Как найти мгновенную скорость изменения функции

       
Существуют различные характеристики, позволяющие детально описывать поведение функции в окрестности заданной точки. Одной из таких характеристик является средняя скорость изменения функции    на промежутке  , которая представляет собой отношение изменения функции    к соответствующему изменению аргумента  :

Термины “изменение аргумента” и “изменение функции” порождают ассоциацию с неким динамическим процессом, в котором аргумент играет роль времени, а функция этого аргумента характеризует пройденный путь или скорость движения частицы. Перечень подобных толкований можно продолжить, подразумевая под изменением функции, например, изменение масса тела, заключенной в сфере малого радиуса, при смещении центра сферы из одной точки в другую и так далее. Поэтому математики отдают предпочтение нейтральным терминам, называя разность    приращением функции, а величину  ∆x  – приращением аргумента.

     
Пусть, например,  . Тогда средняя скорость изменения функции     на промежутке [1, 3] равна

     
Физическая интерпретация средней скорости изменения функции вполне очевидна. Если    описывает зависимость пройденного частицей пути от времени  x  ее движения, то    представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени  ∆x.

     
Мгновенная скорость изменения функции представляет собой среднюю скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке  ∆x. Чем меньше  ∆x, тем ближе средняя скорость к мгновенной скорости. Термин “мгновенная скорость изменения функции” выражает суть обсуждаемого понятия, однако обычно мгновенную скорость называют производной функции    и обозначают символическим выражением  .

     
Таким образом, производная функции    представляет собой предел отношения приращения функции    к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю:

(Выражение в левой части этого равенства читается как “дэ эф по дэ икс”.) Производная функции    обозначается также символом  , который читается как “эф штрих от икс”.

     
Функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Говорят, что функция дифференцируема на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

     
Производную функции можно найти численно, графически или вычислить с помощью алгебраических формул. Для численного нахождения    в точке  x  используется приближенная формула

Проиллюстрируем диапазон применимости этой формулы численными расчетами. Пусть, например,  . Результаты вычислений производной функции    в точке  x = 1  при различных значениях  ∆x  представлены в таблице 1.

     
Очевидно, что последовательность значений    приближается к числу 5 по мере уменьшения  ∆x. Поэтому можно предположить, что точное значение    равно пяти. Именно таким и является точное значение.

     
Для оценки    “на лету” достаточно выбрать одно малое значение  ∆x  и вычислить разностное отношение (3). Более точную оценку дает сбалансированное отношение

---

План урока:

Предел функции на бесконечности

Предел функции в точке

Приращение аргумента и функции  

Средняя скорость изменения функции

Мгновенная скорость и понятие производной

Предел функции на бесконечности

Рассмотрим довольно простую функцию

y = 1/x

Её график называется гиперболой и выглядит так:

Можно заметить, что при больших положительных значениях х график функции приближается к горизонтальной оси Ох, но не пересекает её. Действительно, если мы будем вычислять значение у при всё больших значениях х, то будем получать всё меньшие, но всё же положительные числа:

Получается, что при бесконечном росте аргумента х функция стремится к нулю. Можно ли эту особенность функции как-то записать, используя математические символы? Оказывается, можно, и выглядит это запись так:

которая означает, что х стремится к бесконечности. После символа lim записана сама функция 1/х. В целом вся запись читается так: «предел функции у = 1/х при х, стремящемся к бесконечности, равен нулю».

Вернемся к графику функции у = 1/х. Видно, что если мы будем брать всё меньшие отрицательные значения х, то функция также будет стремится к нулю. Действительно, попробуем подставлять в нее как можно меньшие значения аргумента:

Чтобы записать эту особенность функции, используется следующая запись:

который может быть получен параллельным переносом графика у = 1/х на две единицы вверх:

Очевидно, что пределы этой функции при х → + ∞ и х → – ∞ равны 2:

Возможны случаи, когда при бесконечном увеличении аргумента функции она не стремится к какому-то конкретному числу, а сама также неограниченно возрастает. Для примера посмотрим на график у = х³:

Видно, что при х → ∞ сама функция неограниченно растет, что можно показать расчетами:

Возникает вопрос – для всякой ли функции можно указать ее предел на бесконечности? Оказывается, что нет. Для примера рассмотрим тригонометрическую функцию у = sinx, графиком которой является синусоида:

С одной стороны, sinx явно не стремится к какому-то конкретному числу при увеличении х, он «колеблется» между числами 1 и (– 1). С другой стороны, нельзя и сказать, что он стремится к бесконечности. Получается, что у этой функции просто нет пределов на бесконечности.

