Как найти медиану тупого угла

Как найти медиану тупого угла

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Все формулы медианы треугольника

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M – медиана, отрезок |AO|

c – сторона на которую ложится медиана

a, b – стороны треугольника

γ – угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/mediantriangles

Определение и свойства медианы треугольника

[/spoiler]

Источник

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок (AC) называется перпендикуляром, проведённым из точки (A) прямой (a), если прямые (AC) и (a) перпендикулярны.

пер3.jpg

Точка (C) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 

Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png

Докажем, что от точки (A), не лежащей на прямой (BC), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Допустим, что дан угол

∠ABC

.

Отложим от луча (BC) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне (BC)).

Сторона (BA) совместится со стороной

BA1

.

При этом точка (A) наложится на некоторую точку 

A1

.

Следовательно, совмещается угол

∠ACB

 с

∠A1CB

.

Но углы

∠ACB

 и

∠A1CB

 — смежные, значит, каждый из них прямой.

Прямая

AA1

 перпендикулярна прямой (BC), а отрезок (AC) является перпендикуляром от точки (A) к прямой (BC).

Если допустить, что через точку (A) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой (BC), то он бы находился на прямой, пересекающейся с

AA1

. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

Mediana.png

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Mediana1.png

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

Bisektrise.png

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Bisektrise1.png

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Augstums.png

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Augstums1.png

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Augstums2.png

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Augstums3.png

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

Visi.png

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

Trijst_vs.png

(AB = BC) — боковые стороны , (AC) — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, если из угла напротив основания провести биссектрису (BD).

Vs_trijst_ip.png

Рассмотрим равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AC) и докажем, что

ΔABD=ΔCBD

.

Пусть (BD) — биссектриса треугольника (ABC). 

ΔABD=ΔCBD

 по первому признаку равенства треугольников ((AB = BC) по условию, (BD) — общая сторона,

∠ABD=∠CBD

, так как (BD) — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. 

∠A=∠C

 — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. (AD = DC) — доказано, что биссектриса является медианой.

3.

∠ADB=∠CDB

 — так как смежные углы, сумма которых

180°

, равны, то каждый из них равен

90°

, то есть медиана является высотой.

Vs_trijst_ip1.png

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.

Источник

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.

Тупоугольный треугольник (понятие и определение)

Элементы тупоугольного треугольника

Свойства тупоугольного треугольника

Формулы тупоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (понятие и определение): 

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 1. Тупоугольный треугольник

∠ BАC– тупой угол треугольника,

∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника

По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника 

По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,

∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании

Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Элементы тупоугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол

∠ ВAD – острый угол

Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника

MA – медиана тупоугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника

MС – высота тупоугольного треугольника

Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.

Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы  пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника

MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника

Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Свойства тупоугольного треугольника:

Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 9. Тупоугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами

АВ = АС

3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

    • a < b + c;
    • a > b – c;
    • b < a + c,
    • b > a – c;
    • c < a + b;
    • c > a – b.

Квадрат

Овал

Остроугольный треугольник

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Тупоугольный треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
20 533

Источник

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

  • ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
  • ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
  • ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

  • ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
  • ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

  • ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
  • ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

  • ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
  • ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.

И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник
Треугольник
Triangle illustration.svg
Рёбра 3
Символ Шлефли {3}
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2], т.е. как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Основные элементы треугольника[править | править код]

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,B,C, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как Delta ABC. Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: {displaystyle AB=c}, {displaystyle BC=a}, {displaystyle CA=b}.

Треугольник Delta ABC имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (alpha , beta , gamma ).

Внешним углом {displaystyle DCA} плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу {displaystyle ACB} треугольника при этой вершине

Внешним углом {displaystyle DCA} плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу {displaystyle ACB} треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от {displaystyle 0} до 180^{circ }.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По виду наибольшего угла[править | править код]

Основной источник: [3]

  • Остроугольный

  • Тупоугольный

  • Прямоугольный

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180^{circ }, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90^{circ }). Выделяют следующие виды треугольников[2].

