Как найти математическое ожидание случайной величины заданной

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

В типовых заданиях к профильному ЕГЭ по математике содержится много чего интересного и тема математического ожидания рекомендована к освоению. В сущности, для решения заданий на математическое ожидание важно уловить основную логику и принципы расчета, поскольку для ЕГЭ требуется понимание темы в общих чертах.

Давайте разберемся в понятии на примере двух простых задач

Задача 1. Найдите математическое ожидание случайной величины, заданной распределением

Принцип решения такой: считаем сумму произведений значений случайной величины на соответсвующие вероятности:

Е(Х)=-2*1/8 + 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 = 3/4

Задача 2. Дана случайная величина Х и известно, что ЕХ=4. Найдите математическое ожидание случайной величины W=3X+6

Это задача решается очень просто по следующей формуле:

E(W) = 3*E(X) + 6 = 3*4 = 6 = 18

Более подробно принципы решения описаны на видео, для лучшего запоминания новой информации можно ознакомиться с данным материалом!

Глава седьмая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Как уже известно,
закон распределения полностью
характеризует случайную величину.
Однако часто закон распределения
неизвестен и приходится ограничиваться
меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее
пользоваться числами, которые описывают
случайную величину суммарно; такие
числа называют числовыми
характеристиками случайной величины.
К числу
важных числовых характеристик относится
математическое ожидание.

Математическое
ожидание, как будет показано далее,
приближенно равно среднему значению
случайной величины. Для решения многих
задач достаточно знать математическое
ожидание. Например, если известно, что
математическое ожидание числа выбиваемых
очков у первого стрелка больше, чем у
второго, то первый стрелок в среднем
выбивает больше очков, чем второй, и,
следовательно, стреляет лучше второго.
Хотя математическое ожидание дает о
случайной величине значительно меньше
сведений, чем закон ее распределения,
но для решения задач, подобных приведенной
и многих других, знание математического
ожидания оказывается достаточным.

§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим
ожиданием дискретной
случайной величины называют сумму
произведений всех ее возможных значений
на их вероятности.

Пусть случайная
величина X
может
принимать только значения х₁,
х₂,
…, х_п,
вероятности
которых соответственно равны р_1,
р₂,
. . ., р_п.
Тогда
математическое ожидание М
(X)
случайной
величины X
определяется
равенством

М (X)
= х₁р₁
+ х₂р₂
+ … + x_np_n.

Если дискретная
случайная величина X
принимает
счетное множество возможных значений,
то

М(Х)=

причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой
части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из
определения следует, что математическое
ожидание дискретной случайной величины
есть неслучайная (постоянная) величина.
Рекомендуем запомнить это утверждение,
так как далее оно используется многократно.
В дальнейшем будет показано, что
математическое ожидание непрерывной
случайной величины также есть постоянная
величина.

Пример 1. Найти
математическое ожидание случайной
величины X,
зная закон
ее распределения:

X	3	5	2
p	0,1	0,6	0,3

Решение. Искомое
математическое ожидание равно сумме
произведений всех возможных значений
случайной величины на их вероятности:

M(X)=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 2. Найти
математическое ожидание числа появлений
события А в
одном испытании, если вероятность
события А
равна р.

Решение. Случайная
величина X
— число
появлений события А
в одном
испытании — может принимать только два
значения: х₁=1
(событие А
наступило)
с вероятностью р
и х₂
= 0
(событие А
не наступило)
с вероятностью q=
1 —р.
Искомое
математическое ожидание

M(X)=1*p+0*q=p

Итак, математическое
ожидание числа появлений события в
одном испытании равно вероятности этого
события. Этот
результат будет использован ниже.

§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено
п испытаний,
в которых случайная величина X
приняла т₁
раз значение
х₁,
т₂
раз значение
х₂,…,m_k
раз значение
x_k,
причем т₁
+
т₂+
…+т_к
= п. Тогда
сумма всех значений, принятых X,
равна

х₁т₁
+ х₂т₂
+ … + х_кт_к.

Найдем среднее
арифметическое

всех значений,
принятых, случайной величиной, для чего
разделим найденную сумму на общее число
испытаний:

= (х₁т₁
+ х₂т₂+
… + х_кт_к)/п,

или

=
х₁
(m₁/
n)
+ х₂
(m₂/
n)
+ … + х_к
(т_к/п).
(*)

Заметив, что
отношение m₁/
n
— относительная частота W₁
значения
х₁,
m₂/
n
— относительная
частота W₂
значения х₂
и т. д., запишем
соотношение (*) так:

=
х₁
W₁
+ x₂W₂
+ ... + х_кW_k.
(**)

Допустим, что число
испытаний достаточно велико. Тогда
относительная частота приближенно
равна вероятности появления события
(это будет доказано в гл. IX,
§ 6):

W₁
p₁,
W₂
p₂,
…, W_k
p_k.

Заменив в соотношении
(**) относительные частоты соответствующими
вероятностями, получим

x₁p₁
+ х₂р₂
+ … + х_кр_к.

Правая часть этого
приближенного равенства есть М
(X).
Итак,

М (X).

Вероятностный
смысл полученного результата таков:
математическое
ожидание приближенно равно (тем
точнее, чем больше число испытаний)
среднему
арифметическому наблюдаемых значений
случайной величины.

Замечание 1. Легко
сообразить, что математическое ожидание
больше наименьшего и меньше наибольшего
возможных значений. Другими словами,
на числовой оси возможные значения
расположены слева и справа от
математического ожидания. В этом смысле
математическое ожидание характеризует
расположение распределения и поэтому
его часто называют центром
распределения.

Этот термин
заимствован из механики: если массы
р₁,
р₂,
…, р_п
расположены
в точках с абсциссами x_1,
х₂,…,
х_n,
причем

то абсцисса центра тяжести

x_c=.

Учитывая, что
=M
(X)
и

получим М(Х)
= х_с.

Итак, математическое
ожидание есть абсцисса центра тяжести
системы материальных точек, абсциссы
которых равны возможным значениям
случайной величины, а массы — их
вероятностям.

Замечание 2.
Происхождение термина «математическое
ожидание» связано с начальным периодом
возникновения теории вероятностей (XVI
— XVII
вв.), когда область ее применения
ограничивалась азартными играми. Игрока
интересовало среднее значение ожидаемого
выигрыша, или, иными словами, математическое
ожидание выигрыша.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

1. Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
2. Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет “1” — 1/6, “2” — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
2. Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
3. Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
4. Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
5. Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.