Как найти медиану четырехугольника

Четырехугольник, медианы, площади

Что задано и что нужно найти – на рисунке ясно и образно показано. Еще в школьные годы такую задачу я решал для квадрата. Долго возился! При этом получил неправильный результат. Даже когда учитель объяснил ход рассуждений, то всё равно ничего не понял. Пару лет спустя почему-то вернулся к задаче в более сложной постановке, а именно для параллелограмма. Мне помогала тогда мама. Но даже две головы сходу не справились. Исписали десятки листов и по пять раз набирали чернила в авторучки. Проблему одолели, но окончательный результат нас просто ошарашил своей простотой! Потом мы узнали, что главная формула практически в уме компонуется на основе свойства медианы треугольника. Ведь она делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника.

Странно, но в литературе и в инете есть что угодно, но только не эта задача! Конечно, если поискать как следует, то найти можно. Мне же за пару часов поисков такое не удалось Поэтому позавчера с белого листа заново все рассмотрел. Только аналитически решал не произвольный параллелограмм, а его частный случай – прямоугольник.

Ответ, конечно, потрясающий: площадь белого четырехугольника равна сумме площадей двух зеленых четырехугольников минус площадь серого четырехугольника. И это – для любого выпуклого исходного четырехугольника!

20 мая 2021 г.
Сегодня моей внучке Василисе исполнилось ровно два годика!

Бимедианы четырехугольника
проект по геометрии (9 класс) на тему

Тема работы посвящена бимедианам четырехугольника и теореме Вариньона. Эти замечательные понятия не входят в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эти понятия позволяют легко получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям

Скачать:

Вложение	Размер
teorema_varinona.pptx	240.84 КБ
teorema_varinona.doc	603 КБ

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Бимедианы четырехугольника Автор работы Харитонов Илья, ученик 9-Б класса Место выполнения работы: г.Ставрополь МБОУ СОШ №32 Научный руководитель: Кривокора А.С., учитель математики и физики

Актуальность темы 1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств. 2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. 3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах. 4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

Цель исследования Изучить теорию вопроса и исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

Объект и предмет исследования Объект исследования – Теорема Вариньона Предметом данного исследования являются следствие из теоремы необходимые для решение задач.

« Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться». Е. Т. Белл.

1. Основные теоретические сведения.

Определение Бимедианы четырехугольника -это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

Теорема Вариньона . Формулировка: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника

Доказательство: 1. рассмотрим (рис. ) одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║ AC . По тем причинам MN ║ AC . Следовательно, KL ║ NM и KL = MN = AC /2 . таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

Доказательство: 2 . средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников (см. рис.) равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD Теорема доказана.

Следствия из теоремы. 1. Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны (рис. а); б) бимедианы перпендикулярны (рис.б). Рис. а) Рис. б)

2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны(рис. а); б) бимедианы равны (рис.б). Рис. а) Рис. б)

Следствие 2 Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следствие 3.(теорема Эйлера). Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть .

.Следствие 4.(теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны (рис. ).

Пример задачи Условие : докажите , что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Доказательство . Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1: параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике : диагонали равны

Пример задачи Условие : У четырехугольника диагонали равны a и b . Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника . Решение. Периметр параллелограмма Вариньона равен a + b .

Пример задачи Условие : докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника (рис.).

Решение Так как AMOL , MONB , CKON , DKOL – параллелограммы, то Отсюда получаем , что , что и требовалось доказать.

Заключение. Тема работы посвящена бимедианам четырехугольника и теореме Вариньона. Эти замечательные понятия не входят в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эти понятия позволяют легко получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Четырехугольник – виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник – это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырёхугольника.

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне – противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин – противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области – внутреннюю и внешнюю.

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов углы являются внешними.

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом.

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если то параллелограмм является ромбом.

Доказательство теоремы 1.

Дано: ромб.

