Как найти место и время встречи двух тел двумя способами: графическим и аналитическим?
Анонимный вопрос
22 декабря 2018 · 16,9 K
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас активно… · 11 февр 2019
Графически – начертить график, опираясь на параметры двух тел, это может быть график, где ось t будет показывать время, а ось m – расстояние, которое за определенное время каждое из тел преодолевает, наглядно увидеть можно на графике
Пересечение графиков и есть место встречи тел. Аналитически же все это можно рассчитать , используя формулы пройденного пути.
19,6 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Если движение одного тела описано уравнением Х1 = Хо1 + V1 t
а второго Х2 = Хо2 + V2 t
и по условию эти тела встретились, то их координаты совпали т.е. Х1 = Х2
Значит: Хо1 + V1 t = Хо2 + V2 t ,
решив это уравнение относительно t найдём время встречи тел. Подставив значение времени в уравнение для координаты Х1 = Хо1 + V1 t или Х2 = Хо2 + V2 t
найдём место встречи… Читать далее
15,2 K
А как решить уравнение которое вы написали вначале?
Комментировать ответ…Комментировать…
Физическую задачу в кинематике можно решить несколькими способами:
- аналитический — решение задачи основано на формулах (физических законах), которые связывают искомую величину и данные в условии задачи;
- графический — решение задачи осуществляется с помощью графика.
Основные закономерности графического способа решения задач по кинематике
1.1. График зависимости модуля скорости (v(t)) равномерного движения от времени — прямая линия, параллельная оси (OX) (рис. (1)).
Рис. (1). График модуля скорости равномерного движения
Если изображается зависимость проекции скорости от времени (v_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:
а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);
б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).
1.2. Модуль перемещения (или пройденный путь при одномерном прямолинейном движении) на графике (v(t)) в момент времени (t_1) будет равен площади фигуры (прямоугольника) под графиком модуля скорости (рис. (2)).
Рис. (2). Определение модуля перемещения по графику скорости
2.1. График модуля перемещения (s(t)) для равномерного движения (рис. (3)) — прямая под углом ({alpha}) к оси времени:
Рис. (3). График модуля перемещения
Если изображается зависимость проекции перемещения от времени (s_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:
а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);
б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).
2.2. Модуль скорости равномерного движения на графике модуля перемещения (s(t)) равен тангенсу угла (tgalpha) наклона прямой на графике (рис. (4)).
Рис. (4). Определение модуля скорости по графику модуля перемещения
Решение задачи аналитическим и графическим способами
Два катера, между которыми расстояние (30) м, равномерно движутся навстречу друг другу со значениями модулей скоростей υ1 (=) (2) м/с и υ2 (=) (4) м/c. Определи время встречи катеров. Какой путь успеет пройти первый катер до встречи?
Дано:
начальная координата первого катера —
x01
(=) (0) м, а второго —
x02
(=) (30) м.
Вектор скорости первого катера (vec{v_1}) сонаправлен оси (OX), его проекция будет положительна ({v_1}_x > 0), а вектор скорости второго катера (vec{v_2}) направлен противоположно оси (OX), поэтому его проекция будет отрицательна: ({v_2}_x < 0) (рис. (5)).
Рис. (5). Задача
Аналитический способ решения
1. Запишем уравнения движения тел, исходя из формулы (x(t) = x_0 + v_x(t – t_0)).
2. В момент встречи (t_{встр}) тела будут иметь одинаковую координату (x_1 = x_2):
— расчёт времени встречи катеров.
3. Для ответа на второй вопрос воспользуемся следующей формулой:
— расчёт пути, пройденного первым катером до момента встречи (t_{встр}).
Графический способ решения
1. Запишем для первого катера уравнение движения:
x1=0+2t=2t
.
2. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения первого катера.
| (x), м | (0) | (2) | (4) |
| (t), с | (0) | (1) | (2) |
3. Запишем для второго катера уравнение движения:
x2=30−4t
.
4. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения второго катера.
| (x), м | (30) | (26) | (22) |
| (t), с | (0) | (1) | (2) |
5. Построим графики движений двух катеров.
