Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.
Максимум
Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:
Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x0). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x0).
Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».
Минимум
Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.
Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:
Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x0), которое при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).
Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x0, а минимум – самое маленькое.
Стационарные точки
При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.
Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.
Здесь рекомендуется запомнить следующее:
- Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
- Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
- Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.
Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.
План действий
Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.
Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:
- Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
- Если запись непрерывная – ищем производную.
- После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
- Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
- Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
- Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».
Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).
На отрезке
Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.
Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.
Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.
Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.
Открытый интервал
Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.
Здесь:
- Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
- Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
- На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.
Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.
Бесконечность
Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:
На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.
Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.
Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.
Как находить наибольшее и наименьшее значение выражения. Как найти наибольшее значение выражения
Инструкция
Выполните нахождение наибольшего , которая на отрезке имеет конечное число критических точек. Для этого вычислите ее значение
во всех точках, а также на концах отрезка. Из полученных выберите наибольшее. Метод поиска наибольшего значения выражения
для решения различных прикладных задач.
Выполните для этого следующие действия: переведите задачу на язык функции, выберите параметр x, через него выразите нужную величину как функцию f(x). Используя средства анализа, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на определенном промежутке.
Посчитайте количество необходимых действий и подумайте, в каком порядке их следует выполнять. Если вас затрудняет данный вопрос, обратите внимание, что прежде других выполняются действия, заключенные в скобки, затем – деление и умножение; и вычитание производятся в последнюю очередь. Чтобы было легче запомнить алгоритм выполняемых действий, в выражении над каждым знаком-оператором действий (+,-,*,:) тонким карандашом проставьте цифры, соответствующие выполнения действий.
Приступайте к выполнению первого действия, придерживаясь установленного порядка. Считайте в уме, если действия легко выполнить устно. Если же требуются вычисления (в столбик), осуществляйте их запись под выражением, указывая порядковый номер действия.
Четко отслеживайте последовательность выполняемых действий, оценивайте, что из чего нужно вычесть, что на что разделить и т.п. Очень часто ответ в выражении получается неверным из-за допущенных ошибок на данном этапе.
Чтобы найти множество значений функции, сначала необходимо узнать множество значений аргумента, а затем с использованием свойств неравенств отыскать соответственные наибольшее и наименьшее значения функции. К этому сводится решение многих практических задач.
Инструкция
Выполните нахождение наибольшего значения функции, которая на отрезке имеет конечное число критических точек. Для этого вычислите ее
значение
во всех точках, а также на концах отрезка. Из полученных чисел выберите наибольшее.
Метод поиска наибольшего значения выражения
используется для решения различных прикладных задач.
Выполните для этого следующие действия: переведите задачу на язык функции, выберите параметр x, через него выразите нужную величину как функцию f(x). Используя средства анализа, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на определенном промежутке.
Воспользуйтесь следующими примерами для нахождения значения функции. Найти значения функции y=5-корень из (4 – x2). Следуя определению квадратного корня, получим 4 — x2 > 0. Решите квадратичное неравенство, в результате получите, что -2
Возведите в квадрат каждое из неравенств, затем умножьте все три части на –1, прибавьте к ним 4. Затем введите вспомогательную переменную и сделайте предположение, что t = 4 — x2, где 0 значение функции получится на окончаниях промежутка.
Произведите обратную замену переменных, в результате вы получите следующее неравенство: 0 значение, соответственно, 5.
Воспользуйтесь методом применения свойств непрерывной функции, чтобы определить наибольшее значение
выражения
.
В данном случае используйте числовые значения, которые принимаются выражением на заданном отрезке. Среди них всегда присутствует наименьшее значение
m и наибольшее значение
M. Между этими числами заключается множество значений функции.
Чтобы найти множество значений функции, сначала необходимо узнать множество значений аргумента, а затем с использованием свойств неравенств отыскать соответственные наибольшее и наименьшее значения функции. К этому сводится решение многих практических задач.
Инструкция
- Выполните нахождение наибольшего значения функции, которая на отрезке имеет конечное число критических точек. Для этого вычислите ее значение во всех точках, а также на концах отрезка. Из полученных чисел выберите наибольшее. Метод поиска наибольшего значения
выражения
используется для решения различных прикладных задач. - Выполните для этого следующие действия: переведите задачу на язык функции, выберите параметр x, через него выразите нужную величину как функцию f(x).
