Как найти матрицу тензора - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Время на прочтение
7 мин

Количество просмотров 314K

Содержание

Что такое тензор и для чего он нужен?
Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
Криволинейные координаты
Динамика точки в тензорном изложении
Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
О свертках тензора Леви-Чивиты
Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
Нестандартное введение в динамику твердого тела
Движение несвободного твердого тела
Свойства тензора инерции твердого тела
Зарисовка о гайке Джанибекова
Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

$vec{a} = a^1 vec{e}_1 + a^2 vec{e}_2.quad (1)$

Здесь $a^i,, i = overline{1,2}$ — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора vec{a} . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы $vec{e}_1, vec{e}_2$ называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями (u,v) .

Исходя из чертежа длины отрезков OA_1 и OA_2 равны

$OA_1 = a^1 left|vec{e}_1 right|,, OA_2 = a^2 left|vec{e}_2 right|quad (2)$

Однако, это не единственный способ определить вектор vec{a} в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси (u, v) . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

$&OB_1 = OA_1 + OA_2cosvarphi = a^1 left|vec{e}_1 right| + a^2 left|vec{e}_2 right| cosvarphiquad (3) \ &OB_2 = OA_1cosvarphi + OA_2 = a^1 left|vec{e}_1 right|cosvarphi + a^2 left|vec{e}_2 right|quad (4)$

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом
$&OB_1 = a_u = frac{vec{a} cdot vec{e}_1}{left|vec{e}_1 right|} = frac{a_1}{left|vec{e}_1 right|} quad (5) \ &OB_2 = a_v = frac{vec{a} cdot vec{e}_2}{left|vec{e}_2 right|} = frac{a_2}{left|vec{e}_2 right|}quad (6)$

где $a_1 = vec{a} cdot vec{e}_1$ и $a_2 = vec{a} cdot vec{e}_2$ — ковариантные координаты вектора vec{a} .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

$&frac{a_1}{ left|vec{e}_1 right|} = a^1 left|vec{e}_1 right| + a^2 left|vec{e}_2 right| cosvarphi quad (7) \ &frac{a_2}{ left|vec{e}_2 right|} = a^1 left|vec{e}_1 right|cosvarphi + a^2 left|vec{e}_2 right| quad (8)$

Умножим (7) на $left|vec{e}_1 right|$ , а (8)
на $left|vec{e}_2 right|$ и преобразуем их

$&a_1 = a^1(vec{e}_1 cdot vec{e}_1) + a^2 (vec{e}_1 cdot vec{e}_2) quad (9) \ &a_2 = a^1(vec{e}_1 cdot vec{e}_2) + a^2 (vec{e}_2 cdot vec{e}_2) quad (10)$

Введем матрицу

$mathbf{g} = begin{bmatrix} vec{e}_1 cdot vec{e}_1 && vec{e}_1 cdot vec{e}_2 \ vec{e}_1 cdot vec{e}_2 && vec{e}_2 cdot vec{e}_2 end{bmatrix} quad (11)$

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

$a_i = sum_{j=1}^{2} g_{ij} a^j,, i=1,2 quad (12)$

Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

$mathbf{a} = begin{bmatrix} a^1 \ vdots \ a^n end{bmatrix}$

а в ковариантной форме — матрицей-строкой

$mathbf{a} = begin{bmatrix} a_1 && cdots && a_n end{bmatrix}$

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

$label{eq:3d-vectors} vec{a} = a^1 vec{e}_1 + a^2 vec{e}_2 + a^3 vec{e}_3,, vec{b} = b^1 vec{e}_1 + b^2 vec{e}_2 + b^3 vec{e}_3$

где базисные векторы $vec{e}_1,vec{e}_2, vec{e}_3$ , как и выше, ненулевые
некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно.

$vec{a} cdot vec{b} = left(a^1 vec{e}_1 + a^2 vec{e}_2 + a^3 vec{e}_3right) cdot left(b^1 vec{e}_1 + b^2 vec{e}_2 + b^3 vec{e}_3right)$

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

$vec{a} cdot vec{b} = &a^1 b^1 (vec{e}_1 cdot vec{e}_1 ) + a^2 b^1 (vec{e}_1 cdot vec{e}_2 ) + a^3 b^1 (vec{e}_1 cdot vec{e}_3 ) + \ &a^1 b^2 (vec{e}_1 cdot vec{e}_2 ) + a^2 b^2 (vec{e}_2 cdot vec{e}_2 ) + a^3 b^2 (vec{e}_2 cdot vec{e}_3 ) + \ &a^1 b^3 (vec{e}_1 cdot vec{e}_3 ) + a^2 b^3 (vec{e}_2 cdot vec{e}_3 ) + a^3 b^3 (vec{e}_3 cdot vec{e}_3 )$

и снова введем матрицу

$mathbf{g} = begin{bmatrix} vec{e}_1 cdot vec{e}_1 && vec{e}_1 cdot vec{e}_2 && vec{e}_1 cdot vec{e}_3 \ vec{e}_1 cdot vec{e}_2 && vec{e}_2 cdot vec{e}_2 && vec{e}_2 cdot vec{e}_3 \ vec{e}_1 cdot vec{e}_3 && vec{e}_2 cdot vec{e}_3 && vec{e}_3 cdot vec{e}_3 end{bmatrix} quad (14)$

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

$vec{a} cdot vec{b} = sum_{i=1}^3 left(sum_{j=1}^3 g_{ij} a^jright) b^i quad (15)$

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение
(15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

$a_i = sum_{j=1}^3 g_{ij} a^j,, i=1,2,3 quad (16)$

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора vec{a} . То есть, (15) можно переписать

$vec{a} cdot vec{b} = sum_{i=1}^3 a_i b^i quad (17)$

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной sum . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

$a_i = g_{ij}, a^j,, i=1,2,3 quad (18)$

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

$vec{a} cdot vec{b} = a_i, b^i quad (19)$

Ну а (15) придет к виду

$vec{a} cdot vec{b} = g_{ij}, a^j, b^i quad (20)$

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица становится единичной

$mathbf{g} = begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \ 0 && 1 && 0 \ 0 && 0 && 1 end{bmatrix}$

Пусть вектор vec{a} задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

$|vec{a}|^2 = vec{a} cdot vec{a} = g_{ij}, a^j, a^i = &left(g_{11} a^1 + g_{12} a^2 + g_{13} a^3right) a^1 + \ & + left(g_{21} a^1 + g_{22} a^2 + g_{23} a^3right) a^2 + \ & + left(g_{31} a^1 + g_{32} a^2 + g_{33} a^3right) a^3 = \ & = (a^1)^2 + (a^2)^2 + (a^3)^2$

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор vec{b} своими контравариантными rоординатами. Тогда

$mathbf{g} = begin{bmatrix} 1 && cosvarphi \ cosvarphi && 1 end{bmatrix}$

где varphi — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора vec{b}

$|vec{b}|^2 = vec{b} cdot vec{b} = g_{ij}, b^j, b^i = &left(g_{11} b^1 + g_{12} b^2right) b^1 + left(g_{21} b^1 + g_{22} b^2right) b^2 = \ & = (b^1)^2 + b^2, b^1 cosvarphi + b^1, b^2 cosvarphi + (b^2)^2 = \ & = (b^1)^2 + (b^2)^2 + 2, b^1, b^2 cosvarphi$

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица задает так называемый метрический тензор. Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

$c = mathbf{a}^{(0)T}, mathbf{g}^{(0)}, mathbf{b}^{(0)} quad (21)$

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе
координат СК1 описывается матрицей преобразования $mathbf{A}_{01}$ , то есть

$mathbf{a}^{(0)} = mathbf{A}_{01}, mathbf{a}^{(1)}, quad mathbf{b}^{(0)} = mathbf{A}_{01}, mathbf{b}^{(1)} quad (22)$

Подставим (22) в (21)
$c = left(mathbf{A}_{01}, mathbf{a}^{(1)}right)^T, mathbf{g}^{(0)},mathbf{A}_{01}, mathbf{b}^{(1)} = mathbf{a}^{(1)T}, mathbf{A}_{01}^T mathbf{g}^{(0)},mathbf{A}_{01}, mathbf{b}^{(1)}$

в последнем выражении

$mathbf{A}_{01}^T mathbf{g}^{(0)},mathbf{A}_{01} = mathbf{g}^{(1)}$

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

$c = mathbf{a}^{(1)T}, mathbf{g}^{(1)}, mathbf{b}^{(1)}$

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

$a^{i(1)} = alpha_k^i a^{k(0)}, quad b^{i(1)} = alpha_k^i b^{k(0)} quad (24)$

$g_{ij}^{(1)} = alpha_i^l , alpha_j^k , g_{kl}^{(0)} quad (25)$

где — элементы матрицы $mathbf{A}_{01}$ . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

