Как найти минимум функции аналитически

Задачи поиска
максимума эквивалентны задачам поиска
минимума, так как требуется лишь поменять
знак перед функцией. Для поиска минимума
необходимо определить интервал, на
котором функция могла бы иметь минимум.
Для этого можно использовать (1) графическое
представление функции, (2) аналитический
анализ аппроксимирующей функции и (3)
сведения о математической модели
исследуемого процесса (т.е. законы
поведения данной функции).

Численные
методы поиска минимума функции одной
переменной.

Определения.

Функция f(x)
имеет локальный
минимум при
некотором
,
если существует некоторая конечная
ξ-окрестность этого элемента, в которой
,
.
Требуется, чтобы на множестве X
функция f(x)
была по крайней мере кусочно-непрерывной.

Точка, в которой
функция достигает наименьшего на
множестве X
значения, называется абсолютным
минимумом
функции. Для нахождения абсолютного
минимума требуется найти все локальные
минимумы и выбрать наименьшее значение.

Задачу называют
детерминированной,
если погрешностью вычисления (или
экспериментального определения) функции
f(x)
можно пренебречь. В противном случае
задачу называют стохастической.
Все изложенные далее методы применимы
только к детерминированным задачам.

Методы поиска
минимума по нахождению корней уравнений.

Если функция f(x)
аналитически дифференцируема, то решаем
f
^/(x)
= 0 методами, изложенными в предыдущих
главах. При этом условие f
^//(x)
> 0 в найденной точке указывает нам на
минимум. Для использования этих методов
необходимо знать либо аналитический
вид первой и второй производных, либо
рассчитать их численно, если это не
приведет к потере точности.

Метод дробления.

Наиболее
простой метод поиска минимума. Пусть
дана начальная точка x₀,
а также величина и знак шага h,
определяющие движение из этой точки в
сторону предполагаемого минимума f(x).
Метод заключается в последовательном
дроблении исходного шага h
с изменением его знака при выполнении
условия f(x_k+1)
> f(x_k),
где k
– порядковый номер вычисляемой точки.
Например, как только очередное значение
функции стало больше предыдущего,
выполняется h
= – h/3
и процесс продолжается до тех пор, пока

|x_k+1
– x_k|
≤ ξ . (1)

Данный метод
является одним из самых медленных для
поиска минимума. Основное достоинство
данного алгоритма – возможность
использования в программах управления
экспериментальными исследованиями,
когда значения функции f(x)
последовательно измеряются с шагом h
≥ h_min.

Метод золотого
сечения.

Пусть f(x)
задана и кусочно-непрерывна на [x_L,
x_R],
и имеет на этом отрезке только один
локальный минимум. Золотое сечение, о
котором упоминал ещё Евклид, состоит в
разбиении интервала [x_L,
x_R]
точкой x₁
на две части таким образом, что отношение
длины всего отрезка к его большей части
равно отношению большей части к меньшей:

.
(2)

Таким образом,
возьмем на отрезке две точки x₁
и x₂,
симметрично относительно границ делящие
исходный отрезок в отношении золотого
сечения:

,

,

где коэффициент
.

Если f(x₁)
< f(x₂),
мы должны сузить отрезок справа, т.е.
новое значение x_R
= x₂,
в противном случае x_L
= x₁.
Оставшаяся внутри нового отрезка точка
является первым приближением к минимуму
и делит этот отрезок в отношении золотого
сечения. Таким образом, на каждой итерации
приближения к минимуму (см. рисунок) нам
нужно ставить только одну точку (x₁
или
x₂),
в которой считать значение функции и
сравнивать его с предыдущим. Условием
выхода из итерационного процесса будет,
подобно предыдущему случаю, условие
|x₂
– x₁|
≤ ξ.

Метод отличается
высокой скоростью сходимости, обычно
изысканной компактностью программной
реализации и всегда находит точку,
минимальную на заданном интервале.

Метод парабол.

Пусть f(x)
имеет первую и вторую производную.
Разложим f(x)
в ряд Тейлора в некоторой точке x_k,
ограничиваясь при этом тремя членами
разложения:

.
(3)

Иными
словами, аппроксимируем нашу функцию
в точке x_k
параболой. Для этой параболы можно
аналитически вычислить положение
экстремума как корень уравнения первой
производной от (3):
.
Пусть минимум аппроксимирующей параболы
находится в точке x_k+1.
Тогда вычислив значение функции f(x_k+1),
мы получаем новую точку приближения к
минимуму.

