Как найти меньшую дугу между касательными

К окружности проведены касательные найти меньшую дугу

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°.

Приведем другое решение.

Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° – ∠САО – ∠АСО = 180° – 90° – 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° – ∠МКN) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ – ВС = 16 – 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у – R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2 = (180° – 168°) : 2 = 6°

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания

Ваш ответ

решение вопроса

Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 3)

(blacktriangleright) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

(blacktriangleright) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; [alpha = dfrac{1}{2}buildrelsmileover{AB}]

(blacktriangleright) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; [alpha =
dfrac{1}{2}left(buildrelsmileover{AB}-buildrelsmileover{CD}right)]

(blacktriangleright) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; [alpha =
dfrac{1}{2}left(buildrelsmileover{AB}+buildrelsmileover{CD}right)]

(blacktriangleright) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;

(blacktriangleright) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;

(blacktriangleright) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен (90^circ);

(blacktriangleright) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.

Задание
15

#3535

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол (ACO) равен (24^circ). Его сторона (CA) касается окружности с центром в точке (O). Найдите градусную меру дуги (AD), заключенной внутри этого угла, где (B) и (D) – точки пересечения секущей (CO) с окружностью. Ответ дайте в градусах.

Найдем градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой (AB). Она равна центральному углу (AOB), на нее опирающемуся. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то (angle
OAC=90^circ). Следовательно, из (triangle OAC): (angle
AOC=90^circ-24^circ=66^circ). Тогда (angle AOD=180^circ-angle
AOC=114^circ). Дуга (AD), заключенная внутри угла (ACD), равна центральному углу (AOD) и равна (114^circ).

Ответ: 114

Задание
16

#3534

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Через концы (A) и (B) дуги окружности в (62^circ) проведены касательные (AC) и (BC). Найдите угол (ACB). Ответ дайте в градусах.

Так как угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle
ABC=angle BAC=0,5cdot 62^circ=31^circ). Следовательно, из (triangle ABC): (angle ACB=180^circ-2cdot 31^circ=118^circ).

Ответ: 118

Задание
17

#3533

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол между хордой (AB) и касательной (BC) к окружности равен (32^circ). Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой (AB). Ответ дайте в градусах.

1 способ

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга (buildrelsmileover{AB}) равна (2cdot 32^circ=64^circ).

2 способ

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то (angle OBC=90^circ). Следовательно, (angle
OBA=90^circ-32^circ=58^circ). Так как (OB=OA) – радиусы, то (triangle OBA) равнобедренный, следовательно, (angle AOB=180^circ
-2cdot 58^circ=64^circ). Так как дуга равна центральному углу, опирающемуся на нее, то меньшая дуга (buildrelsmileover{AB}) равна (angle AOB) и равна (64^circ).

Ответ: 64

Задание
18

#3532

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорда (AB) стягивает дугу окружности в (92^circ). Найдите угол (ABC) между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку (B). Ответ дайте в градусах.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle
ABC=0,5cdot 92^circ=46^circ).

Ответ: 46

Задание
19

#2168

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки (A) на окружности проведены две прямые, пересекающие повторно окружность в точках (B) и (C), причем оказалось, что (AC) – диаметр, равный (10). Найдите длину отрезка (AB), если угол между этими прямыми равен (60^circ).

Рассмотрим картинку:

Рассмотрим (triangle ABC): он прямоугольный ((angle B=90^circ), т.к. опирается на диаметр), следовательно, (angle C=90^circ-angle
A=30^circ). Катет (AB), лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы (AC), то есть равен (5).

Ответ: 5

Задание
20

#2167

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки (A) вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен (11^circ). Первая секущая пересекла окружность в точках (K_1) и (L_1), вторая — в точках (K_2) и (L_2), причем (K_1L_1=K_2L_2) и дуга (buildrelsmileover{K_1L_1}), меньшая полуокружности, равна (95^circ).

Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

[angle A=0,5left(alpha-betaright)=11^circ qquad (1)]

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга (buildrelsmileover{K_2L_2}=95^circ). Вся окружность равна (360^circ), следовательно,

[alpha+beta+2cdot 95^circ=360^circ
quad Rightarrow quad alpha+beta=170^circ qquad (2)]

Решая систему из уравнений ((1)) и ((2)), получим, что (beta=74^circ).

Ответ: 74

Задание
21

#2169

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На рисунке диаметр (AB) пересекает хорду (PT) и делит ее пополам, а также пересекает хорду (KT). Дуга (PB), меньшая полуокружности, равна (75^circ); дуга (AK), меньшая полуокружности, равна (15^circ).

Найдите угол между прямыми (AB) и (KT). Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим картинку:

Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то (ABperp
PT). Следовательно, (triangle PNB=triangle TNB) как прямоугольные по двум катетам ((PN=TN), (NB) – общий). Следовательно, (PB=TB).

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (buildrelsmileover{TB}=buildrelsmileover{PB}=75^circ).

Тогда угол между хордами (AB) и (KT) равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть (0,5left(15^circ+75^circright)=45^circ). Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.

Ответ: 45

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Версия для печати и копирования в MS Word

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 78°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 34°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.