Как найти минимальный момент сопротивления

При расчете стальных балок необходимо руководствоваться СП 16.13330 «Стальные конструкции».

В данном обзоре я рассмотрю расчет балок 1-го класса напряженно-деформированного состояния (напряжения по всей площади напряжения не превышают расчетного сопротивления стали). Расчёт подкрановых, бистальных, защемленных и многопролетных балок будет рассмотрен отдельно.

Элементы конструкции должны иметь запас прочности по 1-му  и 2-му предельному состоянию.

По 1-му предельному состоянию проверяется прочность элементов. Нагрузки для расчета по 1-му предельному состоянию выше, чем по 2-му предельному состоянию т.к. используются коэффициенты запаса для нагрузок.

По 2-му предельному состоянию проверяются деформации конструкции.

Расчеты по 1-му предельному состоянию:

1. Расчет на прочность при действии изгибающего момента
2. Расчет на прочность при действии поперечной силы
3. Расчет на прочность стенки балки при действии сосредоточенной силы
4. Расчет на прочность в опорном сечении
5. Расчет на общую устойчивость
6. Расчет на устойчивость стенок и поясных листов балки

Расчеты по 2-му предельному состоянию:

1. Расчет прогиба балки

1.       Расчет на прочность при действии изгибающего момента

В первую очередь необходимо подобрать балку по изгибающему моменту.

Прочность стальной балки на изгиб проверяется по следующей формуле (п.8.2.1 СП 16.13330.2011 или 5.12 СНиП II-23-81*):

где M – максимальный момент, возникающий в балке (находится по эпюре моментов);

W_n,min – момент сопротивления сечения (находится по таблице или вычисляется для данного профиля), у сечения обычно 2-а момента сопротивления сечения, в расчетах используется Wx если нагрузка перпендикулярна оси х-х профиля или Wy если нагрузка перпендикулярна оси y-y;

R_y – расчетное сопротивление стали при изгибе (задается в соответствии с выбором стали);

γ_c – коэффициент условий работы (данный коэффициент можно найти в таблице 1 СП 16.13330.2011 Стальные конструкции либо таблице 6* СНиП II-23-81) для балок сплошного сечения коэффициент равен 0,9, при расчете по сечению, ослабленному отверстиями 1,1.

Из этой формулы можно вычислить минимально требуемый момент сопротивления сечения.

Вначале вычисляем максимальный момент от нагрузок. На этом этапе мы еще не знаем массу балки и ее можно не учитывать при предварительном расчете.

Далее выбираем марку стали. При выборе марки стали необходимо учитывать класс конструкции и климатические условия эксплуатации – если конструкция эксплуатируется в холодном климате в неотапливаемом здании, то марка стали не должна быть хрупкой. Прочность стали выбирается исходя из экономического расчета – несмотря на то, что с увеличением марки стали ее стоимость увеличивается, сечение балки из более прочной стали может быть меньше и соответственно будут меньше нагрузки. Для того, чтобы выбрать оптимальную марку стали необходимо сделать несколько расчетов и оценить их.

После того, как мы предварительно рассчитали минимальный момент сопротивления сечения (W_n) подбираем из сортамента профиль, имеющий W не много выше чем требуемый и имеющий наименьшую массу. Для балок оптимальным профилем является двутавр, швеллер. Возможно использование составного сечения из листов. При расчете важно правильно учесть положение профиля – W_x используется, если ось x-x перпендикулярна направлению приложения нагрузки. Соответственно профиль необходимо располагать так, чтобы момент сопротивления сечения был максимальным (от того как расположить профиль многое зависит).

После выбора сечения необходимо прибавить к изгибающему моменту момент, создаваемый массой балки и вновь проверить сечение.

Если балка расположена под углом, то расчет прочности при изгибе производят по следующей формуле:

где требуется разложить силу на направляющие по оси х-х и у-у и отдельно вычислить максимальные моменты Mx и My вокруг оси х-х и у-у соответственно.

В СП 16.13330.2011 дополнительно требуют учитывать бимомент, формула выглядит следующим образом:

где

x и y — расстояния от главных осей до рассматриваемой точки;

Ixn,Iyn — моменты инерции сечения, находятся по таблице согласно ГОСТ-у на выбранный профиль;

B — бимомент;

Iω — секториальный момент инерции сечения, можно найти в приложении 3 руководства по подбору сечений стальных конструкций;

ω — секториальная площадь.

Здесь рассматриваются несколько точек, как правило 4 крайние точки профиля и для них проверяют условия, знаки подбирают согласно эпюрам напряжения. Подробно расчет профилей с учетом бимомента расписано в книге Д.В.Бычкова Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций.

Для прогонов наклонной кровли из швеллера для упрощения расчета бимомент можно не учитывать т.к. он разгружает профиль на 10-15%, и это будет запасом прочности. В других случаях рекомендуется принимать конструктивные меры препятствующие возникновению закручивающего момента.

2.       Расчет на прочность при действии поперечной силы

Далее необходимо проверить профиль на действие касательных (поперечных) сил по формуле:

где Q – наибольшая поперечная сила (можно определить согласно эпюре Q), для балки наибольшее значение получается на опорах;

S – статический момент сдвигаемой части сечения (определяется по таблице для выбранного профиля);

I – момент инерции сечения (определяется по таблице для выбранного профиля);

t_w – толщина стенки балки;

Rs — расчетное сопротивление стали сдвигу, равно 0,58 от Ry согласно Таблице 2 СП 16.13330.2011;

γ_c – коэффициент условий работы (данный коэффициент можно найти в таблице 1 СП Стальные конструкции) для балок сплошного сечения коэффициент равен 0,9, при расчете по сечению, ослабленному отверстиями 1,1.

Если профиль не удовлетворяет условию, то необходимо увеличить сечение.

3.       Расчет на прочность стенки балки при действии сосредоточенной силы

Расчет на прочность стенки балки, не укрепленной ребрами жесткости, при действии сосредоточенной силы и в опорных сечениях определяют по формуле:

где

здесь F – расчетное значение нагрузки;

l_ef – условная длина распределения нагрузки;

t_w – толщина стенки балки.

Условную длину распределения нагрузки можно определить по формуле

для следующих случаев:

для прокатной балки:

где b – ширина полки швеллера

h – сумма толщины верхней полки и радиуса закругления

для сварной балки:

где h – сумма толщины верхней полки и катета сварного шва.

4.       Расчет на прочность в опорном сечении

Расчет на прочность в опорном сечении балки (при M_x=0 и M_y=0) следует определять по формулам:

где A_w– площадь сечения стенки,

A_f– площадь сечения полки,

R_s–расчетное сопротивление стали сдвигу.

При ослаблении стенки отверстиями для болтов левую часть формулы необходимо умножить на коэффициент α, который находиться по формуле:

где s – шаг отверстий в одном ряду;

d – диаметр отверстия.

Расчет на прочность для защемленных и неразрезных балок мы рассмотрим отдельно.

5.       Расчет на общую устойчивость

Далее необходимо проверить балку на устойчивость.

Данный расчет можно не выполнять:

а) при передаче нагрузки через сплошной жесткий настил (плиты железобетонные, плоский или профилированный металлический настил, волнистая сталь и т.п.), непрерывно опирающийся на сжатый пояс балки и надежно с ним связанный (с помощью сварки, болтов, самонарезающих винтов), при этом силы трения учитывать не стоит;

б) если условная гибкость сжатого пояса балки меньше предельных значений. Условная гибкость вычисляется по формуле:

Предельное значение гибкости пояса вычисляется по формулам:

при приложении нагрузке к верхнему поясу

при приложении нагрузке к нижнему поясу

независимо от уровня приложения нагрузки при расчете участка балки между связями или при чистом изгибе

где b – ширина сжатого пояса;

t – толщина сжатого пояса;

h – расстояние (высота) между осями поясных листов.

Примечания

1. Значения предельной гибкости определены при 1≤ h/b ≤6 и 15≤ b/t ≤35; для балок с отношением b/t<15 в формулах следует принимать b/t=15.
2. Для балок с фрикционными поясными соединениями предельную гибкость следует умножать на 1,2

Проверка общей устойчивости при изгибе в плоскости стенки, совпадающей с плоскостью симметрии сечения, осуществляется по следующей формуле:

если изгиб происходит в 2-х плоскостях (и наличии секториальных напряжений), тогда проверку осуществляют по формуле:

где φ_b – коэффициент устойчивости при изгибе, подробный расчет коэффициента устойчивости (φ_b) приведен в приложении Ж СП 16.13330.2011 Стальные конструкции;

W_cx – момент сопротивления сечения относительно оси x-x, вычисленного для сжатого пояса;

W_y – момент сопротивления сечения относительно оси y-y, совпадающий с плоскостью изгиба;

W_ω – секторальный момент сопротивления сечения.

При расчете значения φ_bза расчетную длину балки lef следует принимать расстояние между точками закрепления сжатого пояса от поперечных смещений. При отсутствии связей lef=l (где l – пролет балки).

Если в процессе расчета выясняется, что общая устойчивость балки не обеспечивается, то следует уменьшить расчетную длину сжатого пояса, изменив систему связей.

6.       Расчет устойчивости стенок и поясных листов балки

Устойчивость стенок балок 1-го класса следует считать обеспеченной если условная гибкость стенки, вычисленная по формуле:

где:

hef — расчетная высота стенки, принимаемая согласно требованиям 7.3.1 СП 16.13330.2011;

tw — толщина стенки балки;

Ry — расчетно сопротивление стали при изгибе;

E — модуль упругости стали равный 210 ГПа (210 000 МПа)

Условная гибкость стенки не должна превышать значений:

3,5 – при отсутствии местного напряжения в балках с двухсторонними поясными швами;

3,2 – при отсутствии местного напряжения в балках с односторонними поясными швами;

2,5 – при наличии местного напряжения в балках с двухсторонними поясными швами.

Если условная гибкость стенки выше требуемой, то стенки необходимо усилить ребрами жесткости и сделать проверку согласно п. 8.5.3 СП 16.13330.2011.

7.       Расчет прогиба балки

Расчет на 2-е предельное состояние балки заключается в расчете максимального прогиба.

Высокие деформации могут привезти к нарушению герметичности, невозможности эксплуатации, плохому эстетическому восприятию конструкции, поэтому конструкция не должна сильно деформироваться. Предельные прогибы конструкций приведены в приложении Е СП 20.13330 Нагрузки и воздействия

К примеру, для балки покрытия, длиной 6 м, предельный прогиб составляет 1/200 длины пролета т.е. 30 мм.

Формула определения прогиба зависит от способа приложения нагрузки, например однопролетной шарнирно-закрепленной с равномерно-распределенной нагрузкой прогиб рассчитывается по формуле:

где q – равномерно-распределенная нагрузка, выраженная в кг/м (Н/м);

l – длина балки в метрах;

E – модуль упругости (для стали равен 200-210 ГПа);

I – момент инерции сечения.

Для других способов нагрузки балки формулы смотрите в справочниках по сопротивлению материалов.

Если расчетный прогиб больше допускаемого, то следует увеличить сечение балки.

____________________________________________________________

Как найти расчетный момент и поперечную силу читайте в статье Построение эпюр балки

Как правильно закрепить балку на колонне читайте в статье Опорные узлы балки

Как рассчитать балку в SCAD и подобрать сечение читайте в статье Расчет балки в SCAD