Рис. (6). График движения катеров
6. Находим по графику (рис. (6)):
а) время встречи (точка пересечения)
tвстр
(=) (5) c;
б) путь, пройденный первым катером, равен изменению координаты (L) (=) (x(t_{встр})) —
x01
(=) (10) м.
Ответ: (5) с; (10) м.
Источники:
Рис. 1. График модуля скорости равномерного движения. © ЯКласс.
Рис. 2. Определение модуля перемещения по графику скорости. © ЯКласс.
Рис. 3. График модуля перемещения. © ЯКласс.
Рис. 4. Определение модуля скорости по графику модуля перемещения. © ЯКласс.
Рис. 5. Задача. © ЯКласс.
Рис. 6. График движения катеров. © ЯКласс.
Как найти место встречи двух тел, если дано начальное расстояние между ними и их скорости?
Знаток
(384),
закрыт
12 лет назад
Styx
Гений
(83658)
12 лет назад
в физике такие задачи решают так начало отсчета-это самое главное !!!выбираете в начальном положении 1 машины
1) записываете ур движения 1 машины x1=100t
2) записываете координату второй машины- x2= 100-80(t-1/4)
3)в момент встречи у них x1=x2 решаете уравнение находите t? подставляете в любое x находите координату
графически строите графики x1(t) x2(t)/ в математике это y=kx +b- вся беда в ом, что математика у вас отдельно, а мухи отдельно!! ! время, при котором графики пересекаются и есть время встречи!! ! ВСЕ!!
2.2.1 Как перевести из км/ч в м/с и т. д?
В задачах часто необходимо переводить из одних единиц измерения в другие:
1 км/ч = (1000 м)/(3600 с) = 5/18 м/с,
1 м/с = 18/5 км/ч,
1 км/с = 1000 м/с,
1 см/с = 0,01 м/с,
1 м/мин = 1/60 м/с.
Например, если 
то для того, чтобы перевести в м/с, нужно умножить на 5/18:
2.2.2 Как найти скорость тела, если известен закон движения?
Закон равномерного движения имеет вид:
Видим, что в этой формуле скорость стоит коэффициентом перед временем. Поэтому, если в условии задачи дан закон движения, необходимо посмотреть на коэффициент перед t — это и есть скорость.
Например, пусть закон движения имеет вид: 
В данном случае коэффициент перед t равен 5, следовательно, 
2.2.3 Как определить скорость по графику координаты от времени?
Закон равномерного движения имеет вид:
Графиком этого закона является прямая линия. Так как 
— коэффициент перед t, то является угловым коэффициентом прямой.
Для графика 1:
То, что график 1 «поднимается вверх», означает — тело едет в положительном направлении оси Ox.
Для графика 2:
То, что график 2 «опускается вниз», означает — тело едет в отрицательном направлении оси Ox.
Для определения 
и 
выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.
2.2.4 Как найти закон движения, если известны координаты тела в моменты времени 
и 
?
Пусть в момент времени тело находилось в точке с координатой 
а в момент времени тело находилось в точке с координатой 
Для времени имеем:
Для времени имеем:
Решая систему уравнений (2.19) и (2.20), получим
2.2.5 Как найти графически момент и координату встречи двух тел?
Пусть даны законы движения двух тел: 
и 
Согласно пункту 2.5 графиками обоих законов являются прямые линии. Необходимо на одном графике построить оба закона.
Графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются временем и местом встречи.
2.2.6 Как аналитически найти координату и время встречи двух тел?
Пусть даны законы движения двух тел: и 
В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть 
и необходимо решить уравнение:
Решение уравнения имеет вид:
Для нахождения координаты достаточно подставить вместо t найденное значение 
в любой из законов движения:
или
2.2.7 Как найти среднюю скорость, если тело половину пути проехало со скоростью 
а вторую половину пути 
По определению (2.8):
В нашем случае, так как на каждой половине пути тело едет с постоянной скоростью, то
Получаем
В общем случае, если весь путь разбить на n равных участков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то
Формула справедлива только если весь путь разбит на равные участки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.
2.2.8 Как найти среднюю скорость, если тело половину времени проехало со скоростью а вторую половину времени
По определению (2.8):
В нашем случае, так как каждую половину времени тело едет с постоянной скоростью, то
Получаем
В общем случае, если все время разбито на n равных промежутков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то
Формула справедлива только если все время разбито на равные промежутки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.
2.2.9 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка по течению реки?
Согласно формуле 
скорость тела относительно неподвижной системы отсчета 
(в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета 
(в нашем случае — собственная скорость лодки).
При движении по течению вектора 
и 
направлены в одну сторону, следовательно, получаем сложение двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу (1.15):
Таким образом, при движении любого тела по течению его скорость определяется формулой
2.2.10 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка против течения реки?
Согласно формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли) равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
Перепишем формулу в виде:
Вектора и 
направлены в одну сторону, следовательно, получаем вычитание двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу 
:
2.2.11 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена перпендикулярно течению реки?
Согласно формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
В данном случае вектора и 
направлены перпендикулярно, следовательно, получаем задачу о сложении взаимно перпендикулярных векторов — используем формулу 
:
2.2.12 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена перпендикулярно скорости реки?
В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна и направлена по прямой OD. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке D, и его снесет на длину 
Треугольник OAB подобен треугольнику OCD:
2.2.13 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена под углом φ к скорости течения реки?
Согласно формуле скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна и направлена по прямой OB. Как видим, получили треугольник, в котором известен один из углов —
Тогда по теореме косинусов:
2.2.14 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена под углом 
к скорости течения реки?
В результате сложения скоростей по формуле скорость тела относительно земли равна и направлена по прямой OB. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке В, и его снесет на длину 
В задачах, когда движение происходит в плоскости, то есть и вдоль оси Ox, и вдоль оси Oy, необходимо введение системы координат для того, чтобы упростить рассмотрение задачи.
Проекция 
Проекция 
Формулы 
и 
не просто результат математической операции нахождения проекции, и 
имеют физический смысл: со скоростью тело плывет вдоль оси Ox, то есть по течению; со скоростью тело переплывает реку. Например, время, за которое тело переплывет реку, можно найти просто поделив ширину реки на
Тогда
2.2.15 Под каким углом α нужно направить собственную скорость лодки, чтобы за минимальное время переплыть реку?
Согласно формуле скорость, с которой лодка переплывает реку, равна:
Очевидно, что время будет минимальным, если будет максимальным, то есть 
2.2.16 С какой скоростью машина обгоняет вторую машину, если они движутся в одну сторону?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью 
а 2-ая машина также движется вправо со скоростью 
Скорость обгона — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой :
Так как 
и 
направлены в одну сторону, то получили задачу о вычитании векторов, направленных в одну сторону — формула :
Заметим, что при обгоне, естественно 
поэтому 
2.2.17 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в одном направлении?
Пусть длина 1-го поезда 
а скорость 2-го поезда 
Скорость обгона определяется формулой Тогда
2.2.18 С какой скоростью машина едет навстречу вторую машину, если они движутся в противоположных направлениях?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется влево со скоростью Скорость движения навстречу — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой :
Перепишем эту формулу в виде:
Так как и 
направлены в одну сторону, то получили задачу о вычитании векторов, направленных в одну сторону — формула :
2.2.19 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в противоположных направлениях?
Пусть длина 1-го поезда а скорость 2-го поезда Скорость обгона определяется формулой Тогда
2.2.20 Как найти относительную скорость, если тела движутся по взаимно перпендикулярным направлениям?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется перпендикулярно первой со скоростью Относительная скорость определяется формулой :
Так как вектора и перпендикулярны, то воспользуемся формулой :
Теперь решим задачу из предыдущего параграфа другим способом – аналитическим. Посмотрим на рис. 20 и вспомним, что было сделано за первые три шага решения этой задачи.