Докажите, что

Доказательство (словестное): По определению ромба При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что равнобедренный. Медиана (так как ), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Так как является прямым углом, то . Аналогичным образом можно доказать, что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

• 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
• 2. Все стороны конгруэнтны.
• 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
• 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

• 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
• 2. Все углы прямые.
• 3. Все стороны конгруэнтны.
• 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

План доказательства теоремы 2

Дано: равнобедренная трапеция.

Докажите:

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если тогда Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку проведем параллельную прямую к прямой

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике через точку – середину стороны проведите прямую параллельную Какая фигура получилась? Является ли трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Можно ли утверждать, что

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Доказательство. Пусть дан треугольник и его средняя линия Проведём через точку прямую параллельную стороне По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны т.е. совпадает со средней линией Т.е. средняя линия параллельна стороне Теперь проведём среднюю линию Т.к. то четырёхугольник является параллелограммом. По свойству параллелограмма По теореме Фалеса Тогда Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Через точку и точку середину проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной через

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки и и точка которая является серединой отрезка

то а отсюда следует, что

2) По теореме Фалеса, если точка является серединой отрезка то на оси абсцисс точка является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках и

3) Координаты середины отрезка с концами и точки находятся так:

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

• различать рациональные и иррациональные числа;
• упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
• решать задания на извлечение квадратного корня;
• основам теоремы Пифагора;
• решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах:

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если то, – прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа являются Пифагоровыми тройками, то и числа также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

(рис. 1).

Точки А, В, С, D – вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA – его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA – это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой –

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой.

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA – неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ – соседние, а вершины А и С, , стороны AD и ВС – противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD – диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б – невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: =40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В + CD (по неравенству треугольника). Тогда . Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Решение:

(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично (АВ CD, ВС-секущая), (ВС || AD, CD – секущая), (АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Доказательство. по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник – параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие – параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD – не параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник – параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник – параллелограмм, докажите, что в нём:

1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и –у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник – один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник – частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что . по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что . Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: . По свойству углов четырёхугольника,

Следовательно, : 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, – это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма – ромб.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать:

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому .

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором (рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. по двум сторонами и углу между ними.

Так как ромб – это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – ромб, докажите, что в нем:

• либо все стороны равны (определение ромба),
• либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник – это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки и Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках При помощи циркуля сравните длины отрезков Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Проведём через точки прямые параллельные ВС. по стороне и прилежащим к ней углам. У них по условию, как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что и как противоположные стороны параллелограммов

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Проведём прямую . Через точки проведём прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN – средняя линия , так как точки М и N – середины сторон АВ и ВС.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказать:

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия . Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: . По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно,

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Поэтому . КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КР, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами – параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие – АВ и CD – непараллельны. Такой четырёхугольник – трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС – основания трапеции, АВ и CD – боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP – равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) – прямоугольная, поскольку = 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF – средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F – середины боковых сторон АВ и CD.

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, как вертикальные, внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и равнобедренный. Поэтому соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать:

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом . По свойству внешнего угла треугольника, – равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:

Из доказанного в первом случае следует, что измеряется половиной дуги AD, a — половиной дуги DC. Поэтому измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому , так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно,

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, (рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около (рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо:

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность.

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность – описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказать:

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует:

Тогда

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник – вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225).

Докажем, что . В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, . По свойству равнобокой трапеции,

Тогда и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника вписанного в окружность. Действительно,

Следовательно, четырёхугольник — вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD – вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Площади фигур в геометрии
• Площади поверхностей геометрических тел
• Вычисление площадей плоских фигур
• Преобразование фигур в геометрии
• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2018/09/20/bimediany-chetyrehugolnika

http://www.evkova.org/chetyirehugolnik

[/spoiler]

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
простой невыпуклый	выпуклый	самопересекающийся

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.). Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеется в виду только простые четырёхугольники^[1].

