Как найти медиану функции плотности

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Мода и медиана случайных величин

Основными числовыми
характеристиками случайных величин
являются математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Однако часто возникает
потребность и в некоторых других числовых
характеристиках. Две из них, обозначенные
в заголовке, и будут далее определены.

Пусть Х
– дискретная случайная величина. Модой
этой с.в. (обозначается d(X)
) называется такое ее возможное значение,
которое имеет наибольшую вероятность.

Пример.
Пусть дискретная
с.в. Х
задана законом распределения

Тогда ее мода
принимает 2 значения: d(Х)=3
и d(Х)=5.

Пусть Х
– непрерывная
случайная величина с плотностью
вероятности f(х).
Модой
этой с.в. называется точка максимума ее
плотности вероятности. Эта точка
максимума функции f(x)
находится обычными методами с
использованием производной.

Пример.
Дана плотность вероятности н.с.в. :

.

Найти значение
параметра а
и моду этой случайной величины.

Пусть Х
– непрерывная случайная величина.
Медианой
с.в. Х
(обозначается h(X)
) называется такое число h,
которое делит всю числовую прямую на 2
промежутка (−∞,
h)
и
[h,+∞),
в которые с.в. Х
попадает с равной вероятностью. Таким
образом, если медиана h(X)=h,
то выполняется
равенство

P(X
< h)=P(X
≥ h)
=.

Вспоминая, что
вероятность P(X
< h)
по определению функции распределения
есть значение этой функции в точке h,
получаем, что значение h
медианы h(X)
удовлетворяет уравнению

.

Если же у н.с.в.
задана не функция распределения F(x),
а плотность вероятности f(x),
то вспоминая выражение функции
распределения через плотность вероятности

, получим, что значение h
медианы удовлетворяет уравнению

.

Медиана h(X)
непрерывной с.в. Х
ищется из одного из выписанных выше
уравнений (в зависимости от того, что
задано: F(x)
или f(x)
). Для дискретных случайных величин
медиана не определяется.

Пример.
Найти медиану н.с.в. Х,
заданной своей функцией распределения

.

Ответ: h(X)=1.5
.

Некоторые важные законы распределения случайных величин

Среди различных
законов распределения случайных величин
некоторые встречаются в приложениях
наиболее часто. Поэтому для них получены
формулы расчета их числовых характеристик:
математического ожидания, дисперсии,
моды, медианы и ряда других. Рассмотрим
некоторые из таких законов распределения.

Биномиальный закон распределения

Среди законов
распределения дискретных
случайных величин наиболее распространенным
является биномиальное распределение,
с которым мы уже встречались при
рассмотрении так называемой схемы
Бернулли (число появлений некоторого
события в серии независимых испытаний).

Дискретная случайная
величина Х
распределена по биномиальному
закону, если
она принимает значения 0,
1, 2, … , n
с вероятностями р₀
, р₁
, … ,
р_n,
которые вычисляются по формуле

,

где параметр
распределения р
заключен между нулем и единицей 0
≤ р ≤ 1 , а
q=1−p
. Таким образом, д.с.в Х,
распределенная по биномиальному закону,
имеет следующий закон распределения:

Как уже говорилось,
по биномиальному закону распределено
число успехов в схеме Бернулли. Пусть
производится n
независимых
испытаний, в каждом из которых некоторое
событие А
может появиться с одной и той же
вероятностью р.
Рассмотрим с.в. Х
– число появлений события А
во всех n
испытаниях (то, что ранее называли число
успехов). Тогда с.в. Х
распределена по биномиальному закону.
Мы уже находили формулы для математического
ожидания этой случайной величины,
которые и являются формулами математического
ожидания и дисперсии произвольной
случайной величины, распределенной по
схеме Бернулли:

,
.

Найдем моду d(X)
биномиально распределенной случайной
величины Х,
т.е. наивероятнейшее
число успехов в схеме Бернулли.
По определению моды d(X)=k,
если вероятность

наибольшая среди всех вероятностей р₀
, р₁
, … , р_n
. Найдем
такое число k
(это целое
неотрицательное число). При таком k
вероятность p_k
должна быть не меньше соседних с ней
вероятностей: p_k−1
≤ p_k
≤ p_k+1
. Подставив вместо каждой вероятности
соответствующую формулу, получим, что
число k
должно удовлетворять двойному неравенству:

.

Если расписать
формулы для числа сочетаний и провести
простые преобразования, можно получить,
что левое неравенство дает k
≤ (n+1)∙p,
а правое k
≥ (n+1)∙p
−1. Таким
образом, число k
удовлетворяет двойному неравенству
(n+1)∙p
−1 ≤ k
≤ (n+1)∙p
, т.е. принадлежит отрезку
[(n+1)∙p
−1, (n+1)∙p]
. Поскольку длина этого отрезка, очевидно,
равна 1,
то в него может попасть либо одно, либо
2 целых числа. Если число (n+1)∙p
целое, то в
отрезке [(n+1)∙p
−1, (n+1)∙p]
имеется 2 целых числа, лежащих на концах
отрезка. Если же число (n+1)∙p
не целое, то
в этом отрезке есть только одно целое
число.

