Пояснение. Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени. Мгновенная мощность силы тяжести находится через произведение векторов силы тяжести и скорости в рассматриваемой точке траектории.
Учтя зависимость скорости от времени и перейдя к скалярной записи, получили уравнение (1) для нахождения мгновенных значений мощности в разные моменты времени.
При подъёме тела совершается отрицательная работа, а при падении такая же положительная работа.
Так как полная работа силы тяжести за всё время полёта тела равна нулю, то и средняя мощность силы тяжести тоже равна нулю.
К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.
Занятие 19. Работа. Мощность.
Занятие 7 . Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Первая запись на канале: Занятие 1. Физика. Механика. Кинематика.
Предыдущая запись: Задача 3 к занятию 19
Следующая запись: История возникновения основных законов
Перейти к контенту
Условие задачи:
Тело массой 1 кг начинает свободно падать. Определить мощность силы тяжести через 3 с после начала движения.
Задача №2.7.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(m=1) кг, (t=3) с, (N-?)
Решение задачи:
Учитывая, что сила тяжести (mg) составляет со скоростью тела (upsilon) нулевой угол (они сонаправлены), то мгновенную мощность силы тяжести найдем по следующей формуле:
[N = mg cdot upsilon ]
Если тело свободно падало без начальной скорости, то его скорость через время, равное (t), равна:
[upsilon = gt]
Тогда:
[N = mg cdot gt]
[N = m{g^2}t]
Посчитаем ответ:
[N = 1 cdot {10^2} cdot 3 = 300;Вт = 0,3;кВт]
Ответ: 0,3 кВт.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
2.7.16 Определить массу тела, имеющего кинетическую энергию 16 Дж, а импульс
2.7.18 Автомобиль массой 1,5 т едет со стоянки с постоянным ускорением 2 м/с2. Коэффициент
2.7.19 Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч. Мощность двигателя 60 кВт, его КПД 30%
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Содержание:
- Определение и формулы мощности
- Единицы измерения мощности
- Примеры решения задач
Определение и формулы мощности
Определение
Мощностью некоторой силы является скалярная физическая величина, которая характеризует скорость произведения работы данной силой. Мощность часто обозначают буквами: N, P.
$$P=frac{Delta A}{Delta t}(1)$$
В том случае, если за равные малые промежутки времени выполняется разная работа, то мощность является переменной во времени.
Тогда вводят мгновенное значение мощности:
$$P=lim _{Delta t rightarrow 0} frac{delta A}{Delta t}=frac{d A}{d t}$$
где $delta A$ – элементарная работа, которую выполняет сила,
$Delta t$ – отрезок времени в течение, которого данная работа была выполнена.
Если мгновенная мощность не является постоянной величиной, то выражение (1) определяет среднюю мощностьза время
$Delta t$.
Мощность силы можно определить как скалярное произведение силы на скорость, с которой движется точка приложения рассматриваемой силы:
$$P=bar{F} bar{v}=F_{tau} v$$
где $F_{tau}$ – проекция силы
$bar{F}$ на направление вектора скорости (
$bar{v}$).
При поступательном движении некоторого тела, имеющего массу m под воздействием силы
$bar{F}$ мощность можно вычислить, применяя формулу:
$$P=m v dot{v}(4)$$
В общем случае произвольного перемещения твердого тела суммарная мощность есть алгебраическая сумма мощностей всех сил,
которые действуют на тело:
$$P=sum_{i=1}^{k} bar{F}_{i} cdot bar{v}_{i}(5)$$
где $bar{v}_{i}$ – скорость перемещения точки, к которой приложена сила
$bar{F}_{i}$.
В случае поступательного движения твердого тела со скоростью $bar{v}$ мощность можно определить при помощи формулы:
$$P=overline{F v}(6)$$
где $bar{F}$ – главный вектор внешних сил.
Если твердое тело совершает вращение вокруг точки О или вокруг неподвижной оси, которая проходит через точку О, то формулой для счет мощности можно считать выражение:
$$P=bar{M} bar{omega}(7)$$
где $bar{M}$ – главный момент внешних сил по отношению к точке О,
$bar{omega}$ – мгновенная угловая скорость вращения тела.
Единицы измерения мощности
Основной единицей измерения мощности силы в системе СИ является: [P]=вт (ватт)
В СГС: [P]=эрг/с.
1 вт=107 эрг/( с).