$mathbf{A}_{01} = begin{bmatrix} alpha_1^1 &&alpha_2^1 && alpha_3^1 \ alpha_1^2 &&alpha_2^2 && alpha_3^2 \ alpha_1^3 &&alpha_2^3 && alpha_3^3 end{bmatrix}$

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

$g_{ij}^{(1)} = & alpha_i^1 , left( alpha_j^1 , g_{11}^{(0)} + alpha_j^2 , g_{21}^{(0)} + alpha_j^3 , g_{31}^{(0)} right) + \ & alpha_i^2 , left( alpha_j^1 , g_{12}^{(0)} + alpha_j^2 , g_{22}^{(0)} + alpha_j^3 , g_{32}^{(0)} right) + \ & alpha_i^3 , left( alpha_j^1 , g_{13}^{(0)} + alpha_j^2 , g_{23}^{(0)} + alpha_j^3 , g_{33}^{(0)} right)$

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и
умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор vec{a} задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
$(vec{e}_{10}, , vec{e}_{20})$ и косоугольном $(vec{e}_{11}, , vec{e}_{21})$ . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

$mathbf{A}_{01} = begin{bmatrix} cosvarphi && sinvarphi \ sinvarphi && cosvarphi end{bmatrix}$

обратное преобразование

$mathbf{A}_{10} = mathbf{A}_{01}^{-1} = begin{bmatrix} cfrac{cosvarphi}{cos 2 varphi} && -cfrac{sinvarphi}{cos 2 varphi} \ -cfrac{sinvarphi}{cos 2 varphi} && cfrac{cosvarphi}{cos 2 varphi} end{bmatrix}$

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

$mathbf{a}^{(0)} = begin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix}$

и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

$mathbf{g}^{(0)} = begin{bmatrix} 1 && 0 \ 0 && 1 end{bmatrix}$

значит

$|vec{a}|^2 = g_{ij}^{(0)} , a^{j(0)} , a^{i(0)} & = left( g_{11}^{(0)} , a^{1(0)} + g_{12}^{(0)} , a^{2(0)} right) a^{1(0)} + left( g_{21}^{(0)} , a^{1(0)} + g_{22}^{(0)} , a^{2(0)} right) a^{2(0)} \ & = 3 cdot 3 + 4 cdot 4 = 9 + 16 = 25.$

Зададим угол наклона осей $varphi = frac{pi}{6}$ и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

$&a^{1(1)} = tilde{alpha}_1^1 , a^{1(0)} + tilde{alpha}_2^1 , a^{2(0)} = 3sqrt{3} - 4 \ &a^{2(1)} = tilde{alpha}_1^2 , a^{1(0)} + tilde{alpha}_2^2 , a^{2(0)} = -3 + 4sqrt{3}$

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

$&g_{11}^{(1)} = alpha_1^1 , left( alpha_1^1 , g_{11}^{(0)} + alpha_1^2 , g_{21}^{(0)} right) + alpha_1^2 , left( alpha_1^1 , g_{12}^{(0)} + alpha_1^2 , g_{22}^{(0)} right) = frac{sqrt 3}{2} cdot frac{sqrt 3}{2} + frac{1}{2} cdot frac{1}{2} = 1 \ &g_{12}^{(1)} = alpha_1^1 , left( alpha_2^1 , g_{11}^{(0)} + alpha_2^2 , g_{21}^{(0)} right) + alpha_1^2 , left( alpha_2^1 , g_{12}^{(0)} + alpha_2^2 , g_{22}^{(0)} right) =frac{sqrt 3}{2} cdot frac{1}{2} + frac{1}{2} cdot frac{sqrt 3}{2} = frac{sqrt 3}{2} \ &g_{21}^{(1)} = alpha_2^1 , left( alpha_1^1 , g_{11}^{(0)} + alpha_1^2 , g_{21}^{(0)} right) + alpha_2^2 , left( alpha_1^1 , g_{12}^{(0)} + alpha_1^2 , g_{22}^{(0)} right) = frac{1}{2} cdot frac{sqrt 3}{2} + frac{sqrt 3}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt 3}{2} \ &g_{22}^{(1)} = alpha_2^1 , left( alpha_2^1 , g_{11}^{(0)} + alpha_2^2 , g_{21}^{(0)} right) + alpha_2^2 , left( alpha_2^1 , g_{12}^{(0)} + alpha_2^2 , g_{22}^{(0)} right) = frac{1}{2} cdot frac{1}{2} + frac{sqrt 3}{2} cdot frac{sqrt 3}{2} = 1$

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

$|vec{a}|^2 = g_{ij}^{(1)} , a^{j(1)} , a^{i(1)} & = left( g_{11}^{(1)} , a^{1(1)} + g_{12}^{(1)} , a^{2(1)} right) a^{1(1)} + left( g_{21}^{(1)} , a^{1(1)} + g_{22}^{(1)} , a^{2(1)} right) a^{2(1)} = \ & = left( 3sqrt 3 - 4 - 3frac{sqrt 3}{2} + 6 right) left(3sqrt 3 - 4 right) + \ & + left( frac{9}{2} - 2sqrt 3 - 3 + 4sqrt 3 right) left(-3 + 4sqrt 3right) = \ & = frac{27}{2} + 6sqrt 3 - 6sqrt 3 - 8 - frac{9}{2} - 6sqrt 3 + 6sqrt 3 + 24 = 9 + 16 = 25$

то есть

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах
(25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует…

Источник

Вводимые
ниже операции с тензорами во всех случаях
требуют обоснования того, что результатом
каждой из них является также тензор. В
рамках данного курса эти утверждения
предлагаются в качестве упражнений.

Сложение
тензоров

Определение

Пр.4.3.1.

Пусть
даны два тензора типа

и
.
Тензор типа

называется суммой
тензоров

и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
.

Пример

4.3.1.

Сумма
двух линейных операторов

и
,
являющихся тензором типа (1,1), есть
также линейный оператор и, следовательно,
тензор типа (1,1)
,
для компонентов которого справедливы
соотношения
.

Умножение
тензоров на число

Определение

Пр.4.3.2.

Пусть
дан тензор типа

и число .
Тензор типа

называется произведением
тензора

на ,
если в каждом базисе имеет место
равенство
.

Замечание:

нетрудно
показать, что множество тензоров типа

с операциями сложения и умножения на
число является линейным пространством
размерности
.

Тензорное
произведение

Определение

Пр.4.3.3.

Пусть
даны два тензора типа

и типа

.
Тензор типа

называется произведением
тензоров

и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
=.

Иногда
тензорное произведение обозначают
символом .

Пример

Пр.4.3.2.

Мы
видели, что элементы линейного
пространства

являются один раз контравариантными
тензорами. Найдем их произведение по
определению Пр.4.3.3. Получаем, что

есть дважды контравариантный тензор.

Заметим,
.
Дело в том, что хотя и
,
но упорядочивание компонентов этих
тензоров выполняется по-разному.
Следовательно, тензорное произведение
некоммутативно.

Задача

Пр.4.3.1.

Определить
тип и матрицу тензора
,
если a
–
тензор типа

с матрицей
,
и b
–
тензор типа

с матрицей
.

Решение

По
определению тензорного произведения,
c
есть тензор типа

с матрицей, составленной с учетом
соглашения о порядке индексов из
поэлементных произведений вида
,
где

и

– компоненты тензоров a
и b
соответственно.

Таким
образом матрица тензора c
имеет вид:

Свертывание
тензоров

Определение

Пр.4.3.4.

Пусть
дан тензор типа

,
причем

и
.
Выберем один верхний (например,
)
и один нижний (например,
)
индексы и в записи тензора заменим их
обозначения одним и тем же символом
(например, m).
Тензор типа

называется сверткой
тензора

по индексам

и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
=.

Заметим,
что в последнем равенстве правая часть
– это сумма n
слагаемых, где m
– индекс, по которому выполняется
суммирование, а само данное тензорное
равенство равносильно

скалярным равенствам.

Пример

Пр.4.3.3.

Свертка
тензора типа
,
являющегося линейным оператором
,
есть тензор типа
,
то есть инвариант относительно замены
базиса, имеющий единственный компонент,
равный
.
Данное выражение есть сумма диагональных
элементов матрицы линейного оператора,
которая не меняется при замене базиса.
Заметим, что данным свойством не
обладает, например, матрица билинейного
функционала.

Операция
свертки часто комбинируется с операцией
умножения тензоров. Например, результатом
произведения один раз ковариантного
тензора на один раз контравариантный
с последующей сверткой является
инвариант, представляющий значение
линейного функционала в
.
Действительно,
.
В этом случае говорят, что тензор

свертывается
с тензором
.

Задача

Пр.4.3.2.