Обычно в практических
реализациях данного метода не используют
аналитический вид первой и второй
производных f(x).
Их заменяют конечно-разностными
аппроксимациями. Наиболее часто берут
симметричные разности с постоянным
шагом h:

;

.

Это эквивалентно
аппроксимации функции параболой,
проходящей через три близкие точки
x_k+h,
x_k,
x_k–h.
Окончательное выражение, по которому
можно строить итерационный процесс,
таково:

.
(4)

Данный метод
отличается от вышеизложенных высокой
скоростью сходимости. Вблизи экстремума,
вплоть до расстояний ~h²,
сходимость практически не отличается
от квадратичной. Однако алгоритм требует
постоянного контроля сходимости.
Например, итерационный процесс будет
сходиться к минимуму, если

1. знаменатель
   формулы (4) должен быть >0. Если это не
   так, нужно сделать шаг в обратном
   направлении, причем достаточно большой.
   Обычно в итерационном процессе полагают
   .
   Иногда ради упрощения расчетов полагают
   ,
   однако это существенно уменьшает
   скорость сходимости.

2. .
   Если это не так, то от x_k
   следует сделать шаг
   
   с τ
   = ½. Если и при этом условие убывания не
   выполнено, уменьшают τ
   и вновь
   делают шаг.

Численные
методы поиска минимума функции нескольких
переменных.

Будем рассматривать
методы поиска минимума
в
многомерных задачах на примере функции
двух переменных f(x,
y),
так как эти методы легко аппроксимировать
на случай трех и более измерений. Все
эффективные методы поиска минимума
сводятся к построению траекторий, вдоль
которых функция убывает. Разные методы
отличаются способами построения таких
траекторий, так как метод, приспособленный
к одному типу рельефа, может оказаться
плохим для рельефа другого типа. Различают
следующие типы рельефа:

1) Котловинный (гладкая функция)

2) Истинный овраг

3) Разрешимый овраг

4) Неупорядоченный

Метод координатного
спуска.

Пусть
требуется найти минимум f(x,
y).
Выберем нулевое приближение (x₀,
y₀).
Рассмотрим функцию одной переменной
f(x,
y₀)
и найдем ее минимум, используя любой из
рассмотренных выше способов. Пусть этот
минимум оказался в точке (x₁,
y₀).
Теперь точно так же будем искать минимум
функции одной переменной f(x₁,
y).
Этот минимум окажется в точке (x₁,
y₁).
Одна итерация спусков завершена. Будем
повторять циклы, постепенно приближаясь
ко дну котловины, пока не выполнится
условие
.

С

x

y

?

ходимость метода зависит от вида
функции и выбора нулевого приближения.
Вблизи невырожденного минимума гладкой
функции спуск по координатам линейно
сходится к минимуму. Если линии уровня
образуют истинный овраг, возможен
случай, когда спуск по одной координате
приводит на дно оврага, а любое движение
по следующей координате ведет на подъем.
Процесс координатного спуска в данном
случае не сходится к минимуму.

При попадании
траектории спуска в разрешимый овраг
сходимость становится чрезвычайно
медленной. В физических задачах овражный
рельеф указывает на то, что не учтена
какая-то закономерность, определяющая
связь между переменными. Явный учет
этой закономерности облегчает
использование численных методов.

Метод градиентного
(наискорейшего) спуска.

В
этом методе функция минимизируется по
направлению, в котором она быстрее всего
убывает, т.е. в направлении, обратном
.
Вдоль этого направления функция зависит
от одной параметрической переменной
t,
для нахождения минимума которой можно
воспользоваться любым известным методом
поиска минимума функции одной переменной.
Спуск из точки начального приближения

против градиента до минимума t
определяет новую точку
,
в которой вновь определяется градиент
и делается следующий спуск. Условием
окончания процесса, как и в случае
координатного спуска, будет
.