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90^{circ }), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90^{circ }), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).

По числу равных сторон (или по степени симметричности)[править | править код]

  • Разносторонний

  • Равнобедренный

  • Равносторонний

  • Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием[4]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Треугольник Количество осей симметрии Количество пар равных сторон
Разносторонний Нет Нет
Равнобедренный 1 1
Равносторонний 3 3

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
Длину медианы {displaystyle m_{c},} опущенной на сторону {displaystyle c,} можно найти по формулам:

{displaystyle m_{c}={1 over 2}{sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 over 2}{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos gamma }};}      для других медиан аналогично.

  • Высота в треугольниках различного типа

    Высота в треугольниках различного типа

  • Высоты пересекаются в ортоцентре

    Высоты пересекаются в ортоцентре

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты h_{c}, опущенной на сторону c, можно найти по формулам:

{displaystyle h_{c}=bsin alpha =asin beta =c,{frac {sin alpha cdot sin beta }{sin(alpha +beta )}}};      для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:[5]:p.64

{displaystyle h_{c}={frac {ab}{2R}},quad h_{a}={frac {bc}{2R}},quad h_{b}={frac {ca}{2R}}}.

Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам[6].

Длину биссектрисы l_{c}, опущенной на сторону c, можно найти по одной из формул:

{displaystyle l_{c}={frac {sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}}={frac {2{sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}, где p — полупериметр.
{displaystyle l_{c}={frac {2abcos {frac {gamma }{2}}}{a+b}}={frac {c,sin alpha cdot sin beta }{sin(alpha +beta )cdot cos {frac {alpha -beta }{2}}}}}.
{displaystyle l_{c}={frac {h_{c}}{cos {frac {alpha -beta }{2}}}}};     здесь h_{c} — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника[6].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной R и вписанной r окружностей.

{displaystyle r={S over p},} где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
{displaystyle r={sqrt {frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}}}
{displaystyle R={frac {a}{2sin alpha }}={frac {b}{2sin beta }}={frac {c}{2sin gamma }}}
{displaystyle R={frac {abc}{4S}}={frac {abc}{4{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}},
{displaystyle {frac {1}{r}}={frac {1}{r_{a}}}+{frac {1}{r_{b}}}+{frac {1}{r_{c}}}}

где {displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}  — радиусы соответственных вневписанных окружностей

Ещё два полезных соотношения:

{displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1;}[7]
2Rr={frac {abc}{a+b+c}}.

Существует также формула Карно[8]:

{displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C})},

где {displaystyle k_{a}}, {displaystyle k_{b}}, {displaystyle k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a, b, c треугольника,
d_{A}, d_{B}, {displaystyle d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A, B, C треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны a треугольника равно:

{displaystyle k_{a}=a/(2operatorname {tg} A)};

расстояние от ортоцентра например до вершины A треугольника равно:

{displaystyle d_{A}=a/operatorname {tg} A}.

Признаки равенства треугольников[править | править код]

Равенство по двум сторонам и углу между ними

Равенство по стороне и двум прилежащим углам

Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:[9]

  1. a, b, gamma (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, beta , gamma (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон[10].

Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}.
Если в треугольниках {mathcal {ABC}} и {displaystyle {mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}} имеют место равенства {displaystyle {mathcal {AB}}={mathcal {A_{1}B_{1}}}}, {displaystyle {mathcal {AC}}={mathcal {A_{1}C_{1}}}}, {displaystyle angle {mathcal {ABC}}=angle {mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}}, причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны[11].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Основные свойства элементов треугольника[править | править код]

Свойства углов[править | править код]

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы[10].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных[10].

Неравенство треугольника[править | править код]

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

{displaystyle a<b+c,quad b<c+a,quad c<a+b}.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон[10].

Теорема о сумме углов треугольника[править | править код]

Сумма углов треугольника равна 180°

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

alpha +beta +gamma =180^{circ }.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов[править | править код]

{frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}=2R,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править код]

{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma ,quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta ,quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha }.

