Как найти минимальное покрытие функции

Калькулятор

Метод Квайна

В основе две операции:

где под p понимается некоторая элементарная конъюнкция.

Теорема.
Если в СДНФ какой-либо переключательной функции выполнить все возможные операции неполного попарного склеивания и элементарного поглощения, то в результате получится СкДНФ(сокращенная дизъюнктивная нормальная форма), эквивалентная исходной функции.

Итерационый алгоритм. Задача в нахождении по полной системе импликант (конституэнт единицы) полной системы простых импликант.

Алгоритм:

1. Исходным является множество конституэнт единицы функции – импликанты нулевого ранга.
2. Выполняются все возможные операции неполного попарного склеивания для элементарных конъюнкций длины n. (где n-кол-во аргументов).

   Согласно соотношениям “a.” и “b.” результат – дополнительная импликанта p.

3. Выполняются все возможные операции элементарного поглощения для элементарных конъюнкций длины n-1. (общая часть “p” имеет длину n-1)
4. В результате получилось множество элементарных конъюнкций, разделяемых на два подмножества(по длине):
   • подмножество элементарных конъюнкций длины n (оставшиеся)
   • подмножество элементарных конъюнкций длины n-1

   Элементарные конъюнкции длины n не участвовали в склеивания, а, следовательно, и в поглощении (т.к. поглощаются собственной частью те, которые участвовали в склеивании).
   Следовательно, подмножество элементарных конъюнкций длины n входит в множество простых импликант (импликант нулевого ранга).

5. Если множество элементарных конъюнкций длины n-1 не пусто, то выполняются шаги со второго для конъюнкций длины n-1 и т.д.

Алгоритм завершается, когда подмножество является пустым, либо нельзя выполнить ни одной операции неполного попарного склеивания.

Таким образом, получаем систему простых импликант функции.

Нахождение тупиковых ДНФ

Стратегическая задача нахождения приведенной системы простых импликант заключается в нахождении наилучших покрытий единиц функции простыми импликантами.

Для системы простых импликант для заданной функции может быть получено несколько приведенных систем. Следует считать, что среди них есть такая, которая дает тупиковую нормальную форму минимальной длины.

Алгоритм нахождения приведенных систем простых импликант также является переборным. Задача в том, чтобы обеспечить направленный перебор. Для этого алгоритм строится в виде итерационной процедуры, которая содержит следующие шаги:

1. Находятся такие единицы функции, которые покрываются только какой-то одной импликантой из системы простых импликант (для каждой единицы считаем сколько ее покрывает импликант и отмечаем их).

   Этим импликанты образуют, так называемое, ядро функции. Такие импликанты будут входить в приведенную систему простых импликант. Следовательно, конъюнкции будут входить во все ТДНФ( в том числе минимальные).

2. Исключаются из рассмотрения все единицы функции, покрываемые ядром.
3. Осталось множество непокрытых ядром единицы функции и множество простых импликант, которые не вошли в ядро.

   Повторяем шаг 1 и шаг 2 для оставшихся множеств (находится псевдоядро). Но перед повторением должен быть дополнительный шаг, который уменьшает перебор. (выкидываем из тех, которые покрывают одни и те же единицы(из оставшихся) ту импликанту, которая имеет наибольшую длину)

   И так далее до тех пор, пока не будут покрыты все единицы функции.

   Велика вероятность, что на каком-то шаге не найдется ни одной единицы функции, которая покрывается одной импликантой. В этом случае ищется наилучшее (наименьшей длины) покрытие оставшихся единиц функции методом перебора:

   Если единица функции покрывается импликантами A,B,C,…

   • Пусть A входит в ТДНФ, а B,C,… нет.
   • Пусть В входит в ТДНФ, а A,C,… нет.
   • Пусть C входит в ТДНФ, а A,B,… нет.
   • …

   Таким образом, получаем множество ТДНФ. Затем выбираем из них ДНФ наименьшей длины – получаем {МДНФ}.

Пример минимизации переключательной функции методом Квайна

Функция задана вектором: 883F. Запишем 16-ричное число 883F в двоичной виде в столбец значений функции таблицы истинности.

Набор>	Значение исходной функции	Набор>	Значение исходной функции
0000	1	1000	0
0001	0	1001	0
0010	0	1010	1
0011	0	1011	1
0100	1	1100	1
0101	0	1101	1
0110	0	1110	1
0111	0	1111	1

Цена ДНФ является суммой длин всех входящих в нее конъюнкций.