Виды четырёхугольников[править | править код]

Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обсуждения могут быть пояснения. (26 апреля 2023)

Четырёхугольники с параллельными противоположными сторонами[править | править код]

• Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
• Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны;
• Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
• Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
• Ромбоид — это параллелограмм , в котором смежные стороны имеют разные длины, и углы не являются прямыми.
• Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и две другие не параллельны;

Четырёхугольники с антипараллельными противоположными сторонами[править | править код]

• Антипараллелограмм или контрпараллелограмм — плоский невыпуклый (самсопересекающийся) четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собой, но не параллельны, в отличие от параллелограмма.
• Равнобедренная трапеция или Равнобокая трапеция.
• Четырёхугольник, вписанный в окружность или вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Он же является четырёхугольником с антипараллельными противоположными сторонами

Четырёхугольники с перпендикулярными смежными сторонами[править | править код]

• Квадрат
• Прямоугольная трапеция
• Прямоугольник
• Прямоугольный дельтоид

Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

• Дельтоид
• Квадрат
• Четырёхугольник ортодиагональный или ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб

Четырёхугольники с параллельными диагоналями[править | править код]

• Антипараллелограмм

Четырёхугольники с равными противоположными сторонами[править | править код]

• Антипараллелограмм
• Квадрат
• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Ромб
• Ромбоид
• Равнобедренная трапеция или Равнобокая трапеция.

Четырёхугольники с равными диагоналями[править | править код]

• Квадрат
• Четырёхугольник равнодиагональный или равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины.
• Прямоугольник
• Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция.

Четырёхугольники, описанные около окружности[править | править код]

• Четырёхугольник описанный или описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника.

Полный четырёхсторонник[править | править код]

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Ньютона — Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Сумма углов[править | править код]

Согласно теореме о сумме углов многоугольника, сумма углов четырёхугольника без самопересечений равна 360°.

Метрические соотношения[править | править код]

Неравенство четырёхугольника[править | править код]

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

.

Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть:

;

;

;

.

Равенство в неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.

Неравенство Птолемея[править | править код]

Для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника[править | править код]

Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

.

Это соотношение можно представить в виде определителя:

Этот определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.

Соотношения Бретшнайдера[править | править код]

Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами , , и и противоположными углами и диагоналями , простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:

,

,

.

Специальные прямые линии четырёхугольника[править | править код]

Средние линии четырёхугольника[править | править код]

Пусть , , и  — середины сторон выпуклого четырёхугольника , а ,  — середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника. Первые две из них также называют бимедианами^[2].

Теоремы о средних линиях четырёхугольника[править | править код]

Запрос «Бимедиана» перенаправляется сюда; о бимедиане тетраэдра см. Тетраэдр#Свойства.

• Обобщённая теорема Ньютона. Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке (в центроиде вершин («vertex centroid») четырёхугольника) и делятся ею пополам.
• Середины E и F двух диагоналей, а также центроид вершин K выпуклого четырёхугольника лежат на одной прямой EF. Указанная прямая называется прямой Ньютона.
• Заметим, что прямая Ньютона — Гаусса совпадает с прямой Ньютона, ибо обе проходят через середины диагоналей.
• Теорема Вариньона:
• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
• Математически для рисунка справа вверху с серым четырёхугольником ABCD формула Эйлера записывается в виде:

  .

Прямая Ньютона[править | править код]

• Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Указанная прямая называется прямой Ньютона (на рисунке она показана зелёным цветом). При этом прямая Ньютона всегда перпендикулярна прямой Обера.
• Точки, лежащие на прямой Ньютона, удовлетворяют теореме Анна.

Ортополярные линии ортополюсов троек вершин четырехугольника[править | править код]

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника , то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией для данной линии ℓ относительно четырехугольника ^[3]

Специальные точки четырёхугольника[править | править код]

Центроид четырёхугольника[править | править код]

• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.

Точка Понселе четырёхугольника[править | править код]

Внутри четырёхугольника существует точка Понселе (см. параграф “Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника”).