Примеры решения задач
Пример
Задание. Какова мощность (P(t)), развиваемая силой, если она действует на тело, которое имеет массу m и
под воздействием приложенной силы движется поступательно. Сила описывается законом:
$F(t)=2 t cdot bar{i}+3 t^{2} bar{j}$
Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу для мощности вида:
$$P=F cdot v(1.1)$$
Из второго закона Ньютона мы имеем:
$$F=m a rightarrow a=frac{F}{m} ; v=int a d t=int frac{F}{m} d t=frac{1}{m} int F d t(1.2)$$
В выражение (2.2) подставим уравнение, заданное в условии задачи для F(t), имеем:
$$v=frac{1}{m} intleft(2 t cdot bar{i}+3 t^{2} bar{j}right) d t=frac{1}{m}left(t^{2} cdot bar{i}+t^{3} bar{j}right)(1.3)$$
Подставим выражение для скорости из (1.3) в (1.1), получим:
$$P=left(2 t cdot bar{i}+3 t^{2} bar{j}right) frac{1}{m}left(t^{2} cdot bar{i}+t^{3} bar{j}right)=frac{1}{m}left(2 t^{3}+3 t^{5}right)$$
Ответ. $P=frac{1}{m}left(2 t^{3}+3 t^{5}right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Какова мгновенная мощность силы тяжести на высоте h/2. если камень массы m падает с высоты h. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сделаем рисунок.
В качестве основы для решения задачи используем формулу для мгновенной мощности вида:
$$P=bar{F} cdot bar{v}(2.1)$$
Сила, действующая на тело – сила тяжести. Она направлена по оси Y, выражение для ее проекции на ось Y запишем как:
$$F=m g(2.2)$$
В начальный момент времени тело имело скорость равную нулю, тогда скорость тела в проекции на ось Y можно вычислить, используя выражение:
$$v=v_{0}+g t=g t(2.3)$$
где v0=0.
Найдем момент времени, в который тело окажется на половине высоты (y=h/2), применим уравнение, которое описывает равноускоренное
движение (из начальных условий y0=0, v0=0):
$$y=y_{0}+v_{0} t+frac{g t^{2}}{2}=frac{g t^{2}}{2}=frac{h}{2} rightarrow t=sqrt{frac{h}{g}}(2.4)$$
Используем выражения (2.2), (2.3), (2.4) подставим в (2.1), получим искомую мгновенную мощность силы тяжести на половине пути свободно падающего тела:
$$P=m g cdot g sqrt{frac{h}{g}}=m sqrt{g^{3} h}$$
Ответ. $P=m sqrt{g^{3} h}$
Читать дальше: Формула плотности вещества.
Глава 3
Работа и энергия
§ 9
Энергия, работа, мощность
Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодейст-
вия. С различными формами движения материи связаны различные формы энер-
гии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает хо-
лодное), в других – переходит в иную форму (например, в результате трения ме-
ханическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу,
равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующи-
ми на тело со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится поня-
тие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F ,
которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения s , то работа этой силы равна скалярному произведению векторов F и s или произведению
|
проекции силы Fs на направление вектора перемещения |
(Fs = Fscos α), умно- |
|
женной на перемещение точки приложения силы |
|
|
R |
(9.1) |
|
A = Fs = Fss = Fscos α. |
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направле-
нию, поэтому формулой (9.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть эле-
ментарное перемещение dr , то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения – прямолинейным.
Элементарной работой силы F на перемещение dr называется скалярная вели-
чина
|
R |
= F cos αDS = FSDS, |
|||||
|
DA = FDR |
||||||
|
где α – угол между векторами F |
и dr ; ds = |
R |
– |
|||
|
dr |
элементарный путь; Fs – проекция вектора F на
R
вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраиче-
ской сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути.
Эта сумма приведена к интегралу
|
2 |
2 |
|
|
A = ∫Fdscos α = ∫Fsds . |
(9.2) |
|
|
1 |
1 |
|
|
Для |
вычисления этого |
интеграла надо знать |
зависимость силы Fs от пути s вдоль траектории 1–2.
Пусть эта зависимость представлена графически (рис.
