Как найти минимальный периметр прямоугольника

Периметр

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Иногда для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, в которых периметр обозначается заглавной латинской буквой « P ».

Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.

При нахождении периметра мы рекомендуем писать название фигуры маленькими буквами под знаком « P », чтобы не забывать чей периметр вы находите.

Периметр прямоугольника — это сумма длины и ширины, умноженная на « 2 ».

Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), мы называем длиной и шириной.

AB = 3 см, BC = 7 см

P_ABCD = (AB + BC) · 2
P_ABCD = (7 + 3) · 2 = 10 · 2 = 20 (см)

Периметр квадрата — это длина стороны квадрата, умноженная на « 4 ».

KE = 7 см

P_EKFM = 4 · KE
P_EKFM = 4 · 7 = 28 (см)

Как найти периметр многоугольника

Периметр любого многоугольника (в том числе и периметр треугольника) рассчитывается по определению периметра. Для этого надо просто сложить длины всех сторон многоугольника.

P_ABCDE = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 4 + 3 + 2 + 2 = 14 (см)

Источник

Наименьший периметр многоугольника через площадь

Наверное часть из вас, знает легенду о возникновении города Карфаген.

В этой красивой легенде, есть математическая часть, которую не все замечают.

Каким образом царица должна разместить разрезанные полосы, что бы получить максимальную площадь?

Прямоугольник? Квадрат? Многоугольник?

В общем случае, задача совсем нетривиальная и ей посвящены работы серъезных ученых..

Но если говорить о геометрических фигурах, не «прижатых» к побережью, то здесь проще.

Итак задача формулируется так: Какая из геометрических фигур при одинаковой площади S имеет наименьший периметр P?

Рассматриваем только правильные геометрические фигуры, которые имеют одинаковые стороны.

Общая формула связывающая количество сторон (n) многоугольника, длину стороны (a) с площадью (S) выглядит вот так

тогда периметр (P) будет находится как

Для четырехугольника (квадрата)

Как видно при постоянной площади, минимальный периметр будет у шестиугольника. Конечно, если будем сравнивать 6-ти угольник с 12-ти угольников то 12 угольник выиграет по минимальному преиметру.

И естественно что лидером будет простая окружность которая является такой геометрической фигурой у которой при той же самой площади, периметр будет минимальным.

В природе однако встречаются чаще всего шестиугольники. Это строение глаз (фасетки) насекомых, это и строительство сот у пчёл, и еще много чего имеет шестиугольную форму.

Почему так? Просто шестиугольник обладает еще одним преимуществом, с помощью которого можно закрыть любую площадь с минимальными «потерями» — пустым местом между ячейками.

Посмотрите на игру «Мозаика». Какую форму имеют детали игры?

Поэтому шестиугольник так распространен в природе.

— закрывает всю площадь

— для строительтсва такой «соты» необходимо потратить минимальное количество материала, по сравнению например с треугольной или квадратной формой.

Источник

Как найти периметр фигуры

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение периметра

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.

В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.

Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.

Формулы нахождения периметра

Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.

Равносторонний многоугольник

У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.

P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.

Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.

А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.

Прямоугольник и параллелограмм

У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.

P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.

Окружность

У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.

L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!

Решение задач

Площадь прямоугольника равна 80 см 2 , длина составляет 10 см. Чему равен периметр фигуры?

• Для использования формулы P = 2 × (a + b), нам нужно найти ширину;
• Так как S = a × b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 80 : 10 = 8 см;
• Далее подставляем известные данные в формулу: (10 + 8) × 2 = 36 см;

Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?

• Мы знаем, что периметр — это сумма длин всех сторон, а значит, если вычесть из данного периметра сторону основания — получим сумму двух оставшихся сторон: 40 − 6 = 34 см;
• Известно, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны;
• Далее делим получившуюся сумму на два: 34 : 2 = 17 см;

Ответ: две другие стороны равны по 17 см.

Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.

• Периметр равностороннего пятиугольника равен 4 × 5 = 20 см, значит, радиус окружности равен 20 см;
• Длина окружности равна π × 2 × 20 = 40π см;

Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Источник

Что значит наименьший периметр

Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр». Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.

В самом деле, пусть среди фигур, имеющих периметр наибольшая площадь – у фигуры и эта площадь равна Рассмотрим произвольную другую фигуру той же площади. Пусть ее периметр равен Рассмотрим подобную ей фигуру с периметром Площади фигур и относятся так же, как квадраты периметров, то есть как к , поэтому площадь фигуры равна Поскольку ее периметр, по предположению, равен ее площадь меньше, чем у фигуры то есть меньше А значит, откуда Получается, что фигура имеет меньший периметр, чем любая другая равновеликая ей фигура.

Вообще, поскольку у подобных фигур площади пропорциональны квадратам периметров, у всех них одинакова величина 2 , а у фигур разной формы эта величина может отличаться. У фигур, представляющих решение изопериметрической задачи (независимо от размера), величина 2 должна быть наибольшей.
(В дальнейшем будем называть эту величину изопериметрическим частным ).

Заметим, что задача о наименьшей площади фигур с одним и тем же периметром особого смысла не имеет: например, при данном периметре можно делать все меньше и меньше одну из сторон прямоугольника (), другая же его сторона, равная (/2 – ), ограничена сверху величиной /2, а значит, площадь этой фигуры будет не больше /2. Даже если, например, = 1 000 000 км, можно сделать площадь 2 , если положить = 2∙10 –8 мм; если надо получить еще в 1000 раз меньшую площадь, надо и уменьшить в 1000 раз, и т. д. Таким образом, минимальной площади при данном периоде не существует: площадь может сколь угодно мало отличаться от нуля.

По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.

В третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.

Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, пусть периметр всех рассматриваемых прямоугольников равен 4, а у данного прямоугольника две большие стороны равны каждая, а две меньшие, соответственно, каждая. Тогда площадь прямоугольника равна , то есть она не меньше 2 и достигает своего наибольшего значения тогда, когда прямоугольник является квадратом со стороной .

В «Началах» Евклида имеется единственная задача на максимум площади. Требуется в данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади. Попробуйте экспериментальным путем найти искомый параллелограмм.

Ответ в этой задаче таков: параллелограмм имеет наибольшую площадь, когда точка делит сторону пополам. Евклид доказывает этот результат с помощью подобия треугольников. На первый взгляд кажется, что данная задача не имеет большого отношения к изопериметрическим задачам: в самом деле, периметры рассматриваемых параллелограммов не равны друг другу. Тем не менее, если «сдвинуть» вершину параллельно стороне , то площади параллелограмма и треугольников , и не изменятся (потому что не изменятся их высоты и основания). Задача при этом сводится к такой: в данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Далее: если пропорционально сжать или растянуть этот прямоугольный треугольник вдоль одного из катетов так, чтобы катеты стали равны, то высоты данных прямоугольника и треугольников изменятся в одном и том же отношении, а задача примет следующий вид: в данный прямоугольный равнобедренный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Это задача вполне изопериметрическая: нетрудно видеть, что все рассматриваемые прямоугольники имеют один и тот же периметр – насколько увеличивается одна сторона, настолько уменьшается другая. Но решение изопериметрической задачи для прямоугольников мы уже знаем, это квадрат, а его вершина делит гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника пополам. Значит, и в исходной задаче вершина искомого параллелограмма делит соответствующую сторону треугольника пополам.

Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);

при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон.

Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.

Нельзя не упомянуть об очень древней задаче, известной как задача Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину и опоясывает некую фигуру Ф₁. Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2) новой фигуры Ф₂, составленной из фигуры Ф₁ и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф₂ (при данном периметре 2) максимальна, когда Ф₂ – круг. Но поскольку площадь Ф₂ ровно в 2 раза больше, чем у Ф₁, площадь Ф₁ тоже максимальна, если Ф₂ – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.

Источник

Adblock
detector

Началом пропедевтики изучения геометрии являются знания, которые учащиеся получают, переходя во 2 класс. Применяя правила умножения, здесь впервые вычисляют периметр прямоугольника. 

Переходя в следующий, 3 класс, школьники на основе этой формулы начинают знакомиться с правилами раскрытия скобок.

Как вычислить периметр прямоугольника

Учитывая, что периметр любой фигуры есть сумма длин её сторон, выводят две формы записи для нахождения этой величины.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому, обозначив смежные стороны a и b, получают по определению:

P = a + b + a + b,

откуда после приведения подобных слагаемых, вытекает формула

P = 2a + 2b,

или, вынося двойку за скобки,

P = 2 (a + b).

Рассматривая квадрат, как прямоугольник с равными сторонами, получают формулу его периметра:

P = 4a.

Стандартный метод

В зависимости от сложности вычислений, применяют одну из формул, чтобы высчитать периметр. Учащиеся начальной школы знакомятся с понятием, сталкиваясь с практическими задачами.

Задача

Найти длину забора участка прямоугольной формы, который надо построить Сидору Карловичу, если общая граница с участком Ивана Петровича составляет 3 метра, а с плантацией Марии Ивановны – 5 метров.

Решение

Чтобы решить задачу и помочь незадачливому Сидору Карловичу, ученику приходится использовать формулу периметра прямоугольника. Учитывая, что a = 3, b = 5, дети легко находят, что длина забора равна

P = 2 (a + b) = 2 * (3 + 5) = 2 * 8 = 16 (метров)

Важные требования, предъявляемые к ученикам на данном этапе изучения материала, заключаются в правильном соизмерении длины и ширины, а также в умении начертить фигуру. 

Работа выполняется только при одинаковых единицах измерения, все чертежи делаются строго с использованием инструментов!

Часто длина заданного отрезка измеряется непосредственно.

Нахождение периметра через площадь и одну сторону

При более близком знакомстве с прямоугольником, способы нахождения его периметра начинают варьироваться в зависимости от исходных данных в задаче.

Если известны одна из сторон и площадь, то, чтобы узнать, чему равен периметр, выражается неизвестная сторона, а затем она подставляется в формулу.

Так как

S = a * b,

то

то есть, соотношение площади и периметра при известной стороне есть

Как найти периметр прямоугольной фигуры

В начальной школе для запоминания принципа детям часто предлагается понятие «неправильного четырёхугольника» (не прямоугольника). 

Для нахождения его периметра предлагается рассчитать сумму длин сторон непосредственно, предварительно измерив каждую из них.

Для любой более сложной фигуры производят разбиение, если возможно, на небольшие прямоугольники, с которыми и работают.

Заключение

Современный онлайн калькулятор позволяет ввести значения сторон и задать необходимую точность вычислений, мгновенно производя расчёт и выдавая необходимый результат.

Предыдущая

ГеометрияПлощадь сектора круга – формулы и примеры расчетов

Следующая

ГеометрияБиссектриса – свойства, признаки и формулы

Задача не имеет однозначного решения. Нужно знать хотя бы одну сторону. Если известна площадь S=a*b, то периметр можно выразить как: P= 2*(a+b) = 2*(a+S/a). При разных значениях a при известном S значение P будет также разным. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим В общем случае эта задача не имеет решения, поскольку одной и той же площади могут соответствовать совершенно разные стороны. Однако, возможны случаи когда и такая задача имеет конкретные решения. Частный случай – когда прямоугольник квадрат. Тогда площадь равна квадрату его стороны, а все стороны равны между собой. Берем корень из площади и получаем значение стороны квадрата, умножаем на 4 – вот и периметр. Так же можно решить такую задачу если по условию стороны имеют целочисленное значение, просто методом подбора, который впрочем может дать более одного варианта ответа, но не очень много. Поскольку площадь прямоугольника это АхВ, то отношение сторон выражается как А=S/B и любые целые значения В, при которых А также получится целым будут вариантами ответа. Соответственно периметр, удвоенная сумма этих сторон, также будет разным. Galin­a7v7 [120K] 6 лет назад  По одной только площади вычислить периметр прямоугольника не возможно.Нужны ещё дополнительные сведения. А это , или одна из сторон прямоугольника, или соотношение сторон прямоугольника.Есть даже такая задача: у какого прямоугольника заданной площади максимальный периметр?А чтобы представить формулу периметра по соотношению сторон, то рассмотрим: Пусть соотношение сторон прямоугольника ав=к.Пусть известно значение а.Тогда в= ак. Площадь S = а*в=а*ак.Откуда а=√(к*S ). р= 2(а+в)=2(а+ак)=2a(k+1)/k =2√(k*S)(k+1)/k=2√S(k+1) А максимальный периметр при одинаковой площади прямоугольника – у прямоугольника с равными сторонами , то есть у квадрата. Julia­Bond [96.7K] 9 лет назад  К сожалению, придётся разочаровать тех, кто надеется, что, зная площадь прямоугольника, возможно найти его периметр. Не имея данных о длине хотя бы одной стороны сделать это невозможно. Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон, так как противоположные стороны у него равны, то формула периметра Р=2 х (а+в). Зная же площадь (произведение сторон S=а х в) можно понять, что у нас в наличии два уравнения с тремя неизвестными (а, в и Р) и одним известным – S. Для решения этой системы уравнений не хватает ещё одного заданного параметра – одной из сторон. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [37.5K] 10 лет назад  Никак невозможно, нужно как минимум знать длину одной стороны. Тогда выводится простое уравнение с одним неизвестным. Можно вычислить периметр квадрата зная только площадь, с прямоугольником же такое не прокатит. Хотя геометрию я уже давно не вспоминал, может и есть уже какая новая формула. Никол­ай Л [10K] 10 лет назад  Зная только плошадь прямоугольника определить его периметр невозможно. Ваша задача не имеет решения. P.S.Зная площадь квадрата можно легко вычислить его периметр. Для этого нужно извлечь квадратный корень из величины площади и полученное умножить на четыре. storu­s [73.8K] 8 лет назад  Из условия задачи нам известна только площадь прямоугольника, но не известна ни одна из его сторон. А именно их мы и должны найти, чтобы определить периметр данной фигуры. Если использовать формулы площади и периметра, то мы получим уравнение с двумя неизвестными, которое не имеет решения. Ведь несмотря на одинаковую площадь два прямоугольника с разными сторонами будут иметь разный периметр. Можно найти, только если стороны прямоугольника равны, т.е. в случае если это квадрат или ромб с прямыми углами. сторона квадрата – a площадь квадрата – a^2 периметр = 4*под корнём(площадь) В ином случае, периметр определить невозможно. Mizuk­i [15.6K] 10 лет назад  Никак. Если это не квадрат, то в задаче явно не хватает данных. Площадь – это произведение сторон, периметр – сумма, из произведения сумму Вы никак не узнаете. У прямоугольников с одной и той же площадью могут быть разные периметры. milon­ika [17K] 8 лет назад  Если прямоугольник не с равными сторонами, а именно если это не квадрат, то не зная ни одной длинны стороны, то узнать периметр будет не возможно. Вспомним что периметр высчитывается путем сложения всех его сторон. Sambo­rskay­a [7K] 9 лет назад  Это совершенно невозможно, так как площади могут совпадать у прямоугольников с различными длинами сторон. Для того, чтобы найти периметр по площади прямоугольника, нужно знать еще и длину хотя бы одной стороны. Знаете ответ?