Углы в математике (а также в тригонометрии и физике) высчитываются и измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать и определять связь между этими единицами измерения, и переводить их из одной в другую. Понимание и определение этой связи позволяет оперировать углами и перевести градусы в радианы, а также осуществить перевод из радиан в градусы с помощью специальной тригонометрической формулы – формулы перевода градусов в радианы. В данной статье мы разберемся, зачем все это нужно конвертировать (и что делать с конвертируемым), выведем формулу для перевода градусов в радианы и обратно – из радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики по конвертации.
Связь между градусами и радианами
Что такое радиан? Радиан вместе с градусом является выражением угловой меры: это величина, которая используется для измерения плоских углов. Поэтому, когда говорят о таблице градусов и радиан, то имеют в виду таблицу, в которой представлены соответствия угловых градусов радианам (что позволяет вам не находить и не считать самостоятельно на калькуляторе, к примеру).
Как перевести радианы в градусы — есть формула? Для нахождения связи между градусами и радианами, необходимо узнать, сколько будет градусная и ридианная (радиальная) мера какого-либо угла (и для этого нам не нужно пользоваться каким-либо переводчиком онлайн). Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла, необходимо рассчитать определенные данные: длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π·r. Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π·rr=π рад.
Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180°. Следовательно, 180°=π рад.
Связь между радианами и градусами выражается следующей полной формулой
π радиан =180°
Формулы перевода из градусов в радианы и наоборот
Как перевести градусы в радианы не более, чем за минуту? Что делать с координатами в градусах, если нужны в радианах? Из содержания формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и обратно из градусов в радианы (взаимно преобразовывать и пересчитывать).
Как онлайн найти градусную меру угла и сделать пересчет? Выразим 1 радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.
1 рад=180π° – град. мера угла в 1 радиан равна 180π.
Также можно выразить один градус в радианах. Чему равен 1 радиан и во что он будет переходить? Вот простой расчет.
1°=π180рад
Можно произвести приблизительные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.
1 рад=180π°=1803,1416°=57,2956°
Значит, в одном радиане примерно 57 градусов
1°=π180рад=3,1416180рад=0,0175 рад
Один градус содержит 0,0175 радиана.
По какой формуле перевести радианы в градусы?
x рад=х·180π°
Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.
Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы
Рассмотрим пример, как перевести градусы в радианы по формуле.
Конечно, в интернете это все может считаться за секунду, но у самостоятельного подсчета другие преимущества.
Пусть α=3,2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.
Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:
3,2 рад=3,2·180π°≈3,2·1803,14°≈5763,14°≈183,4°
Аналогично можно получить формулу перевода в радианы из градусов.
y°=y·π180рад
Переведем 47 градусов в радианы.
Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.
47°≈47·3,14180≈0,82 рад
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Угол может измеряться следующими величинами:
- Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
- Радианами.
Градусная мера угла
Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.
Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.
Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.
Радианная мера угла
Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.
Длина окружности равна:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,
где rr — радиус этой окружности.
Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:
lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}
В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.
Отсюда находим связь между радианами и градусами:
2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}
Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.
Один радиан равен:
1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}
Один радиан в минутах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′
Один радиан в секундах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280”
Перевод градусов в радианы
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.
y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x
xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.
Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.
Решение
45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}
Ответ
0.8 радиан0.8text{ радиан}
Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?
Решение
Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:
180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ
Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:
60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}
Решение
1 радиан1text{ радиан}
Перевод радиан в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.
y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x
xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.
Переведите 3 радиана в градусную меру угла.
Решение
3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ
Ответ
172∘172^circ
Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»
Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос необходимо выяснить соотношение между градусами и радианами.
Мы чаще сталкивается с тем, что в геометрии углы измеряются градусами. Но есть еще и радианная мера угла.
Чтобы понять, что это такое, возьмем развернутый угол ( 180 градусов ), стороны которого одновременно являются диаметром окружности. Для вычисления радианной меры данного угла нужно длину окружности между сторонами угла разделить на длину радиуса:
(π х r)/r = π ( радиан ), а в градусах этот угол составляет 180.
π радиан = 180 градусов, отсюда 1 градус = π/180 радиан.
Чтобы перевести градусную меру угла в радианную необходимо заданное количество градусов умножить на π и разделить на 180.
Если провести вычисления, то мы узнаем, что 1 градус = 0,0175 радиана. Теперь можно действовать еще проще: заданное количество градусов умножить на 0,0175.