Точка Микеля четырёхугольника[править | править код]

Внутри четырёхугольника существует точка Микеля.

Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника[править | править код]

В произвольном выпуклом четырёхугольнике окружности девяти точек треугольников , на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке — в точке Понселе^[4].

Частные случаи четырёхугольников[править | править код]

Вписанные четырёхугольники[править | править код]

• Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то четырёхугольник вписан в эту окружность, и наоборот.
• В частности, четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм.
• Теоремы для вписанных четырёхугольников:
  • Две теоремы Птолемея. Для простого (несамопересекающегося) четырёхугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы:

1) Первая теорема Птолемея

;

2) Вторая теорема Птолемея

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

3) Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея)

и

• • Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы^[5]), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника^[6][7].
  • Теорема о вписанности в окружность пары диагональных треугольников. Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырёхугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника).
  • Теорема о четырёх медиатрисах. Из последнего утверждения следует: если три из четырёх медиатрис (или срединных перпендикуляров), проведённых к сторонам выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и медиатриса его четвёртой стороны. Более того, такой четырёхугольник вписан в некоторую окружность, центр которой находится в точке пресечения указанных медиатрис^[8].

• • Теоремы о четырех диагональных треугольниках и об их вписанных окружностях^[9]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.). Кроме того, ортоцентры четырёх описанных здесь треугольников являются вершинами четырёхугольника, подобного исходному четырёхугольнику ABCD (то есть также лежат на другой окружности, ибо вершины исходного вписанного четырёхугольника лежат на некоторой окружности). Наконец, центроиды этих четырёх треугольников лежат на третьей окружности^[10].
  • Теорема о четырёх проекциях вершин вписанного четырёхугольника на его диагонали^[11]. Пусть  — вписанный четырёхугольник,  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.
  • Теорема Брокара. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и в точках пересечения противоположных сторон.

• Критерии вписанности четырёхугольников:
  • Первый критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, то есть:

.

• • Второй критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.

• • Третий критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
  • Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
  • Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность^[12]. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условие^[13]:84

• • Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см. выше).

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника:
  • Площадь вписанного в окружность четырёхугольника по формуле Брахмагупты равна^[14]:

где p — полупериметр четырёхугольника.

• • Последняя формула следует из общей формулы (1) в рамке в параграфе «Площадь», если в ней учесть, что
  • Последняя формула есть обобщение формулы Герона на случай четырёхугольника.
  • Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель^[8]:

• Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Вписанные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

Описанные четырёхугольники[править | править код]

• Говорят, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то четырёхугольник описан около этой окружности, и наоборот.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками.
  • Частными четырёхугольниками, описанными около окружности, являются: ромб, квадрат, дельтоид.
• Критерии описанности четырёхугольников:
  • Среди свойств описанных четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Иными словами, выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, то есть: .

• Теоремы для описанных четырёхугольников:
  • Теорема о двух равных сторонах угла, касающегося окружности. Точки касания вписанной окружности с четырёхугольником отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника.
  • Теорема о продолжении двух пар противоположных сторон четырёхугольника. Если выпуклый четырёхугольник — не трапеция и не параллелограмм и он описан около некоторой окружности, то около этой же самой окружности описаны и пара треугольников, которые получаются при продолжении двух его пар противоположных сторон до их пересечения (связь с окружностями треугольника).
  • Теорема о четырёх биссектрисах. Из последнего утверждения следует: если три из четырёх биссектрис (или биссекторов), проведённых для внутренних углов выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и биссектриса его четвёртого внутреннего угла. Более того такой четырёхугольник описан около некоторой окружности, центр которой находится в точке пресечения указанных биссектрис^[17].
  • Теорема Ньютона. Если четырёхугольник является описанным около окружности, то центр его вписанной окружности лежит на прямой Ньютона. Более точное утверждение ниже.
  • Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой. На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке (вторая группа рисунков сверху) она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
  • Теорема Брокара. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и в точках пересечения противоположных сторон.