Является обобщением теоремы Пифагора.

  • Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))[12].
{displaystyle a^{2}=(b+c)^{2}-4bccos ^{2}{frac {alpha }{2}},quad a^{2}=(b-c)^{2}+4bcsin ^{2}{frac {alpha }{2}}}.

Теорема о проекциях[править | править код]

Источник: [13].

{displaystyle c=acos beta +bcos alpha ,quad a=bcos gamma +ccos beta ,quad b=ccos alpha +acos gamma }.

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)[править | править код]

{displaystyle {dfrac {a-b}{a+b}}={dfrac {operatorname {tg} {dfrac {alpha -beta }{2}}}{operatorname {tg} {dfrac {alpha +beta }{2}}}}={dfrac {operatorname {tg} {dfrac {alpha -beta }{2}}}{operatorname {ctg} {dfrac {gamma }{2}}}};quad {frac {b-c}{b+c}}={frac {operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(beta -gamma )]}{operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(beta +gamma )]}};{frac {a-c}{a+c}}={frac {operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(alpha -gamma )]}{operatorname {tg} [{frac {1}{2}}(alpha +gamma )]}}.}

Теорема котангенсов[править | править код]

{displaystyle {frac {p-a}{operatorname {ctg} (alpha /2)}}={frac {p-b}{operatorname {ctg} (beta /2)}}={frac {p-c}{operatorname {ctg} (gamma /2)}}=r}.

Формулы Мольвейде[править | править код]

{displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {cos {frac {A-B}{2}}}{sin {frac {C}{2}}}},quad {frac {a-b}{c}}={frac {sin {frac {A-B}{2}}}{cos {frac {C}{2}}}}}.

Решение треугольников[править | править код]

Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника[править | править код]

Далее используются обозначения
Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.
  1. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}acdot h_{a}={dfrac {1}{2}}bcdot h_{b}={dfrac {1}{2}}ccdot h_{c}}
  2. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}absin gamma ={dfrac {a^{2}sin {beta }cdot sin {gamma }}{2sin {left(beta +gamma right)}}}={dfrac {b^{2}sin {alpha }cdot sin {gamma }}{2sin {left(alpha +gamma right)}}}={dfrac {c^{2}sin {alpha }cdot sin {beta }}{2sin {left(alpha +beta right)}}}}
  3. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {abc}{4R}}}
  4. {displaystyle S_{triangle ABC}=rcdot p}
  5. {displaystyle S_{triangle ABC}=r^{2}+2rcdot R}
  6. {displaystyle S_{triangle ABC}={sqrt {pcdot p_{a}cdot p_{b}cdot p_{c}}}={sqrt {pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}}={1 over 4}{sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}} — формула Герона
  7. {displaystyle S_{triangle ABC}=left(p-aright)r_{a}=left(p-bright)r_{b}=left(p-cright)r_{c}}[14]
  8. {displaystyle S_{triangle ABC}={sqrt {p_{m}left(p_{m}-aright)left(p_{m}-bright)left(p_{m}-2mright)}}}
  9. {displaystyle S={sqrt {rcdot r_{a}cdot r_{b}cdot r_{c}}}} [15]
  10. {displaystyle S_{triangle ABC}={Rcdot rcdot left(sin alpha +sin beta +sin gamma right)}}
  11. S_{triangle ABC}={2R^{2}sin alpha sin beta sin gamma }
  12. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {c^{2}}{2left(operatorname {ctg} alpha +operatorname {ctg} beta right)}}}
  13. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}left({overrightarrow {CA}}wedge {overrightarrow {CB}}right)={dfrac {left(x_{A}-x_{C}right)left(y_{B}-y_{C}right)-left(x_{B}-x_{C}right)left(y_{A}-y_{C}right)}{2}}} — ориентированная площадь треугольника.
  14. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{displaystyle {sqrt {left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}right)left({dfrac {1}{h_{c}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}-{dfrac {1}{h_{a}}}right)left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}-{dfrac {1}{h_{b}}}right)left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}-{dfrac {1}{h_{c}}}right)}}}}} — см. Аналоги формулы Герона
  15. {displaystyle S_{triangle ABC}=r^{2}operatorname {ctg} left({dfrac {alpha }{2}}right)operatorname {ctg} left({dfrac {beta }{2}}right)operatorname {ctg} left({dfrac {gamma }{2}}right)}
  16. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {p}{displaystyle {{dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}+{dfrac {1}{h_{c}}}}}}}
  17. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {1}{2}}{sqrt {2h_{a}h_{b}h_{c}R}}}
  18. {displaystyle S_{triangle ABC}=acdot {dfrac {r_{b}r_{c}}{displaystyle {r_{b}+r_{c}}}}=bcdot {dfrac {r_{a}r_{c}}{displaystyle {r_{a}+r_{c}}}}=ccdot {dfrac {r_{a}r_{b}}{displaystyle {r_{a}+r_{b}}}}}
Частные случаи
  1. {displaystyle S_{triangle ABC}={dfrac {ab}{2}}} — для прямоугольного треугольника
  2. {displaystyle S={dfrac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}} — для равностороннего треугольника