Даны
тензоры:

a
–
типа

с элементами

и матрицей
;

b
–
типа

с элементами

и матрицей
;

c
–
типа

с элементами

и матрицей
.

Найти
свертки

и
.

Решение

1.
По определению операции свертывания,

– тензор типа

с компонентами
.
Поэтому

2.
Аналогично

– тензор типа

с компонентами
.
Тогда

Транспонирование
тензоров

Как
уже отмечалось ранее, перестановка
местами любой пары ковариантных (или
пары контравариантных) индексов у
тензора, то есть транспонирования
тензора, вообще говоря, приводит к его
изменению, поскольку в определении
тензора говорится об упорядоченной
системе индексов. При этом новый тензор
будет того же типа, что и исходный.

В
общем случае для группы, состоящей из
N
верхних (или нижних) индексов, существует
N!
различных способов перестановок. Это
означает, что, переставляя данные
индексы, можно построить N!
новых тензоров.

Задача

Пр.4.3.3.

Тензор

задан матрицей
.
Найти матрицу транспонированного
тензора.

Решение

Данный
тензор можно транспонировать по паре
контравариантных индексов i
и j.
После перестановки соответствующих
элементов получаем тензор с матрицей
.

Симметрирование
и альтернирование тензоров

Определение

Пр.4.3.5.

Тензор
называется симметричным
относительно группы (верхих
или нижних)
индексов,
если он не меняется при перестановке
любых двух индексов, принадлежащих
данной группе.

Определение

Пр.4.3.6.

Тензор
называется антисимметричным
(или
кососимметричным)
относительно группы индексов,
если он меняет, в смысле указанного
выше определения равенства тензоров,
свой знак на противоположный при
перестановке любых двух индексов,
принадлежащих данной группе.

Выделим
у тензора группу, состоящую из N
индексов (либо верхних, либо нижних),
построим путем перестановок индексов
данной группы N!
всевозможных новых тензоров и возьмем
их среднее арифметическое. В результате
мы получим тензор, симметричный по
выбранной группе индексов.

Данная
операция называется симметрированием
тензора по группе индексов.
Группа индексов, по которой выполняется
симметрирование тензора, выделяется
круглыми скобками.

Пример Пр.4.3.4.	N=1
	N=2
	N=3
	…	…

Операция
симметрирования часто комбинируется
с умножением, причем имеет место следующий
порядок действий: сначала умножение, а
потом симметрирование.

Пример

Пр.4.3.5.

Выделим
у тензора группу, состоящую из N
индексов (либо верхних, либо нижних),
построим путем перестановок индексов
данной группы N!
всевозможных новых тензоров, приписав
каждому из них знак
,
где

– число беспорядков в перестановке чисел
,
и возьмем их среднее арифметическое. В
результате мы получим тензор,
антисимметричный по выбранной группе
индексов.

Данная
операция называется альтернированием
тензора по группе индексов.
Группа индексов, по которой выполняется
альтернирование тензора, выделяется
квадратными скобками.

Пример Пр.4.3.6.	N=1
	N=2
	N=3
	…	…

Операция
альтернирования часто комбинируется
с умножением, причем имеет место следующий
порядок действий: сначала умножение, а
потом альтернирование.

Пример

Пр.4.3.7.

Заметим,
что как симметрирование кососимметричного
тензора, так и альтернирование
симметричного дает нулевой тензор.

Задача

Пр.4.3.4.

Тензор

задан матрицей
.
Найти матрицы тензоров
,

и
.

Решение

1.
Тензор
,
транспонированный к данному по паре
индексов i
и j
, имеет матрицу

(См. задачу Пр.4.3.3.)

Тензор
,
транспонированный к данному по паре
индексов j
и k
, будет иметь матрицу
,
в которой элементы первых столбцов
блочных матриц исходного тензора
записаны в первой блочной строке, а
элементы вторых столбцов блочных
матриц исходного тензора записаны во
второй блочной строке.

2.
Тогда тензор

имеет матрицу
,

тензор

– матрицу
,

а
тензор

– матрицу
.

Источник

Тензор механического напряжения может быть представлен как матрица, столбцами которой являются силы, действующие на грани куба

Те́нзор (от лат. tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве конечной размерности . В физике в качестве обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин.

Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счет сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета.

Тензоры различаются по типу, который определяется парой натуральных чисел , где — контравариантный, а — ковариантный ранг (и говорят раз контравариантный и раз ковариантный тензор), а сумма называется просто рангом тензора.

Тензоры типа — это векторы линейного пространства, полилинейно связанного с пространством и обозначаемого ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ или ${displaystyle T_{r}^{s}(V)}$ . Размерность ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ равна числу компонент тензора, а сами компоненты представляют собой координаты тензора в ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ в базисе, «привязанном» к базису пространства . Ранг тензора вместе с размерностью пространства определяют количество компонент тензора ${displaystyle n^{s+r}}$ , а ковариантный и контравариантный ранг — характер их зависимости от базиса в пространстве .

Именно полилинейная связь между и ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ позволяет идентифицировать векторы из ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ как тензоры на , а не просто векторы некоторого пространства, так как при замене базиса в , также меняется базис в ${displaystyle otimes _{r}^{s}V}$ и координаты тензора как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства . Несмотря на изменения компонент тензора при смене базиса, тензоры, как алгебраические и геометрические объекты, от базиса не зависят — одному и тому же объекту могут соответствовать разные наборы координат в разных базисах.

Компоненты тензора при фиксированном базисе можно структурировать в виде -мерной таблицы . При ранге 0 таблица представляет собой одно число, при ранге 1 — упорядоченный набор (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 — квадратную матрицу, при ранге 3 — трёхмерный куб и т. д. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно.

Таким образом, тензоры типа (1,0) — это векторы пространства , (0,1) — линейные функционалы (ковекторы) на , образующие сопряженное пространство V^* той же размерности. Тензоры 2 ранга — это тензоры типа (0,2) (билинейные формы), (1,1) (линейные операторы) и (2,0). К тензорам (ранга 0) относятся также скаляры — элементы поля, на котором задано пространство (обычно это действительные или комплексные числа). Скаляры не изменяются (инвариантны) при смене базиса.

Компоненты тензора типа записываются с помощью верхних (контравариантных) и нижних (ковариантных) индексов: ${displaystyle T_{j_{1}j_{2}dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}dots i_{s}}}$ . Например, векторы в тензорном обозначении записываются с одним верхним индексом x^i , линейные операторы — с нижним и верхним индексами: ${displaystyle a_{j}^{i}}$ , билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами $F_{{ij}}$ . Тензор типа (например, тензор кривизны Римана) будет записан как ${displaystyle R_{jkl}^{i}}$ .

В приложениях часто применяются тензорные поля, которые сопоставляют различным точкам пространства разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами.

Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 году^[1].

Предварительные сведения[править | править код]

Правило Эйнштейна[править | править код]

Здесь и далее по тексту статьи в основном будет использоваться общепринятое соглашение — так называемое правило Эйнштейна, в соответствии с которым, если в записи присутствуют верхний и нижний индексы, обозначенные одинаковой буквой (так называемый “немой” индекс), то по нему предполагается суммирование. Например, запись ${displaystyle x^{i}e_{i}}$ означает то же, что и ${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i}}$ . Это позволяет упростить записи формул за счет того, что не указываются знаки суммирования. По индексам, обозначенным разными буквами, суммирования не предполагается. Немой индекс в результате «исчезает», а остальные индексы остаются, например: ${displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i}}$ или ${displaystyle a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_{i}^{k}}$ . См. также подраздел настоящей статьи, посвященный операции свёртки.

Контравариантность векторов[править | править код]

Пусть набор векторов ${displaystyle {e_{i}}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})}$ является базисом в векторном пространстве . Тогда любой вектор этого пространства в данном базисе представляется как линейная комбинация базисных векторов: ${displaystyle x=x^{i}e_{i}}$ . Набор (упорядоченный) чисел ${displaystyle {x^{i}}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T}}$ (вектор-столбец) называют координатами или компонентами вектора в данном базисе или координатным представлением вектора.

Рассмотрим другой набор векторов ${displaystyle {e'_{i}}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})}$ , также являющийся базисом. Каждый из векторов нового базиса может быть представлен в «старом» базисе (как и любой вектор): ${displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i}}$ , то есть координатами ${displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T}}$ . Соответственно, матрица ${displaystyle C={c_{i'}^{i}}}$ , столбцы которой представляют координаты нового базиса в старом — это матрица преобразования старого базиса в новый. Обратная матрица ${displaystyle C^{-1}={c_{i}^{i'}}}$ позволяет получить старый базис из нового. Кроме этого именно с помощью обратной матрицы можно получить координатное представление произвольного вектора в новом базисе. В самом деле ${displaystyle x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'})e'_{i}}$ , то есть новые координаты (в новом базисе) равны ${displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}}$ (в матрично-векторной форме это записывается как ${displaystyle x'=C^{-1}x}$ ). То есть координаты вектора преобразовываются обратно базису. Это свойство преобразования координат называется контравариантность.

Ковариантность линейных функционалов[править | править код]

Если координаты какого-либо объекта будут преобразовываться как базис, то есть с помощью матрицы преобразования базиса, то это называется ковариантность. Примером ковариантного объекта являются так называемые ковекторы – это линейные функционалы (линейные формы) на пространстве . Это требует пояснения. В силу линейности множество всех таких функционалов также образует векторное пространство V^* , называемое сопряженным к и имеющее ту же размерность, что и . Таким образом, линейные функционалы (формы) — это векторы сопряженного пространства. Ковекторами (ковариантными тензорами ранга 1) они становятся в силу привязки к основному пространству , а именно специфическим выбором базиса сопряженного пространства, однозначно определяемого базисом пространства . В заданном базисе пространства произвольная линейная форма равна ${displaystyle f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i}}$ .Координаты вектора x^i можно трактовать как тоже линейные функции, которые ставят в соответствие каждому вектору — его соответствующую координату: ${displaystyle x^{i}=e^{i}(x)}$ . Эти линейные функционалы являются базисом в сопряженном пространстве и называются дуальным (или двойственным) базисом (к базису основного пространства). Соответственно, произвольная линейная форма представляется в виде: ${displaystyle f(x)=f_{i}e^{i}}$ , то есть тоже как набор координат ${displaystyle (f_{1},f_{2},...,f_{n})}$ (они записываются как вектор-строка, в отличие от вектора-столбца координат векторов основного пространства).

В новом базисе имеем: ${displaystyle f(x)=f(x^{i'}e_{i'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_{i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i})e^{i'}=f_{i'}e^{i'}}$ , где ${displaystyle f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i}}$ — координаты линейной формы в новом дуальном базисе ${displaystyle {e^{i'}(x)}}$ . Они преобразуются с помощью той же матрицы ${displaystyle C={c_{i'}^{i}}}$ перехода от старого базиса пространства к новому . Это можно пояснить и без формул: линейный функционал — вектор в пространстве V^* , поэтому при смене базиса в нем, его координаты меняются обратно своему базису, но этот дуальный базис меняется в свою очередь обратно изменению базиса в пространстве (так как это координаты векторов по сути). В итоге координаты линейной функции преобразовываются так же, как и базис основного пространства. Поэтому они называются ковекторами по отношению к основному пространству.

Замечания[править | править код]

1. В случае ортонормированных базисов обратная матрица преобразования базиса равна просто транспонированной: ${displaystyle C^{T}=C^{-1}}$ , поэтому ${displaystyle (fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T}}$ , то есть, если координаты линейной формы записать не в виде вектор-строки, а в виде вектора-столбца, то правило преобразования координат линейной формы не будет отличаться от правила преобразования вектора. Таким образом, при переходах между ортонормированными базисами (повороты или изменения ориентации базиса) ковариантное преобразование не отличается от контравариантного.

2. В пространствах с (псевдо)скалярным произведением ((псевдо)евклидовы пространства) пространство V^* канонически изоморфно пространству , то есть их можно отождествить (каждый линейный функционал представляется в виде скалярного произведения фиксированного вектора на вектор-аргумент функции x in V , то есть , соответственно, между a и f имеется взаимно однозначное соответствие). Поэтому вектор и ковектор по существу можно считать одним объектом. В связи с этим считается, что один и тот же вектор (в общем случае и тензор) можно просто представить как в контравариантных координатах, так и в ковариантных. Так часто поступают, например, в физике, где тензоры обычно рассматриваются либо в геометрическом трехмерном пространстве, либо в четырехмерном пространстве-времени.

Примеры пересчета координат при замене базиса[править | править код]

Пример пересчета координат вектора при смене базиса[править | править код]

Изменение координат вектора при переходе к другому базису

Рассмотрим некоторый вектор в некотором двумерном евклидовом пространстве (евклидова плоскость), который на рисунке справа изображен в виде направленной стрелки зеленого цвета. В некотором базисе (на рисунке он обозначен красным) на плоскости, состоящем из векторов ${displaystyle {color {red}e_{1}}={begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}}}$ и ${displaystyle {color {red}e_{2}}={begin{pmatrix}0\1end{pmatrix}}}$ , этот вектор имеет координаты ${displaystyle {begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}}}$ , то есть ${displaystyle {color {limegreen}v}={color {red}e_{1}}+2color {red}e_{2}}$ (сам вектор не зависит от выбора базиса и задается независимо от него).

Теперь введем новый базис ${displaystyle color {blue}f_{1}}$ , ${displaystyle color {blue}f_{2}}$ , получаемый из первого поворотом на ${displaystyle 45^{circ }}$ в положительном направлении. Разложим векторы ${displaystyle color {blue}f_{1}}$ , ${displaystyle color {blue}f_{2}}$ , по базису ${displaystyle color {red}e_{1}}$ , ${displaystyle color {red}e_{2}}$ и обозначим через ${displaystyle c_{i}^{j}}$ -ю координату вектора ${displaystyle color {blue}f_{i}}$ , тогда

${displaystyle {color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{color {red}e_{2}}=c_{i}^{j}{color {red}e_{j}},quad i=1,2,}$

Очевидно ${displaystyle {color {blue}f_{1}}={begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}\{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}}$ , ${displaystyle {color {blue}f_{2}}={begin{pmatrix}-{frac {1}{sqrt {2}}}\{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}}$ . Соответственно, матрица перехода ${displaystyle (c_{i}^{j})}$ от базиса ${displaystyle color {red}e_{1}}$ , ${displaystyle color {red}e_{2}}$ к базису ${displaystyle color {blue}f_{1}}$ , ${displaystyle color {blue}f_{2}}$ имеет вид ${displaystyle C={c_{i}^{j}}={begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}&-{frac {1}{sqrt {2}}}\{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}}$ .

Поскольку ${displaystyle {color {limegreen}v}={tilde {v}}^{i}{color {blue}f_{i}}={tilde {v}}^{i}c_{i}^{j}{color {red}e_{j}}=v^{j}{color {red}e_{j}}}$ , то старые координаты с новыми связаны как ${displaystyle v^{j}=c_{i}^{j}{tilde {v}}^{i}}$ или в матричной форме , соответственно обратная зависимость координат в новом базисе от координат в старом выглядит в тензорной записи как ${displaystyle {tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}}$ , а в матричной как ${displaystyle {tilde {v}}=C^{-1}v}$ . Обратную к матрицу легко найти в данном случае: ${displaystyle C^{-1}=C^{T}={c_{j}^{i}}={begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}\-{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}}$ . Соответственно, координаты вектора в новом базисе равны

${displaystyle {tilde {v}}={begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}\-{frac {1}{sqrt {2}}}&{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{frac {3}{sqrt {2}}}\{frac {1}{sqrt {2}}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{frac {3{sqrt {2}}}{2}}\{frac {sqrt {2}}{2}}end{pmatrix}}}$

Видно, что, координаты вектора в новом базисе, действительно, отличаются от координат в старом базисе (что было видно уже по рисунку), при этом сам вектор , как элемент пространства, никак не зависит от выбора базиса (геометрически зеленая стрелка не изменилась никак).

Пример пересчета координат линейного функционала[править | править код]

Линейные функционалы являются ковекторами (ковариантными тензорами 1 ранга), поэтому при смене базиса их координаты преобразуются также как и базис (с помощью той же матрицы). Для примера рассмотрим то же двумерное евклидово пространство с тем же первоначальным красным базисом и зеленым вектором.

Пусть в этом базисе (точнее в дуальном к нему) некоторый линейный функционал имеет координаты (1,1) (можно показать, что такой функционал находит проекцию на направление вектора (1,1) и умножает ее на . Например, для зеленого вектора из рисунка ${displaystyle {begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}}}$ значение функционала равно 1+2=3. Значение функционала не должно зависеть от базиса. Покажем это на примере нового базиса, в котором ось получается поворотом на 45 градусов против часовой стрелки, а ось оставлена неизменной. Матрица преобразования базиса будет иметь вид: ${displaystyle C={c_{i}^{j}}={begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&1end{pmatrix}}}$ , а новые координаты линейного функционала будут равны ${displaystyle varphi =(1,1){begin{pmatrix}{frac {1}{sqrt {2}}}&0\{frac {1}{sqrt {2}}}&1end{pmatrix}}=({frac {2}{sqrt {2}}},1)}$ . Обратная матрица преобразования базиса равна ${displaystyle C^{-1}={begin{pmatrix}{sqrt {2}}&0\-1&1end{pmatrix}}}$ . С ее помощью найдем координаты вектора v в новом базисе ${displaystyle v={begin{pmatrix}{sqrt {2}}&0\-1&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{sqrt {2}}\1end{pmatrix}}}$ . Соответственно, значение линейного функционала от вектора в новом базисе будет равно: ${displaystyle ({frac {2}{sqrt {2}}},1){begin{pmatrix}{sqrt {2}}\1end{pmatrix}}=3}$ , то есть получили то же значение, что и в первоначальном базисе.