• Площадь описанного четырёхугольника

Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем . Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем

• • Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности: .

Вписано-описанные четырёхугольники[править | править код]

• Вписанно-описанные четырёхугольники — четырёхугольники, которые могут быть одновременно описаны около некоторой окружности, а также вписаны в некоторую окружность. Другие их названия — бицентрические четырёхугольники (Bicentric quadrilateral), хордо-касающиеся четырёхугольники (chord-tangent quadrilateral) или двух-окружностные четырёхугольники (double circle quadrilateral).
• Частными вписанно-описанными четырёхугольниками являются квадрат и ромбоид с парой равных противоположных углов по 90 градусов.

Свойства[править | править код]

• Критерии одновременной вписанности и описанности четырёхугольника
  • Любое одно из двух указанных ниже условий по отдельности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данный выпуклый четырёхугольник был вписанно-описанным для некоторых окружностей:

и .

• • Выполнение двух последних условий одновременно для некоторого выпуклого четырёхугольника является необходимым и достаточным для того, чтобы данный четырёхугольник был вписанно-описанным.

• Теоремы для вписанно-описанных четырёхугольников

или

или

или

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника[править | править код]

Разбиение сторон касательного четырехугольника точками касания с окружностью[править | править код]

• Восемь «длин касательных» («e», «f», «g», «h» на рисунке справа) касательного четырехугольника — это отрезки прямой от вершины до точек, где окружность касается сторон. Из каждой вершины есть две касательных к окружности равной длины (см. рис.).
• Обозначим также две «касательные хорды» («k» и «l» на рисунке) касательного четырехугольника — это отрезки линий, которые соединяют точки на противоположных сторонах, где окружность касается этих сторон. Они также являются диагоналями «контактного четырехугольника», имеющего вершины в точках касания четырехугольника с окружностью.

Тогда площадь вписанно-описанного четырёхугольника равна^[21]:p.128

а также

• Если к двум хордам для касательных k и l и диагоналям p и q ввести дополнительно еще две бимедианы m и n выпуклого четырехугольника, как отрезки прямых, соединяющих середины противоположных сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника будет равна^[22]

Внеописанные четырёхугольники[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник для окружности[править | править код]

• Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)^[23]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
• Вневписанная окружность существует не для всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:

Внеописанный четырёхугольник для параболы[править | править код]

• Парабола, вневписанная для четырёхугольника. Такая парабола существует у любого выпуклого четырёхугольника и она касается всех 4 сторон данного четырёхугольника (четырёхсторонника) или их продолжений. Её директриса совпадает с прямой Обера — Штейнера^[24].

Четырёхугольники с перпендикулярными элементами[править | править код]

• Ниже выделены параграфы для четырёхугольников с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями.
• Эти четырёхугольники вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.

Четырёхугольники с перпендикулярными сторонами[править | править код]

Четырёхугольники с перпендикулярными противоположными сторонами[править | править код]

• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых (противоположных) сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Четырёхугольники с 2 парами перпендикулярных смежных сторон[править | править код]

• Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны две пары смежных сторон (то есть два противоположных угла прямые), то этот четырёхугольник может быть вписан в некоторую окружность. Более того, диаметром этой окружности будет служить диагональ, на которую опираются одними концами указанные две пары смежных сторон.
• Частными четырёхугольниками с перпендикулярными сторонами являются: прямоугольник, квадрат и прямоугольная трапеция.

Четырёхугольники с 3 перпендикулярными смежными сторонами[править | править код]

• Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны 3 смежные стороны (то есть 2 внутренних угла прямые), то этот четырёхугольник – прямоугольная трапеция.

Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями[править | править код]

• Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называются ортодиагональными четырёхугольниками.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Площадь ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей: .
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• Антимедиатрисой четырёхугольника называются отрезок прямой, выходящий из середины одной его стороны и перпендикулярный противоположной ей стороне.
• Теорема Брахмагупты. Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то четыре его антимедиатрисы пересекаются в одной точке. Более того, этой точкой пересечения антимедиатрис является точка пересечения его диагоналей.
• Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то учетверённый квадрат её радиуса R равен сумме квадратов любой пары противоположных его сторон:
• Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть описан около некоторой окружности, то у него равны произведения двух пар противоположных сторон:
• Параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон ортодиагонального четырёхугольника является прямоугольником.
• Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны^[16].
• Частными ортодиагональными четырёхугольниками являются: ромб, квадрат, дельтоид.
• Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны диагонали, то середины четырёх его сторон являются вершинами прямоугольника (следствие теоремы Вариньона). Верно и обратное. Кроме того, у прямоугольника равны диагонали. Следовательно, у выпуклого четырёхугольника диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда у него равны между собой длины двух его бимедиан (длины двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон)^[25].
• Таблица сравнения свойств описанного и ортодиагонального четырёхугольника:

Их метрические свойства очень похожи (см. табл.)^[25]. Здесь обозначены: a, b, c, d — длины их сторон, R₁, R₂, R₃, R₄, и радиусы описанных окружностей, проведённых через эти стороны и через точку пересечения диагоналей, h₁, h₂, h₃, h₄ — высоты, опущенные на них из точки пересечения диагоналей.

описанный четырёхугольник	ортодиагональный четырёхугольник

• Кроме того, для медиан на стороны ортодиагонального четырёхугольника, опущенных из точки пересечения диагоналей, верно: .

• В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника

(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля^[26][27][28].

Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников[править | править код]

В следующей таблице указано, есть ли у диагоналей некоторых из самых основных четырёхугольников деление пополам в точке их пересечения, есть ли перпендикулярность диагоналей, есть ли равенство длин диагоналей, и есть ли деление ими углов пополам^[29]. Список относится к наиболее общим случаям и исчерпывает собой названные подмножества четырёхугольников.

Четырёхугольник	Деление диагоналей пополам в точке их пересечения	Перпендикулярность диагоналей	Равенство длин диагоналей	Деление углов пополам диагоналями
Трапеция	Нет	См. замечание 1	Нет	Нет
Равнобедренная трапеция	Нет	См. замечание 1	Да	Хотя бы двух противоположных углов
Параллелограмм	Да	Нет	Нет	Нет
Дельтоид	См. замечание 2	Да	См. замечание 2	См. замечание 2
Прямоугольник	Да	Нет	Да	Нет
Ромб	Да	Да	Нет	Да
Квадрат	Да	Да	Да	Да

Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник.
Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Другая же диагональ делит его противоположные углы пополам. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).

Симметрия четырёхугольников[править | править код]

На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.:

• Kite (змей) — дельтоид (ромбоид)
• Parallelogram — параллелограмм
• Irregular quadrilateral — неправильный четырёхугольник
• Rhombus — ромб
• Rectangle — прямоугольник
• Square — квадрат
• Gyrational Square — вращающийся квадрат
• Isosceles Trapezoid — равнобедренная трапеция

Площадь[править | править код]

.

Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна^[14]:

, где ,  — длины диагоналей; a, b, c, d — длины сторон.

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника также равна

где p — полупериметр, а есть полусумма противоположных углов четырёхугольника (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет и ). Из этой формулы для вписанных четырёхугольников следует формула Брахмагупты.

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника по формуле (1) в рамке выше с учётом одного из соотношений Бретшнайдера (см. выше) может быть записана в виде:

где p — полупериметр, e и f — диагонали четырёхугольника.

История[править | править код]

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d^[30]:

.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счёт усреднения исходных измерений.