Используя средства анализа, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на определенном промежутке. - Воспользуйтесь следующими примерами для нахождения значения функции. Найти значения функции y=5-корень из (4 – x2). Следуя определению квадратного корня, получим 4 — x2 > 0. Решите квадратичное неравенство, в результате получите, что -2
- Возведите в квадрат каждое из неравенств, затем умножьте все три части на –1, прибавьте к ним 4. Затем введите вспомогательную переменную и сделайте предположение, что t = 4 — x2, где 0
- Произведите обратную замену переменных, в результате вы получите следующее неравенство: 0
- Воспользуйтесь методом применения свойств непрерывной функции, чтобы определить наибольшее значение выражения
. В данном случае используйте числовые значения, которые принимаются выражением на заданном отрезке. Среди них всегда присутствует наименьшее значение m и наибольшее значение M. Между этими числами заключается множество значений функции.
Используя средства анализа, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на определенном промежутке.
Функция НАИБОЛЬШИЙ
Excel
Формулы и функции
Другие функции
Другие функции
Функция НАИБОЛЬШИЙ
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции НАИБОЛЬШИЙ в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает k-ое по величине значение из множества данных. Эта функция позволяет выбрать значение по его относительному местоположению. Например, функцией НАИБОЛЬШИЙ можно воспользоваться для определения наилучшего, второго или третьего результатов тестирования в баллах.
Синтаксис
НАИБОЛЬШИЙ(массив;k)
Аргументы функции НАИБОЛЬШИЙ описаны ниже.
-
Массив Обязательный. Массив или диапазон данных, для которого определяется k-ое наибольшее значение.
-
k Обязательный. Позиция (начиная с наибольшего числа) в массиве или диапазоне ячеек данных.
Замечания
-
Если массив пуст, то функции БОЛЬШИЕ возвращают #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
-
Если k ≤ 0 или k больше количества точек данных, то large возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если n — число точек данных в интервале, функция НАИБОЛЬШИЙ(массив;1) возвращает наибольшее значение, а НАИБОЛЬШИЙ(массив;n) — наименьшее.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Данные |
Данные |
|
|---|---|---|
|
3 |
4 |
|
|
5 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
5 |
6 |
|
|
4 |
7 |
|
|
Формула |
Описание |
Результат |
|
=НАИБОЛЬШИЙ(A2:B6;3) |
Третье по величине число из приведенных выше чисел |
5 |
|
=НАИБОЛЬШИЙ(A2:B6;7) |
Седьмое по величине число из приведенных выше чисел |
4 |
Программа Python для поиска наибольшего числа в списке
Просмотреть обсуждение
Улучшить статью
Сохранить статью
- Уровень сложности:
Easy - Последнее обновление:
13 сент, 2022
Посмотреть обсуждение
Улучшить статью
Сохранить статью
Задача состоит в том, чтобы по заданному списку чисел написать программу на языке Python для поиска наибольшего числа в заданном списке.
Примеры:
Ввод: список1 = [10, 20, 4] Вывод: 20
Ввод: list2 = [20, 10, 20, 4, 100] Вывод: 100
Метод 1: Отсортируйте список в порядке возрастания и выведите последний элемент в списке.
Python3
list1 = [ 10 , 20 , 4 , 45 , 99 ]
list1.sort()
print ( "Largest element is:" , list1[ - 1 ])
Output
Largest element is: 99
Method 2: Using max() method
Python3
list1 = [ 10 , 20 , 4 , 45 , 99 ]
print ( «Самый большой элемент:»: » , MAX (List1))
Выход
Самый большой элемент: 99
Метод 3: Найдите в мак.
пользователь
Python3
list1 = []
num = int ( input ( "Enter number of elements in list: " ))
for i in range ( 1 , num + 1 ):
ele = int ( input ( "Enter elements: " ))
list1. 
append(ele)
Print ( «Самый большой элемент:»: « , MAX (List1))
Выход:
. Введите элементы: 12 Введите элементы: 19Введите элементы: 1 Введите элементы: 99 Самый большой элемент: 99
Метод 4: Без использования встроенных функций в Python:
Python3
99998
98 98 98 98 98
95
MAX = LIST1 [ 0 ]
for x in list1:
if x > max :
max = x
Возврат MAX
list1 = [ 10 , 20 , 4 , 45 , 99 ]
print ( "Самый большой элемент:" , myMax(list1))
Вывод
Самый большой элемент: 99
для нахождения функций max и max() 3: метод 0: элемент в заданном списке.
Функция max() выводит самый большой элемент в списке.