Предел функции в точке

Порою нас интересует поведение функции не на бесконечности, а вблизи конкретной точки х₀. Конечно, в большинстве случае можно просто вычислить функцию в этой точке, однако иногда это невозможно сделать. Для примера рассмотрим функцию

Очевидно, что точка х = 2 не входит в ее область определения, ведь при подстановке этого значения в функцию знаменатель дроби обратится в ноль. Однако в любой другой точке значение функции будет равняться единице:

График такой функции будет выглядеть как прямая у = 1, у которой есть одна «выколотая точка», соответствующая х = 2:

Итак, функция не определена в точке х = 2, однако можно вычислить предел функции в точке х = 2. Действительно, при любом, сколь угодно близком к 2 значении х функция будет равна единице:

Попробуем также приблизиться к точке 2 с другой стороны, подставляя в функцию числа, меньшие двух:

Снова всё время получается единица. Поэтому мы можем уверенно записать, что

Значительно чаще приходится иметь дело с пределами в точке, которые равны бесконечности. Снова посмотрим на график функции у = 1/х:

Видно, график не пересекает ось Оу, ведь число х = 0 не входит в область определения функции. Однако можно заметить, что при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает:

Обратите внимание, что под пределом мы использовали запись «х → + 0», а не «х → 0». Почему? Дело в том, что если мы будем приближаться к нулю с «противоположной» стороны, подставляя в функцию не положительные, а отрицательные числа, то функция будет стремится к – ∞:

Получается, что предел функции в точке х = 0 зависит от того, с какой стороны мы приближаемся к этой точке, слева или справа. В связи с этим в математике существует понятие односторонних пределов. Для обозначения пределов, получаемых при приближении к нулю справа, то есть со стороны бОльших чисел, перед ним ставят знак плюс, а при указании предела слева, то есть со стороны мЕньших чисел – знак минус:

Предел и односторонние пределы – это два разных понятия. Считается, что функция имеет предел в точке только тогда, когда оба односторонних предела в этой точке совпадают.

В качестве ещё одного примера предела функции в точке можно привести зависимость у = tg х, график которой выглядит следующим образом:

В точке х = π/2 функция не определена. Однако видно, что при приближении к этой точке слева функция неограниченно возрастает, а при приближении справа – неограниченно убывает. Это записывается следующим образом:

До этого мы вычисляли пределы функций в точках, где сами функции не определены. Однако пределы можно вычислять и в тех точках, где функция определена. В большинстве случаев (но не всегда) они как раз равны значению функции в этой точке. Например, найдем предел

В точке х = 2 значение функции будет равно 4:

Будут ли односторонние пределы в этой точке также равняться 4? Сначала проверим предел справа

Действительно, получаем значения у, всё более близкие к 4. Аналогично можно убедиться, что и предел слева также равен 4:

Приведем несколько искусственный пример функции, у которой предел в точке не совпадает со значением функции в этой точке. Пусть функция задается с помощью такого графика

Он представляет собой параболу у = х² с выколотой точкой (2; 4). При этом функция определена в точке х = 2, но имеет там значение, равное единице. Аналитически эту функцию можно описать так:

Понятно, что у(2) = 1, однако попытаемся приблизиться к точке х = 2 справа и слева и посмотрим, что получится:

Мы видим, что при х→2 функция и справа, и слева стремится к четверке, а не к единице. То есть получается, что предел функции в точке х = 2 не совпадает со значением функции этой функции в этой же точке. Такая ситуация произошла именно из-за того, что точка х = является выколотой.

Сразу заметим, что непосредственно в практических задачах пределы почти не используются. В связи с этим эта тема изучается в школьном курсе довольно поверхностно, не дается строгое определение предела функции (предполагается, что это понятие интуитивно понятно), а также не рассматриваются примеры на вычисление пределов функций. С другой стороны, на понятии предела построены почти все строгие рассуждения и доказательства в математическом анализе. В частности, определение понятие производной (которая имеет огромное практическое применение) дается именно с помощью предела. Поэтому полностью исключить пределы из школьного курса нельзя.

Приращение аргумента и функции

Часто нас интересует, как изменяется функция при изменении аргумента. Например, известно, что объем куба вычисляется по формуле

где а – ребро куба. Предположим, что мы провели измерения какого-то куба и выяснили, что длина его ребра равна 2 см. Тогда объем куба составит 2³ = 8 см³. Но ведь любое измерение производится не с абсолютной точностью, а с некоторой погрешностью. Как оценить погрешность вычисления объема, если известна погрешность измерения его ребра?

Пусть с учетом погрешности линейки, составляющей 0,1 см, известно, что длина ребра находится в диапазоне от 2 до 2 + 0,1 = 2,1 см. Тогда максимально возможный объем куба составит 2,1³ = 9,261 см³. Получается, что погрешность в измерении объема куба составляет 9,261 – 8 = 1,261 см³.

С точки зрения математического анализа мы в данном случае рассматривали поведение функции у = х³ в точке х = 2. Мы допустили некоторое изменение величины х, которое называют приращением аргумента и обозначают как ∆х. Далее мы высчитали, какое изменение величины у, или приращение функции, обозначаемое как ∆у, соответствует этому приращению аргумента. Выяснилось, что приращению ∆х = 0,1 соответствует приращение ∆у = 1,261.

В более общем случае произвольной функции у = f(x) можно дать некоторое приращение ∆х в некоторой точке х₀. В результате этого изменится и само значение f(x), причем величину этого изменения обозначают как ∆у. Это можно проиллюстрировать графически:

Задание. Дана функция у = 3х² + х + 4. Вычислите приращение функции в точке х₀ = 5, если ∆х = 1.

Решение. Сначала вычислим новое значение аргумента функции, с учетом данного ему приращения:

Далее вычислим значения функции, соответствующие старому и новому аргументу:

Задание. Радиус круга, измеренный с погрешностью не более 0,5 см в меньшую сторону, равен 10 см. Оцените погрешность вычисления его площади.

Решение. Площадь круга рассчитывается по формуле:

Средняя скорость изменения функции

Часто в физике и других естественнонаучных дисциплинах одни величины характеризуют изменение других величин. Классический случай – это скорость, которая характеризует, насколько быстро изменилось положение тела (или материальной точки в пространстве). Рассмотрим пример. Пусть пешеход движется по прямой улице с постоянной скоростью 2 м/с. Попытаемся построить график, который иллюстрирует зависимость пройденного пешеходом пути и его скорости от времени. Известно, что при равномерном прямолинейном движении пройденный путь можно найти по формуле:

S = v*t

Где s – путь;

V – скорость;

t – время.

Так как скорость равна 2 м/с, то зависимость пути от времени будет выглядеть так:

s(t) = 2t

которая является прямой пропорциональностью. Поэтому ее график будет прямой линией:

Так как скорость во время всего движения остается равной 2 м/с, то зависимость скорости от времени будет иметь вид v = 2, а выглядеть она будет как горизонтальная линия:

В данном случае найти зависимости s(t) и v(t) было очень легко. Но теперь усложним задачу. Пусть зависимость s(t) задается не прямой линией, а некоторой кривой:

Можно ли теперь что-то сказать о скорости движения пешехода?

Ясно, что в различные моменты времени скорость пешехода различна. Но мы можем найти среднюю скорость пешехода в какой-то момент времени. Например, рассмотрим промежуток времени со 2-ой по 10-ую секунду.

Его протяженность, очевидно, равна 10 – 2 = 8 секундам. Если первый момент времени обозначить как t₁, а второй как t₂, то протяженность этого промежутка времени (∆t) можно вычислить по формуле

Судя по графику, к моменту времени t₁ пешеход прошел только 1 метр, а на момент t₂он преодолел уже 9,5 м. Сколько же метров он прошел за промежуток времени ∆t? Если первое расстояние обозначить как s₁, а второе как s₂, то пройденное расстояние (∆s) можно рассчитать так:

Тогда средняя скорость на рассматриваемом участке можно вычислить, поделив ∆s на ∆t

В данной ситуации мы рассматривали функцию, которая задает зависимость между перемещением пешехода и временем. Средняя скорость характеризует, как быстро двигается пешеход, то есть как быстро функция s(t) меняет своё значение. Очевидно, что в данном случае величина ∆t – это некоторое приращение аргумента функции s(t), в то время как ∆s– это приращение самой функции. Получается, что с помощью приращений можно вычислять среднюю скорость объектов.

Однако в физике рассматривается не только скорость перемещения вточек пространстве. Например, можно говорить о скорости остывания горячего чайника. Пусть его температура меняется по закону, график которого представлен на рисунке:

Можно ли узнать, с какой средней скоростью остывал чайник на промежутках от 2-ой до 4-ой минуты? Да, для этого надо в точке t = 2 мин дать приращение аргумента ∆t = 2мин и посмотреть, какое приращение ∆T получит сама функция:

Пусть t₁ = 2 мин, а t₂ = 4 мин. Тогда

По графику видно, что в момент t₁ температура чайника составляет Т₁ = 40°С. Через две минуты она уже упала до отметки Т₂ = 20°С. Получается, что за промежуток ∆t функция T(t) получила приращение

Обратите внимание, что приращение оказалось отрицательным. Дело в том, что температура чайника падала, то изменялась в меньшую сторону. Знак минус указывает именно на направление изменения функции. Если бы чайник нагревался, то приращение оказалось бы положительным.

Теперь мы можем вычислить среднюю скорость остывания чайника на промежутке между 2-ой и 4-ой минутой:

Знак минус указывает на то, что температура на этом промежутке времени уменьшается, а не возрастает.

В более общем случае, когда у нас есть произвольная функция у = f(x), с помощью приращений можно вычислить среднюю скорость её изменения на каком-нибудь промежутке. Пусть первая точка промежутка обозначается как х₀, а его протяженность составляет ∆х. Тогда первой точке соответствует значение функции у(x₀), а концу промежутка – значение у(x₀ + ∆x):

Тогда средняя скорость изменения функции на промежутке [x₀;x₀ + ∆x] рассчитывается по формуле:

Мгновенная скорость и понятие производной

Итак, зная функцию, можно вычислить среднюю скорость ее изменения на любом промежутке. Но, когда автомобиль едет по шоссе, его спидометр показывает не среднее, а конкретное значение скорости в каждый момент времени. Другими словами, у автомобиля есть мгновенная скорость, и именно ее показывает спидометр. Как же узнать ее?

Пусть у нас есть функция s(t), определяющая пройденной машиной путь, и нам требуется найти мгновенную скорость в некоторый момент времени t₁. Мы можем дать функции s(t) приращение ∆t, а потом найти и среднюю скорость на промежутке [t₁; t₁ + ∆t]. Естественно, она будет являться лишь некоторым приближением, с помощью которого мы оцениваем мгновенную скорость в момент t₁. Однако далее мы можем уменьшить промежуток ∆t. Тогда у нас получится иное значение средней скорости, которое будет более близким к мгновенной скорости. Чем меньший промежуток ∆t мы возьмем, тем ближе к мгновенной скорости в точке t₀ будет полученное нами значение средней скорости.

Например, пусть путь, пройденный машиной, задается функций s = t². Нас интересует скорость автомобиля в момент t₁ = 5 сек. Мы можем найти среднюю скорость на интервале от 5-ой до 6-ой секунды. Так, к пятой секунде машина успеет проехать 5² = 25 метров, а к шестой секунде она проедет 6² = 36 метров. Получится, что за промежуток ∆t, равный 6 – 5 = 1 секунде, машина проедет путь ∆s = 36 – 25 = 11 метров. Тогда средняя скорость на промежутке составит

Теперь возьмем более короткий промежуток ∆t, равный всего лишь 0,1 с. То есть мы рассмотрим период времени между моментом t₁ = 5 cи t₂ = 5,1 c. Снова-таки, к 5-ой секунде машина проедет 25 метров, а к моменту 5,1 сона пройдет 5,1² = 26,01 м. То есть за 0,1 с автомобиль преодолеет 26,01 – 25 – 1,01 м, а средняя скорость при этом составит

Ещё раз уменьшим промежуток ∆t. Пусть теперь он составляет всего 0,01с. Тогда средняя скорость будет определяться так:

Видно, что при уменьшении промежутка ∆t средняя скорость стремится к величине 10 м/с. Поэтому логично считать именно эту величину мгновенной скоростью машины в момент времени t = 5 c. Однако возникает вопрос – уверены ли мы, что мгновенная скорость стремится именно к 10 м/с, а не, скажем, к 10,001 м/с? Как точно определить это число? Здесь как раз помогают пределы. Можно записать, что мгновенная скорость – это предел отношения ∆s/∆t при ∆t, стремящемся к нулю. То есть

Получили, что мгновенная скорость в момент t₁ = 5 действительно равна 10 м/с.

Задание. Вычислите мгновенную скорость разгоняющегося самолета через 10 секунд после начала разгона, если пройденное им расстояние задается законом s(t) = 5t².

Решение. За 10 секунд самолет успеет преодолеть

Дадим функции s(t) приращение ∆t и обозначим как t₁ момент времени, когда со старта прошло 10 секунд. Тогда к моменту t₁ + ∆t самолет успеет пройти

Решая данную задачу, мы дали функции s(t) приращение ∆t и записали отношение ∆s/∆t. Далее мы устремили величину ∆t к нулю и посмотрели, к какому числу устремится отношение ∆s/∆t. Это число и оказалось мгновенной скоростью. В более общем случае произвольной функции у = f(x)в точке х₀ можно дать приращение аргумента ∆х, которому будет соответствовать некоторое приращение функции ∆у. Далее можно вычислить предел отношения ∆у/∆х, который будет характеризовать, как быстро в точке х₀ функция меняет свое значение. Этот предел называют производной функции в точке х₀. Для обозначения производной над функцией ставят штрих.

В общем случае алгоритм вычисления производной в некоторой точке следующий:

1.Фиксируем точку х₀, вычисляем для нее значение функции у(х). Это значение будет конкретным числом

1. Даем функции приращение аргумента ∆х, переходим в новую точку х₀ + ∆х, вычисляем в ней значение функции у(х₀ + ∆х). Это значение будет не числом, а выражением, содержащим переменную ∆х.
2. Находим приращение функции ∆у, используя формулу

Это приращение также должно содержать величину ∆х.

1. Составляем соотношение ∆у/∆х.
2. Находим предел этого отношения при ∆х→0. Этот предел и есть значение производной.

Задание. Найдите производную функции у = 4х² + 7х в точке х₀ = 2.

Решение. Сначала вычислим значение функции в точке х₀:

Далее определяем величину у(х₀ + ∆х) (это будет не конкретное число, а некоторое выражение, содержащее переменную ∆х):

Задание. Найдите производную функции у = 1/х в точке х₀ = 5.

Решение. Высчитаем у(х₀):

Пусть у функции есть приращение ∆х, тогда в точке х₀ + ∆х ее значение составит:

В рассмотренных примерах для вычисления производной мы использовали ее определение. Однако на практике такой метод почти не используется. В будущем мы узнаем более эффективные способы для нахождения производной.

Мы уже убедились, что использование производной помогает находить мгновенную скорость тел. По этой причине понятие производной функции играет огромную роль в механике (разделе физике, изучающем движение). Однако этим ее практическое применение не ограничивается. По сути, она является основой для всей классической физики, и именно ее появление в XVII в. обеспечило выдающийся прогресс в науке вплоть до конца XIX в. При этом производная используется и в геометрии для анализа графиков функций. Более подробно ее применение будет также рассмотрено позже.

The average rate of change represents the total change in one variable in relation to the total change of another variable. Instantaneous rate of change, or derivative, measures the specific rate of change of one variable in relation to a specific, infinitesimally small change in the other variable. The average rate of change of a function can be determined with secant lines and the instantaneous rate of change can be determined with tangent lines. As you will learn, these rates can also be determined using a special type of math called calculus. 

What is the rate of change? 

Rate of change is the change in one variable in relation to the change in another variable. A common rate of change is speed, which measures the change in distance travelled in relation to the time elapsed. Olympic Gold Medalist, Usain Bolt, became the world’s fastest man running at a top speed of 44.72 km/hr during the 100-meter dash. On average, his speed was a bit slower (nonetheless, very impressive) at 37.58 km/hr.  Bolt’s top speed is an example of an instantaneous rate of change, and his average speed is an average rate of change. 

Average Rate of Change 

Secant lines are found by connecting two points on a curve. The slope of the secant line between two points represents the average rate of change in that interval. 

Formula:

Average Rate of Change = Slope(m) = △y/△x =  = 

How to find the average rate of change between two points using a secant line:

Step 1: Draw a secant line connecting the two points. 

Step 2: Use the coordinates of the two points to calculate the slope. 

Equation of slope: 
Slope =

The average change of the function over the given time interval[x₀, x₁] 
Slope = 

The slope of the secant line represents the average 
rate of change of the graph in that interval. 

Once you’ve calculated the slope of the secant line, you use the slope can write an equation to represent it. 

For Example: 
Equation of slope: 
y – y₀ = m(x – x₀) 

m = slope of secant line = 4/7 
x₀ = 2 
y₀ = 9 

Hence, the equation of the secant line between x = 2 and x = 9 is  
y – 9 = 

Derivatives (Instantaneous Rate of Change)

The tangent line at a point is found by drawing a straight line that touches a curve at that point without crossing over the curve. In other words, the line should locally touch only one point. The slope of the tangent line at a point represents the instantaneous rate of change, or derivative, at that point. 

Formula:

Instantaneous Rate of Change = 

How to find the derivative at a point using a tangent line:

Step 1: Draw a tangent line at the point. 

Step 2: Use the coordinates of any two points on that line to calculate the slope. 

Equation of slope: 
Slope = 

The average change of the function over the given time interval x₀ 
Slope = 

The slope of the tangent line at a point represents 
the instantaneous rate of change, or derivative, at that point.

Once you’ve calculated the slope of the tangent line, you can write an equation to represent it.

For Example: Equation of slope: 
y – y₀ = m(x – x₀) 

m = slope of tangent line = 
x₀ = 16 
y₀ = 6 

Hence, the equation of the tangent line at x = 16 is  
y – 16 = frac{5}{6}(x – 6)  

Derivative Notation

In the early 18th century, there was controversy between the great mathematicians Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz over who the first invent calculus. This argument became known as Prioritätsstreit, or “priority dispute” in German. The disagreement has had lasting impact on the mathematical world, leaving us with two standard derivative notations. Lagrange notation is another common derivative notation, established by French mathematician and philosopher, Joseph-Louis Lagrange. 

If we take the function y = f(x), So

1. Leibniz notation:

“First derivative of y with respect to x” 
⇒

“Second derivative of y with respect to x” 
⇒

“First derivative of y with respect to x 
at x = 2″ 
⇒

2. Newton notation: 

The number of dots above the function 
variable represents how many times the 
function has been differentiated. 
“First derivative of y” 
⇒
“Second derivative of y” 
⇒
“First derivative of y at x = 2” 
⇒

3. Lagrange notation: 

The number of apostrophes after the function 
variable represents how many times the 
function has been differentiated. 
“First derivative of y” 
⇒y’ 
“First derivative of y at x = 2” 
⇒y'(2) 
“Second derivative of y” 
⇒y”

4. Euler’s notation

“First derivative” 
⇒ D_xf 
“Second derivative” 
⇒ D_x²f 
Here, D represents the differential operator

Sample Problems

Question 1. Find the average rate of change over the interval x = 4, x = 6.

Solution:

Point 1: (4, 18)

Point 2: (6, 15)

Slope = 

= 

= 

Hence, the average rate of change = 
 

Question 2. Write the equation of the tangent line at x = 16. 

Solution:

Point of intersection: (16, 18)

Slope = 

= 

Equation of tangent line: 

  

Question 3. What is the derivative of the graph at x = 20? Express your answer in Leibniz notation. 

Solution:

Given point of intersection: (20, 23)

Slope of tangent line = 

= 

So, the Leibniz notation: 

Question 4. Find the derivative of the graph at x = 4. Express your answer in Newton’s notation.

Solution:

Given point of intersection: (4, 18) 

Slope of tangent line = = 

So, the Newton’s notation

Question 5. Find the average rate of change over the interval x = 4, x = 25. How does this compare to the derivative at x = 4? 

Solution:

Slope of secant line = 

= 

The average rate of change over x = 4, x = 25 is -6/21, 

which is less than the derivative of y at x = 4, which we found to

be 7/3. 

Question 6. Find the instantaneous rate of change of the given function f(x) = 2x² + 18 at x = 9 ?
 

Solution:

Given: f(x) = 2x² + 18

f'(x) = 4x + 0

f'(x) = 4x 

Now we have to find the instantaneous rate of change at x = 9

f(9) = 4x

f(9) = 4(9)

f(9) = 36

Question 7. Find the instantaneous rate of change of the given function f(x) = 4x² + 12x + 8 at x = 4 ?

Solution:

Given: f(x) = 4x² + 12x + 8 

f'(x) = 8x + 12

Now we have to find the instantaneous rate of change at x = 4

f(4) = 8x + 12

f(4) = 8(4) + 12

f(4) = 44

Last Updated :
30 Jul, 2021

Like Article

Save Article

Содержание:

1. Средняя скорость изменения, мгновенная скорость изменения
2. Средняя скорость
3. Задача пример №82
4. Средняя скорость изменения
5. Мгновенная скорость
6. Задача пример №83
7. Мгновенная скорость изменения
8. Задача пример №84
9. Задача пример №85

Средняя скорость изменения, мгновенная скорость изменения

До настоящего времени, используя алгебраические правила, изученные нами, мы могли получать статистические данные, соответствующие реальной жизненной ситуации. Однако, во многих случаях, в производстве, медицине, а также в различных областях науки, возникает необходимость получить более динамическую информацию, другими словами, возникает надобность проследить как изменения одной переменной влияет на скорость изменения другой переменной.

Например, рекламный менеджер хочет знать, как изменяется прибыль при изменении затрат, врач – динамику изменения структуры печени при увеличении дозы лекарственного препарата и т.д. Рассмотрим следующий пример определения скорости изменения.

Средняя скорость

На рисунке показаны графики зависимости расстояния от времен при равномерном движении автомобиля по магистральной дороге и неравномерном движении по городу.

При равномерном движении, за равные промежутки времени, длина пройденного пути одинакова и на графике движения угловой коэффициент прямой выражает скорость. При неравномерном движении длина пути на одинаковых временных участках может и не быть одинаковой. В этом случае используется значение средней скорости. Отношение пройденного телом пути к промежутку времени, за которое этот путь пройден, называется средней скоростью.

Задача пример №82

Частица движется прямолинейно по закону . Найдите среднюю скорость на промежутке времени: а) [1; 3], b) [1; 2] ( здесь в метрах, – в секундах).

Решение:

а) Средняя скорость на промежутке времени

b) Средняя скорость на промежутке времени

Средняя скорость изменения

Для произвольной функции на промежутке средняя скорость равна

Это отношение равно углу наклона секущей графика функции, проходящей через точки .

Мгновенная скорость

Исследуем понятие мгновенной скорости на следующем примере.

Задача пример №83

В таблице представлены результаты вычислений средней скорости частицы, движущейся прямолинейно по закону для некоторых малых значений за промежуток времени .

По таблице можно установить, что при мгновенная скорость приблизительно равна 2 м/сек. Вообще, средняя скорость на интервале времени будет:

Устремляя к нулю путем сокращения временного интервала , найдем мгновенную скорость в предельном состоянии в момент .

Таким образом, при прямолинейном движении по закону , мгновенная скорость в любой момент времени будет:

По аналогичному правилу, для любой функции мгновенную скорость изменения при находят по формуле:

Мгновенная скорость изменения

Предел выражает мгновенное изменение скорости функции в точке .

Теперь пронаблюдаем, как при изменении положения секущей на кривой, средняя скорость превращается в мгновенную скорость. На графике точки показывают изменение положения точки в направлении точки Здесь, уменьшая значения путем приближения к 0, точка , меняя положение вдоль кривой, приближается к точке и, наконец, совпадает с ней.

При приближении точки , остающейся на кривой, к точке Т, предельное положение секущей (если оно существует), называется касательной к кривой в точке При , предел углового коэффициента секущей, т.е. мгновенное изменение скорости функции в точке , равен угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

Задача пример №84

Найдем скорость свободного падения в момент сек.

Решение:

Зависимость между пройденным путем и временем при свободном падении имеет вид: . Здесь ускорение свободного падения и . Тогда можно написать . Через 2 секунды после начала движения в интервале средняя скорость будет .

В момент скорость равна значению предела

Задача пример №85

Дана функция . Найдите: а) среднюю скорость изменения при ; b) мгновенную скорость при .

Решение:

а) При , средняя скорость будет:

b) Найдем мгновенную скорость при

.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Площадь поверхности шара

Площадь поверхности подобных фигур

Производная функции

Правила дифференцирования

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №19. Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. механический смысл первой производной;
2. механический смысл второй производных;
3. скорость и ускорение.

Глоссарий по теме

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f”’(x). Производную n-го порядка обозначают f⁽ⁿ⁾ (x) или y⁽ⁿ⁾.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону   (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение: 

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Ответ: 20 м/c.

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ’. Тогда ω=(4t-0,2t²)=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с). 

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t²+2t-5. Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

v= S’=(3t²+2t-5)’=6t+2

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3. 

Ответ: Е=1200 Дж

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y”’ или f”'(x) Производную n-го порядка обозначают f⁽ⁿ⁾ (x) или y⁽ⁿ⁾.

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

1) f(x)= sin 2x

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f”'(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x

f⁽⁴⁾(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

2) f(x)=2^3x

f’(x)=3∙ 2^3x ∙ln2

f (x)= 9∙ 2^3x ∙ln²2

f”'(x)= 27∙ 2^3x ∙ln³2

f⁽⁴⁾(x)= 81∙ 2^3x ∙ln⁴2

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть 

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t²-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.

Решение:

найдём скорость точки в любой момент времени t.

v=S’=(3t²-3t+8)’=6t-3.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

v(4)=6∙4-3=21(м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с²) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с²).

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t³-3t²+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma. 

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

v=S’=(t³-3t²+5)’=3t²-6t.

Тогда v(4)=3∙4²-6∙4=24 (м/с). 

Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t²-6t)’=6t-6.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с²).

F=ma=3∙18= 54 Н

Ответ: F= 54 Н

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

f(x)= 3cos4x-5x³+3x²-8

_____________________

Решим данную задачу:

f’’’(x)=( 3cos4x-5x³+3x²-8)’’’=(((3cos4x-5x³+3x²-8)’)’)’=((-12sin4x-15x²+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.

Ответ: 192sin4x-30

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t²+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

1. v=38 м/с; a=6 м/с²
2. v=38 м/с; a=5 м/с²
3. v=32 м/с; a=6 м/с²
4. v=32 м/с; a=5 м/с²

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

v= S’(t)=( 3t²+2t-7)’=6t+2.

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

v(6)=6∙6+2=38 (м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с²) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с²).

Верный ответ:

1. v=38 м/с; a=6 м/с²
2. v=38 м/с; a=5 м/с²
3. v=32 м/с; a=6 м/с²
4. v=32 м/с; a=5 м/с²