Как найти медиану в статистике вероятности

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Медиа́на (от лат. mediāna «середина») или набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше. Другое равносильное определение^[1]: медиана набора чисел — это число, сумма расстояний (или, если более строго, модулей) от которого до всех чисел из набора минимальна. Это определение естественным образом обобщается на многомерные наборы данных и называется 1-медианой.

Например, медианой набора {11, 9, 3, 5, 5} является число 5, так как оно стоит в середине этого набора после его упорядочивания: {3, 5, 5, 9, 11}. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: тогда для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора {1, 3, 5, 7} принимают равной 4), подробнее см. ниже.
В математической статистике медиана может использоваться как одна из характеристик выборки или совокупности чисел.

Также определяется медиана случайной величины: в этом случае оно определяется как число, которое делит пополам распределение. Грубо говоря, медианой случайной величины является такое число, что вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него (и они обе равны 1/2), — более точное определение дано ниже.

Можно также сказать, что медиана является 50-м персентилем, 0,5-квантилем или вторым квартилем выборки или распределения.

Свойства медианы для случайных величин[править | править код]

Если распределение непрерывно, то медиана является одним из решений уравнения

,

где  — функция распределения случайной величины , связанная с плотностью распределения как

.

Если распределение является непрерывной строго возрастающей функцией, то решение уравнения однозначно. Если распределение имеет разрывы, то медиана может совпадать с минимальным или максимальным (крайним) возможным значением случайной величины, что противоречит «геометрическому» пониманию этого термина.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и, так же как математическое ожидание, может быть использована для центрирования распределения. Поскольку оценки медианы более робастны, её оценивание может быть более предпочтительным для распределений с т. н. тяжёлыми хвостами. Однако о преимуществах оценивания медианы по сравнению с математическим ожиданием можно говорить только в случае, если эти характеристики у распределения совпадают, в частности, для симметричных функций плотности распределения вероятностей.

Медиана определяется для всех распределений, а в случае неоднозначности, естественным образом доопределяется, в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Пример использования[править | править код]

Рассмотрим финансовое состояние 19 малоимущих, у каждого из каких есть только 5 ₽, и одного миллионера, у которого буквально 1 млн ₽. Тогда в сумме у них получается 1 000 095 ₽. Если деньги равными долями разделить на 20 человек, получится 50 004,75 ₽. Это будет среднее арифметическое значение суммы денег, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана же будет равна 5 ₽ (сумма «расстояния» от этой величины до состояния каждого из рассматриваемых людей минимальна). Это можно интерпретировать следующим образом: «разделив» всех рассматриваемых людей на две равные группы по 10 человек, мы получаем, что в первой группе у каждого не больше 5 ₽, во второй же — не меньше 5 ₽.

Из этого примера получается, что в качестве «серединного» состояния, грубо говоря, корректнее всего использовать именно медиану, а вот среднее арифметическое, наоборот, значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у случайного человека из выборки.

Различны изменения в динамике и у средней арифметической с медианой, например в вышеприведённом примере, если у миллионера станет 1,5 млн. ₽ (+50 %), а у остальных станет 6 ₽ (+20 %), то средняя арифметическая выборки станет равна 75 005,70 ₽, то есть как бы у всех повысились равномерно на 50 %, при этом медиана станет равной 6 ₽ (+20 %).

Неуникальность значения[править | править код]

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 3, 5, 7} медианой может служить любое число из интервала (3,5)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений (в примере выше это число (3+5)/2=4). Для выборок с чётным числом элементов можно также ввести понятие «нижней медианы» (элемент с номером n/2 в упорядоченном ряду из элементов; в примере выше это число 3) и «верхней медианы» (элемент с номером (n+2)/2; в примере выше это число 5)^[2]. Эти понятия определены не только для числовых данных, но и для любой порядковой шкалы.

См. также[править | править код]

• Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто.
• Среднее арифметическое набора чисел — число, сумма квадратов расстояний от которого до всех чисел из набора минимальна^[3].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Медиана // Маниковский — Меотида. — М. : Большая российская энциклопедия, 2012. — С. 479—480. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 19). — ISBN 978-5-85270-353-8.
• Медиана // Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс]. — 2017.