Python3
def maxelement(lst):
print ( max (lst))
LST = [ 20 , 10 , 20 , 4 050 , 100 ]
maxelement(lst)
Output
100
Method: Using the lambda function
Python3
LST = [ 20 , 10 , 20 , 4 , 4 , , 4 , , 0050 ]
print ( max (lst, key = lambda value: int (value)) )
Output
100
Метод: Использование функции уменьшения
Python3
Из Functools Уменьшение 9003
9 . 
0049 = [ 20 , 10 , 20 , 4 , 100 ]
largest_elem = reduce ( MAX , LST)
Печать (наибольшая_алем)
Выход
100
39.0030 O(n)
Вспомогательный пробел: O(1)
Python Как найти наибольшее число в списке
Чтобы найти наибольшее число в списке на Python:
- 0 первый элемент как кандидат с наибольшим числом.
- Цикл по списку номеров.
- Обновить кандидат на наибольшее число, если число больше его.
Вот как это выглядит в коде:
heights = [100, 2, 300, 10, 11, 1000]
наибольшее_число = высота[0]
для числа в высотах:
если число > наибольшее_число:
наибольшее_число = число
печать (наибольшее_число)
Вывод:
1000
Это наивная реализация поиска наибольшего числа.
Но есть и несколько полезных встроенных механизмов, которые вы можете использовать.
В этом руководстве вы узнаете о различных способах поиска максимального значения в списке в Python.
Функция max() — поиск самого большого элемента списка
В Python есть встроенная функция max() , которую вы можете использовать для поиска самого большого числа в списке.
Чтобы воспользоваться им, позвоните по номеру max() в списке чисел. Затем он возвращает наибольшее число в этом списке.
Вот пример:
высоты = [100, 2, 300, 10, 11, 1000] max_height = макс (высота) print(max_height)
Вывод:
1000
Альтернативные подходы к поиску наибольшего числа в списке
Теперь вы знаете два простых способа нахождения наибольшего числа в списке в Python.
Давайте рассмотрим еще несколько необычных подходов.
Функция Reduce()
Вы также можете использовать функцию functools reduce() , чтобы найти наибольшее число в списке.
Прежде чем мы это сделаем, важно понять, как работает функция reduce() .
reduce(function, iterable)
Функция сокращения принимает два параметра:
- Функция, которая применяется к каждому элементу итерируемого объекта.
- Повторяемый объект, например список.
Тогда:
- Берет первые два элемента последовательности и вызывает для них функцию.
- Берет предыдущий результат и вызывает функцию для результата и следующего числа в списке.
- Этот процесс продолжается до тех пор, пока в списке не останется элементов.
Чтобы узнать больше о функции reduce() , ознакомьтесь с этой статьей.
В любом случае, давайте воспользуемся функцией reduce() , чтобы найти самый большой элемент в списке.
Reduce() со встроенной функцией max()
Вот пример того, как вы можете использовать reduce для поиска наибольшего числа в списке:
from functools import reduce высоты = [100, 2, 300, 10, 11, 1000] max_height = уменьшить (макс. высота) print(max_height)
Вывод:
1000
Функция reduce() применяет функцию max() для каждого элемента, как описано в предыдущей главе.
- Он начинает с двух первых элементов и находит самый большой из двух
- Затем берет результат и сравнивает его с третьим элементом.
- Этот процесс продолжается до тех пор, пока в списке не останется номеров.
Давайте также посмотрим еще один, возможно, более наглядный пример.
Reduce() с пользовательской функцией Max
Еще один способ использования reduce() для поиска наибольшего числа в списке — это реализация функции max() самостоятельно.
Например:
из functools импортировать уменьшить
высоты = [100, 2, 300, 10, 11, 1000]
определение my_max (х, у):
если х < у:
вернуть у
еще:
вернуть х
max_height = уменьшить (my_max, высота)
печать (max_height)
Вывод
1000
Уменьшение() с лямбда-функцией
И третий подход заключается в использовании сокращения() с лямбда-выражением.
Это означает, что вы определяете встроенную функцию max в вызове функции reduce() .
Например:
из functools импортировать уменьшить высоты = [100, 2, 300, 10, 11, 1000] max_height = уменьшить (лямбда x, y: y, если x < y, иначе x, высота) print(max_height)
Вывод:
1000
Функция lambda x, y: y if x < y else x делает то же самое, что и функция my_max() в предыдущем примере.
Обратите внимание, что оператор if-else сокращен до однострочного выражения.
Поиск наибольшего числа с использованием очереди кучи
Встроенный модуль heapq в Python поставляется с реализацией алгоритма очереди с приоритетом.
Короче говоря, куча — это двоичное дерево, в котором каждый родительский узел имеет значение, меньшее или равное значению его дочерних элементов.