Таким образом,
если число (n+1)∙p
целое, то
мода биномиально распределенной
случайной величины Х
принимает 2 соседних значения : d(X)=(n+1)∙p
−1 и
d(X)=(n+1)∙p
. Если же число (n+1)∙p
не целое,
то мода биномиально распределенной
случайной величины Х
одно значение
d(X)=k,
где k
есть
единственное целое число, удовлетворяющее
неравенству
(n+1)∙p
−1 ≤ k
≤ (n+1)∙p
. Если вспомнить, что запись [a]
означает взятие целой части от числа
а,
то в этом случае можно записать
d(X)=[(n+1)∙p]
.

Пример.
Кубик подбрасывается 100 раз. Каково
наивероятнейшее число выпадений
шестерки?

Пример.
Вероятность попадания стрелком в цель
равна 0.7 . Найти наивероятнейшее число
попаданий в цель при 30 выстрелах.

Пример.
Вероятность изготовления бракованной
детали на станке равна 0.06 . Каково
наивероятнейшее число бракованных
деталей в партии из 200 деталей, выточенных
на этом станке?

Пример.
Банк выдал 7 кредитов. Известно, что в
среднем не возвращается 2 кредита из
10. Найти среднее число невозвращенных
кредитов.

Соседние файлы в папке методичка

• #
• #
• #

Для нахождения моды и медианы случайной величины необходимы хорошие умения интегрировать и знания следующего теоретического материала. Модой дискретной случайной величины называют те ее возможное значение, которые соответствует наибольшей вероятности появления (т.е. такое значение величины , которое случается чаще всего при проведении экспериментов, опытов, наблюдений). В случае случайной величины модой называют то ее возможное значение, которому соответствует максимальное значение плотности вероятностей

В зависимости от вида функции случайная величина может иметь разное количество мод. Если случайная величина имеет одну моду, то такое распределение вероятностей называют одномодальным; если распределение имеет две моды — двухмодальным и более – мультимодальным.

Существуют и такие распределения, которые не имеют моды, их называют антимодальными. Медианой случайной величины называют то ее значения, для которого выполняются равенство вероятностей событий, то есть, плотность вероятностей справа и слева одинаковы и равны половине (0,5)

Графически мода и медиана изображенные на рисунке

При таком значению случайной величины график функции распределения делится на части с одинаковой площадью. Непрерывная случайная величина имеет только одно значение медианы. Для дискретной случайной величины медиану обычно не определяют, однако в некоторой литературе приводятся правила, согласно которым, для ряда случайных величин размещенных в порядке возрастания (вариационного ряда) моду определяют распределения: если есть нечетное количество случайных величин то медиана равна средней величине

в случае четного количества полусумме средних величин

Рассмотрим примеры определения моды и медианы.

Пример 1. В развлекательном центре работник обслуживает четыре дорожки для боулинга. Вероятность того, что какая-то дорожка нуждается в уборке в течение смены является постоянной величиной с вероятностью 85%.

Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины — количество дорожек, которые требуют уборки. Найти моду .

Решение. Случайной величина может принимать значения

Вероятности появления значений определяем по образующей функцией

Для заданной задачи входные величины принимают значения

Искомые вероятности входят множителями при степенях аргумента

Закон распределения вероятностей запишем в виде таблицы

С таблице определяем моду , как значение при максимальной вероятности. Получили одномодальное распределение

Пример 2. По заданной плотностью вероятностей

найти параметр , плотность вероятностей , моду .

Решение. Применяя условие нормирования выполняем интегрирование

после того определяем параметр

Плотность вероятностей, учитывая найденное значение будет иметь вид

а ее график изображен на рисунке ниже

Из графика плотности вероятностей видим, что мода принимает значение . Определим медиану с помощью функции распределения вероятностей. Ее значение на промежутке находим интегрированием

Функция распределения иметь следующий вид

а ее график будет иметь вид

Для определения медианы случайной величины применяем формулу

Медиану можно найти с помощью плотности вероятностей

для дискретной случайной величины из промежутка

Таким образом медиану — возможное значение случайной величины , при котором прямая, проведенная перпендикулярно соответствующей точки на плоскости , делит площадь фигуры, ограниченной функцией плотности вероятностей на две равные части.

——————————-

Задача на определение моды и медианы случайной величины встречаются на практике не так часто, как плотности распределения вероятностей, однако вышеприведенный теоретический материал и решения распространенных примеров помогут Вам находить эти величины без больших затрат времени. При необходимости Вы всегда можете заказать решение задач по теории вероятностей в нас.