Как найти медиану любого треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Все формулы медианы треугольника

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M – медиана, отрезок |AO|

c – сторона на которую ложится медиана

a, b – стороны треугольника

γ – угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 08 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине.
Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка.
Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Если ABC ― треугольник, и , , ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин , , к сторонам , , , обычно обозначаются $m_{a}$ , $m_{b}$ и $m_{c}$ .

Связанные определения[править | править код]

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка.
Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой^[1].
В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны ${displaystyle {dfrac {1}{sqrt {10}}}}$ , а косинус противоположного основанию угла равен ${displaystyle {dfrac {4}{5}}}$ .

Свойства оснований медиан[править | править код]

Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Теркем доказал теорему Теркема^[2]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства[править | править код]

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения[править | править код]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

${displaystyle m_{a}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}$

${displaystyle m_{b}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}$

${displaystyle m_{c}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},}$

где ${displaystyle m_{a}, m_{b}, m_{c}}$

— медианы к сторонам треугольника

соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

${displaystyle a={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${displaystyle b={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${displaystyle c={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}$

где $m_{a},m_{b},m_{c}$

— медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c

— стороны треугольника.

Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

${displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}},}$

где ${displaystyle sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$

— полусумма длин медиан.

Вариации и обобщение[править | править код]

Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

См. также[править | править код]

Биссектриса
Высота треугольника
Инцентр
Симедиана
Центроид
Чевиана

Примечания[править | править код]

↑ Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 16.

Литература[править | править код]

Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Источник

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

pryamougolnik mediana v treugolnike diagonal

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

mediana v pryamougolnom treugolnike ravenstvo

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo parallelogramm

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo parallelogramm 1

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.

И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник

Медиана треугольника, формула

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны треугольника выражается формулой:

[ m_a = frac{1}{2} sqrt{2b^2+2c^2-a^2} ]

(a, b, c – стороны треугольника; m_a – медиана треугольника)

Вычислить, найти медиану треугольника по формуле (1)

Медиана треугольника	стр. 234

Источник

Как найти медиану треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.

Инструкция

Медиану можно найти используя теорему Стюарта. Согласно которой, квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана.
mc^2 = (2a^2 + 2b^2 – c^2)/4,
где
a, b, c – стороны треугольника.
mc – медиана к стороне с;

Задача по нахождению медианы может быть решена через дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника и медиану, достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника – его боковым сторонам (a, b), а третья сторона треугольника, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
где
d1, d2 – диагонали получившегося параллелограмма;
отсюда:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) – d2^2)

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Все формулы медианы треугольника

Связанные определения[править | править код]

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

Свойства оснований медиан[править | править код]

Другие свойства[править | править код]

Основные соотношения[править | править код]

Вариации и обобщение[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Медиана треугольника, формула

Вычислить, найти медиану треугольника по формуле (1)

Медиана треугольника

Как найти медиану треугольника

Вам также может понравиться

Как найти бесплатные карты в майнкрафте

Как найти заказ юридические

Телеграм как найти контакт по имени

Добавить комментарий Отменить ответ