Вы можете использовать функцию heapq.nlargest() , чтобы вычислить наибольшие числа в списке.
Например:
импорт кучиq высоты = [100, 2, 300, 10, 11, 1000] max_height = heapq.nlargest(1, высота)[0] print(max_height)
Вывод:
1000
Заключение
Сегодня вы узнали, как найти наибольшее число в списке.
Во-первых, вы использовали метод «грубой силы» для перебора списка, отслеживая самый большой элемент.
Чтобы найти наибольшее значение тригонометрического выражения, во многих случаях достаточно знать область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса и свойства неравенств.
Примеры.
Найти наибольшее значение выражения:
![[1)5 + 7cos alpha ]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d14a27a9811467d329fd788c745ec514_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
Область допустимых значений данного выражения — вся числовая прямая:
ОДЗ: α∈(-∞; ∞).
Область значений косинуса — промежуток [-1;1]. Для оценки значений удобнее использовать двойное неравенство:
![[ - 1 le cos alpha le 1.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28aaa9835d364e5899be0a03cd9b58ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Умножаем неравенство почленно на 7. При умножении на положительное число знаки неравенства не изменяются:
![[ - 1 le cos alpha le 1{rm{ }}left| { cdot 7 > 0} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8219e6e077cb4aeddd5248ff5886591_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ - 7 le 7cos alpha le 7]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54dddab5d774b26bd8c319536a5a0e1d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Затем прибавляем почленно 5:
![[ - 7 le 7cos alpha le 7{rm{ }}left| { + 5} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f54a8db62710e92694cba0fecb42c4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ - 2 le 7cos alpha + 5 le 12.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc1520e1e12b57eee036eddeb90331af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, наибольшее значением выражения равно 12 (наименьшее — -2, область значений — [-2:12]).
![[2)4 - 3sin varphi ]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14a0bc243f62316b305d382881f5158e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение: ОДЗ: φ∈ (-∞; ∞).
Область значений синуса — промежуток [-1;1] или
![[ - 1 le sin varphi le 1{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-046c59a8233efbf72ed1d2a8d0272681_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
![[ - 1 le sin varphi le 1{rm{ }}left| { cdot ( - 3) < 0} right.{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb26b101a14a42ceee1b082098857191_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[{rm{3}} ge {rm{ - 3}}sin varphi ge - 3]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e44709c556b4ac963d86396d2d972e65_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Перепишем в порядке возрастания
![[{rm{ - 3}} le {rm{ - 3}}sin varphi le 3]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73d04db76f5cd70d0f95cc65a1ae0fb8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Прибавляем почленно 4
![[{rm{ - 3}} le {rm{ - 3}}sin varphi le 3{rm{ }}left| { + 4} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c01fbd1aba80ecaa96adb5ddd6b6067_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[1 le 4{rm{ - 3}}sin varphi le 7.{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6278dd741b041172836b2b1be7cbe62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наибольшее значение выражения равно 7 (наименьшее — 1, область значений — [1;7]).
![[{rm{3)10 - 2co}}{{rm{s}}^2}x]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e00645b7abc4097257ae8432306f4809_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение: ОДЗ: х∈ (-∞; ∞).
![[0 le left| {{rm{co}}{{rm{s}}^2}x} right| le 1{rm{ }}left| { cdot ( - 2) < 0} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-346aff5d4901381c40aaf951a2a436c9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[0 ge - 2left| {{rm{co}}{{rm{s}}^2}x} right| ge - 2]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c985b4ce8010c6ff5d71e36327e1992_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ - 2 le - 2left| {{rm{co}}{{rm{s}}^2}x} right| le 0]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-faf13d95c7e273303a90b6c701da5f0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ - 2 le - 2left| {{rm{co}}{{rm{s}}^2}x} right| le 0{rm{ }}left| { + 10} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b9bd64371b215e5381c0b12d4c6cad3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[8 le - 2left| {{rm{co}}{{rm{s}}^2}x} right| le 10{rm{ }}{rm{.}}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e19244474cd7024ec789f1acfae4721_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наибольшее значение выражения равно 10 (наименьшее — 8, область значений — [8;10]).
(Замечание. Если предварительно преобразовать данное выражение:
![[{rm{10 - 2co}}{{rm{s}}^2}x = 8 + 2 - {rm{2co}}{{rm{s}}^2}x = ]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de231ec20c1c81b33de7525f2562b75f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = 8 + 2(1 - {rm{co}}{{rm{s}}^2}x) = 8 + 2{sin ^2}x,]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a681abea9b26baa06b9802204fe96a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
то можно упростить его оценку, поскольку в этом случае не нужно умножать неравенство на отрицательное число).
![[4)frac{{sin alpha (9 - cos alpha )}}{{sin alpha }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-710ef6a43ebb3aaa66c28f15e4821a89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение: Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sinα≠0. Удобнее всего работать с ОДЗ на единичной окружности: точки α=0 и α=П, в которых sinα обращается в нуль, выкалываем:
Теперь можно упростить выражение, сократив его
![[frac{{sin alpha (9 - cos alpha )}}{{sin alpha }} = 9 - cos alpha ]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dad2607edbc1489046a28f576309717_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Осталось оценить полученное выражение.
![[ - 1 le cos alpha le 1{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4d3f8551c760b00dc1a96040f41a635_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Однако, с учетом ОДЗ, имеем:
![[ - 1 < cos alpha < 1{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f437e85622d64ada24e3d26695721963_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(cosα=1 при α=0, cosα=-1 при α=П).
![[ - 1 < cos alpha < 1{rm{ }}left| { cdot ( - 1) < 0} right.{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-628856ed00eca34beca6a4b525fe376c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ - 1 < - cos alpha < 1{rm{ }}left| { + 9} right.]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a8044c09694dc51110948b783713ecc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[8 < 9 - cos alpha < 10.{rm{ }}]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd3d4d5ebcaa0740d25342bf6a02f308_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Выражение не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений (область значений выражения — (8;10)).
В следующий раз продолжим рассматривать выражения с дробями, позже — выражения вида a∙sinα+b∙cosα.
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Точки max
Точки min
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Как же действовать в этих случаях?
Найти точку максимума / минимума
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции
- Берем производную:
- Приравняем ее к нулю:
- Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
- Преобразуем и возьмем производную:
- «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
- Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
Ответ: 11
Выводы:
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Найти наибольшее значение выражения
Чтобы найти наибольшее значение тригонометрического выражения, во многих случаях достаточно знать область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса и свойства неравенств.
Найти наибольшее значение выражения:
Область допустимых значений данного выражения — вся числовая прямая:
Область значений косинуса — промежуток [-1;1]. Для оценки значений удобнее использовать двойное неравенство:
Умножаем неравенство почленно на 7. При умножении на положительное число знаки неравенства не изменяются:
0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Затем прибавляем почленно 5:
При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
Перепишем в порядке возрастания
Прибавляем почленно 4
Наибольшее значение выражения равно 7 (наименьшее — 1, область значений — [1;7]).
Наибольшее значение выражения равно 10 (наименьшее — 8, область значений — [8;10]).
(Замечание. Если предварительно преобразовать данное выражение:
то можно упростить его оценку, поскольку в этом случае не нужно умножать неравенство на отрицательное число).
Решение: Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sinα≠0. Удобнее всего работать с ОДЗ на единичной окружности: точки α=0 и α=П, в которых sinα обращается в нуль, выкалываем:
Теперь можно упростить выражение, сократив его
Осталось оценить полученное выражение.
Однако, с учетом ОДЗ, имеем:
(cosα=1 при α=0, cosα=-1 при α=П).
Выражение не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений (область значений выражения — (8;10)).
В следующий раз продолжим рассматривать выражения с дробями, позже — выражения вида a∙sinα+b∙cosα.
Источник
Наибольшее и наименьшее значение функции
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Решение:
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Источник
Наибольшее и наименьшее значение функции
Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^, n∈N$ |
| $<1>/$ | $-<1>/$ |
| $<1>/x<^n>, n∈N$ | $-/>, n∈N$ |
| $√^n, n∈N$ | $<1>/>, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $<1>/$ |
| $ctgx$ | $-<1>/$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $<1>/$ |
| $log_x$ | $<1>/$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
Источник
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции
Общая информация
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Область определения
Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.
Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.
Примеры решений
Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:
Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Источник
№ 1219 Математика 6 класс Виленкин. Помогите найти наибольшее значение
а) х = 0; б) х = 0; в) х = 1; г) х = 1.
678. Площадь круга равна:
а) 28,26 см2; б) 113,04 см2; в) 0,5024 дм2; г) 78,5 см2.
Изобразите этот круг, ( Подробнее. )
Здравствуйте! Помогите установить соответствие между неравенствами и их решениями: ( Подробнее. )
Здравствуйте! Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из ( Подробнее. )
11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь ( Подробнее. )
Источник