Другие формулы[править | править код]

  • Существуют другие формулы, такие, как например,[16]
{displaystyle S={dfrac {operatorname {tg} alpha }{4}}left(b^{2}+c^{2}-a^{2}right)}

для угла {displaystyle alpha neq 90^{circ }}.

  • В 1885 г. Бейкер (Baker)[17] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:
{displaystyle S={dfrac {1}{2}}{sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}}},
{displaystyle S={dfrac {1}{2}}{sqrt {abh_{a}h_{b}}}},
{displaystyle S={dfrac {a+b}{2left({dfrac {1}{h_{a}}}+{dfrac {1}{h_{b}}}right)}}},
{displaystyle S={dfrac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}.

Неравенства для площади треугольника[править | править код]

Для площади справедливы неравенства:

{displaystyle 4{sqrt {3}}Sleqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}}    и    {displaystyle 4{sqrt {3}}Sleqslant {dfrac {9abc}{a+b+c}}},

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

История изучения[править | править код]

Свойства треугольника, изучаемые в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[21]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции[22]. В частности, во второй книге „Начал“ Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников[23]. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Свойствами элементов треугольников (углов, сторон, биссектрис и др.) после Евклида занимались Архимед, Менелай, Клавдий Птолемей, Папп Александрийский[24].

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[25]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались „зиджи“; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[26]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[27]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[28].

Фундаментальное изложение тригонометрии (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[29]. Его „Трактат о полном четырёхстороннике“ содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решённых самим ат-Туси[30]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10»[31]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций.

Изучение треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыта точка Торричелли (1640) и изучены её свойства. Джованни Чева доказал свою теорему о трансверсалях (1678). Лейбниц показал, как вычислять расстояние от центра тяжести треугольника до других его замечательных точек[24]. В XVIII веке были обнаружены прямая Эйлера и окружность шести точек (1765).

В начале XIX века была открыта точка Жергонна. В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. К концу XIX века относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга. Окружность девяти точек исследовали Понселе, Брианшон и Штейнер, Были обнаружены ранее неизвестные геометрические связи и образы — например, окружность Брокара, точки Штейнера и Тарри. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан. Исследования перечисленных выше геометров превратили геометрию треугольника в самостоятельный раздел математики[32].

Значительный вклад в геометрию треугольника внёс в конце XIX — начале XX века Фрэнк Морли. Он доказал, что геометрическое место центров кардиоид, вписанных в треугольник, состоит из девяти прямых, которые, взятые по три, параллельны трём сторонам равностороннего треугольника. Кроме того, 27 точек, в которых пересекаются эти девять прямых, являются точками пересечения двух трисектрис треугольника, принадлежащих к одной и той же его стороне. Наибольшую известность получил частный случай этой теоремы: внутренние трисектрисы углов треугольника, прилежащих к одной и той же стороне, пересекаются попарно в трёх вершинах равностороннего треугольника. Обобщение этих работ опубликовал Анри Лебег (1940), он
ввел n-сектрисы треугольника и изучил их расположение в общем виде[33].

С 1830-х годов в геометрии треугольника стали широко использоваться трилинейные координаты точек. Активно развивалась теория преобразований — проективное, изогональное, изотомическое и другие. Полезной оказалась идея рассмотрения задач теории треугольников на комплексной плоскости.
[32].

Дополнительные сведения[править | править код]

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы. Чевианы, соединяющие вершину треугольника с точками противоположной стороны, отстоящими на заданное отношение {frac {1}{n}} от её концов, называют недианами.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатрисы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Чевианы, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр антибиссектрис.
  • Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
  • Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки P и Q такие, что angle ABP=angle BCP=angle CAP и angle BAP=angle CBP=angle ACP называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника[править | править код]

  • В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
  • В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник {displaystyle A'B'C'} (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой второй прямой Эйлера (прямой Нагеля)
  • Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония.
  • Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
  • Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Трилинейные поляры треугольника[править | править код]

Бесконечно удалённая прямая — трилинейная поляра центроида

Построение трилинейной поляры точки Y

Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом

  • Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)

Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)

Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра

  • Ортоцентрическая ось {displaystyle DEF} (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
  • Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Вписанные и описанные фигуры для треугольника[править | править код]

Преобразования[править | править код]

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярное преобразование.

Изогональное сопряжение[править | править код]

  • Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
  • Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек:
    • Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
    • Центроид (точка пересечения медиан) и точка Лемуана (точка пересечения симедиан),
    • Центр девяти точек и точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты[34];
    • Две точки Брокара;
    • Точки Аполлония и точки Торричелли.
  • Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
  • Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
  • Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
  • Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
  • Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[35].
  • Если для любой внутренней точки треугольника построить три точки, симметричные ей относительно сторон, а затем через три последние провести окружность, то ее центр изогонально сопряжен исходной точке[36].

Изогональные сопряжения линий треугольника[править | править код]

  • Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
  • Так, изогонально сопряжены:
    • гипербола Киперта и ось Брокара,
    • гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
    • гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
  • Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение[править | править код]

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

  • Изотомически сопряжены следующие точки:
    • точка Жергонна и Нагеля,
    • точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
    • Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точке Брокара,
    • Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры[править | править код]

Изоциркулярное преобразование[править | править код]

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием [39]. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Тригонометрические тождества только с углами[править | править код]

{displaystyle operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta +operatorname {tg} gamma =operatorname {tg} alpha operatorname {tg} beta operatorname {tg} gamma }

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

{displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}operatorname {tg} {frac {beta }{2}}+operatorname {tg} {frac {beta }{2}}operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}+operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}=1},[40]

(второе тождество для тангенсов)

{displaystyle sin(2alpha )+sin(2beta )+sin(2gamma )=4sin alpha sin beta sin gamma },

(первое тождество для синусов)

{displaystyle sin ^{2}{frac {alpha }{2}}+sin ^{2}{frac {beta }{2}}+sin ^{2}{frac {gamma }{2}}+2sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=1},[40]

(второе тождество для синусов)

{displaystyle cos ^{2}alpha +cos ^{2}beta +cos ^{2}gamma +2cos alpha cos beta cos gamma =1},[7]

(тождество для косинусов)

{displaystyle {frac {r}{R}}=4sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1}

(тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение {displaystyle operatorname {tg} {frac {alpha }{2}}operatorname {tg} {frac {beta }{2}}operatorname {tg} {frac {gamma }{2}}} получается тождество для котангенсов:

{displaystyle operatorname {ctg} {frac {alpha }{2}}+operatorname {ctg} {frac {beta }{2}}+operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}=operatorname {ctg} {frac {alpha }{2}}operatorname {ctg} {frac {beta }{2}}operatorname {ctg} {frac {gamma }{2}}},