Значение линейного функционала не зависит от выбранного базиса, а зависит только от аргумента-вектора, который тоже от базиса не зависит, тем не менее в координатной записи и вектор и ковектор зависят от базиса.

Определения[править | править код]

Существует несколько по существу эквивалентных определений тензоров. Их эквивалентность связана с тем, что между множествами объектов (включая и тензорные операции и отношения между ними), порождаемых этими определениями, можно установить взаимно-однозначное соответствие (говорят пространства этих объектов изоморфны друг другу).

Тензор как набор компонент (многоиндексный объект)[править | править код]

Общее определение. Правило преобразования координат[править | править код]

Тензором типа ${displaystyle (_{r}^{s})}$ на векторном пространстве (размерности ) называется объект, задаваемый в произвольном базисе ${e_{i}}$ набором чисел ${displaystyle T_{j_{1}j_{2}dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}dots i_{s}}}$ (каждый из индексов может принимать значения от 1 до ), которые при переходе к другому базису ${displaystyle {e_{i}^{'}}}$ изменяются по следующему закону (применяется правило Эйнштейна):

${displaystyle T_{j'_{1}j'_{2}dots j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}dots i'_{s}}=T_{j_{1}j_{2}dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}dots i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}}c_{i_{2}}^{i'_{2}}dots c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}}c_{j'_{2}}^{j_{2}}dots c_{j'_{r}}^{j_{r}}}$

то есть раз с помощью матрицы, обратной к матрице преобразования базиса, и раз с помощью матрицы преобразования базиса. Другими словами, в рамках данного определения тензор — это массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса.

Число называют валентностью или рангом тензора, — контравариантной валентностью, – ковариантной валентностью . Говорят также -раз контравариантный и -раз ковариантный тензор. Число компонент тензора (набор чисел, которым представляется тензор в данном базисе) равно ${displaystyle n^{s+r}}$ .

Соответственно, из этого определения следует, что вектор пространства — это тензор типа ${displaystyle (_{0}^{1})}$ , а ковектор этого пространства — это тензор типа ${displaystyle (_{1}^{0})}$ . Для удобства считают, что тензор типа ${displaystyle (_{0}^{0})}$ — это само поле действительных чисел, то есть скаляры, не изменяющиеся при смене базиса.

Преобразования координат в частных случаях[править | править код]

Для вектора пространства , являющегося контравариантным тензором 1 ранга x^i , формула преобразования координат при смене базиса будет иметь вид ${displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i}}$ , или в матричной форме: ${displaystyle mathbf {x} '=C^{-1}mathbf {x} }$ , где — вектор-столбцы координат вектора x в старом базисе и новом базисе.

Для линейной формы f(x) — ковариантного тензора 1 ранга $f_{i}$ формула преобразования координат будет иметь вид: ${displaystyle f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i}}$ , или в матричной форме , где — вектор-строки координат линейной формы в старом и новом базисе.

Для билинейной формы ${displaystyle B:V^{2}rightarrow R}$ (дважды ковариантный тензор ${displaystyle B_{ij}}$ ) формула преобразования координат имеет вид:

${displaystyle B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i}B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC}$

Для линейного оператора (один раз ковариантный и один раз контравариантный тензор ${displaystyle A_{i}^{j}}$ ) формула пересчета координат имеет вид:

${displaystyle A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'}A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC}$

Псевдотензоры[править | править код]

Псевдотензоры — алгебраические объекты, координаты которых преобразуются аналогично тензорам, за исключением смены ориентации базиса — в этом случае псевдотензоры меняют знак, в отличие от истинных тензоров. Формально это означает, что в законе преобразования координат необходимо добавить множитель, равный знаку определителя матрицы преобразования базиса: .

Частными случаями псевдотензоров являются псевдоскаляры и псевдовекторы. Пример псевдоскаляра — так называемый ориентированный объем. Пример псевдовектора — результат векторного произведения в трехмерном пространстве, например вектор момента импульса. Псевдотензорами являются также символы Леви-Чивиты.

Многоиндексные объекты, не являющиеся тензорами[править | править код]

Любой набор чисел (например, матрица), при отсутствии или несоответствии закона их изменения при изменении базиса пространства тензорному закону преобразования координат, тензором не является. Не являются тензорами также многоиндексные объекты, которые хотя бы в одном базисе равны нулю (все координаты в этом базисе равны нулю).

Существуют объекты, которые похожи на тензоры (к ним применимы стандартные операции с тензорами, например, свертка с векторами или другими тензорами), но закон преобразования которых при смене базиса не является тензорным. Классическим, но сложным примером таких объектов, являются символы Кристоффеля ${displaystyle Gamma _{jk}^{i}}$ , обозначающие компоненты так называемой связности (бесконечно малого параллельного переноса вектора вдоль кривой) в римановых многообразиях — их закон преобразования не является тензорным. Однако свёртка компонент связности с вектором даёт настоящий вектор, а их разность — настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров — расслоения струй.

К тензорам не относятся также сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.

Тензор как полилинейная функция[править | править код]

Общее определение[править | править код]

Тензором типа ${displaystyle (_{r}^{s})}$ называется полилинейная функция (полилинейная форма) ${displaystyle Tcolon (V^{*})^{s}times V^{r}to R}$ , то есть числовая функция от аргументов следующего вида ${displaystyle T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})}$ , где $f_{i}$ -линейные функционалы на , а $x_{j}$ — векторы пространства .

Координатами тензора в некотором базисе будут значения полилинейной функции на различных комбинациях базисных векторов: ${displaystyle T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}},e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}})}$

Полилинейные функции на V как ковариантные тензоры[править | править код]

На пространстве полилинейные функции — это числовые функции от нескольких аргументов-векторов этого пространства, линейные по каждому из аргументов: ${displaystyle f(v_{1},v_{2},...,v_{r})}$ . Линейность по каждому аргументу означает, эти функции можно рассматривать как линейные функционалы по каждому аргументу, если остальные аргументы фиксированы.

Полилинейные функции от аргументов-векторов пространстве являются тензорами типа ${displaystyle (_{r}^{0})}$ , то есть -раз ковариантными тензорами (частным случаем такого типа тензоров были ковекторы). В самом деле, если рассматривать такой тензор как функцию ${displaystyle T(v_{1},v_{2},...,v_{r})}$ , то при представлении каждого из векторов как линейной комбинации векторов базиса пространства в силу полилинейности функции получим:

${displaystyle T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r}^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}}$

где ${displaystyle T_{i_{1}i_{2}...i_{r}}}$ — координатное выражение полилинейной функции, а произведения ${displaystyle x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}}$ — это дуальный базис пространства ${displaystyle (V^{*})^{r}}$ , сопряженного к ${displaystyle (V)^{r}}$ . То есть полилинейные функции образуют векторное пространство, сопряженное к ${displaystyle (V)^{r}}$ . При смене базиса в основном пространстве в сопряженном базис меняется обратно, а векторы самого сопряженного пространства (то есть в данном случае полилинейные функции) меняются обратно к своему базису, а значит, также как и базис основного пространства. Таким образом, полилинейные функции на пространстве преобразуются ковариантно в координатном представлении и являются -раз ковариантными тензорами.

Классический пример тензоров типа ${displaystyle (_{2}^{0})}$ (дважды ковариантный тензор) являются билинейные формы — числовые функции двух аргументов-векторов пространства , линейные по каждому из аргументов. В координатном представлении она записывается в виде матрицы компонент — значений билинейной формы на парах базисных векторов. При смене базиса матрица билинейной формы преобразуются как ${displaystyle A'=C^{T}AC}$ , где С -матрица преобразования базиса.

Полилинейные функции на V* как контравариантные тензоры[править | править код]

Аналогично можно показать, что полилинейные функции на сопряженном пространстве ${displaystyle (V^{*})^{s}}$ являются тензорами типа ${displaystyle (_{0}^{s})}$ в силу контравариантного характера преобразования координат.