Шаг 1. Мы ввели систему отсчета: 1) выбрали началом отсчета дерево, от которого начинал свое движение пешеход; 2) направили координатную ось вдоль дороги в направлении движения пешехода; 3) включили часы (секундомер) в момент начала движения тел.
Шаг 2. Были определены начальные координаты пешехода (xп0 = 0) и велосипедиста (xв0= 20 м).
Шаг 3. Используя введенную систему отсчета, мы определили значения скоростей движения пешехода (vп = 1 м/с) и велосипедиста (vв = -3 м/с).
Таким образом, первые три шага решения задачи не зависят от того, каким способом (графическим или аналитическим) мы собираемся ее решать. Но уже следующий шаг будет отличаться от того, что мы делали при графическом способе решения.
Шаг 4 (аналитический). Запишем в аналитическом виде законы движения тел, учитывая известные данные. Поскольку в задаче движутся два тела (пешеход и велосипедист), то мы получаем два закона движения:
xп = 0 + 1 · t, xв = 20 – 3 · t.
Шаг 5 (аналитический). Представим в виде уравнения условие задачи – встречу велосипедиста и пешехода. Встреча двух тел означает, что положения тел в пространстве совпадут в некоторый момент времени t = tвстр, т. е. в этот момент времени совпадут их координаты. Поэтому условие встречи будет иметь вид:
xп = xв.
Шаг 6 (аналитический). Запишем вместе полученные в шагах 4 и 5 выражения, присвоив каждому из них свои номер и название.
xп = 0 + 1 · t, (1) (закон движения пешехода)
xв = 20 – 3 · t, (2) (закон движения велосипедиста)
xп = xв. (3) (условие встречи пешехода и велосипедиста)
Шаг 7 (аналитический). Решение уравнений.
Для того чтобы найти значение времени t в интересующий нас момент встречи, воспользуемся условием встречи пешехода и велосипедиста – уравнением (3). Оно предполагает равенство координат двух тел. Подставим в него выражения для xп и xв из уравнений (1) и (2):
0 + 1 · t = 20 – 3 · t
Приведем подобные слагаемые и решим уравнение:
(1+3) · t = 20, t = 20/4 = 5 (с).
Таким образом, мы установили, что встреча пешехода и велосипедиста состоится через 5 с после начала движения.
Теперь определим координату точки, в которой состоится встреча. Для этого подставим полученное значение момента встречи tвстр = 5 с в закон движения пешехода – уравнение (1):
xп = 0 + 1 · tвстр = 0 + 1 · 5 = 5 (м).
Это означает, что в момент встречи координата пешехода будет равна xп = 5. Следовательно, встреча произойдет в 5 м от начала отсчета – дерева, от которого начал движение пешеход.
Ясно, что координату места встречи можно было определить, подставив время tвстр = 5 с и в закон движения велосипедиста – уравнение (2):
xв = 20 – 3 · tвстр = 20 – 3 · 5 = 5 (м).
Естественно, мы получили то же самое значение хвстр, так как координаты пешехода и велосипедиста в момент встречи совпадают.
Итоги
При аналитическом способе решения задачи «встреча» момент встречи и координата места встречи определяются из равенства координат в законах движения тел, записанных в аналитическом виде.
Упражнения
1. Определите аналитическим способом время и место встречи пешехода и велосипедиста (начните с шага 3) в выбранной нами ранее системе отсчета, связанной с деревом, если:
а) значение скорости пешехода осталось прежним vп = 1 м/с, а велосипедист едет ему навстречу со скоростью |vв| = 4 м/с;
б) значение скорости пешехода vп = 3 м/с, а велосипедист едет со скоростью, значение которой vв = -7 м/с.
2. Выполните предыдущее упражнение, решая задачу графическим способом.
3. Определите аналитическим способом время и координату встречи пешехода и велосипедиста, которые движутся навстречу друг другу со скоростями |vп| = 2 м/с и |vв| = 8 м/с, если начальное расстояние между ними l = 160 м и они начинают движение одновременно. (Начните решение с шага 1.)
4. Сформулируйте условие и решите задачу о встрече велосипедиста и мотоциклиста, изображенных в момент времени t = 0 на рис. 24.