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Разные соотношения[править | править код]

Метрические соотношения в треугольнике приведены для triangle ABC:

Где:

  • a, b и c — стороны треугольника,
  • {displaystyle a_{L}}, {displaystyle b_{L}} — отрезки, на которые биссектриса l_{c} делит сторону c,
  • m_{a}, m_{b}, m_{c} — медианы, проведённые соответственно к сторонам a, b и c,
  • h_{a}, h_{b}, h_{c} — высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,
  • r — радиус вписанной окружности,
  • R — радиус описанной окружности,
  • {displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}} — полупериметр,
  • S — площадь,
  • d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
  • Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами {displaystyle ageqslant bgeqslant c}, а площадь равна S, длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключённых внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны[41]:Corollaries 5 and 6
{displaystyle p_{a}={frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}}, {displaystyle p_{b}={frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}} и {displaystyle p_{c}={frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}}.

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

Обозначения
  • (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C}) — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости[править | править код]

S_{triangle ABC}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}={frac {left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})right|}{2}}={frac {left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})right|}{2}}

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде 1⁄2 от абсолютного значения определителя

T={frac {1}{2}}left|det {begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\y_{B}&y_{C}end{pmatrix}}right|={frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula[42]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов[править | править код]

Пусть вершины треугольника находятся в точках mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A}), mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B}), mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C}).

Введём вектор площади mathbf {S} ={frac {1}{2}}[mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{A},mathbf {r} _{C}-mathbf {r} _{A}]. Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

mathbf {S} ={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \x_{B}-x_{A}&y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}end{vmatrix}}

Положим {displaystyle mathbf {S} =S_{x}mathbf {i} +S_{y}mathbf {j} +S_{z}mathbf {k} }, где S_{x}, {displaystyle S_{y}}, {displaystyle S_{z}} — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

S_{x}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}end{vmatrix}}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\1&y_{B}&z_{B}\1&y_{C}&z_{C}end{vmatrix}}

и аналогично

S_{y}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\x_{B}&1&z_{B}\x_{C}&1&z_{C}end{vmatrix}},qquad S_{z}={frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}

Площадь треугольника равна S={sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}}}.

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин[править | править код]

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через {displaystyle a=x_{A}+y_{A}i}, {displaystyle b=x_{B}+y_{B}i} и {displaystyle c=x_{C}+y_{C}i} и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через {bar {a}}, {bar {b}} и {bar {c}}, тогда получим формулу:

{displaystyle T={frac {i}{4}}{begin{vmatrix}a&{bar {a}}&1\b&{bar {b}}&1\c&{bar {c}}&1end{vmatrix}}},

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula[42]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях[править | править код]

На сфере[править | править код]

Свойства треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше 180^{circ }.

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

{displaystyle {frac {sin A}{sin a}}={frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}},

Теоремы косинусов:

{displaystyle cos c=cos acos b-sin asin bcos C},
{displaystyle cos C=-cos Acos B+sin Asin Bcos c}.

На плоскости Лобачевского[править | править код]

Для треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше 180^{circ }.

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

{displaystyle {frac {sin A}{operatorname {sh} a}}={frac {sin B}{operatorname {sh} b}}={frac {sin C}{operatorname {sh} c}}},

Теоремы косинусов

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} aoperatorname {ch} b-operatorname {sh} aoperatorname {sh} bcos C},
{displaystyle cos C=-cos Acos B+sin Asin Boperatorname {ch} c}.

Связь суммы углов с площадью треугольника[править | править код]

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

{displaystyle int limits _{Omega }K,dsigma +sum _{i}varphi _{i}=2pi chi }.

В случае треугольника эйлерова характеристика {displaystyle chi =1}. Углы varphi _{i} — это внешние углы треугольника. Значение величины K (гауссовой кривизны) — это K=0 для евклидовой геометрии, K=1 для сферы, {displaystyle K=-1} для плоскости Лобачевского.

