Как найти медиану седьмой класс

Как найти медиану седьмой класс

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок (AC) называется перпендикуляром, проведённым из точки (A) прямой (a), если прямые (AC) и (a) перпендикулярны.

пер3.jpg

Точка (C) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 

Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png

Докажем, что от точки (A), не лежащей на прямой (BC), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Допустим, что дан угол

∠ABC

.

Отложим от луча (BC) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне (BC)).

Сторона (BA) совместится со стороной

BA1

.

При этом точка (A) наложится на некоторую точку 

A1

.

Следовательно, совмещается угол

∠ACB

 с

∠A1CB

.

Но углы

∠ACB

 и

∠A1CB

 — смежные, значит, каждый из них прямой.

Прямая

AA1

 перпендикулярна прямой (BC), а отрезок (AC) является перпендикуляром от точки (A) к прямой (BC).

Если допустить, что через точку (A) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой (BC), то он бы находился на прямой, пересекающейся с

AA1

. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

Mediana.png

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Mediana1.png

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

Bisektrise.png

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Bisektrise1.png

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Augstums.png

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Augstums1.png

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Augstums2.png

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Augstums3.png

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

Visi.png

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

Trijst_vs.png

(AB = BC) — боковые стороны , (AC) — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, если из угла напротив основания провести биссектрису (BD).

Vs_trijst_ip.png

Рассмотрим равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AC) и докажем, что

ΔABD=ΔCBD

.

Пусть (BD) — биссектриса треугольника (ABC). 

ΔABD=ΔCBD

 по первому признаку равенства треугольников ((AB = BC) по условию, (BD) — общая сторона,

∠ABD=∠CBD

, так как (BD) — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. 

∠A=∠C

 — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. (AD = DC) — доказано, что биссектриса является медианой.

3.

∠ADB=∠CDB

 — так как смежные углы, сумма которых

180°

, равны, то каждый из них равен

90°

, то есть медиана является высотой.

Vs_trijst_ip1.png

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.

Источник

Медиана треугольника


Медиана треугольника

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 429.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 429.

Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.

Опыт работы учителем математики – более 33 лет.

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.


Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Три медианы образуют 6 равновеликих треугольников

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольников.
  • Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенузу находим через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$

Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=8; b=7; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рисунок к задаче

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1over2}*(b^2+c^2-a^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(b^2+c^2-a^2)}$$

$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание – 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$

Заключение

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

  • Irina Semenova

    10/10

  • Гульжан Дощанова

    10/10

  • Татьяна Киприянова

    10/10

  • Ольга Почивалова

    9/10

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 429.

А какая ваша оценка?

Источник

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

  • Определение медианы треугольника

  • Свойства медианы

    • Свойство 1 (основное)

    • Свойство 2

    • Свойство 3

    • Свойство 4

    • Свойство 5

  • Примеры задач

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

  • BF – медиана, проведенная к стороне AC.
  • AF = FC

Медиана треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Пересечение медиан треугольника (центр тяжести)

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

  • AO = 2OE
  • BO = 2OF
  • CO = 2OD

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Деление треугольника медианой на 2 равновеликих треугольника

S1 = S2

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Деление треугольника тремя медианами на 6 равновеликих треугольников

S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Медианы в треугольнике

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длина медианы через длины сторон треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Длина медианы через длины сторон треугольника (формула)

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см2. Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Длина медианы через длины сторон треугольника (пример)

Источник

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины).

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. … Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как построить медианы?

Для построения медианы, мы делим отрезок пополам, для этого проводим полуокружности одного радиуса из двух точек, соединяем точки пересечения их и находим точку пересечения со стороной треугольника, соединяем с противоположной вершиной. Готово.

Основное свойство Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Что такое меридианы по геометрии?

Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны (в геометрии).

Если сложить вектора AB и AC, то их сумма — диагональ параллелограмма разделит пополам противоположную сторону (другую диагональ параллелограмма) и будет делиться другой диагональю пополам. Следовательно полусумма сторон как раз и будет медианой.

Медиа́на (от лат. mediāna «середина») или серединное значение набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше.

Как найти биссектрису?

Также биссектрису треугольника можно найти, зная одну ее часть, ограниченную точкой пересечения всех биссектрис, и две прилегающие к ней стороны. Исходя из теоремы о биссектрисах, данная точка делит их в отношении друг к другу прилегающих сторон.

Чему равна высота в треугольнике?

Высота в остроугольном треугольнике делит его на два прямоугольных. Если известна сторона, противолежащая основанию (а), и угол между ними, примените выражение: h = b*sina. В формула немного меняется: h = b*sin(180-a) или h = — c*sina.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы. Все медианы пересекаются в одной точке. Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Свойства медиан треугольника Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Медиа́на (от лат. mediāna «середина») или серединное значение набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

1) Найти координаты точки M — середины стороны BC (воспользуйтесь формулами координат середины отрезка). 2) Длина медианы AM равна расстоянию между точками A и M (воспользуйтесь формулой расстояния между двумя точками).

Использование медианы и арифметического среднего Наиболее употребительным является арифметическое среднее, но бывают ситуации, когда более подходящей является медиана. … Чем симметричнее распределены значения признака, тем лучше медиана характеризует его среднее значение.

Медиа́на (от лат. mediāna «середина») или серединное значение набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше.

Как искать биссектрису треугольника?

Также биссектрису треугольника можно найти, зная одну ее часть, ограниченную точкой пересечения всех биссектрис, и две прилегающие к ней стороны. Исходя из теоремы о биссектрисах, данная точка делит их в отношении друг к другу прилегающих сторон.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине.
Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок, а иногда длину этого отрезка.
Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Если ABC ― треугольник, и {displaystyle a=BC}, {displaystyle b=AC}, {displaystyle c=AB} ― длины сторон (или просто стороны), то медианы, проведённые соответственно из вершин A, B, C к сторонам a, b, c, обычно обозначаются m_{a}, m_{b} и m_{c}.

Связанные определения[править | править код]

Точка пересечения медиан делит каждую медиану на два отрезка.
Отрезок от вершины до точки пересечения называется предмедианой, а отрезок от точки пересечения до противоположной стороны постмедианой[1].
В частности можно сказать, что в любом треугольнике отношение предмедианы к постмедиане равно двум.

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Если медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, пересекаются под прямым углом, то косинусы углов при основании этого треугольника равны {displaystyle {dfrac {1}{sqrt {10}}}}, а косинус противоположного основанию угла равен {displaystyle {dfrac {4}{5}}}.

Свойства оснований медиан[править | править код]

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
  • Теркем доказал теорему Теркема[2]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства[править | править код]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

  • Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения[править | править код]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

{displaystyle m_{a}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}
{displaystyle m_{b}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}
{displaystyle m_{c}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},}
где {displaystyle m_{a}, m_{b}, m_{c}} — медианы к сторонам треугольника {displaystyle a, b, c} соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

{displaystyle a={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
{displaystyle b={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {{frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
{displaystyle c={frac {2}{3}}{sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={sqrt {{frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={sqrt {{frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
где m_{a},m_{b},m_{c} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны треугольника.

Площадь S любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

{displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}},}
где {displaystyle sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.

Вариации и обобщение[править | править код]

  • Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

См. также[править | править код]

  • Биссектриса
  • Высота треугольника
  • Инцентр
  • Симедиана
  • Центроид
  • Чевиана

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Стариков В. Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
  2. ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 16.

Литература[править | править код]

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.
Источник

Добавить комментарий