Цель урока: сформировать у учащихся
представление о медиане набора чисел и умение
вычислять ее для несложных числовых наборов,
закрепление понятия среднего арифметического
набора чисел.

Тип урока: объяснение нового материала.

Оборудование: доска, учебник под ред. Ю.Н
Тюрина “Теория вероятностей и статистика”,
компьютер с проектором.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока и сформулировать его цели.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы учащимся:

• Что называется средним арифметическим набора
  чисел?
• Где располагается среднее арифметическое
  внутри набора чисел?
• Что характеризует среднее арифметическое
  набора чисел?
• Где часто применяется среднее арифметическое
  набора чисел?

Устные задачи:

Найти среднее арифметическое набора чисел:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Проверка домашнего задания с помощью проектора
(Приложение 1):

Учебник: :№12(б,г), №18(в,г)

3. Изучение нового материала.

На предыдущем уроке мы познакомились с такой
статистической характеристикой как среднее
арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим
урок еще одной статистической характеристике –
медиане.

Не только среднее арифметическое показывает,
где на числовой прямой располагаются числа
какого-либо набора и где их центр. Другим
показателем является медиана.

Медианой набора чисел называется такое число,
которое разделяет набор на две равные по
численности части. Вместо “медиана” можно было
бы сказать “середина”.

Сначала на примерах разберем, как найти
медиану, а затем дадим строгое определение.

 Рассмотрим следующий устный пример с
применением проектора (Приложение
2)

В конце учебного года 11 учеников 7-го класса
сдали норматив по бегу на 100 метров. Были
зафиксированы следующие результаты:

После того как ребята пробежали дистанцию, к
преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у
него результат.

“Самый средний результат: 16,9 секунды”, –
ответил учитель

“Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее
арифметическое всех результатов – примерно 18,3
секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И
вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к
среднему, чем мой”.

“Твой результат средний, так как пять человек
пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты
как раз посередине”, – сказал учитель. [ 2 ]

Далее предложить учащимся самостоятельно
рассмотреть по учебнику примеры 1,2,3 и
сформулировать алгоритм нахождения медианы
набора чисел.

 Записать алгоритм нахождения медианы
набора чисел:

1. Упорядочить числовой набор (составить
   ранжированный ряд).
2. Одновременно зачеркиваем “самое большое” и
   “самое маленькое” числа данного набора чисел до
   тех пор пока не останется одно число или два
   числа.
3. Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
4. Если осталось два числа, то медианой будет
   среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Предложить учащимся самостоятельно
сформулировать определение медианы набора
чисел, затем прочитать в учебнике два
определения медианы ( стр. 50), далее разобрать
примеры 4 и 5 учебника (стр.50-52)

Замечание:

Обратить внимание учащихся на важное
обстоятельство: медиана практически не
чувствительна к значительным отклонениям
отдельных крайних значений наборов чисел. В
статистике это свойство называется
устойчивостью. Устойчивость статистического
показателя – очень важное свойство, оно страхует
нас от случайных ошибок и отдельных
недостоверных данных.

4. Закрепление изученного материала.

Решение номеров из учебника к п.11 “Медиана”.

№ 1(а)

Набор чисел: 1,3,5,7,9

=( 1+3+5+7+9):5=25:5=5

Ме = 5

= Ме

№1(б)

Набор чисел: 1,3,5,7,14.

=( 1+3+5+7+14):5=30:5=6

Ме = 5

> Ме

№5

а) Набор чисел: 3,4,11,17,21

Ме=11

б) Набор чисел: 17,18,19,25,28

Ме=19

в) Набор чисел:25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Ме = 28

Вывод : медиана набора чисел, состоящего из
нечетного числа членов равна числу, стоящему
посередине.

№ 6

а) Набор чисел:2, 4, 8, 9.

Ме = (4+8):2=12:2=6

б) Набор чисел:1,3,5,7,8,9.

Ме = (5+7):2=12:2=6

Медиана набора чисел, содержащего четное число
членов равна полусумме двух чисел, стоящих
посередине.

Задача 1.

