Как найти медиану треугольника на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи, в которых требуется по рисунку на клетчатой бумаге найти длину медианы треугольника.

Задачи.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Решение:

Медиана, проведённая из вершины C, соединяет точку C с серединой противолежащей стороны AB.

Следовательно, задачу начинаем с нахождения середины AB.

Как правило, сторона AB в таких задачах изображается не горизонтальным или вертикальным отрезком.

Чтобы найти середину AB, можно построить по клеточкам прямоугольник с диагональю AB и провести его вторую диагональ. По свойству прямоугольника, точка H пересечения диагоналей — середина AB.

Длину медианы CH считаем по клеточкам — CH=4.

2) Аналогично предыдущей задаче, сначала найдём середину отрезка AB.

Можно достроить прямоугольник с диагональю AB, провести вторую диагональ и отметить точку H пересечения диагоналей.

Длину медианы CH находим по клеточкам:

CH=3.

3) Можно найти середину отрезка AB и без дополнительных построений.

Например, можно рассуждать так:

AH=BH как диагонали равных квадратов (со стороной 2 клетки), следовательно, точка H — середина AB, CH — медиана треугольника ABC.

CH=2.

Если медиана треугольника расположена не горизонтально либо вертикально, посчитать её длину по клеточкам не удастся.

4) В прямоугольном треугольнике длину медианы, проведённой к гипотенузе, можно найти, опираясь на соответствующее свойство.

То есть для нахождения длины медианы нужно знать гипотенузу.

Длины катетов определяем по клеточкам: AC=12, BC=5.

По теореме Пифагора: AB²=AC²+BC²,

AB²=12²+5²=169, AB=13,

CH= 1/2 AB=6,5.

5) Середину отрезка AB — точку H — найдём как точку пересечения диагоналей прямоугольника с диагональю AB

(достаточно провести вторую диагональ, прямоугольник можно не строить).

Длину диагонали по клеточкам определить не получится.

Достроим прямоугольный треугольник CHD с гипотенузой CH.

CD=3, HD=4.

CH находим по теореме Пифагора (можно также заметить, что CHD — египетский треугольник): CH=5.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пример. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найти: а) площадь треугольника; б) радиус окружности, описанной около треугольника; в) медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе; г) радиус вписанной в данный треугольник окружности.

Решение. а) Считаем клетки. Катет АС=8, катет ВС=6.

в) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, также является радиусом описанной окружности и равна 5.

г) Радиус r вписанной окружности находим из равенства: 2r = a+ b- c. Здесь катеты a=ВС=6 и b=АС=8, а гипотенуза c=АВ=10.

2r=6+8-10=4. Тогда r=2.

Ответ: а) 24; б) 5; в) 5; г) 2.

Проверь себя!

Тест 1

Тест 2

Чтобы найти длину медианы, выходящей из вершины B, нужно провести медиану из вершины B до середины стороны AC. Обозначим точку середины стороны AC как M. Тогда медиана, выходящая из вершины B, будет проходить через точку M и делить сторону AC пополам.

Чтобы найти координаты точки M, нужно найти среднее арифметическое координат точек A и C по каждой оси. Пусть координаты точки A равны (x₁, y₁), а координаты точки C равны (x₃, y₃). Тогда координаты точки M будут равны ((x₁+x₃)/2, (y₁+y₃)/2).

Зная координаты точки M, можно найти длину медианы, выходящей из вершины B, используя теорему Пифагора. Обозначим длину медианы, выходящей из вершины B, как MB, а длины отрезков AM и MC, как a и b соответственно. Тогда:

MB² = a² + b²

Таким образом, чтобы найти длину медианы, выходящей из вершины B, нужно найти длины отрезков AM и MC, используя формулы расстояния между точками, а затем подставить их в формулу для длины медианы.

Приведу пример нахождения длины медианы на конкретном треугольнике: пусть вершины треугольника АВС имеют координаты (0,0), (4,0) и (2,3) соответственно. Тогда середина стороны AC будет иметь координаты ((0+2)/2, (0+3)/2) = (1,5). Длина отрезка AM будет равна расстоянию между точками (0,0) и (1,5), которое можно найти с помощью формулы расстояния между точками:

a = √((1-0)² + (5-0)²) = √26/2

Аналогично, длина отрезка MC будет равна расстоянию между точками (2,3) и (1,5), которое можно найти также с помощью формулы расстояния между точками:

b = √((2-1)² + (3-5)²) = √5/2

Итак, мы нашли длины сторон треугольника: AB = 6, AC = 8 и BC = 10. Чтобы найти медиану, выходящую из вершины B, нужно найти середину стороны AC (точку M) и соединить её с вершиной B. Так как стороны треугольника параллельны осям координат на клетчатой бумаге, то точка M будет иметь координаты (5, 1). Также заметим, что точка B имеет координаты (3, 3).

Теперь мы можем найти длину медианы BM, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MBP, где P – точка пересечения медиан:

BM^2 = MP^2 + BP^2

Найдём длину MP, используя координаты точек M и B:

MP = sqrt((5-3)^2 + (1-3)^2) = sqrt(8)

Найдём длину BP, используя координаты точек B и середины стороны AC:

BP = sqrt((5-3)^2 + (3-1)^2) = sqrt(8)

Таким образом, получаем:

BM^2 = 8 + 8 = 16

BM = 4

Ответ: длина медианы, выходящей из вершины B, равна 4 клеткам.