14), тогда искомая работа A определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, например,
|
тело |
движется прямолинейно, |
сила F = const и |
|
|
α = const , то получим |
|||
|
2 |
2 |
||
|
A = ∫Fdscos α = Fcosα∫ds = Fscosα , |
|||
|
1 |
1 |
||
|
где s – |
пройденный телом путь. |
||
|
Из формулы (9.1) |
следует, |
что при α < π 2 A > 0 , в этом случае состав- |
ляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости v (рис.13). Если
α > π
2 , то A < 0 . При α = π
2 A = 0 .
[A] = [Дж] = [Н × м]
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие
мощности
dt
R
За время dt сила F совершает работу Fdr , и мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени
|
R |
R R |
||
|
Fdr |
|||
|
N = |
= F × v , |
(9.4) |
|
dt
т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N – величина скалярная.
[N] =[Вт] (1 Вт =1 Дж/с)
Задача 1. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в
плоскости xy из точки А с радиусом-вектором R1 = + 2 (м) в точку В с радиу- r i j
сом-вектором R2 = 2 – 3 (м). При этом на нее действовала постоянная сила r i j
F = 3i + 4j (H). Найдите работу, которую совершила эта сила.
Решение. По определению работа постоянной силы равна
|
R |
|||
|
A = F × Dr , |
|||
|
R |
R |
R |
– вектор перемещения частицы, который равен |
|
где r |
= r2 |
− r1 |
|
|
R |
–1) + j(–3 – 2) = i – 5j . |
||
|
Dr = i (2 |
Теперь подставим значения для векторов силы и перемещения в формулу работы
A = 3×1+ 4 ×(–5) = –17 Дж.
Задача 2. Тело массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью v0 . Найдите мгновенную мощность, развиваемую силой тяжести, как функцию времени.
Решение. По определению мгновенная мощность
равна
= × R
N F v .
Как видно из рисунка, сила тяжести направлена вертикально вниз, и для нее в векторном виде можно записать следующее выражение
F = –mgj .
Вектор скорости можно представить следующим образом
R = +
v vxi vy j ,
где vx = v0x = v0 cos α, vy = v0y −gt = v0 sin α −gt . С учетом этого выражение для
вектора скорости будет иметь вид
R = a + a –
v i v0 cos j (v0 sin gt ) .
Подставим выражения для векторов силы и скорости в формулу для мгновенной мощности
N = (–mgj) ×(iv0 cos a + (v0 sin a – gt)j) = mg(gt – v0 sin a) .
§ 10
Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической системы – это энергия механическо-
го движения этой системы.
Сила F , действующая на покоящееся тело и вызывая его движение, совер-
шает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной ра-
боты. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT
тела, т.е.
dA = dT .
|
R |
R |
||||||||
|
dv |
|||||||||
|
Используя II закон Ньютона F = m |
и умножая обе части равенства на |
||||||||
|
dt |
|||||||||
|
R |
получим |
||||||||
|
перемещение dr , |
|||||||||
|
R R |
R |
||||||||
|
= m |
dv |
R |
= dA. |
||||||
|
Fdr |
dr |
||||||||
|
dt |
|||||||||
|
R |
|||||||||
|
R |
= |
dr |
|||||||
|
Так как, v |
, то |
||||||||
|
dt |
|||||||||
|
R |
R |
= mvdv = dT , |
|||||||
|
dA = mvdv |
откуда
|
v |
mv |
2 |
|
|
T = ∫ mvdv = |
. |
||
|
2 |
|||
|
0 |
|||
Таким образом, тело массой m , движущееся со скоростью v, обладает кинетиче-
ской энергией
|
T = |
mv2 |
. |
(10.1) |
|
2 |
Из формулы (10.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от мас-
сы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
При выводе формулы (10.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за-
коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг от-
носительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора сис-
темы отсчета.
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяе-
мая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Если работа, совершаемая действующей силой при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это переме-
щение произошло, а зависит только от начального и конечного положения, то та-
кую силу называют консервативной, а силовое поле потенциальным (сила уп-
ругости, сила Кулона, гравитационные силы).
Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (сила трения).
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энерги-
ей U (потенциальную энергию можно обозначить еще буквой Π ). Работа кон-
сервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятой со знаком минус, так как, работа со-
вершается за счет убыли потенциальной энергии
|
dA = −dU . |
(10.2) |
|
Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемеще- |
|
|
ние dr и выражение (10.2) можно записать в виде |
|
|
R |
(10.3) |
|
Fdr = –dU . |
Следовательно, если известна функция U(r) , то из формулы (10.3) можно найти силу F по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть определена исходя из (10.3) как
= −∫ R +
U Fdr C,
где C – постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энер-
гий или производная U по координате. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относитель-
но нулевого уровня.
