Как найти медиану проведенную к стороне треугольника – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Медиана треугольника – это отрезок, проведенный из любой его вершины к противоположной стороне, при этом он делит ее на части равной длины. Максимальное число медиан в треугольнике – три, по количеству вершин и сторон. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника. Медиану также можно найти и по другим данным. Вам понадобится: Длины сторон треугольника, углы между сторонами треугольника. ПОДРОБНО:
http://www.kakprosto.ru/kak-83920-kak-nayti-dlinu-mediany-v-treugolnike
Видео: http://www.uchportal.ru/video/vip/561/ogeh_gia_po_matematike/zadacha_9/podgotovka_k_ogeh_po_matematike_reshenie_zadachi_9_najdite_dlinu_mediany_treugolnika
.

Источник

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Задача.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

po storonam treugolnika nayti ego medianu Дано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

сторона AC — наибольшая,

BO- медиана.

Найти: BO.

Решение:

po storonam treugolnika nayti medianu

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

nayti medianu treugolnika po ego storonam

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

4) По свойству диагоналей параллелограмма,

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})]$

$[{b^2} + B{D^2} = 2({a^2} + {c^2})]$

$[B{D^2} = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}]$

$[BD = sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

так как BO=1/2 BD (по построению),

$[underline {BO = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} .} ]$

Если ввести обозначение

$[BO = {m_b},]$

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

$[{{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} }]$

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

$[{m_a} = frac{1}{2}sqrt {2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} ]$

$[{m_c} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {b^2}) - {c^2}} ]$

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине.
Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка.
Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Если $ABC$ ― треугольник, и ${displaystyle a=BC}$ , ${displaystyle b=AC}$ , ${displaystyle c=AB}$ ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин $A$ , $B$ , $C$ к сторонам $a$ , $b$ , $c$ , обычно обозначаются $m_{a}$ , $m_{b}$ и $m_{c}$ .

Связанные определения[править | править код]

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка.
Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой^[1].
В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны ${displaystyle {dfrac {1}{sqrt {10}}}}$ , а косинус противоположного основанию угла равен ${displaystyle {dfrac {4}{5}}}$ .

Свойства оснований медиан[править | править код]

Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Теркем доказал теорему Теркема^[2]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства[править | править код]

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения[править | править код]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

${displaystyle m_{a}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}$

${displaystyle m_{b}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}$

${displaystyle m_{c}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},}$

где ${displaystyle m_{a}, m_{b}, m_{c}}$ — медианы к сторонам треугольника ${displaystyle a, b, c}$ соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ .

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

${displaystyle a={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${displaystyle b={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${displaystyle c={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}$

где $m_{a},m_{b},m_{c}$ — медианы к соответствующим сторонам треугольника, $a,b,c$ — стороны треугольника.

Площадь $S$ любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

${displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}},}$

где ${displaystyle sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ — полусумма длин медиан.

Вариации и обобщение[править | править код]

Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

См. также[править | править код]

Биссектриса
Высота треугольника
Инцентр
Симедиана
Центроид
Чевиана

Примечания[править | править код]

↑ Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 16.

Литература[править | править код]

Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Источник

Все формулы медианы треугольника

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M – медиана, отрезок |AO|

c – сторона на которую ложится медиана

a, b – стороны треугольника

γ – угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Элементы треугольника. Медиана

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

, где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

, где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

[spoiler title=”источники:”]

Определение и свойства медианы треугольника

Элементы треугольника. Медиана

[/spoiler]

Источник

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

найти медиану треугольника по его сторонам

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

найти длину медианы треугольника по его сторонам

Соединим точку D с точками A и C.

нахождение медианы треугольника по его сторонам

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

$[BD = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

$[{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

Даны стороны треугольника. Найти медиану

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

$[BF = frac{1}{2}DD = frac{1}{2} cdot 4sqrt {37} = 2sqrt {37} (cm)]$

Ответ:

Источник

Связанные определения[править | править код]

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

Свойства оснований медиан[править | править код]

Другие свойства[править | править код]

Основные соотношения[править | править код]

Вариации и обобщение[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Все формулы медианы треугольника

Определение и свойства медианы треугольника

Определение медианы треугольника

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Примеры задач

Элементы треугольника. Медиана

Определение

Свойства

Вам также может понравиться

Samp this application has requested the runtime to terminate как исправить

Как найти вторую половину в москве

Как просто найти алмазы в майнкрафте

Добавить комментарий Отменить ответ