********************************************************
Рассмотрим пример:
Найдем радианную меру угла 30 градусов.
Для этого 30 х 0,0175 = 0,525 (радиана).
Радианная мера угла 30 градусов составляет 0,525 радиана.
Материалы урока
Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что градусом называют величину центрального угла, которому соответствует 
часть окружности. Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.
А углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.
Давайте изобразим окружность с центром в точке 
и радиусом 
. Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке 
. Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.
Отметим на прямой несколько точек: и 
, 
и 
, 
и 
, 
и 
, 
и 
.
Теперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами , , , перейдут соответственно в точки окружности 
, 
, 
, . При этом длина дуги 
равна , длина дуги 
равна , длина дуги 
равна , длина дуги 
равна .
Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
Так, точке прямой с координатой ставится в соответствие точка . А значит, угол 
можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол 
следует считать равным , а угол 
равным .
А где используют такой способ измерения углов? Такой способ измерения углов широко используется в математике и физике. Говорят, что углы измеряются в радианной мере.
Единичный угол называют углом в один радиан. Записывают так: рад.
И напомним, что длина дуги равна радиусу нашей окружности.
Сейчас давайте рассмотрим окружность радиуса 
. И отметим на ней дугу 
, равную длине радиуса окружности, и угол 
.
И такой угол называется углом в один радиан? Верно.
Запомните! Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
Интересно, а скольким градусам равен угол в один радиан? Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной 
, то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный 
. Следовательно, дуге окружности длиной соответствует угол в раз меньший.
Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что 
рад 
. 
, тогда 
рад 
.
Если угол содержит 
рад, то 
рад 
. Эту формулу называют формулой перехода от радианной меры к градусной.
Давайте с вами найдём градусную меру угла, равного 
рад. Для этого воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим вместо 
: 
. Сократим на и на 
. И в результате получим 
.
Можно ли, наоборот, перейти от градусной меры к радианной? Конечно, можно, но такой переход будет чуть сложнее. Так как угол в равен рад, то 
рад. Тогда 
рад. Такую формулу называют формулой перехода от градусной меры к радианной.
Найдём радианную меру угла, равного 
. Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим вместо : 
. Сократим 
и 
на 
. И в результате получим 
.
Обратите внимание, что при обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут: 
. При этом обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.
В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.
Отметим, что радианная мера углов позволяет значительно упростить многие формулы в математике, физике, механике. В частности, радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу , а значит, угол в рад стягивает дугу длиной: 
. Если 
, то эта формула принимает совсем простой вид: 
, то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.
Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем, что площадь кругового сектора радиуса , образованного углом в рад, равна 
, где 
.
Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле: 
. Площадь полукруга, то есть кругового сектора в рад: 
. Тогда площадь сектора в рад в раз меньше, то есть 
. Следовательно, площадь сектора в рад равна 
.
Ну а сейчас давайте выполним несколько заданий.
Первое задание. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Решение.
Второе задание. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение.
Следующее задание. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной 
см соответствует центральный угол в 
рад?
Решение.
И ещё одно задание. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный 
рад. Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен см?
Решение.
Ну а сейчас немного истории.
Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.
В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).
Перевод градусов в радианы и обратно
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Перевод градусов в радианы и обратно
Чтобы перевести градусы в радианы и обратно, воспользуйтесь нашим удобным онлайн конвертером:
Перевод градусов в радианы
°
Округление ответа: Округление числа π:
Просто введите значение угла в градусах и получите результат в радианах с подробным решением.
Перевод радиан в градусы
Числовое значение:
рад.
=
0
°
Значение с π:
⋅π рад. =
180
°
Округление ответа: Округление числа π:
Просто введите значение угла в радианах и получите результат в градусах с подробным решением.
Теория
Градусы в радианы
Чтобы перевести градусы в радианы, нужно воспользоваться следующий формулой:
Формула
рад. = гр. ⋅ π180
Пример
К примеру, переведём 45° в радианы:
45°=45 ⋅ 3.14180=0.785 рад.
45°=45 ⋅ π180=45 : 45 ⋅ π180 : 45=π4 рад.
Радианы в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно воспользоваться следующий формулой:
Формула
гр. = рад. ⋅ 180π
Пример №1
К примеру, переведём 0.785 рад. в градусы:
0.785 рад.=0.785 ⋅ 1803.14=45°
Пример №2
К примеру, переведём π4 рад. в градусы:
π4 рад.=π4 ⋅ 180π=1804=45°
