Как найти минимальное значение выражения

Здравствуйте, дорогие любители математики! А может и не только любители, но и профессионалы! Сегодня мы разберем довольно интересную задачку, которую я встретила, просматривая варианты ОГЭ прошлых лет.

Кстати, весьма интересно было бы узнать немного больше о своих читателях! Напишите в комментариях, почему Вам интересен мой канал, да и вообще математика. И кто Вы – профессионал или любитель?

Ну что ж, после знакомства, предлагаю перейти к задаче.

Задание. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается:

Если Вам удастся найти более простое или интересное решение, чем то, которое будет представлено в статье, предлагаю не жадничать и поделиться им в комментариях!

А мы перейдем к тому решению, которое предлагаю я.

Так как нужно найти наименьшее значение выражения, представляющего собой сумму двух модулей, то нужно заметить, что оба слагаемых неотрицательные. Следовательно, самое маленькое значение, которое могут принимать они сами, а, следовательно и их сумма, это нуль. Запишем это в виде системы:

Чтобы получить значения x и y остается только решить данную систему. Умножим второе уравнение на -3.

Теперь сложим эти уравнения:

Решаем получившееся уравнение и находим y:

Подставляем это значение во второе уравнение исходной системы и находим x:

Таким образом, мы пришли к ответу. Наименьшее значение выражения равно нулю, а x и y, при которых это значение достигается выделены на картинке выше.

Если Вам понравилась статья – ставьте лайки, пишите комментарии и не забывайте подписываться на канал. Там уже много интересных задач.

The restriction on the variable values is necessary, as we see from a geometrical interpretation of the problem. The second term in the function $ E $ is undefined on the plane $ x + y + z + 1 = 0 $ , which intersects the sphere $ x^2 + y^2 + z^2 = 5 $ :

So there is a circle of intersection on which the term $ frac{96}{x + y + z + 1} $ is undefined. As we approach this circle from points on the surface where the sum $ x + y + z + 1 $ is positive, the function $ E $ will tend to positive infinity, and will tend to negative infinity as we approach the circle from the other side of the plane. The function $ E $ then has no global maximum or minimum.

Since no part of this circle enters the first octant, however, $ E $ is positive and remains finite there, so we can investigate local minima in that portion of the spherical surface. The function is unaffected by “exchanges” of the variables, so we can expect that critical points may be found in places where the function has symmetry.

This is borne out by finding the loci of points where the first partial derivatives of the function equal zero:

$$ E_x = xy^2 + xz^2 – frac{96}{(x + y + z + 1)^2} = 0 $$

$$ Rightarrow x (y^2 + z^2) = frac{96}{(x + y + z + 1)^2} , $$

and similarly for $ E_y $ and $ E_z $ . The right-hand sides of these equations are all identical; if we apply the “spherical surface constraint”, we can write

$$ x (5 – x^2) = y (5 – y^2) = z (5 – z^2) . $$

(Applying Lagrange multipliers does not appear to be as helpful, as the method also produces a symmetric equation of this sort, but one which is much more difficult to resolve.)

If we graph a single pair of terms, $ x (5 – x^2) = y (5 – y^2) $ , from this equation, we observe this:

the circle in blue is the “equator” of our sphere

Our expectation is confirmed, at least in the $ xy-$ plane, that the critical points are found either on the line $ y = x $ or on the coordinate axes. When we view this in three dimensions, however, the equation $ x (5 – x^2) = y (5 – y^2) $ describes a “cylinder”, and the intersection with the spherical surface resembles an ellipse with a “meridian line” running through it:

The simplest points to examine are those for which $ z = 0 $ and either $ x $ or $ y $ are also zero. For $ y = 0 $ , we have $ x^2 = 5 Rightarrow x = sqrt{5} $ ; so at $ ( sqrt{5}, 0, 0 ) $ and $ ( 0, sqrt{5}, 0 ) $ , we find $ E = frac{96}{1 + sqrt{5}} approx 29.67 $ , which chenbai identifies as a local maximum.

The next simplest place to check on the “equator” is where $ y = x $ , at $ left( sqrt{frac{5}{2}}, sqrt{frac{5}{2}}, 0 right) $ , for which

$$ E = frac{1}{2} left( sqrt{frac{5}{2}} right)^4 + dfrac{96}{ 1 + 2 left( sqrt{frac{5}{2}} right) } = frac{25}{8} + dfrac{96}{ 1 + sqrt{10} } approx 26.19 . $$

We should also look at the “meridian line” , $ y = x $ , with $ z = sqrt{5 – 2x^2} $ , requiring us to examine

$$ dfrac{1}{2}( x^4 + 2x^2 [5 – 2x^2] ) + dfrac{96}{1 + 2x + sqrt{5 – 2x^2} } . $$

Perhaps a bit surprisingly, the minimum lies approximately at $ ( 0.886, 0.886, 1.852) $ , at which $ E approx 23.76 $ ; this point is on the meridian line, but inside the wall of the elliptic cylinder depicted in the above diagram. (I used a graph to locate this, since differentiation produces a rather daunting algebra problem to solve. The graph also confirms the values of $ E $ computed at the locations mentioned above, with $ x = y = 0 Rightarrow E approx 29.67 $ at the “north pole” of the sphere.)

If we put together all three pairs of equations in $ x (5 – x^2) = y (5 – y^2) = z (5 – z^2) $ , we have three mutually orthogonal “cylinders”, which look like this:

So an additional point we ought to check is on the line $ x = y = z $ (as the “exchange symmetry” of the function initially suggested), that being
$ left( sqrt{frac{5}{3}}, sqrt{frac{5}{3}}, sqrt{frac{5}{3}} right) $ , for which we obtain

$$ E = frac{1}{2} cdot 3 left( sqrt{frac{5}{3}} right)^4 + dfrac{96}{ 1 + 3 left( sqrt{frac{5}{3}} right) } = frac{25}{6} + dfrac{96}{ 1 + sqrt{15} } approx 23.867 . $$

On examining the aforementioned graph for $ y = x $ , this turns out to be an extremely shallow maximum.

The value of the function here is actually slightly larger than it is at the point $ ( 0.886, 0.886, 1.852) $ . Hence, there appear to be three minima of $ E $ , since the function is unchanged by “cyclic rotation” of its variables. The minimum value of about $ 23.76 $ occurs at $ ( 0.886, 0.886, 1.852) , ( 0.886, 1.852, 0.886) $ , and $ ( 1.852, 0.886, 0.886) $ .

[There are also very shallow local minima for points where two of the coordinates have the value $ 1.335 $ and $ E approx 23.867 $; otherwise, I essentially confirm chenbai‘s conclusions.]

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

1. Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
2. Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
3. Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

 Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
2. Если запись непрерывная – ищем производную.
3. После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
4. Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
5. Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
6. Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

Здесь:

1. Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
2. Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
3. На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.