Ученик получил в течении четверти следующие
оценки по алгебре:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Найдите средний балл и медиану этого набора. [ 3 ]

1. Найдем средний балл, то есть среднее
   арифметическое:

= ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 =
4,4

2. Найдем медиану этого набора чисел:

Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять
два средних числа и найти их полусумму.

Ме = (5+5):2 = 5

Вопрос к учащимся: Если бы вы были учителем,
какую бы вы поставили оценку за четверть этому
ученику? Ответ обоснуйте.

Задача 2.

Президент компании получает зарплату 300000 руб.
три его заместителя получают по 150000 руб., сорок
служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы
составляет 10000 руб. Найдите среднее
арифметическое и медиану зарплат в компании.
Какую из этих характеристик выгоднее
использовать президенту в рекламных целях?

= (
300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (руб.)

Ме = 50000 руб.

В рекламных целях выгоднее использовать
среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше.

Задача 3. (Предложить учащимся решить
самостоятельно, задачу спроецировать с помощью
проектора)

В таблице показан примерный объем воды
крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. (Приложение 3) [ 4 ]

А) Найдите средний объем воды в данных водоемах
(среднее арифметическое);

Б) Найдите объем воды в среднем по величине
водоеме (медиану данных);

В) По вашему мнению, какая из этих характеристик
– среднее арифметическое или медиана – лучше
описывает объем типичного крупного водоема
России? Ответ объясните.

Ответ :

а) 2459 куб. км

б) 60 куб. км

в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно
отличающиеся от всех прочих.

Задача 4. Устно.

А) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит ее девятый член?

Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой
служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?

В) В наборе из семи чисел наибольшее число
увеличили на 14. Изменится ли при этом и как
среднее арифметическое и медиана ?

Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что
произойдет со средним арифметическим и медианой?

Задача 5.

Конфеты в магазине продают на вес. Чтобы узнать,
сколько конфет содержится в одном килограмме,
Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила
несколько конфет и получила следующие
результаты:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Решение.

= 13,33

Ме = 13

Для оценки веса одной конфеты пригодны обе
характеристики, т.к. они не сильно отличаются
друг от друга.

Итак, для характеристики статистической
информации используют среднее арифметическое и
медиану. Во многих случаях какая-то из
характеристик может не иметь никакого
содержательного смысла( например, имея сведения
о времени дорожно-транспортных происшествий,
вряд ли имеет смысл говорить о среднем
арифметическом этих данных).

1. Домашнее задание :пункт 11, № 3,4,9,11.
2. Итоги урока. Рефлексия.

Литература:

1. Ю.Н. Тюрин и др. “Теория вероятностей и
   статистика”, Издательство МЦНМО, ОАО
   “Московские учебники”, Москва 2008.
2. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев “Основы статистики и
   вероятность”, ДРОФА, Москва 2004.
3. Газета “Математика” №23, 2007 год.
4. Демоверсия контрольной работы по теории
   вероятностей и статистике для 7 класса, 2007/2008 уч.
   год.

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Краткая теория

---

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

 или плотность вероятности

 достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

 называют число

, такое, что

.

То есть вероятность того, что
случайная величина

 примет
значение, меньшее медианы

 или больше ее,
одна и та же и равна

.

Для дискретной случайной величины

 это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

 и

 такими, что

.

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

  функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

.

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

 (или

 – квантилем)
называется такое значение

 случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

 и

 получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

).

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

 точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

.

Смежные темы решебника:

• Структурные средние в статистике – мода, медиана, квантиль, дециль
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

 и 40%-ну точку случайной величины

 c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

 найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

 из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

.

---

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

 случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

 в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

 найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

.

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Оглавление страницы:

Статистика. Числовые характеристики ряда чисел

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Пример:

• Вычислить среднее арифметическое данных чисел:  6, 10, 16, 20.

Среднее арифметрическое: ( 6 + 10 + 16 + 20 ) 4 = 52 4 = 13

Медиана ряда чисел – это число, стоящее посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду нечётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  12, 2, 11, 3, 7, 10, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):  2, 3, 3,  7 , 10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число 7.

Медиана ряда чисел – это полусумма двух стоящих посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду чётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):   2, 3,  7 , 10 , 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: 7 и 10.