Минимизация функции методом Квайна.

На данном шаге все импликанты участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому простые импликанты на этом шаге не получены.

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:
,

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:
,

СкДНФ:
v v v

Нахождение тупиковых форм.

Обозначения:

• Единицы ДНФ, покрываемые импликантами СкДНФ, обозначаются “+”.Импликанты, попадающие в ядро помечаются “*”.
• Единицы функции, которые покрываются только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “>”.
• Единицы функции, покрываемые ядром, но не покрываемые только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “>>”.

	>	>>	>	>	>>	>	>>	>>
*	+	+
		+			+
*			+	+			+	+
*					+	+	+	+

Ядро: v v

МДНФ: v v , цена=7

Графический метод минимизации – Карты Карно

Карты Карно – это графическое представление операций попарного неполного склеивания и элементарного поглощения.

Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции.

Карты Карно – определенная плоская развертка n-мерного булева куба.

Строится таблица истинности функции определенным образом. Каждая клетка таблицы соответствует вполне определенной вершине булева куба. Нулевые значения не записываются.

Карта Карно для функции 4-х переменных:

Карта Карно рассматривается как поверхность фигуры под названием тор (“бублик”).

p-клетки – клетки карты Карно, соответствующие единичному значению функции.

Соседние наборы – наборы, которые различаются только одним аргументом (одной орбитой).

Любой паре соседних наборов в Карте Карно соответствуют соседние клетки.

Две соседние p-клетки на карте Карно дают импликанту первого ранга. Например, клетки 1100 и 1101 отличаются только значением переменной x₃, следовательно, они дают импликанту 124.

Две соседние импликанты первого ранга образуют импликанту второго ранга.

На этой карте соседние клетки образуют импликанты a,b,c,d,e. При этом импликанты a и b являются соседними, поэтому они образуют импликанту второго ранга.

Если функция имеет 5 переменных, то рисуются 2 Карты Карно: для x₅=0 и для x₅=1. Если 6 переменных – 4 Карты, так чтобы в соседних картах соседние клетки имели одинаковые координаты:

Соседние p-клетки, соответствующие импликанте образуют компактную группу.

Количество p-клеток в компактной группе является степенью двойки.

Задача минимизации переключательной функции с помощью карт Карно заключается в нахождении импликант высшего ранга (соответствующих компактным группам наибольшей размерности), покрывающих p-клетки функции наилучшим образом.

Если на картах Карно выделить все компактные группы наибольшей размерности, то дизъюнкция соответствующих конъюнкций даст СкДНФ.

Пример минимизации функции 4-х переменных методом Карт Карно

Компактных групп размера 4 – 2
Компактных групп размера 2 – 2

Нахождение тупиковых форм.

Обозначения:

Цветом выделены компактные группы наибольшей размерности, вошедшие в ядро.

Ядро: v v
МДНФ: v v , цена=7

Машинно-ориентированные методы минимизации переключательных функций.

Основаны на применении соответствующих алгебр(или соответствующих алгебраический преобразований).

Вопрос 1. Интервальная форма задания функции. Постановка задачи минимизации.

Геометрический представление: (отображение функции на n-мерный булев куб)
Любому набору значений аргументов соответствует элементарная конъюнкция, содержащая все эти переменные – конституента единицы.

Те вершины n-мерного булева куба, в которых функция принимает единичное значение называются 0-кубами.

Два 0-куба образуют 1-куб, если соответствующие булевы вектора(их координаты) отличаются между собой значением только одной координаты(или одной компоненты). Эти координаты носят название свободной координаты. Обозначение x, остальные координаты 0-куба называются связанными и имеют либо 1, либо 0 значение. 0-кубы, образующие 1-куб называются его гранями. Два 1-куба образуют 2-куб, если свободная координата у них одинакова и они различаются значением только одной связанной компоненты.( 1-кубы – грани соответствующего 2-куба).

…

И так далее до n-куба( в случае тавтологии).

В общем случае, r-куб-это такой куб в булевом пространстве, у которого r свободных компонент и n-r связанных компонент.

Пример:
(1x1xx1) – 3-куб
(1x1x01),(1x1x11)- два 2-куба. Они являются гранями этого 3-куба(образуют его).

Если для какой-то функции взять все возможные кубы одинаковой размерности, то получаем множество кубов(или комплекс кубов).
K^r(f) – комплекс r-кубов функции f/

Для некоторой функции всегда есть комплекс


(Если Kⁿ(f) содержит куб, то f – константа 1

оператор граней:

C^r=(a₁a₂…a_n-1a_n)-куб,

где a∈{0,1,x}, тогда для этого куба можно вычислить грани этого куба. Грани куба:

∂ip(a1a2…an-1an)=		a1a2…ai-1 p ai+1…an-1an, ai=x, p∈{0;1}
∅, ai ≠ x

где C-получаемый куб.

При a_i=x есть две грани (вместо i-ой либо 0, либо 1).

Оператор сограней

позволяет вычислить куб большей размерности, гранью которого может быть этот куб.

δi(a1a2…an-1an)=		a1a2…ai-1 x ai+1…an-1an, ai≠x, Cr+1⊆K(f)
∅, ai=x, Cr+1⊄K(f)

Подмножество вершин булева куба, соответствующие кубу размерности r называется интервалом булева пространства ранга r. (интервал 1 ранга – 1×1, интервал 2 ранга – x1x)

Для нашего примера:
K⁰(f)={101,110,111,010,011}
K¹(f)={01x,11x,1×1,x11,x10}
K²(f)={x1x}

В общем случае комплекс кубов определенного ранга не является покрытием исходной функции(за исключением K⁰).

В нашем примере K² не является покрытием, хотя K¹ – покрытие.
K(f)=K⁰∪K¹∪K² – для нашей функции

Куб большей размерности покрывает кубы меньшей размерности, если они могут быть получены из него последовательным применением оператора граней.

(x1x) имеет грани (01x) и (11x), которые имеют грани : (010),(011) и (110),(111)

Если взять интервал булева пространства, то аналитически его можно описать в виде соответствующих элементарных конъюнкций.

Некоторый комплекс кубов – L, таких, что каждая вершина из комплекса K⁰(f) включена по крайней мер в один из кубов комплекса L, называется покрытием комплекса K функции f.

Каждое покрытие комплекса K(f) определяет некоторую ДНФ переключательной функции.

Покрытие можно рассматривать (с точки зрения реализации), как двухуровневую схему.

Не учитывается инверсия аргументов на нулевом уровне.

Минимизация
Цена r-куба: c=n-r – число связанных переменных, количество символов в элементарной конъюнкции(совпадает с ценой в смысле Квайне)


–цена покрытия, где q_r-количество кубов размерности r в покрытии L.

-вторая функция цены покрытия(учитывает число кубов)

Задача минимизации: Найти такое покрытие L комплекса K(f), цена которого будет минимальна – минимизация в смысле Квайне.

Задача решается алгебраически, вводится свой математический аппарат. Это аппарат исчисления кубических комплексов (задает операции над кубами).

Каждая операция проходит в два этапа:

I Этап. Предварительное вычисление путем покоординатной обработки кубов по правилам, задаваемым с помощью таблиц покоординатной обработки.

II Этап. Окончательный.

Зададим операции над кубами:
a = (a₁ a₂ … a_n)

b = (b₁ b₂ … b_n)

1. Операция *: c=a*b

   По содержанию * – это нахождение куба некоторой размерности r, грани которого содержаться в кубах a и b.

   ci=ai*bi
   	0	1	x
   0	0	y	0
   1	y	1	1
   x	0	1	x

   a*b =		∅, если ∑αici>1
   c, если ∑αici≤1

   где αici =		0, ci≠y
   1, ci=y

   c = ([a₁*b₁] … [a_n*b_n]).

   При чем, если результат операции – y, то y заменяется на x.

   (101)*(111) после предварительной обработки: =(1y1) Окончательный вариант: =(1×1)

   (x11)*(101)=(1×1)

   (x10)
   (101)
   (1yy)
   ∅	– нет общих граней

2. Операция пересечения кубов.
   
   c = a ∩ b
   
   покоординатно!
   

   ci=ai∩bi
   	0	1	x
   0	0	∅	0
   1	∅	1	1
   x	0	1	x

   a ∩ b =		∅, если ∃i (ai∩bi = ∅
   c в противном случае

   Пересечение – нахождение общей части булева пространства, покрываемой этими кубами (т.е. куба или грани какого-то уровня)
   
   (1×1)∩(x1x)=(111)

3. Операция вычитания кубов (#).
   

   ci=ai#bi
   	0	1	x
   0	z	y	z
   1	y	z	z
   x	1	0	z

   * и ∪ обладают свойством коммутативности, но a#b ≠ b#a !

   Операция вычитания кубов удаляет из куба a общую часть кубов уменьшаемого и вычитаемого (т.е. пересечение кубов a и b).

   В результате вычитания можем иметь несколько кубов.
   
   Если куб a входит в куб b, то результат – ∅
   
   Пример:
   
   
   
   a#b = (1×1)#(x11) = (z0z) = (101)
   
   c#b = (1xx)#(x11) = (z00) = {(10x),(1×0)}

Нахождение множества простых импликант

K(f)=K⁰∪K¹∪…∪Kⁱ∪…∪K^n-1 – комплекс K функции f

z⊆K является простой импликантой этого комплекса, если δ_i(z)=∅ (δ_i – оператор сограней), то есть не существует какого-либо другого куба, который бы включал в себя исходный куб z.

Z(f)={z} – множество импликант для функции f

Необходимо получить весь комплекс K функции f, используя операторы граней и сограней.

Берем куб z из K и проверяем, есть ли какой-то куб, гранью которого является рассматриваемый.

Операция *(“звездочка”) позволяет получить множество Z – кубов, соответствующих простым импликантам функции.

Алгоритм (*) – нахождение множества кубов, соответствующих простым импликантам функции.

Предположим есть некоторый комплекс Ĉ₀, являющийся покрытием комплекса K(f), т.е.

1. Ĉ₀(f) – неупорядоченное покрытие
   
   причем одна и та же единица функции может покрываться несколькими кубами
2. C₀ = Ĉ₀ – {c₁ | c₁ ∈ Ĉ₀ ∧ c₂ ∈ Ĉ₀ ∧ c₁ ⊆ c₂}
   
   (тоже, что и поглощение в методе Квайне)
3. C₀*C₀ попарно
4. в результате 3) находится множество 0-кубов:

   Z₀ = { c⁰ | c⁰ * C₀ не содержит никаких 1-кубов }
   
   – это такие кубы, которые в результате операции * не дают никаких 1-кубов

5. вычисляется Ĉ₁:
   
   Ĉ₁ = C₀ ∪ (C₀*C₀)
6. C₁ = Ĉ₁ – { c | c ⊆ d, c,d∈Ĉ₁ } – {0-кубы, получившиеся в результате операции *, и Z₀}
   
   ( (1×1)*(x11)= (111) )
7. C₁ * C₁
8. Z₁
9. Ĉ₂
10. C₂ (удаляем 0-кубы и 1-кубы)

и так далее (итерационный процесс)

Ĉ₀(f) – исходное покрытие K(f)

C₁(f) и т.д. в общем случае покрытием функции не являются

C₁(f) ∪ Z₀ ⊆ K – является покрытием K(f)

Алгоритм заканчивается, когда на каком-то шаге получаем множество C, содержащее один куб.

Результат – множество Z – множество простых импликант.

Z = ∪Z_i

Алгоритм извлечения

ИЗ множества простых импликант извлечь те (выбрать такое подмножество кубов) простые импликанты, которые:

1. Является покрытием исходного множества кубов функции;
2. С минимальной ценой покрытия, если покрытий несколько.

Для решения этой задачи исходные данные фактически – исходный комплекс функции, то есть некоторый исходный комплекс K⁰(f) и Z(f).

Определение: возьмем некоторую вершину d∈K₀. Говорят, что эта вершина является обособленной вершиной комплекса на множестве простых импликант Z, если существует такой куб z∈Z, что вершина d накрывается только этой импликантой z.

Такая импликанта будет простая. Вершина d называется различающей. А импликанта получила название экстремаль.

Любое минимальное покрытие содержит экстремали нулевого ранга.

Пример:



Различающие вершины: (0;0;1) и (0;1;0)

E₀={ a, d}, осталось покрыть одну вершину – (1;1;1)

Задача минимизации: необходимо найти все обособленные вершины и выделить импликанты, накрывающие эти обособленные вершины.

Такие импликанты образуют множество экстремалей.

Задача решается, если известно K⁰(f), то есть все вершины.

В общем случае задачи минимизации функция задана некоторым комплексом K(f), который состоит не только из 0-кубов. Тогда можно найти все 0-кубы и решить задачу, а можно и не находить.

1. Некоторая простая импликанта e∈Z является экстремалью, если e∩K ≠ e∩U'(e,Z)∩K, а e∩K ≠ ∅,
   
   U'(e,Z) = U(e,Z) – e,
   
   U(e,Z) = { z | z∈Z, Z∩e ≠ ∅}.
   