Пазлинка и перо

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Треугольник в римановой геометрии[править | править код]

Пазлинка и перо

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (31 января 2017)

Обозначение[править | править код]

Символ Юникод Название
△ U+25B3 white up-pointing triangle

См. также[править | править код]

  • Глоссарий планиметрии
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрия
  • Энциклопедия центров треугольника

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

  • Категория:Геометрия треугольника.
  • Категория:Теоремы евклидовой геометрии
  • Категория:Планиметрия
  • Категория:Теоремы планиметрии

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Треугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 218.
  3. ↑ Подходова Н. С. [и др.] Раздел II. Теория обучения математике. Глава 7. Математические понятия. Методика работы с ними (п. 7.5. Классификация понятий) // Методика обучения математике в 2 ч. Часть 1 : учебник для вузов / под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — С. 139. — 274 с. — ISBN 978-5-534-08766-6, ББК 74.202.5я73. — ISBN 978-5-534-14731-5.
  4. ↑ Основанием равнобедренного треугольника всегда называют сторону, не равную двум другим.
  5. ↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  6. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 221.
  7. ↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  8. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  9. ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 41.
  10. ↑ 1 2 3 4 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 219.
  11. ↑ Шарыгин И. Ф. Глава 3. (п. 3.2. Признаки равенства треугольников) // Геометрия. 7—9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин, ответств.ред. Т. С. Зельдман. — М.: Дрофа, 2012. — С. 79—80. — 462 с. — 3000 экз. — ISBN 978-5-358-09918-0, ББК 22.151я72, УДК 373.167.1:514.
  12. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973.
  13. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, ф. 1.11-4.
  14. ↑ Sa ́ndor Nagydobai Kiss, «A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension», Forum Geometricorum 16, 2016, 283—290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Архивная копия от 24 октября 2018 на Wayback Machine
  15. ↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, “Area properties of triangles revisited, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
  16. ↑ Mitchell, Douglas W., “The area of a quadrilateral, ” Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
  17. ↑ Baker, Marcus, “A collection of formulae for the area of a plane triangle, « Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
  18. ↑ Chakerian, G. D. „A Distorted View of Geometry.“ Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  19. ↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. „Heron triangles and moduli spaces“, Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.
  20. ↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  21. ↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
  22. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
  23. ↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
  24. ↑ 1 2 Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 129.
  25. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
  26. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
  27. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
  28. ↑ Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
  29. ↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  30. ↑ Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I. — С. 105.
  31. ↑ История математики, том I, 1970, с. 320.
  32. ↑ 1 2 Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 130—132.
  33. ↑ Из истории геометрии треугольника, 1963, с. 132—133.
  34. ↑ Rigby, John (1997), Brief notes on some forgotten geometrical theorems. Mathematics and Informatics Quarterly, volume 7, pages 156—158 (as cited by Kimberling).
  35. ↑ В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.
  36. ↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду. Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. Москва: МЦНМО, 2009.
  37. ↑ Kimberling, Clark. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1994. — June (vol. 67, no. 3). — P. 163—187. — doi:10.2307/2690608.
  38. ↑ Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — С. 285. Архивная копия от 10 марта 2016 на Wayback Machine
  39. ↑ Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“») М.:МЦНМО,2002.с.14—17
  40. ↑ 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
  41. ↑ Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59.
  42. ↑ 1 2 Bart Braden. The Surveyor’s Area Formula (англ.) // The College Mathematics Journal  (англ.) (рус. : magazine. — 1986. — Vol. 17, no. 4. — P. 326—337. — doi:10.2307/2686282. Архивировано 6 апреля 2015 года.

Литература[править | править код]

  • Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
  • Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.
История
  • Гайдук Ю. М., Хованский А. М. Из истории геометрии треугольника // Вопросы истории физико-математических наук. — М.: Высшая школа, 1963. — С. 129—133. — 524 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
    • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
    • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
    • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.

Ссылки[править | править код]

  • Расчёт элементов треугольника.
  • Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин.
Источник

Добавить комментарий