См. также[править | править код]

• Глоссарий планиметрии
• Лемма о шестой окружности
• Теорема Тебо
• Теорема Кейси
• Теорема косинусов для четырёхугольника
• Теорема о бабочке
• Четырёхугольник Ламберта
• Четырёхугольник Саккери

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Болтянский В., Четырёхугольники. Квант, № 9,1974.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0.
• Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень) // Научный журнал Globus. — С-П., 2016.
• Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1.
• Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.
• Jean-Louis Ayeme. Feurbach’s theorem. A new purely synthetic proof. Дата обращения: 2 октября 2016. Архивировано из оригинала 13 ноября 2013 года. Несколько расширенный перевод — «Вокруг задачи Архимеда»
• Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.
• D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel. Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 38. — P. 49–71. — doi:10.18642/jmsaa_7100121635.

Прочитайте внимательно текст и выполните задания №1-5.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

---

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж – 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

---

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Ответ: 11

---

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Ответ: 4

---

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина – 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Ответ: 48

---

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: 30500

Ответ: см. решение

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Конспект внеклассного занятия
  по геометрии 8 класс
  «Бимедианы четырёхугольника. Теорема Вариньона в теории и задачах»
  Автор:: Ковалева Людмила Леонидовна учитель математики, высшей квалификационной категории, «Почётный работник общего образования РФ», МБОУ «СОШ №77» г.Кемерово

• 

  2 слайд

  Актуальность темы:
  1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.
  2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
  3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.
  4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .

• 

  3 слайд

  Цель работы:
  Расширить свой кругозор, узнать новую информацию из раздела геометрии, познакомиться с теоремой Вариньона и научиться применять её на практике.
  Объект исследования: Теорема Вариньона

  Предмет исследования: геометрия

• 

  4 слайд

  Задачи:
  1. Изучить теоретический материал: ознакомиться с понятием “параллелограмм Вариньона”, рассмотреть способы решения задач по данной теореме, вывести доказательство и сделать следствие по теореме Вариньона.
  2. Сравнить способы решения с помощью обыденного решения задач, и используя теорему Вариньона.
  3. Показать наглядно способы решения на примере конкурсных и олимпиадных заданий, применяя теорему Вариньона.

• 

  5 слайд

  Вариньон Пьер.
  Вариньон Пьер(1654-1722)-выдающийся механик и учёный, член Французской Академии Наук(с 1688 г.).
  Изучал философию, математику в частности.
  Место рождения-Каен.
  Главнейшие научные заслуги Вариньона относятся к механике. Вариньон исходя из принципа равновесия рычага, начала параллелограмма сил и применяя теорему моментов, выводит условия равновесия всех простых машин.
  Является первым учёным, который доказал, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

• 

  6 слайд

  Основные теоретические сведения.
  Определение.
  Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

  Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

• 

  7 слайд

  Теорема Вариньона

• 

  8 слайд

  Теорема Вариньона.
  Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

• 

• 

  10 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  KLMN – параллелограмм
  Вариньона;
  AC=BD
  Доказать: KLMN – ромб
  а) диагонали равны (см. рис. 2.1.)
  б) бимедианы перпендикулярны (см. рис. 2.2).
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  KLMN – параллелограмм Вариньона;
  KM и LN перпендикулярны
  Доказать:
  KLMN – ромб

• 

  11 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 2.1. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали перпендикулярны (см. рис 3.1.);
  Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
  б) бимедианы равны (см. рис. 3.2.).
  Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

• 

  12 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 2.2. Бимедианы четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  Доказательство.
  Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
  То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, .1 и 5.2); обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).
  Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:LQ║CD║PN и PL║AB║NQ.
  Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

• 

  13 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4.1.);
  Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).
  б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4.2.).
  Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

• 

  14 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 3.(теорема Эйлера).
  Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме
  квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка,
  соединяющего середины диагоналей, то есть
  .

• 

  15 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 4.(теорема о бабочках).
  Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.
  Доказательство:
  Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:
  Что и требовалось доказать

• 

  16 слайд

  Разбор задач
  задачи из школьного курса геометрии
  Задача 1.
  У четырехугольника диагонали равны a и b.
  Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
  Решение.
  параллелограмм; со сторонами

  параллелограмм; со сторонами
  и
  Ответ:
  Периметр параллелограмма
  Вариньона равен a+b.