   Z – множество простых импликант,
   
   U(e,Z) – окрестность куба e, т.е. все простые импликанты из Z, которые имеют общие части с импликантой e.
   
   U'(e,Z) – окрестность без самой импликанты.

   Функция может быть не полностью определена:

   L – комплекс, где функция определена и равна 1,

   D – комплекс, где значение функции не определено,

   тогда K=L∪D.

   но чаще экстремали вычисляют по одному соотношению:

2. [e#(Z-e)]∩K≠∅
   
   e#(Z-e) – те вершины булева куба, которые накрываются только e и не накрываются всех оставшейся частью Z.
   
   + эти вершины присутствуют в комплексе K (или L для неполностью определенной функции)

   Если из простой импликанты e удалить все подкубы (Z-e), и остается, по крайней мере, одна вершина булева куба, которая содержится в исходном комплексе функции, то оставшиеся вершины является выделенными, или отмеченными.

   Алгоритм нахождения экстремалей также итерационный.

Нахождение множества экстремалей

1. Каждая простая импликанта проверяется на наличие в ней выделенной вершины, т.е. вычисляется e#(Z-e), если результат вычитания кубов не пустой, то такая импликанта может быть экстремалью.

   Как правило, вычитание e#(Z-e) сводится в таблицу.

2. Каждый кандидат на экстремаль проверяется на пересечение с комплексом единичных значений функции.

   Если результат пересечения не пустой, значит в L (комплексе единичных значений) имеются обособленные вершины, а e является экстремалью.

   Получаем множество экстремалей нулевого ранга – E₀ = {e}. В смысле Квайна оно соответствует ядру функции.

3. Находим ₁ = Z₀ – E₀
   
   Т.е. из множества простых импликант удаляем множество экстремалей нулевого ранга.
   
   Находим L₁ = L₀ # E₀, т.е. находятся все вершины, не покрытые экстремалями.
   
   ₁ – оставшаяся часть множества простых импликант, неупорядоченное множество простых импликант.

   Операция, которая позволяет сократить в последующем перебор и исключить из _i не максимальные кубы – упорядочивание.

   Пусть u∈₁, v∈₁. Говорят, что u1 удовлетворяет условию u∩L₁ ⊆ v∩L₁.
   
   ( вершины из L₁, покрываемые u, покрываются и кубов v )

   В этом случае из кубов u,v выбираем при упорядочивание куб v.

   Если кубы разной размерности, а вершины покрывают одинаковые – то оставляем куб большей размерности ( цена = n – r ).

   Таким образом, ₁ => Z₁ (находится Z₁ – упорядоченной множество оставшихся простых импликант), применением процедуры упорядочивания.

4. Остались Z₁ и L₁

   (Z₁,L₁) => E₁ по тому же алгоритму.

   Затем ₂ => Z₂; L₂ = L₁#E₁; (Z₂,L₂) => E₂ и т.д.

Два варианта окончания алгоритма:

1. L = ∅ => покрытие единственное
   
   E = ∪E_i
2. L ≠ ∅ Если проверка на экстремальность не дает результата, т.е. ни одна простая импликанта не содержит квазеопорных вершин, а операция упорядочивания не дает результата.
   
   Пример:
   
   

   В этом случае не остается никакого другого варианта решения, кроме волюнтаристского.

   Берется любая простая импликанта, для которой выдвигается две гипотезы (Алгоритм ветвления):

   1. простая импликанта входит в минимальное покрытие

      e∈E
      
      находим L_i+1=L_i#{e}, упорядочиваем Z и вновь применяем алгоритм извлечения (возможно еще ветвление).

   2. простая импликанта не входит в минимальное покрытие

      e∉E
      
      удаляем e из Z_i (находим _i+1), упорядочиваем _i+1 => Z_i+1
      
      L_i+1 = L_i
      
      И применяем алгоритм извлечения.

   Таким образом, при ветвление получаем множество покрытий, сравниваем по цене и выбираем наименьшей.

Все вычисления в ручном варианте сводятся к вычислениям над таблицами.

Минимизация функции методом кубических покрытий.

Рассмотрим комплекс кубов К(f) = L D, где L – множество единичных наборов, D – множество наборов, на которых ДНФ не определена.

Будем выполнять операцию “*” для получения множества простых импликант.

Z₀=Ø
Ĉ₁=C₀∪(C₀*C₀)
C₁=>

Z₁=
Ĉ₂=C₁∪(C₁*C₁)
C₂=>

Z₂=
Ĉ₃=C₂∪(C₂*C₂)
C₃=>Ø
Z = Z₀∪Z₁∪Z₂
Z=>

Нахождение тупиковых форм.

E₀:
L₁=L₀#E₀

L₁:Ø
₁=Z₀-E₀

₁ => Z₁
Z₁:

E:

МДНФ: v v , цена=7

Содержание

1. Постановка задачи
2. Решение задачи
   1. Анализ переключательной функции
   2. Метод Квайна
   3. Карты Карно
   4. Кубические покрытия
3. Анализ полученных результатов
4. Список литературы

1. Постановка задачи

Минимизировать переключательную функцию шести аргументов. Функция задана в виде наборов, на которых значения функции равны единице либо не определены. Наборы задаются в шестнадцатеричной системе счисления. В скобках заданы наборы, на которых значение функции не определено:

y => (2) v (3B) v (20) v (21) v (1D) v (6) v (1B) v (D) v (24) v (2C) v (23) v (B) v 36 v 1C v 3A v 7 v A v 8 v 10 v 38 v 12 v 15 v 5 v 1F v 3F v 1A v 17 v 3E v 3D v 39 v 9 v 37 v 19 v 2A v 11 v 18 v 4 v 3C v 2E v 29 v 0 v 2D v 28 v 25 v 14 v 1E

Необходимо выполнить следующие задачи:

1. Доопределить функцию нулями, минимизировать полученную функцию методом Квайна;
2. Доопределить функцию единицами и произвести минимизацию, используя карты Карно;
3. Минимизировать исходную функцию методом кубических покрытий;
4. Проанализировать полученные результаты;

2. Решение задачи

2.1 Анализ переключательной функции

Представим исходную последовательность в виде таблицы истинности.

Исходная последовательность:

(2) v (3B) v (20) v (21) v (1D) v (6) v (1B) v (D) v (24) v (2C) v (23) v (B) v 36 v 1C v 3A v 7 v A v 8 v 10 v 38 v 12 v 15 v 5 v 1F v 3F v 1A v 17 v 3E v 3D v 39 v 9 v 37 v 19 v 2A v 11 v 18 v 4 v 3C v 2E v 29 v 0 v 2D v 28 v 25 v 14 v 1E

‘?’ обозначено значение наборов, на которых функция не определена.

Цена ДНФ является суммой длин всех входящих в нее конъюнкций.

2.2 Минимизация функции методом Квайна.

Доопределим функцию нулями, получим конституэнты единицы, затем выполним операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения.

На данном шаге все импликанты участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому простые импликанты на этом шаге не получены.

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:
x₂x₃x₄x₅x₆ , x₁x₂x₄x₅x₆

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:
x₁x₃x₅x₆ , x₁x₄x₅x₆ , x₁x₃x₄x₅ , x₁x₃x₄x₆ , x₁x₂x₃x₅ , x₁x₂x₄x₅ , x₁x₂x₄x₆ , x₁x₂x₅x₆ , x₂x₄x₅x₆ , x₂x₃x₄x₅ , x₁x₃x₅x₆ , x₁x₃x₅x₆ , x₁x₂x₄x₅ , x₁x₂x₃x₅ , x₁x₂x₃x₄

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:
x₃x₄x₅ , x₃x₄x₆ , x₂x₃x₆

СкДНФ:
x₂x₃x₄x₅x₆ v x₁x₂x₄x₅x₆ v x₁x₃x₅x₆ v x₁x₄x₅x₆ v x₁x₃x₄x₅ v x₁x₃x₄x₆ v x₁x₂x₃x₅ v x₁x₂x₄x₅ v x₁x₂x₄x₆ v x₁x₂x₅x₆ v x₂x₄x₅x₆ v x₂x₃x₄x₅ v x₁x₃x₅x₆ v x₁x₃x₅x₆ v x₁x₂x₄x₅ v x₁x₂x₃x₅ v x₁x₂x₃x₄ v x₃x₄x₅ v x₃x₄x₆ v x₂x₃x₆

Нахождение тупиковых форм.

Обозначения:

• Единицы ДНФ, покрываемые импликантами СкДНФ, обозначаются “+”.Импликанты, попадающие в ядро помечаются “*”.
• Единицы функции, которые покрываются только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “>”.
• Единицы функции, покрываемые ядром, но не покрываемые только какой-то одной импликантой из системы простых импликант, помечаются “>>”.