Их полусумма равна: 7 + 10 2 = 17 2 = 8,5

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Пример:

• Найти размах ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Наибольшее значение ряда: 16. Наименьшее значение ряда: 1.

Размах:  16 − 1 = 15

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Примеры:

1. Найти моду ряда: 1,  5,  6,  3 , 10,  32,  4,  3

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: 3.

Данный ряд имеет моду: 3.

1. Найти моду ряда: 5, 2, 3, 4, 1, 0, 8

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

1. Найти моду ряда: 9 , 1 , 4 , 10 , 17 , 1 , 33 , 6 , 9 , 8 , 5 , 5

Числа 1, 5, 9  встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: 1, 5, 9.

Вероятности

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Примеры:

1. Какова частота события «выпал орёл», если в серии опытов из 20 бросков монеты решка выпала 8 раз?

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20 − 8 = 12 раз.

Частота: 12 20 = 6 10 = 0,6

1. Какова частота события «выпало чётное число очков» в серии опытов из восьми бросков кубика, если результаты представлены в виде числового ряда: 3, 2, 3, 5, 1, 1, 6, 4

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: 3 8 = 0,375

Каждое случайное событие делится на несколько элементарных исходов.  Они делятся на благоприятные исходы и неблагоприятные исходы.

Например, для события «выпало четное число очков» при броске кубика:

• Благоприятные исходы:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

• Неблагоприятные исходы:

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

Все возможные исходы = благоприятные исходы + неблагоприятные исходы.

Вероятность случайного события P ( A ) – это отношение благоприятных исходов m к общему числу исходов n. P ( A ) = m n

Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1. 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

Примеры:

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: m = 0 , так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать кролика», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 0 3 = 0

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: n = 3 , так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 3 = 1

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: m = 3 , так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: n = 3 + 9 = 12 , так как всего в шляпе 12 объектов, которые можно достать.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P ( A ) = m n = 3 12 = 0,25

Событие A ¯ называется противоположным событию A, если событие A ¯ происходит тогда, когда событие A не происходит (то есть вместо события A происходит событие A ¯ ).

Примеры противоположных событий:

1. A : «купить молоко», A ¯ : «не купить молоко»

1. A : «прибор исправен», A ¯ : «прибор неисправен»

1. A : «выпал орёл», A ¯ : «выпала решка»

1. A : «на игральной кости выпало нечетное число», A ¯ : «на игральной кости выпало чётное число»

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P ( A ¯ ) = 1 − P ( A )

Примеры:

1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,28. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Пусть событие A: «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: A ¯ : «ручка пишет хорошо»

P ( A ) = 0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,28 = 0,72

1. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Пусть событие A: «фонарик неисправен»

Противоположное событие A ¯ : «фонарик исправен»

P ( A ) = 8 100 = 0,08

P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,08 = 0,92

Ответ: 0,92

Теоремы о вероятностных событиях

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

Примеры несовместных событий:

• Выпадение 1, выпадение 5, выпадение 6 при бросании кости

За один бросок может выпасть либо 1, либо 5, либо 6. Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

• Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

Примеры:

1. Паша на экзамене вытягивает билет. Все билеты относятся к одной из трех тем: «углы», «треугольники», «четырехугольники». Вероятность того, что Паше попадется билет по теме «треугольники» равна 0,22, вероятность того, что ему попадется билет по теме «четырехугольники» равна 0,31, вероятность того, что ему попадется билет по теме «углы» равна 0,47. Паша знает тему «углы» и тему «треугольники», но «четырехугольники» вызывают у него затруднения. Найдите вероятность того, что ему попадется билет по теме «треугольники» или по теме «углы».

Решение:

Событие A = «вытащить билет по теме углы» и событие B = «вытащить билет по теме треугольники» – несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

P ( A + B ) = 0,47 + 0,22 = 0,69

Ответ: 0,69

1. Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна 0,001, вероятность выиграть денежный приз 0,013, вероятность выиграть сувенир 0,04. Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Событие A = «выиграть машину», событие B = «выиграть денежный приз» и событие C = «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C )

P ( A + B + C ) = 0,001 + 0,013 + 0,04 = 0,054

Ответ: 0,054

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случает события называются зависимыми.