Для консервативных сил
|
F = – |
∂U , |
F = – |
∂U , |
F = – |
∂U , |
|||
|
x |
¶x |
y |
¶y |
z |
¶z |
|||
|
или в векторном виде |
||||||||
|
F = –gradU , |
(10.4) |
|||||||
|
где |
||||||||
|
gradU = |
∂U R |
+ |
∂U R |
∂U R |
(10.5) |
|||
|
¶x |
i |
¶y |
j + |
k |
||||
|
¶z |
Вектор, определяемый выражением (10.5), называется градиентом скаляра U .
Для него наряду с обозначением gradU применяется также обозначение
ÑU . Ñ означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
|
R |
∂ |
R |
∂ |
R |
∂ |
R |
||||
|
Ñ = |
i |
+ |
j |
+ |
k . |
(10.6) |
||||
|
¶x |
¶y |
¶z |
||||||||
Конкретный вид функции U зависит от характера силового поля. Напри-
мер, потенциальная энергия тела массой m , поднятого на высоту h над поверх-
|
ностью Земли, равна |
|
|
U = mgh , |
(10.7) |
|
где h отсчитывается от нулевого уровня, для которого U0 |
= 0. Выражение (10.7) |
вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положитель-
на). Если принять за ноль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхно-
сти Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h′), U = −mgh′.
Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины).
Сила упругости пропорциональна деформации
Fx упр = −kx ,
где Fx упр – проекция силы упругости на ось x ; k – коэффициент упругости
(жесткости), а знак минус указывает, что Fx упр направлена в сторону, противопо-
ложную деформации x .
По III закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упруго-
сти и противоположно ей направлена (рис.15),
т.е.
Fx = −Fx упр = kx .
Элементарная работа dA , совершаемая силой Fx
при бесконечно малой деформации dx, равна
dA = Fxdx = kxdx ,
а полная работа
A = ∫kxdx = kx
2
0
идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенци-
альная энергия упруго деформированного тела равна
U = kx2 . 2
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия системы – это энергия механического движения и взаимодействия и равна сумме кинетической и потенциальной энер-
гии
E = T + U .
Задача 1. На материальную точку массой m =1 кг действовала сила, изме-
|
R |
R |
R |
+ tk (Н). В начальный момент точка |
||
|
няющаяся по закону F |
= 12 t 3 i |
+ 6 t 2 j |
|||
|
R |
R |
||||
|
= 2j −0,5k (м/с). Определите модуль импульса и кинетическую |
|||||
|
имела скорость v0 |
энергию точки в момент времени t =1 с.
Решение. Из второго закона Ньютона
R
FR = dp dt
выразим изменение импульса точки
R =
dp Fdt .
Для того, чтобы найти импульс точки в указанный момент времени проинтегри-
руем обе части этого равенства
|
R |
|||
|
p |
R |
t |
R |
|
∫dp = ∫Fdt . |
|||
|
R |
0 |
||
|
p0 |
Подставим в полученную формулу выражение для вектора силы
|
R R |
t |
R |
R |
R |
R |
R |
t2 R |
||
|
p −p0 |
= ∫(12t3i |
+ 6t2 j |
+ tk)dt = 3t4i |
+ 2t3 j |
+ |
k |
|||
|
2 |
|||||||||
|
0 |
|||||||||
и, учитывая, что
|
R |
R |
= m(2j – 0,5k) , |
|
p0 |
= mv0 |
получаем формулу для импульса точки
|
R |
R |
R |
t2 |
R |
R |
R |
R |
t2 R |
R |
R |
||||||
|
p = 3t |
4i |
+ 2t3j |
+ |
k |
+ p0 |
= 3t4i |
+ 2t3 j |
+ |
k |
+ 2mj |
– 0,5mk |
= |
||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
. |
||||||||||||||||
|
R |
R |
2 |
R |
|||||||||||||
|
t |
||||||||||||||||
|
= 3t4i |
+ |
(2t3 + |
2m)j + ( |
– 0,5m)k |
||||||||||||
|
2 |
Подставив числовые значения, получим вектор импульса точки в указанный мо-
мент времени
|
R |
R |
R |
2 |
R R R |
||
|
×14 i |
+ (2 ×13 |
1 |
||||
|
p = 3 |
+ 2 ×1)j + ( |
– 0,5 ×1)k = 3i + 4j . |
||||
|
2 |
||||||
Модуль импульса точки найдем по формуле
p = 
px2 + py2 + pz2 = 
32 + 42 + 02 = 5 Н×с.
Кинетическую энергию точки в момент времени t = 1 с можно найти по
формуле
T = mv2 = m2v2 = p2 . 2 2m 2m
Подставив числовые значения, найдем
|
T = |
52 |
= 12,5 Дж . |
|
|
2 ×1 |
Задача 2. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = b(x2 + y2 ) . Най-
дите зависимость вектора силы, действующей на частицу, и ее модуля от коорди-
нат.
Решение. Сила и потенциальная энергия связаны между собой соотноше-
нием
F = -ÑU .
Исходя из этого выражения найдем проекции вектора силы на координатные оси
|
F |
= – |
∂U = –2bx и F |
= – |
∂U = –2by. |
|
|
x |
¶x |
y |
¶x |
||
Тогда зависимость вектора силы от координат будет иметь вид
F = −2bxi − 2byj .
Модуль найденной силы определяется выражением
F = 
Fx2 + Fy2 = 2b
x2 + y2 .
§ 11
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии – результат обобщения многих эксперименталь-
ных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову (1711–1765), из-
ложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формули-
ровка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814– 1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821–1894).
Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m2 , …, mn дви-
|
R |
R |
R |
′ |
′ |
′ |
|
|
жущихся со скоростями v1 |
, v2 |
, …, |
vn |
. Пусть F1 |
, F2 , …, |
Fn – равнодействующие |
|
внутренних консервативных сил, действующие на каждую из этих точек, а F1 , F2 , |
…, Fn – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консер-
вативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действую-
щих на каждую из материальных точек, обозначаем f1 , f2 , …, fn . При v << c
массы материальных точек постоянны и уравнения II закона Ньютона для этих точек следующие:
|
R |
R |
R |
R |
||||
|
dv1 |
|||||||
|
m1 |
= F1′ + F1 + f1, |
||||||
|
dt |
|||||||
|
R |
R |
R |
R |
||||
|
dv2 |
|||||||
|
m |
= F′ + F |
+ f , |
|||||
|
2 dt |
2 |
2 |
2 |
………………………………
R
dvn = R′ + R + R mn dt Fn Fn fn.
Соседние файлы в папке lekcii_meh
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.
Работы силы, формула
Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).
Рис. 1. Сила перемещает тело и совершает работу
Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.
Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:
Векторный вид записи
[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]
Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:
[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]
( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;
( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;
( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;
Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.
В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.
Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.
Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:
- Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
- А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
- Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
Работа — разность кинетической энергии
Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.
Рис. 2. Автомобиль движется прямолинейно и увеличивает свою скорость
Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.
( E_{k1} left(text{Дж} right) ) – начальная кинетическая энергия машины;
( E_{k2} left(text{Дж} right) ) – конечная кинетическая энергия машины;
( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;
( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.
Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:
[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]
[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]
[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]
Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.
[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]
[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]
[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]
Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.
Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.
[ large boxed{ A = Delta E }]
Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии
Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.
Рис. 3. На рисунке указано начальное 1 положение тела (яблока) и его конечное 2 положение, отмечены высоты для подсчета работы по вертикальному перемещению тела
Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.
( E_{p1} left(text{Дж} right) ) – начальная потенциальная энергия яблока;
( E_{p2} left(text{Дж} right) ) – конечная потенциальная энергия яблока;
Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.
Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:
[ large E_{p} = m cdot g cdot h]
( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;
Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.
( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.
Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам
[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot 3 = 6 left(text{Дж} right) ]
Потенциальная энергия яблока на столе
[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot 1 = 2 left(text{Дж} right) ]
Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.
[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]
[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]
Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».
[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]
Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.
Примечания:
- Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
- Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
- Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
- Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
- Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.
Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.
Рис. 4. Разность высот между начальным и конечным положением тела во всех случаях на рисунке одинакова, поэтому, работа силы тяжести для представленных случаев будет одинаковой
Мощность
В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.
Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.
Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).
Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:
[ large A = Delta E_{k} ]
[ large A = Delta E_{p} ]
[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]
Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.
[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]
Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.
Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.
Еще одна формула для расчета мощности
Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:
[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]
Формулу можно записать в скалярном виде:
[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]
( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;
( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;
( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;
Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:
[ large boxed{ P = F cdot v }]
Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).
КПД
КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.
Примечания:
- Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
- КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.
[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]
(eta) – КПД;
( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;
(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;
Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.
[ large boxed{ eta leq 1 }]
Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:
[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]
Выводы
- Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
- Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
- Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
- Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
- Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
- Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
- Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
- Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
- Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
- КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
- Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности
