дисперсии бывает удобно пользоваться соотношением между начальным и центральным
моментами второго порядка (см. главу 5) и писать:

; (10.1.12)

; (10.1.13)

. (10.1.14)

Формулы (10.1.12) – (10.1.14)
можно рекомендовать тогда, когда они не приводят к разностям близких чисел, т.
е. когда сравнительно
невелико.

Рассмотрим несколько примеров,
иллюстрирующих применение изложенных выше методов для решения практических
задач.

Пример 1. На плоскости задан
отрезок длины (рис.
10.1.1), вращающийся случайным образом так, что все направления его одинаково
вероятны. Отрезок проектируется на неподвижную ось . Определить среднее значение
длины проекции отрезка.

Рис. 10.1.1

Решение. Длина проекции равна:

где
угол –
случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке .

По формуле (10.1.5) имеем:

Пример 2. Удлиненный осколок
снаряда, который можно схематически изобразить отрезком длины , летит, вращаясь вокруг
центра массы таким образом, что все его ориентации в пространстве одинаково
вероятны. На своем пути осколок встречает плоский экран, перпендикулярный к
направлению его движения, и оставляет в нем пробоину. Найти математическое
ожидание длины этой пробоины.

Решение. Прежде всего дадим
математическую формулировку утверждения, заключающегося в том, что «все ориентации
осколка в пространстве одинаково вероятны». Направление отрезка будем характеризовать единичным
вектором (рис.
10.1.2).

Рис. 10.1.2

Направление
вектора в
сферической системе координат, связанной с плоскостью , на которую производится проектирование,
определяется двумя углами: углом , лежащим в плоскости , и углом , лежащим в плоскости,
перпендикулярной к .
При равной вероятности всех направлений вектора все положения его конца на поверхности
сферы единичного радиуса должны обладать одинаковой плотностью
вероятности; следовательно, элемент вероятности

где
– плотность
распределения углов ,
должен быть пропорционален элементарной площадке на сфере ; эта элементарная площадка равна

откуда

;
,

где
–
коэффициент пропорциональности.

Значение коэффициента найдем из соотношения

откуда

Таким образом, плотность
распределения углов выражается
формулой

при
(10.1.15)

Спроектируем отрезок па плоскость
; длина
проекции равна:

Рассматривая как функцию двух аргументов и и применяя формулу (10.1.7),
получим:

Таким образом, средняя длина
пробоины, оставляемой осколком в экране, равна длины осколка.

Пример 3. Плоская фигура площади беспорядочно вращается
в пространстве так, что все ориентации этой фигуры одинаково вероятны. Найти
среднюю площадь проекции фигуры на неподвижную плоскость (рис. 10.1.3).

Рис. 10.1.3

Решение. Направление плоскости
фигуры в
пространстве будем характеризовать направлением нормали к этой плоскости. С плоскостью свяжем ту же
сферическую систему координат, что в предыдущем примере. Направление нормали к площадке характеризуется
случайными углами и
распределенными
с плотностью (10.1.5). Площадь проекции фигуры на плоскость равна

а
средняя площадь проекции

Таким образом, средняя площадь
проекции произвольно ориентированной плоской фигуры на неподвижную плоскость
равна половине площади этой фигуры.

Пример 4. В процессе слежения
радиолокатором за определенным объектом пятно, изображающее объект, все время
удерживается в пределах экрана. Экран представляет собой круг радиуса . Пятно занимает на
экране случайное положение с постоянной плотностью вероятности. Найти среднее
расстояние от пятна до центра экрана.

Решение. Обозначая расстояние , имеем , где – координаты пятна; в пределах круга и равна нулю за его
пределами. Применяя формулу (10.1.7) и переходя в интеграле к полярным
координатам, имеем:

Пример 5. Надежность (вероятность
безотказной работы) технического устройства есть определенная функция трех параметров
характеризующих работу регулятора. Параметры представляют собой случайные величины с
известной плотностью распределения . Найти среднее значение (математическое
ожидание) надежности устройства и среднее квадратическое отклонение,
характеризующее ее устойчивость.

Решение. Надежность устройства есть функция трех
случайных величин (параметров) . Ее среднее значение (математическое ожидание)
найдется по формуле (10.1.8):

. (10.1.16)

По формуле (10.1.14) имеем:

Формула (10.1.16), выражающая
среднюю (полную) вероятность безотказной работы устройства с учетом случайных
величии, от которых зависит эта вероятность в каждом конкретном случае,
предоставляет собой частный случай так называемой интегральной формулы
полной вероятности, обобщающей обычную формулу полной вероятности на случай
бесконечного (несчетного) числа гипотез.

Выведем здесь эту формулу в общем
виде.

Предположим, что опыт, в котором
может появиться или не появиться интересующее нас событие , протекает в случайных, заранее
неизвестных условиях. Пусть эти условия характеризуются непрерывными случайными
величинами

, (10.1.17)

плотность
распределения которых

Вероятность появления события есть некоторая функция
случайных величин (10.1.17):

. (10.1.18)

Нам нужно найти среднее значение
этой вероятности или, другими словами, полную вероятность события :

Применяя формулу (10.1.8) для
математического ожидания функции, найдем:

. (10.1.19)

Формула (10.1.19) называется интегральной
формулой полной вероятности. Нетрудно заметить, что по своей структуре она
сходна с формулой полной вероятности, если заменить дискретный ряд гипотез
непрерывной гаммой, сумму – интегралом, вероятность гипотезы – элементом
вероятности:

а
условную вероятность события при данной гипотезе – условной вероятностью
события при фиксированных значениях случайных величин:

Не менее часто, чем интегральной
формулой полной вероятности пользуются интегральной формулой полного
математического ожидания. Эта формула выражает среднее (полное)
математическое ожидание случайной величины , значение которой принимается в опыте,
условия которого заранее неизвестны (случайны). Если эти условия
характеризуются непрерывными случайными величинами

с
плотностью распределения

а
математическое ожидание величины есть функция от величин :

то
полное математическое ожидание величины вычисляется по формуле

, (10.1.20)

которая
называется интегральной формулой полного математического ожидания.

Пример 6. Математическое ожидание
расстояния ,
на котором будет обнаружен объект с помощью четырех радиолокационных станций,
зависит от некоторых технических параметров этих станций:

которые
представляют собой независимые случайные величины с плотностью распределения

При фиксированных значениях
параметров математическое
ожидание дальности обнаружения равно

Найти среднее (полное)
математическое ожидание дальности обнаружения.

Решение. По формуле (10.1.20)
имеем:

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 октября 2021 года; проверки требуют 7 правок.

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины^[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Обозначается через ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert);
в русскоязычной литературе также встречается обозначение M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятности «единицы». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определенного кол-ва единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np^[3].

Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству Omega , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или .

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{Omega }!X(omega ),mathbb {P} (domega ).}$

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Если $F_{X}(x)$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!x,dF_{X}(x)}$

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f_{X}(x)$ , равно

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx}$

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

${displaystyle mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}}$

, ${displaystyle sum limits _{i=1}^{infty }p_{i}=1}$

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

${displaystyle mathbb {E} [X]=sum limits _{i=1}^{infty }x_{i},p_{i}}$

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

${displaystyle mathbb {P} (X=j)=p_{j}}$

, ${displaystyle sum limits _{j=0}^{infty }p_{j}=1}$

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности ${p_{i}}$

$P(s)=sum _{{k=0}}^{infty };p_{k}s^{k}$

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то $lim _{{sto 1}}P'(s)=infty$ и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения ${q_{k}}$

${displaystyle q_{k}=mathbb {P} (X>k)=sum _{j=k+1}^{infty }{p_{j}}}$

, ${displaystyle Q(s)=sum _{k=0}^{infty }q_{k}s^{k}.}$

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: $Q(s)={frac {1-P(s)}{1-s}}$ при |s|<1 . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

{displaystyle mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)}

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Пусть $X=(X_{1},dots ,X_{n})^{{top }}colon Omega to {mathbb {R}}^{n}$ — случайный вектор. Тогда по определению

${displaystyle mathbb {E} [X]=(mathbb {E} [X_{1}],dots ,mathbb {E} [X_{n}])^{top }}$

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=sum limits _{i=1}^{infty }g(x_{i})p_{i},}$

если имеет дискретное распределение;

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x)f_{X}(x),dx,}$

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $mathbb {P} ^{X}$ случайной величины общего вида, то

${displaystyle mathbb {E} left[g(X)right]=int limits _{-infty }^{infty }!g(x),mathbb {P} ^{X}(dx).}$

В специальном случае, когда ${displaystyle g(X)=X^{k}}$ , математическое ожидание ${displaystyle mathbb {E} [g(X)]=mathbb {E} [X^{k}]}$ называется -м моментом случайной величины.

Свойства математического ожидания[править | править код]

Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

— константа;

Математическое ожидание линейно^[4], то есть

{displaystyle mathbb {E} [aX+bY]=amathbb {E} [X]+bmathbb {E} [Y]}

где

— случайные величины с конечным математическим ожиданием, а

— произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно — разности) их математических ожиданий.

{displaystyle 0leqslant mathbb {E} [X]leqslant mathbb {E} [Y]}

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то

{displaystyle mathbb {E} [X]=mathbb {E} [Y]}

Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных^[5] случайных величин равно произведению их математических ожиданий

{displaystyle mathbb {E} [XY]=mathbb {E} [X]cdot mathbb {E} [Y]}

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины ${displaystyle Xcolon Omega to mathbb {R} ^{+}}$ определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство:

${displaystyle mathbb {P} left(Xgeqslant aright)leqslant {frac {mathbb {E} (X)}{a}}}$

, где

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, — выпуклая борелевская функция, такие, что $X,varphi (X)in L^{1}(Omega ,{mathcal {F}},{mathbb {P}})$ , то

{displaystyle varphi (mathbb {E} (X))leqslant mathbb {E} (varphi (X))}

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

${displaystyle lim limits _{nto infty }mathbb {E} (X_{n})=mathbb {E} (X)}$

${displaystyle mathbb {E} left(sum _{i=1}^{N}X_{i}right)=mathbb {E} (N)mathbb {E} (X)}$

Примеры[править | править код]

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $mathbb {P} (X=x_{i})={frac {1}{n}},;i=1,ldots ,n.$ Тогда её математическое ожидание

${displaystyle mathbb {E} [X]={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}x_{i}}$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

${displaystyle mathbb {E} [X]=int limits _{a}^{b}!{frac {x}{b-a}},dx={frac {a+b}{2}}}$

Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$int limits _{-infty }^{infty }!xf_{X}(x),dx=infty$

то есть математическое ожидание не определено.

См. также[править | править код]

Дисперсия случайной величины
Моменты случайной величины
Условное математическое ожидание

Примечания[править | править код]

↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — : «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
↑ А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — : МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ В.Е.Гмурман. Часть вторая. Случайные величины. ->
Глава 4. Дискретные случайные величины. ->
Параграф 3. // [http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ]. — 1979. — С. 63. — 400 с. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
↑ Пытьев Ю. П., Шишмарев И. А., Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический факультет МГУ, 2010.
↑ Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках. sernam.ru. Дата обращения: 10 января 2018. Архивировано 10 января 2018 года.

Литература[править | править код]

Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки[править | править код]

Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru

Источник

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку “Вычислить”.
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Источник

§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции

§ 6, Дисперсия случайной функции

Функции случайных величин

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

Закон распределения функции двух случайных величин

Математическое ожидание функции случайных величин

Дисперсия функции случайных величин

Корреляционный момент функций случайных величин

10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Свойства математического ожидания[править | править код]

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Как найти математическое ожидание?

Формула среднего случайной величины

Пример нахождения математического ожидания

Вычисление математического ожидания онлайн

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Полезные ссылки

Вам также может понравиться

Как найти настройки в гугл аккаунт

Рыночный спрос на продукцию как найти

Как составить калькуляцию себестоимости 100 пар обуви

Добавить комментарий Отменить ответ