• 

  17 слайд

  Разбор задач
  задачи из школьного курса геометрии
  Задача 2.
  Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
  Решение.
  См. теорему Вариньона.

• 

  18 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 3.
   Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  AC = BD
  Доказать: SABCD= KM*LN
  Доказательство:
  Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
  Что и требовалось доказать

• 

  19 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 5.
  Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

• 

  20 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 5.
  Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»

• 

  21 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 4.
  Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  AC = BD
  Доказать: SABCD= KM*LN
  Доказательство:
  Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
  Что и требовалось доказать

• 

  22 слайд

  Задача 6
  Задача 7
  Задача 8
  На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки

  так, что

  Докажите, что
  и точка A находится между
  и B, точка B – между
  и C, точка C – между
  и D, точка D – между
  и A
  Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD .
  Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD
  Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке

• 

  23 слайд

  Заключение
  «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
  Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
  Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

• 

  24 слайд

  Заключение
  Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные).
  Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается больше времени, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает наименьшее время. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет около 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных задач.
  От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.
  Цель работы считаю достигнутой, задачи решены.

• 

  25 слайд

  СПАСИБО
  ЗА ВНИМАНИЕ !

• 

  26 слайд

  Список литературы:
  Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
  Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50
  В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
  Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2008.
  Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
  Интернет-ресурсы easymath.com.ua/
  Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.
  Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.
  Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.
  Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.
  В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.

• 

  27 слайд

  интернет – ресурсы
  шаблона:
  images.yandex.ru
  luzan.ucoz.ru
  shimrg.rusedu.net

Краткое описание документа:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 261 911 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Содержание и технологии школьного географического образования в условиях реализации ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»

• Курс повышения квалификации «Методические аспекты реализации элективного курса «Основы геополитики» профильного обучения в условиях реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Формирование первичных компетенций использования территориального подхода как основы географического мышления с учетом ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Организация проектно-исследовательской деятельности в ходе изучения географии в условиях реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Источники финансов»

• Курс повышения квалификации «Педагогика и методика преподавания географии в условиях реализации ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Политология: взаимодействие с органами государственной власти и управления, негосударственными и международными организациями»

• Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по водоотведению и очистке сточных вод»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление процессом по предоставлению услуг по кредитному брокериджу»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинговой деятельности»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольника.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Четырехугольники бывают выпуклые, если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон (ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Если любые две противолежащие точки выпуклого четырёхугольника соединить между собой отрезком, то весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклого четырёхугольника это не выполняется (рисунок ниже).

Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

Определения для четырехугольника

• Данный четырёхугольник обозначается ABCD.
• Точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами.
• Смежные стороны – соседние стороны, имеющие общую вершину. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
• Противолежащие стороны – несмежные стороны, не имеющие общих вершин. Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
  Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Виды четырехугольников:

Если рассмотреть схему, то каждый следующий четырехугольник обладает всеми свойствами предыдущего.  Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеции бывают: произвольная, равносторонняя, прямоугольная.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме:
— противоположные стороны и противоположные углы равны.
— диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Соответственно, если  четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами. В ромбе:
— противоположные углы равны,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является частным случаем прямоугольника и частным случаем ромба, поэтому обладает всеми их свойствами. В квадрате:
— все углы равны 90 градусов,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали  являются биссектрисами углов,
— диагонали равны.

Свойства углов четырехугольника

• Сумма углов четырёхугольника равна 360°
• Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
• Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
• Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

Свойства сторон четырехугольника

• Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
• Сумма диагоналей меньше его периметра.

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник вокруг окружности.

• Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
• В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны (AB+CD=AD+BC).
• Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырехугольник внутри окружности.

• Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной.
• Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма двух его противоположных углов равна 180°.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
• Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (AC*BD=AB*CD+AD*BC).

Частные случаи:

• Параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
• Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Диагонали четырехугольника

• Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Периметр и площадь четырехугольника

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле: где d1 и d2— диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть вычислена по формуле: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p=(a+b+c+d)/2 – его полупериметр.

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: