Как найти мгновенную скорость точки движущейся прямолинейно

1. 

   1

   Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени),^[3]
   то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время).^[4]
   Например:

   s = -1.5t² + 10t + 4

   • В этом уравнении:

     Перемещение = s. Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 – 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).

     Время = t. Обычно измеряется в секундах.

2. 

   2

   Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*xⁿ, то производная = a*n*x^n-1. Это правило применяется к каждому члену многочлена.

   • Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
     

     s = -1.5t² + 10t + 4
     (2)-1.5t^(2-1) + (1)10t^{1 – 1} + (0)4t⁰
     -3t¹ + 10t⁰
     -3t + 10

3. 

   3

   Замените “s” на “ds/dt”, чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t² + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.

   • В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. 

   4

   В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени.^[5]
   Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.

   Реклама

1. 

   1

   Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке).^[6]
   Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.

   • По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
   • График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!

2. 

   2

   Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.

   • Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.

3. 

   3

   Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (y_Q – y_P)/(x_Q – x_P), где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:

   H = (y_Q – y_P)/(x_Q – x_P)
   H = (7 – 3)/(4 – 1)
   H = (4)/(3) = 1.33

4. 

   4

   Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):

   Q = (2,4.8): H = (4.8 – 3)/(2 – 1)
   H = (1.8)/(1) = 1.8

   Q = (1.5,3.95): H = (3.95 – 3)/(1.5 – 1)
   H = (.95)/(.5) = 1.9

   Q = (1.25,3.49): H = (3.49 – 3)/(1.25 – 1)
   H = (.49)/(.25) = 1.96

5. 

   5

   Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.

   • В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2.
   • Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).

   Реклама

1. 

   1

   Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t³ – 3t² + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).

   • Сначала вычислим производную этого уравнения:
     

     s = 5t³ – 3t² + 2t + 9
     s = (3)5t^{(3 – 1)} – (2)3t^{(2 – 1)} + (1)2t^{(1 – 1) + (0)9t0 – 1
     15t(2) – 6t(1) + 2t(0)
     15t(2) – 6t + 2}

   • Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:
     

     s = 15t⁽²⁾ – 6t + 2
     15(4)⁽²⁾ – 6(4) + 2
     15(16) – 6(4) + 2
     240 – 24 + 2 = 22 м/с

2. 

   2

   Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t² – t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.

   • Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
     

     s = 4t² – t

     t = 2: s = 4(2)² – (2)
     4(4) – 2 = 16 – 2 = 14, so Q = (2,14)

     t = 1.5: s = 4(1.5)² – (1.5)
     4(2.25) – 1.5 = 9 – 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)

     t = 1.1: s = 4(1.1)² – (1.1)
     4(1.21) – 1.1 = 4.84 – 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)

     t = 1.01: s = 4(1.01)² – (1.01)
     4(1.0201) – 1.01 = 4.0804 – 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

   • Теперь вычислим H:
     

     Q = (2,14): H = (14 – 3)/(2 – 1)
     H = (11)/(1) = 11

     Q = (1.5,7.5): H = (7.5 – 3)/(1.5 – 1)
     H = (4.5)/(.5) = 9

     Q = (1.1,3.74): H = (3.74 – 3)/(1.1 – 1)
     H = (.74)/(.1) = 7.3

     Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 – 3)/(1.01 – 1)
     H = (.0704)/(.01) = 7.04

   • Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).

   Реклама

Советы

• Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
• Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
• Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.

Реклама

Мгновенную скорость определим как предел к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

[v={mathop{lim }_{Delta tto 0} leftlangle vrightrangle }={mathop{lim }_{Delta tto 0} frac{Delta x}{Delta t}left(2right). }]

Задание. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:

[left{ begin{array}{c}
x_1=-3t+4t^2-t^3(м) \
x_2=t-2t^2-t^3(м) end{array}
right.left(1.1right),]

в какой момент времени скорости этих точек будут равны?

Решение. В задаче речь идет о нахождении времени, когда будут равны мгновенные скорости материальных точек. Величину мгновенной скорости будем находить как:

[v=frac{dx}{dt}left(1.2right).]

Тогда подставляя по очереди уравнения из системы (1.1) получим:

[left{ begin{array}{c}
v_1=frac{dx_1}{dt}=-3+8t-3t^2 \
v_2=frac{dx_2}{dt}=1-4t-3t^2 end{array}
right.left(1.3right).]

Приравняем правые части уравнений в системе (1.3), найдем момент времени в который скорости равны ($v_1=v_2$):

[-3+8t-3t^2=1-4t-3t^2to 8t+4t=1+3to 12t=4to t=frac{1}{3}left(cright).]

Ответ. $t=frac{1}{3}$ с

Задание. Материальная точка движется на плоскости XOY. Закон изменения координаты $x$ задан графиком рис.2 . Координата $y $задана аналитическим выражением: $y=At(1+Bt)$, где $A$ и $B$ постоянные величины. Запишите выражение, связывающее мгновенную скорость и время ($v(t)$).

Решение. Из рис. 2 мы можем записать уравнение, которое определяет изменение координаты $x$ от времени:

[xleft(tright)=At left(2.1right).]

Получили, что движение материальной точки в плоскости XOY описывают при помощи системы уравнений:

[left{ begin{array}{c}
xleft(tright)=At;; \
y=Atleft(1+Btright) end{array}
left(2.2right).right.]

Найдем составляющие скорости движения материальной точки:

[v_x=frac{dx}{dt}=frac{d}{dt}left(Atright)=A;;]

[v_y=frac{dy}{dt}=frac{d}{dt}left(Atleft(1+Btright)right)=A+2ABt.]

Модуль скорости найдем как:

[v=sqrt{v^2_x+v^2_y}=sqrt{A^2+{(A+2ABt)}^2}=sqrt{A^2+A^2+2A^2Bt+4A^2B^2t^2}=]

[=Asqrt{2+2Bt+4B^2t^2.}]

Ответ. $v=Asqrt{2+2Bt+4B^2t^2}$

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Download Article

Download Article

Velocity is defined as the speed of an object in a given direction.^[1]
In many common situations, to find velocity, we use the equation v = s/t, where v equals velocity, s equals the total displacement from the object’s starting position, and t equals the time elapsed. However, this technically only gives the object’s average velocity over its path. Using calculus, it’s possible to calculate an object’s velocity at any moment along its path. This is called instantaneous velocity and it is defined by the equation v = (ds)/(dt), or, in other words, the derivative of the object’s average velocity equation.^[2]

Advertisement

About This Article

Article SummaryX

To calculate instantaneous velocity, start with an equation for velocity in terms of displacement, which should have an “s” on one side for displacement and a “t” on the other for time. Then, take the equation’s derivative and replace the “s” with the notation “ds” over “dt.” Finally, plug in a “t” value and solve the equation to find the instantaneous velocity at any point in time. To learn how to estimate instantaneous velocity graphically, scroll down!

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,050,657 times.