Примеры независимых событий:

• Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна 1 6 , при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна 1 6 . Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью 1 6 , вне зависимости от того, что выпадало до этого.

• Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при втором броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при третьем броске вероятность выпадения орла равна 0,5. Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью 0,5, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Примеры зависимых событий:

• В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар – два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна 3 5 (всего шаров 5, синих 3). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна 2 4 = 1 2 (всего шаров 4, синих 2). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

Примеры:

1. В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Событие A: «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие B: «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P ( A ) = 1 2    (всего шаров два, красных – один).

P ( B ) = 4 5    (всего шаров пять, красных четыре).

P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ B ) = 1 2 ⋅ 4 5 = 0,4

Ответ: 0,4

1. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

Событие A: «попадание», событие B: «промах». По условию P ( A ) = 0,9. Найдём вероятность промаха, она равна

P ( B ) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,9 = 0,1

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( B )

P ( A ⋅ A ⋅ B ) = 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,081

Ответ: 0,081

Симметричная монета в теории вероятности

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 1 2 = 0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 1 4 = 0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 1 8 = 0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 1 16 = 0,0625

Примеры:

1. Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

P = 3 8 = 0,375

Ответ: 0,375

1. Cимметричную монету бросают четыре раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы два раза.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы – те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

P = 11 16 = 0,6875

Ответ: 0,6875

Симметричная игральная кость в теории вероятности

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна 1 6 .

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Примеры:

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет равна 7?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятных вариантов – когда сумма очков будет равна семи – всего 6.

P = 6 36 = 1 6

Ответ: 1 6

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет меньше десяти?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятные варианты – когда сумма очков будет равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, или 9. Таких ячеек в таблице 30.

P = 30 36 = 5 6

Ответ: 5 6

Медиана (x̃, M; Мера центральной тенденции) – это центральное значение Выборки (Sample).

В математике медиана также представляет собой тип Среднего значения (Average), который используется для нахождения “центра”. Поэтому ее еще называют мерой центральной тенденции.

Нечетное количество элементов ряда

Если в ряду нечетное количество элементов, то мы сортируем значения в возрастающем или убывающем порядке, а затем выбираем центральное.

Пример. Найдем медиану следующего ряда:

4, 17, 77, 25, 22, 23, 92, 82, 40, 24, 14, 12, 67, 23, 29

Расставив эти числа по порядку, мы получим:

4, 12, 14, 17, 22, 23, 23, 24, 25, 29, 40, 67, 77, 82, 92

Всего пятнадцать элементов, то есть 8-й будет центральным. Медианное значение этого набора чисел – 24.

Четное количество элементов ряда

Если в ряду четное количество элементов, медиана рассчитывается с помощью формулы:

$$M = frac{n + 1}{2}, где$$
$$Mspace{–}space{медиана,}$$
$$nspace{–}space{количество}space{элементов}space{в}space{выборке}$$

Пример. Найдем медиану следующего ряда:

1.79, 1.61, 2.09, 1.84, 1.96, 2.11

Выполнив подстановку, мы получим:

$$M = frac{6 + 1}{2} = 3.5$$

Центральная тенденция

Помимо медианы, выделяют еще две другие меры центральной тенденции – Среднее значение (Mean) и Мода (Mode). Среднее – это частное от суммы всех Наблюдений (Observation) к их количеству. Мода – это наиболее часто повторяющееся значение выборки.

В Науке о данных (Data Science) медиана иногда используется вместо среднего значения, когда в последовательности есть выбросы, которые могут исказить среднее. Выбросы меньше влияют на медианное значение, чем на среднее. Медиана отделяет верхнюю половину выборки, генеральной совокупности или Распределения вероятностей (Probability Distribution) от нижней.

Медиана и NumPy

Медиану можно вычислить с помощью NumPy. Для начала импортируем все необходимые библиотеки:

import numpy as np

Создадим массив из 6 элементов и вызовем встроенный метод median():

a = [10, 7, 4, 3, 2, 1]
np.median(a)

NumPy определяет четность числа элементов массива (6) и применяет тот или иной метод расчета (согласно формуле):

3.5

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Фото: @garciasaldana_