Как найти медиану биссектрису в равностороннем треугольнике

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим простейшие задания по геометрии на применение свойств медианы и биссектрисы в треугольнике.

Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Другими словами, медиана треугольника делит противоположную сторону на два равных отрезка.

Задача №1

В этой задаче длина медианы ВМ является лишней и для решения не используются. Для решения нужно взять длину стороны АС. Чтобы найти АМ нужно, по свойству медианы треугольника, разделить сторону АС на 2 и получим отрезок АМ.

Задача №2

Что такое биссектриса ?

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части.

Теперь решим задачу.

Задача №3

В условии задачи, точка М – середина стороны АВ, значит СМ – медиана. Вспомним свойство медианы в прямоугольном треугольнике проведенной из вершины прямого угла:

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы (значение гипотенузы делим на 2). Значит для решения задачи этой задачи нам нужно знать только значение отрезок АВ (гипотенузы), а значение отрезка ВС дано лишним.

Задача №4

Так как точка М является серединой АВ (АМ= МВ) и точка N является серединой ВС (BN=NC), то отрезки СМ и AN являются медианами в треугольнике АВС. Для решения этой задачи полезно знать свойство медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решим задачу на части:

Весь отрезок AN = 15, но он поделен точкой О на два отрезка. Один отрезок равен две части, второй отрезок равен одной части.

Задача №5

Здесь представлены на вид 6 разных задач, но если внимательно прочитать, то можно заметить, что они одинаковые. Решить такие задачи можно как по теореме Пифагора, так и с помощью свойства медиан в треугольнике и вписанной окружности.

Для решения этих задач с помощью свойств медиан в треугольнике, вспомним свойство равностороннего треугольника и вписанной окружности в треугольник.

1) В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и пересекаются в одной точке.

2) Центром вписанной окружности в треугольник является точка пересечения биссектрис. Значит в разностороннем треугольнике центром вписанной окружности является пересечение биссектрис, медиан и высот.

3) Свойство медиан в треугольнике: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим решение такой задачи:

Для нахождения стороны или высоты равностороннего (правильного) треугольника, воспользуемся формулами, которые есть в справочном материале, выдаваемое на экзамене:

Так как в нашей задаче биссектриса равностороннего треугольника является медианой, найдем чему будет равна одна часть, т.е. радиус вписанной окружности:

Аналогично решаются задачи, где дана медиана или высота равностороннего (правильного) треугольника.

Решим второй тип подобной задачи:

Так как биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой, то мы можем найти высоты по формуле

Можно эту задачу решить через свойство медиан треугольника:

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства[править | править код]

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

• Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

• Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:

• Периметр правильного треугольника:

• Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:

• Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:

• Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:

• Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

• В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

Правильный сферический треугольник[править | править код]

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]

• Задача Наполеона
• Прямая Симсона одно из свойств
• Теорема Вивиани
• Теорема Морли
• Теорема Наполеона
• Теорема Помпею
• Теоремы Тебо 2 и 3
• Точки Аполлония
• Точки Торричелли

См. также[править | править код]

• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Теорема Чевы
• Треугольник
• Треугольник Рёло

Примечания[править | править код]

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L – высота=биссектриса=медиана

a – сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):

Калькулятор – вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

• высотой, опущенной на сторону AC;
• медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

• AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
• BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
• CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы ( l_a ) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

• Свойства
• Свойства в равнобедренных треугольниках
• Определение биссектрисы треугольника
• Определение длины
• Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Свойства

1. Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
2. Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

1. Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
2. Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
3. Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
4. Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

• Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
• Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Значит, BD = 3,75.
• ABxAC = 54=20.
• CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

[spoiler title=”источники:”]

http://tvercult.ru/nauka/vyichislenie-bissektrisyi-treugolnika-s-izvestnyimi-svoystvami

[/spoiler]

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }})

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме ({{180}^{o }}), значит, каждый по ({{60}^{o }})

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.