Несколько сложнее в данном определении понять, что контравариантные тензоры типа ${displaystyle (_{0}^{1})}$ — векторы пространства . Дело в том что линейные функционалы на пространстве ${displaystyle V^{*}}$ также образуют пространство, сопряженное к ${displaystyle V^{*}}$ — второе сопряженное пространство, обозначаемое $V^{**}$ . Однако, можно показать, что для конечномерных векторных пространств второе сопряженное пространство $V^{**}$ канонически изоморфно исходному векторному пространству , то есть пространства и $V^{**}$ можно отождествлять. Поэтому линейные функционалы на сопряженном пространстве ${displaystyle V^{*}}$ можно отождествлять с векторами пространства , соответственно это тензоры типа ${displaystyle (_{0}^{1})}$

Полилинейные функции как линейные отображения[править | править код]

Аналогично можно показать, что закон преобразования полилинейных функций общего вида также соответствует тензорному.

Неочевидным из этого определения является то, что линейные операторы на являются тензорами типа ${displaystyle (_{1}^{1})}$ . Тем не менее, если рассмотреть полилинейную функцию , где -вектор пространства, а -линейная функция (вектор сопряженного пространства), то при фиксированном такая функция есть просто линейный функционал на пространстве V^* , то есть элемент пространства $V^{**}$ . Как уже отмечалось выше, это пространство тождественно исходному пространству , а значит, этой функции при фиксированном сопоставлен другой вектор этого же пространства и при этом такое отображение линейно. Следовательно, полилинейные функции типа отождествляются с линейными операторами на .

Рассуждая аналогично, можно показать, что линейные отображения ${displaystyle L:V^{r}rightarrow V}$ являются тензорами типа ${displaystyle (_{r}^{1})}$ и более обобщенно — линейные отображения ${displaystyle L:V^{r}rightarrow V^{s}}$ являются тензорами типа ${displaystyle (_{r}^{s})}$ .

Тензор как элемент тензорного произведения векторных пространств[править | править код]

Общее определение[править | править код]

Тензор ранга над -мерным векторным пространством — это элемент тензорного произведения пространств и сопряжённых пространств V^* (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на )

${displaystyle tau in underbrace {Votimes ldots otimes V} _{s}otimes underbrace {V^{*}otimes ldots otimes V^{*}} _{r}=left(bigotimes _{i=1}^{s}Vright)otimes left(bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}right)=(otimes ^{s}V)otimes (otimes ^{r}V^{*})=otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).}$

Пояснения по тензорному произведению[править | править код]

Данное определение считается современным, но требует предварительного пояснения непростого понятия тензорного произведения векторных пространств. Тензорное произведение векторных пространств — это векторное пространство , которое связано с этими векторными пространствами посредством полилинейного отображения, то есть каждому элементу декартова (прямого) произведения векторных пространств поставлен в соответствие элемент пространства и каждой полилинейной форме на этих векторных пространствах соответствует линейная форма в пространстве .

Тензорное произведение векторов проще определить в координатном представлении: это вектор, координатами которого являются всевозможные произведения координат «умножаемых» векторов. Например, если «умножаются» два вектора x и y пространства размерности , то их тензорное произведение это вектор размерности $n^{2}$ , координаты которого равны числам ${displaystyle x^{i}y^{j}}$ , где индексы пробегают все возможные значения от 1 до (эти координаты удобно записать в виде квадратной матицы ). В векторной форме получение этой матрицы-тензорного произведения запишется как ${displaystyle xy^{T}}$ или ${displaystyle yx^{T}}$ в зависимости от порядка умножения (не путать с ${displaystyle x^{T}y}$ или ${displaystyle y^{T}x}$ — в этих случаях получаются просто одно число). Тензорное произведение некоммутативно, то есть порядок перемножаемых векторов влияет на результат (набор чисел одинаковый, но как упорядоченные наборы чисел они отличаются). Собственно, тензорные произведения векторов являются некоторыми тензорами (перемножаемые векторы не зависят от базиса, а значит и тензорное произведение определено независимо от него, при этом любое изменение базиса меняет координатное представление и перемножаемых векторов и их произведения).

Координатное представление тензора[править | править код]

Выберем в пространстве базис ${displaystyle {mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},ldots ,mathbf {e} _{n}}}$ , и соответственно ${displaystyle {mathbf {f} ^{1},mathbf {f} ^{2},ldots ,mathbf {f} ^{n}}}$ — дуальный базис в сопряжённом пространстве V^* (то есть $(mathbf{e}_a cdot mathbf{f}^b) = delta_a^b$ , где — символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров ${displaystyle mathrm {T} _{r}^{s}(V)=otimes _{r}^{s}V}$ естественным образом возникает базис

${displaystyle {mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{s}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{r}}},quad 1leqslant i_{a},j_{b}leqslant n}$

Произвольный тензор ${displaystyle tau in mathrm {T} _{r}^{s}(V)}$ можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

${displaystyle tau =sum _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}sum _{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}{tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}}mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{s}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{r}}.}$

Используя соглашение Эйнштейна, это разложение можно записать как

${displaystyle tau ={tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n}}}mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{s}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{r}}.}$

Числа ${displaystyle tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}}$ называются компонентами тензора tau .
Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными.
Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора будет таким:

$h = sum_{j,k} h_{jk} mathbf{f}^j otimes mathbf{f}^k$

Тензорное поле[править | править код]

Для так называемых гладких многообразий , которые в общем случае не являются векторными пространствами, тензор может быть задан на так называемом касательном пространстве $T_{p}M$ к точке многообразия, поскольку касательное пространство является векторным пространством. Соответственно, тензор можно считать заданным в точке многообразия. Соответственно, гладкая функция (тензорозначная), ставящая в соответствие каждой точке многообразия тензор, есть тензорное поле.

Классический пример тензорного поля, называемого обычно просто тензором, -метрический тензор в римановых многообразиях (пространствах) и применяемый также в общей теории относительности.

Примеры и применение тензоров[править | править код]

Примеры тензоров сгруппированных по валентности[править | править код]

Контравариантный ранг (число верхних индексов)

ковариантный ранг (число нижних индексов)	0	1	2	3	s
0	Скаляр, длина вектора, интервал (теория относительности), скалярная кривизна	Вектор (алгебра), 4-векторы в СТО, например 4-вектор энергии-импульса (4-импульс)	Тензор энергии-импульса в ОТО, бивектор, обратный метрический тензор	Спин-тензор в квантовой теории поля	Поливектор
1	Ковектор, линейная форма, градиент скалярной функции	Линейный оператор , дельта Кронекера
2	Билинейная форма, Скалярное произведение, Метрический тензор, Тензор Риччи, Тензор кручения, Тензор электромагнитного поля, Тензор напряжений, Тензор деформаций, Квадрупольный момент	Линейное отображение ${displaystyle L:V^{2}rightarrow V}$	Тензор упругости (жесткости)
3	Тензор Леви-Чивиты	Тензор кривизны Римана
r	Полилинейная форма, Форма объема	Линейное отображение ${displaystyle L:V^{r}rightarrow V}$			Линейное отображение ${displaystyle L:V^{r}rightarrow V^{s}}$

Примеры тензоров в различных областях математики и физики[править | править код]

Тензоры широко применяются в различных разделах математики и физики. Многие уравнения в физике и математике, при использовании тензорной записи, становятся более короткими и удобными. Использование тензоров позволяет увидеть различные симметрии физических величин, уравнений и моделей, а также записать их в общековариантной форме (не зависящей от конкретной системы отсчета).

В математике тензоры являются предметом исследования тензорного исчисления, включающего тензорную алгебру и тензорный анализ. В дифференциальной топологи и геометрии, изучающей гладкие (в том числе римановы) многообразия, рассматриваются различные тензоры: касательный вектор, билинейная форма, метрический тензор, градиент скалярной функции, связность или ковариантная производная, тензор кручения, тензор кривизны Римана и его свертки — тензор Риччи и скалярная кривизна и т. д.

В физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств (хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся). Например, линейные операторы квантовой механики, могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Тензоры в физике широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твёрдое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела. Большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) — второго ранга (с двумя индексами). Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство тензоров в физике симметрично или антисимметрично.

Ниже представлена таблица применения тензоров в физике по направлениям.

Раздел науки	Тензоры и их применение
Специальная теория относительности (СТО)	4-векторы, в том числе 4-вектор координат в 4-мерном пространстве-времени Минковского, метрический тензор, интервал (теория относительности) («длина» в этом пространстве); 4-тензоры применяются для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временно́е» и три «пространственных». Примером, является 4-импульс (4-вектор энергии-импульса);
Общая теория относительности (ОТО)	метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала и получающиеся из него свертки тензора кривизны Римана — тензор Риччи и скалярная кривизна (свёртка тензора Риччи), связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории (в левой части уравнения Эйнштейна они совместно образуют т. н. тензор Эйнштейна), тензор энергии-импульса материальных полей, входящие в правую часть уравнения Эйнштейна
Классическая электродинамика	Тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряжённости электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.
Теория упругости и Механика сплошных сред	Тензоры второго ранга над 3-мерным физическим пространством Тензор деформаций и тензор напряжений, связанные между собой через тензор упругости 4-го ранга. Также применяются модули упругости.
Квантовая теория поля	В релятивистской теории поля возникают тензор энергии-импульса и Спин-тензор, которые в КТП принимают вид линейных операторов над вектором состояния
Кинематика твёрдого тела	Важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твёрдое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию
Теория поля	Квадрупольный момент и вообще тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.
другие разделы	Многие величины, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д. Часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).

Симметричные и антисимметричные тензоры[править | править код]

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который не изменяется от перестановки этих индексов:

${displaystyle {T_{{underline {j_{1},j_{2}}},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}}={T_{{underline {j_{2},j_{1}}},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}},quad forall j_{1},j_{2}=1..n}$

или ${displaystyle {T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{{underline {i_{1},i_{2}}},ldots ,i_{s}}}={T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{{underline {i_{2},i_{1}}},ldots ,i_{s}}},quad forall i_{1},i_{2}=1..n.}$

При рассмотрении тензора как полилинейной функции это означает, что значение функции не меняется от перестановки этих двух аргументов местами.

Кососимметичным (косая симметрия) или антисимметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который при перестановке этих индексов меняет знак :

${displaystyle T_{{underline {j_{1},j_{2}}},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}}=-T_{{underline {j_{2},j_{1}}},ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{s}},quad forall j_{1},j_{2}=1..n}$

или ${displaystyle T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{{underline {i_{1},i_{2}}},ldots ,i_{s}}=-T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{r}}^{{underline {i_{2},i_{1}}},ldots ,i_{s}},quad forall i_{1},i_{2}=1..n.}$

При рассмотрении тензора как полилинейной функции это означает, что значение функции меняет знак от перестановки этих двух аргументов местами.

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов. Тензор симметричен по набору индексов, если при любой перестановке индексов из этого набора тензор не изменяется. Тензор антисимметричен по набору индексов, если он меняет знак при нечетной перестановке (получаемых нечетным числом перестановок двух индексов) и не меняется при четных перестановках по этому набору индексов.

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным. Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны). Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jkell}$ антисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензорные операции[править | править код]

Стандартные линейные операции[править | править код]

Тензоры одинаковой валентности являются элементами некоторого линейного пространства и допускают операции суммирования и умножения на скаляр, аналогичные операциям на произвольном линейном пространстве. При умножении на скаляр каждый компонент тензора умножается на него (аналогично умножению вектора на скаляр). При сложении тензоров — складываются компоненты этих тензоров (тоже аналогично векторам).

Тензорное произведение[править | править код]

Между тензорами произвольной валентности определена операция тензорного произведения.

В координатном представлении компоненты тензорного произведения по существу это всевозможные произведения соответствующих компонент умножаемых тензоров, например $P^{ij}_{ kl} = A^{ij} B_{kl}$ .

При рассмотрении тензоров как полилинейных функций тензорное произведение — это полилинейная функция, равная произведению множителей-полилинейных функций. Соответственно, если один множитель содержит аргументов, второй — , то их произведение — это функция от аргументов:

${displaystyle varphi _{r+r'}^{s+s'}=sigma _{r}^{s}otimes tau _{r'}^{s'}=varphi (f_{1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=sigma (f_{1},..,f_{s},x^{1},..,x^{r})tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+r'})}$

Соответственно, произведением тензора ранга на тензор ранга является тензор суммарного ранга .

Это еще более очевидно, если использовать определение тензора как элемента тензорного произведения, а именно, если ${displaystyle sigma in T_{r}^{s}=otimes _{r}^{s}V}$ и ${displaystyle tau in T_{r'}^{s'}=otimes _{r'}^{s'}V}$ то их произведение

${displaystyle sigma otimes tau in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}otimes T_{r'}^{s'}=(otimes _{r}^{s}V)otimes (otimes _{r'}^{s'}V)=otimes _{r+r'}^{s+s'}V}$

Тем самым операция тензорного произведения делает из множества всех тензорных пространств на данном векторном пространстве так называемую биградуированную алгебру .

Свёртка[править | править код]

Правило подразумеваемого в записи Эйнштейна суммирования по так называемому немому индексу (когда в записи какой-то верхний и нижний индексы обозначены одной буквой) фактически определяет специфическую тензорную операцию, называемую свёрткой.

Свертка тензора[править | править код]

Свёртка тензора — операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:

${displaystyle A_{jkl}^{ji}=sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i}}$

Итоговый тензор обозначается обычно той же буквой, несмотря на то, что это уже тензор другого ранга (количества индексов) на 2 меньше ранга исходного тензора.

В случае тензора типа (1,1) свертка приводит в результате к одному числу, называемому следом тензора (по аналогии со следом След матрицы). След является инвариантной (не зависящей от базиса) величиной, скаляром (его иногда называют инвариантом тензора).

Свертка нескольких тензоров[править | править код]

Операция свёртки применяется также и к двум или нескольким тензорам (в том числе между тензором и вектором), например:

${displaystyle B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i}}$

Эту операцию можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров : ${displaystyle B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im}}$ и затем свёртке получившегося тензора ${displaystyle C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i}}$ . Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.

Свёртка вектора с тензором ранга два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:

${displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i}}$

Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:

${displaystyle B_{k}^{i}A_{j}^{k}=sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i}}$

Свёртка вектора и ковектора ${displaystyle x^{i}x_{i}}$ дает скаляр $d^{2}$ – квадрат длины вектора:

Опускание и поднятие индекса[править | править код]

В пространствах с метрическим тензором (евклидовые и псевдоевклидовые пространства, римановы и псевдоримановые многообразия) определены операции опускания и поднятия индексов посредством свертки с метрическим тензором (такие операции меняют характер валентности тензора, оставляя неизменным общий ранг тензора):

${displaystyle x_{j}=g_{ij}x^{i}}$ — опускание индекса (переход от вектора к ковектору)

${displaystyle x^{i}=g^{ij}x_{i}}$ — поднятие индекса (переход от ковектора к вектору) с помощью контравариантного метрического тензора (его матрица является обратной к обычному ковариантному метрическому тензору)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jkell}$ — тензор кривизны Римана типа (1,3) преобразуется в полностью ковариантный тензор типа (0,4)

Операции опускания и поднятия индексов позволяют определить инварианты полностью ковариантных или полностью контравариантных тензоров. Например, дважды ковариантный тензор Риччи можно привести к смешанному виду ${displaystyle R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij}}$ и применить операцию свертки получившегося тензора. Эти две операции можно просто свести к свертке тензора Риччи с метрическим тензором сразу по паре индексов: ${displaystyle R=g^{ij}R_{ij}}$ . Полученная величина называется скалярной кривизной. Она не зависит от выбора базиса в пространстве.

Симметризация и антисимметризация[править | править код]

Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора $T_{ij}$ — это симметричный тензор $scriptstyle T_{(ij)} = {1over 2}left(T_{ij}+T_{ji}right)$ , а антисимметризация — антисимметричный тензор $scriptstyle T_{[ij]} = {1over 2}left(T_{ij}-T_{ji}right)$ .

В общем случае симметризация по индексам имеет вид

$T_{(i_1ldots i_n)} = {1over n!}sum_{sigma} T_{sigma(i_1)ldots sigma(i_n)},$

а антисимметризация (альтернирование):

$T_{[i_1ldots i_n]} = {1over n!}sum_{sigma} mathrm{sign},(sigma) T_{sigma(i_1)ldots sigma(i_n)}$

Здесь sigma — всевозможные перестановки индексов а — чётность перестановки sigma. .

Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

Если $T_{i_1ldots i_n}$ симметричен по то симметризация по этим индексам совпадает с а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.

Если $T_{ij} in Votimes V,$ то $T_{(ij)} in V vee V,$ $T_{[ij]} in V wedge V.$ Здесь vee — симметричное, а wedge — внешнее произведение векторных пространств.

Связанные понятия и обобщения[править | править код]

Тензоры в бесконечномерных пространствах[править | править код]

Понятие тензора формально можно обобщить на случай бесконечномерных линейных пространств. Обобщения тензоров на топологические пространства осуществляется путем введения топологического тензорного произведения.

Для корректного определения тензоров на таких пространствах необходимо выполнение свойства рефлексивности этого пространства, то есть оно должно быть канонически изоморфно своему второму сопряженному пространству (конечномерные пространства этим свойством обладают все). Тогда, например, определение в форме полилинейных функций имеет корректный смысл и приводит к тому, что векторы и линейные операторы на таких пространствах являются тензорами.

В частности тензоры определяются на гильбертовых пространствах и тогда линейные отображения в гильбертовых пространствах являются тензорами. Тем не менее, в приложениях (в физике), обычно термин «тензор» к таким объектам не применяется (например, операторы в квантовой физике, изображающие различные физические величины, являются по существу тензорами в гильбертовом пространстве, тем не менее таковыми их обычно не называют).

Девиатор и шаровая часть[править | править код]

Любой тензор второго ранга $sigma_{ij}$ может быть представлен в виде суммы девиатора ${displaystyle s_{ij}}$ и шаровой части:

${displaystyle sigma _{ij}=-pdelta _{ij}+s_{ij},quad p=-{frac {sum _{i=1}^{N}sigma _{i}}{N}}.}$

Здесь sigma_i — собственные значения тензора. Собственные значения девиатора $s_{i}$ связаны с собственными значениями тензора: ${displaystyle s_{i}=sigma _{i}+p, i=1,dots ,N}$ . Понятие девиатора широко применяется в механике сплошных сред.^[2]

См. также[править | править код]

Тензорное поле
Метрический тензор
Тензор кривизны
Тензорные вычисления (программное обеспечение)^[en]

Примечания[править | править код]

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [The fundamental physical properties of crystals in an elementary presentation] (Leipzig, Germany: Veit & Co., 1898), p. 20. From page 20: “Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen.” (We therefore want [our presentation] to be based only on [the assumption that] conditions of the type described occur during stresses and strains of non-rigid bodies, and therefore call them “tensorial” but call the characteristic physical quantities for them “tensors”.)
↑ Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. — М., Наука, 2005. — с. 21 — ISBN 5-02-032945-2.

Литература[править | править код]

Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969;
Винберг Э. Б. Курс алгебры. 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2017. — 592 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.
Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. — ISBN 5-06-004155-7.
Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — Ч. II: Линейная Алгебра. — 368 с. — ISBN 978-5-94057-888-8.
Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963.
Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960.
Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967.
Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.

Источник

В заметке Магия тензорной алгебры было дано очень неплохое введение в математику тензоров. Но, как мне кажется, этот текст все-равно несколько сложен для понимания. В нем не до конца понятно, что же это такое тензор и зачем он вообще нужен.

Сейчас я попытаюсь дать совсем простое введение в тензоры. Я не претендую на математическую строгость, поэтому некоторые термины могут употребляться не совсем корректно.

Откуда появился термин тензор

Насколько я помню, термин тензор происходит от латинского tensus или английского слова tension — напряжение. Термин возник в процессе осмысления следующей задачи. Пусть нам дано некоторое твердое тело произвольной формы в трехмерном пространстве. К разным концам тела приложены некоторые силы. Как описать возникающие напряжения в некотором сечении этого тела? Ответ на эту задачу — напряжения описываются тензорным полем. Но для понимания этого ответа давайте рассмотрим более простые задачи.

Тензор нулевого ранга

Пусть нам дан в трехмерном пространстве однородный кубик. Давайте его начнем нагревать с какой-либо стороны. Теперь зафиксируем какой-либо момент времени и попробуем описать значения температуры в каждой точке кубика.

Температура — это скаляр, нам нужно только одно число. Введем произвольную систему координат. В рамках этой системы координат температура будет описываться как скалярная функция от

(x, y, z).

А давайте теперь возьмем другую систему координат. Что изменится? А ничего! Температура в каждой точке пространства осталась таким же скаляром и при смене системы координат не поменялась.

Вот уже интересно! Мы получили некоторый математический объект, скаляр, который не изменяется при смене системы координат. Назовем его тензором нулевого ранга. Идем дальше.

(Уточнение из комментариев: координаты точек изменятся, но температура в этих точках от поворота системы координат не изменится. Именно температура и есть тензор ранга (0,0))

Тензор первого ранга

Итак, мы нагрели наш однородный кубик. Под действием температуры молекулы какого-либо вещества в нем начали как-то двигаться. Опять зафиксируем какой-либо момент времени и попробуем описать значения скоростей молекул в каждой точке кубика.

Скорость — это вектор. Введем произвольную систему координат. В рамках этой системы скорости в каждой точке пространства будут описываться как векторные функции от

(x, y, z). А давайте теперь возьмем другую систему координат? Что изменится? Давайте рассуждать.

Векторное поле скоростей в кубике не изменилось, оно осталось таким же, мы просто взяли другую линейку (другую систему координат) для измерения скоростей. Но изменились компоненты этого вектора. Зная старую и новую систему координат, закон изменения компонент вектора несложно вывести.

Таким образом, мы получили математический объект, вектор, который опять же не изменяется при смене системы координат, но изменяются его компоненты, причем по заранее определенному закону. Это тензор первого ранга. Теперь начинается самое интересное.

Тензор второго ранга

Мы нагрели наш кубик, молекулы начали двигаться. Но представим теперь, что наш кубик перестал быть однородным. Он теперь пористый, внутри состоит из разных каналов с разной ориентацией. Скорость движения молекулы вдоль канала гораздо больше, чем скорость движения поперек канала. Как нам описать такую неоднородную среду?

Зафиксируем какой-либо момент времени, возьмем одну молекулу со своим вектором скорости. Вопрос, как этот вектор скорости изменится в следующий момент времени? Если молекула попала в канал и вектор ее скорости направлен вдоль канала, то скорость не изменится, если вектор направлен поперек канала, то уменьшится в несколько раз, а если под углом, то вектор скорости вообще изменит свое направление.

Это очень похоже на то, что в каждой точке кубика задано нечто, что умеет поворачивать и масштабировать вектора. Да, да, это матрица! Но не произвольная, а специальная, которая не уничтожает вектора, а преобразовывает.

Хорошо, а что будет с нашей матрицей, если мы возьмем другую систему координат, что изменится? Конфигурация каналов в кубике осталась такой же, и эта матрица должна поворачивать вектора скоростей точно таким же образом. Да, компоненты этой матрицы изменятся, но само ее действие на вектора останется таким же.

Таким образом, мы опять же имеем математический объект, матрицу специального вида, действие которой на вектор не зависит от смены системы координат, а ее компоненты пересчитываются по определенному закону. Назовем его тензором второго ранга.

Так что же такое тензор?

Итак, тензор это математический объект, который как объект не зависит от смены системы координат, но его компоненты при смене системы координат преобразуются по определенному математическому закону. В трехмерном пространстве тензор второго ранга проще всего представить как матрицу, заданную в каждой точке пространства, которая описывает неоднородность этого пространства и действует на входящий вектор, изменяя его направление и масштаб.

Оригинал статьи на Хабре (2015 год)

К лучшим публикациям Хабра за сутки

Источник

Содержание

Введение

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

2. Скалярное произведение векторов

3. Правило Эйнштейна

4. Анализ на простых примерах

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Заключение и выводы

Предварительные сведения[править | править код]

Правило Эйнштейна[править | править код]

Контравариантность векторов[править | править код]

Ковариантность линейных функционалов[править | править код]

Замечания[править | править код]

Примеры пересчета координат при замене базиса[править | править код]

Пример пересчета координат вектора при смене базиса[править | править код]

Пример пересчета координат линейного функционала[править | править код]

Определения[править | править код]

Тензор как набор компонент (многоиндексный объект)[править | править код]

Общее определение. Правило преобразования координат[править | править код]

Преобразования координат в частных случаях[править | править код]

Псевдотензоры[править | править код]

Многоиндексные объекты, не являющиеся тензорами[править | править код]

Тензор как полилинейная функция[править | править код]

Общее определение[править | править код]

Полилинейные функции на V как ковариантные тензоры[править | править код]

Полилинейные функции на V* как контравариантные тензоры[править | править код]

Полилинейные функции как линейные отображения[править | править код]

Тензор как элемент тензорного произведения векторных пространств[править | править код]

Общее определение[править | править код]

Пояснения по тензорному произведению[править | править код]

Координатное представление тензора[править | править код]

Тензорное поле[править | править код]

Примеры и применение тензоров[править | править код]

Примеры тензоров сгруппированных по валентности[править | править код]

Примеры тензоров в различных областях математики и физики[править | править код]

Симметричные и антисимметричные тензоры[править | править код]

Тензорные операции[править | править код]

Стандартные линейные операции[править | править код]

Тензорное произведение[править | править код]

Свёртка[править | править код]

Свертка тензора[править | править код]

Свертка нескольких тензоров[править | править код]

Опускание и поднятие индекса[править | править код]

Симметризация и антисимметризация[править | править код]

Связанные понятия и обобщения[править | править код]

Тензоры в бесконечномерных пространствах[править | править код]

Девиатор и шаровая часть[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Откуда появился термин тензор

Тензор нулевого ранга

Тензор первого ранга

Тензор второго ранга

Так что же такое тензор?

Вам также может понравиться

Как найти среднюю оценку учеников класса

Как в экселе найти колонтитулы

Как найти площадь шейки

Добавить комментарий Отменить ответ