С помощью метода
градиентного спуска минимум гладких
функций в общем случае находится быстрее,
чем при использовании координатного
спуска, однако нахождение градиента
численными методами может свести на
нет полученный выигрыш. Сходимость
плохая для функций с овражным рельефом,
т.е. с точки зрения сходимости градиентный
спуск не лучше спуска по координатам.

Каждый спуск
заканчивается в точке, где линия градиента
касательна к линии (поверхности) уровня.
Это означает, что каждый следующий спуск
должен быть перпендикулярен предыдущему.
Таким образом, вместо поиска градиента
в каждой новой точке можно сосчитать
градиент в начальной точке, и развернуть
оси координат
так, чтобы одна их осей была параллельна
градиенту, а затем осуществлять спуск
координатным методом.

Метод оврагов.

Ставится
задача найти минимум

для овражной функции. Для этого выбираются
две близкие точки

и
,
и осуществляется спуск из этих точек
(любым методом), причем высокой точности
сходимости не требуется. Конечные точки
спуска

и

будут лежать вблизи дна оврага. Затем
осуществляется движение вдоль прямой,
соединяющей

и

в сторону уменьшения

(как бы вблизи дна оврага). Движение
может быть осуществлено только на один
шаг ~ h,
направление выбирается из сравнения
значения функции в точках

и
.
Таким образом, находится новая точка
.
Так как возможно, что точка

уже лежит на склоне оврага, а не на дне,
то из нее снова осуществляется спуск в
новую точку
.
Затем намечается новый путь по дну
оврага вдоль прямой, соединяющей
и
.
Если

– процесс прекращается, а в качестве
минимума в данном овраге используется
значение
.

Метод оврагов
рассчитан на то, чтобы пройти вдоль
оврага и выйти в котловину около минимума.
В этой котловине значения минимума
лучше уточнять другими методами.

Проблемы поиска
минимума в задачах с большим числом
измерений.

Пусть в n-мерном
векторном пространстве задана скалярная
функция
.
Наложим дополнительные условия
,
1 ≤ i
≤ m;

,
1 ≤ j
≤ p.
Условия типа равенств выделяют в
пространстве некоторую (n
– m)-мерную
поверхность, а условия типа неравенств
выделяют n-мерную
область, ограниченную гиперповерхностями
.
Число таких условий может быть
произвольным. Следовательно, задача
inf

есть
поиск минимума функции n
переменных в некоторой (n
– m)-мерной
области E. Функция может достигать
минимального значения как внутри
области, так и на ее границе. Однако
перейти к (n
– m)-мерной
системе координат практически никогда
не удается, поэтому спуск приходится
вести во всем n-мерном
пространстве.

Даже если нулевое
приближение лежит в области E, естественная
траектория спуска сразу выходит из этой
области. Для принудительного возврата
процесса в область E, например, используется
метод штрафных
функций: к

прибавляются члены, равные нулю в E, и
возрастающие при нарушении дополнительных
условий (ограничений). Метод прост и
универсален, однако считается недостаточно
надежным. Более качественный результат
дает использование симплекс-методов
линейного программирования, однако
данный вопрос в рамках настоящего курса
не рассматривается.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

План урока:

Исследование функций на монотонность

Экстремумы функции

Выпуклость и вогнутость функций

Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций на монотонность

Говоря о смысле производной, мы замечали, что у возрастающих функций она принимает положительные значения, а у убывающих – отрицательные. Убедиться в этом можно с помощью графиков. Действительно, если провести касательную к возрастающей ф-кции, то она образует с осью Ох острый угол, а потому тангенс этого угла (а он как раз равен произ-ной) окажется положительным числом:

Если же ф-кция убывает, то касательная образует с осью Ох тупой угол, чей тангенс будет отрицательным:

Рассмотрим более сложный случай, когда ф-кция на каких-то промежутках убывает, а на каких-то возрастает. В качестве примера приведем зависимость у = х². Она является убывающей на промежутке (– ∞; 0] и возрастающей на промежутке [0; + ∞). Можно заметить, что любая касательная, проведенная на первом из этих промежутков, будет образовывать тупой угол с Ох. И наоборот, любая касательная на втором промежутке имеет острый угол:

Это означает, что произ-ная ф-кции на первом промежутке должна быть отрицательной, а на втором – положительной (сразу отметим, что граничная точка х = 0 стоит особняком, так как входит в оба промежутка). Попробуем найти произ-ную аналитически. Мы рассматриваем ф-кцию у = х², её произ-ная равна

Действительно, произ-ная у′ = 2х принимает отрицательные значения при х∈ (– ∞;0) и оказывается положительной при х∈(0; + ∞). Заметим, что в граничной точке произ-ная равна нулю.

Это наблюдение подсказывает нам, что по знаку произ-ной можно определить, возрастает или убывает ф-кция. Однако сначала надо разобраться с тем случаем, когда произ-ная оказывается равной нулю. Рассмотрим ф-кцию у = х³. Очевидно, что она возрастает на всей числовой прямой. Значит ли это, что её произ-ная на этой прямой строго положительна? Нет, не значит. Запишем у′:

Произ-ная положительна во всех точках, кроме х = 0. При х = 0 у′ также оказывается равной нулю. Однако мы можем сказать, что у′ неотрицательна на всей числовой прямой.

Можно привести пример ф-кции

ее произ-ная равна

Сама ф-кция убывает на всей числовой прямой, а её произ-ная неположительна на ней.

Рассмотрим особый случай, когда у ф-кции произ-ная одновременно и неположительна, и неотрицательна на отрезке. Как ни сложно догадаться, это означает, что производная равна нулю. Мы помним, что нулю равна произ-ная константы:

В качестве примера приведем ф-кцию у = 2. Её произ-ная на всей числовой прямой равна нулю:

При этом ф-кция и не убывает, и не возрастает на числовой прямой:

Рассматривая все эти примеры, можно сделать вывод, что для возрастания ф-кции на промежутке достаточно, чтобы её произ-ная принимала на этом отрезке только положительные отрезки:

Аналогично можно сформулировать и достаточный признак убывания ф-кции:

Сформулированные признаки не охватывают тех ситуаций, когда произ-ная в отдельных точках промежутка обращается в ноль. Если произ-ная равна нулю на всём промежутке, то ф-кция на нем остается неизменной (как в случае с функцией у = 2). Если же производная обращается в ноль только в отдельных точках (случай у = х³ и у = х²), то эти точки оказываются граничными для промежутков возрастания и промежутков убывания функции. В этих случаях эти граничные точки добавляют в соответствующие промежутки.

Задание. Докажите, что функция

возрастает при любом значении аргумента.

Решение. Найдем произ-ную у′:

Найдем, при каких значениях х произ-ная у′ оказывается положительной. Для этого запишем неравенство:

Множитель (5х² + 6) при любом х положителен, а потому мы можем поделить обе части неравенства на него и преобразовать его к виду

Его решениями являются промежутки (– ∞; 0) и (0; + ∞), а при х = 0 произ-ная оказывается равной нулю, то есть это граничная точка. Значит, промежутками возрастания функции являются (– ∞; 0] и [0; + ∞). Обратите внимание, что мы добавили в каждый из промежутков граничную точку х = 0. Но объединением этих промежутков является вся числовая прямая:

Получается, что ф-кция возрастает при любом х.

Теперь попытаемся найти промежутки возрастания и убывания функции

Для их нахождения определим, где произ-ная положительна, а где отрицательна. Для этого сначала найдем произ-ную:

Решим неравенство у′ > 0, при этом мы используем метод интервалов:

Отмечаем нули на координатной прямой и расставляем знаки промежутков:

Напомним, что для определения знаков промежутков можно просто выбрать на каждом из них одну точку и подставить её в неравенство. Например, на интервале х∈(– ∞; – 1) возьмем число – 2:

Итак, произ-ная положительна на промежутках (– ∞; – 1) и (0; + ∞). При х = 0 и х = 1 произ-ная обращается в ноль – это граничные точки, которые надо добавить в промежутки возрастания. То есть ф-кция возрастает на промежутках (– ∞; – 1] и [0; + ∞).

Рассматривая аналогичное неравенство у′ < 0, получаем, что произ-ная отрицательна при х∈(– 1; 0). Тогда промежутком убывания ф-кции является [– 1; 0].

Для наглядности построим график рассматриваемой нами ф-кции:

Проведенное нами действие (поиск промежутков возрастания и убывания ф-кции) называется исследованием функции на монотонность. Для его проведения необходимо вычислить производную ф-кцию у′, а потом найти, на каких промежутках она положительна или отрицательна. Если в граничных точках полученных промежутков произво-дная обращается в ноль, то эти точки следует включить в промежутки.

Экстремумы функции

Еще раз посмотрим на график рассмотренной нами ф-кции

На нем есть две особые точки: (– 1; 0) и (0; – 1). Они являются границами для промежутков возрастания и убывания. При этом значение произ-ной в этих точках оказалось равным нулю. Если мы проведем касательные к графику в этих точках, то окажется, что они являются горизонтальными линиями, то есть их угол наклона равен нулю:

Действительно, если произ-ная в точке равна нулю, то тангенс угла наклона должен быть также равен нулю. А это значит, что и сам угол равен нулю, ведь tg 0 = 0. Геометрически это означает, что касательная будет выглядеть как горизонтальная линия, которая либо параллельна оси Ох, либо совпадает с ней.

Ещё одна особенность точек (– 1; 0) и (0; – 1). Первая из них в некоторой, достаточно малой локальной области является точкой максимума функции. Действительно, если взять промежуток [– 1,5; – 0,5], то на нем именно в точке х = –1 ф-кция принимает наибольшее значение:

Аналогичную окрестность можно указать и для точки х = 0, только на ней точка (0; – 1) окажется точкой минимума функции, а не максимума:

Ни для какой другой точки на графике такую окрестность указать не удастся. Дадим более точное определение таким понятиям, как точка минимума и точка максимума функции:

Ещё раз заметим, что в таких точках ф-кция достигает наибольшего или наименьшего значения только в определенной локальной области. Поэтому часто их называют локальными максимумами или минимумами. Пусть ф-кция задана следующим графиком:

На графике можно отметить 5 минимумов функции и 5 максимумов, причем только один максимум и минимум будут соответствовать наибольшему или наименьшему значению на всей области определения (их ещё называют глобальными максимумами и минимумами):

Грубо говоря, точки максимума соответствуют вершинам графика, а точки минимума – впадинам графика.

Для обозначения этих точек используют специальный термин – точки экстремума функции.

Довольно очевидно, что точки экстремума находятся на границе промежутков возрастания и убывания ф-кции, то есть в тех самых граничных точках. Напомним, что в этих точках произ-ная равна нулю. Однако возможен ещё один случай появления экстремума. Он связан с так называемыми негладкими ф-кциями, пример одной из которых приведен на рисунке:

На графике явно видно два экстремума функции. Однако в этих точках ф-кция меняет свое поведение резко, а не плавно. Из-за этого график кажется «зазубренным». Обратите внимание, что построить единственную касательную к графику в экстремумах не получается:

С точки зрения математического анализа это означает, что произ-ная в таких точках не существует. Заметим, что все элементарные ф-кции, а также сложные ф-кции, получаемые из нескольких элементарных, являются гладкими. Поэтому на практике в школьном курсе такие случаи почти не встречаются.

Итак, можно сформулировать признак существования экстремума:

Задание. Докажите, что у функции вида

где a, b, c, d – постоянные числа, есть не более двух экстремумов.

Решение. Чтобы найти экстремумы функции, сначала просто продифференцируем её:

Заметим, что производная является квадратичной функцией

Эта ф-кция определена при любом значении х. Это значит, что не существует таких экстремумов, в которых произ-ная не существует. Если приравнять произ-ную к нулю, то получим квадратное уравнение:

Напомним, что квадратное уравнение может иметь не более 2 различных корней. То есть у ф-кции есть не более 2 точек, в которых произ-ная обращается в ноль. Следовательно, и экстремумов у ф-кции не более двух.

Точки, в которых произ-ная обращается в ноль или не существует, называют критическими точками функции.

Заметим, что не каждая критическая точка обязательно оказывается экстремумом. Можно снова привести пример ф-кции у = х³. Она возрастает на всей области числовой прямой, то есть не имеет экстремумов. Однако ее произ-ная имеет вид у′ = 3х², и она обращается в ноль при х = 0. В связи с этим встает вопрос – есть ли какой-то метод, позволяющий достоверно определить наличие экстремума у ф-кции? Оказывается, есть. Надо лишь проанализировать поведение производной вблизи критической точки. Если произ-ная в точке меняет знак, то она является экстремумом, а если не меняет – то не является.

Более того, можно определить, является ли экстремум точкой минимума или точкой максимума. Если произ-ная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума, а если с минуса на плюс – то это точка минимума.

Для примера рассмотрим ф-кцию

Попытаемся найти ее экстремумы. Для этого вычислим производную:

Найдем нули произ-ной:

Теперь отметим на координатной прямой нули ф-кции. Они разобьют числовую прямую на три промежутка. Расставим знаки производной на этих промежутках:

Знаки на промежутках можно определить, просто подставив в произ-ную одно из чисел из промежутка:

Получается, что в точке х = 0 произ-ная меняет знак с «+» на (–), а в точке х = 2 знак произ-ной не меняется. Это значит, что точка х = 0 является точкой минимума, а х = 2 – это вообще не экстремум ф-кции:

В общем случае для определения экстремумов ф-кции можно руководствоваться следующей схемой:

До этого мы рассматривали случаи, когда ф-кция была определена при любом значении аргумента. Теперь изучим ф-кцию

Ее особенностью является то, что она не определена при х = 0, так как при таком значении аргумента получается деление на ноль. Вычислим у′:

Теперь найдем нули произ-ной:

Выражение х² + 4 при любом х не равно нулю, а потому на него можно поделить уравнение:

Теперь на числовой прямой мы должны отметить две найденные критические точки. Но также на ней следует отметить число х = 0, так как в этой точке ф-кция не определена:

Обратите внимание, что точка х = 0 НЕ является экстремумом, хотя кажется, что в ней ф-кция меняет свой знак. Дело в том, ф-кция не существует при таком значении аргумента. Это значит, что х = 0 – это асимптота графика. График ф-кции будет выглядеть примерно так:

Выпуклость и вогнутость функций

Нарисуем две немного отличающиеся друг от друга возрастающие ф-кции:

Видно, что эти графики будто выгнуты в разные стороны. Оказывается, в математике есть специальное свойство ф-кций, которое указывает на направление, в котором выгнуты их графики. Левая ф-кция является вогнутой функцией, а правая – выпуклой функцией.

Определить, выпукла или вогнута ф-кция, очень просто. Достаточно провести к графику касательную. Если она проходит выше графика, то это указывает на вогнутость функции, а если ниже, то она выпукла:

Естественно, встречаются ф-кции, которые на одном промежутке выпуклые, а на другом – вогнутые. Классическим примером является кубическая парабола у = х³. На промежутке (– ∞; 0] она вогнутая, а на промежутке [0; + ∞) она становится выпуклой. При этом в точке х = 0 она меняет свой характер. Такая точка называется точкой перегиба функции:

Ранее мы уже заметили, что точка х = 0 для ф-кции у = х³ – этой пример критической точки, которая не является экстремумом. Действительно, произ-ная ф-кции у = х³ имеет вид

и она обращается в ноль при х = 0, однако в этой точке ф-кция возрастает. Это подсказывает нам, что критические точки, в которых ф-кция НЕ меняет своего знака, являются точками перегиба. И это действительно так.

Заметим, однако, что в общем случае точка перегиба может и вовсе не являться критической точкой ф-кции. В рамках школьного курса мы не будем детально изучать выпуклость функций и точки перегиба. Отметим лишь, что для их поиска необходимо вычислять уже не только первую, но и вторую произ-ную функции.

Исследование функций и построение их графиков

Ранее мы строили графики ф-кций в основном «по точкам». То есть мы просто вычисляли значение ф-кции при различных значениях х, отмечали получившиеся точки на координатной плоскости, а потом соединяли их плавной кривой. Однако при этом можно упустить некоторые важные особенности ф-кций – наличие у них минимумов и максимумов, точки их пересечения с осями координат и т.п. Поэтому в математике используют особый алгоритм для построения графиков ф-кции, который называют «исследованием функции».

Последовательность алгоритма следующая:

1. Находят область определения ф-кции. Здесь нужно учесть такие простые правила, согласно которым нельзя делить на ноль, под знаком квадратного корня не может стоять отрицательное число и т.п.
2. Выясняют, является ли ф-кция четной или нечетной, периодической или непериодической.
3. Находят производную ф-кции.
4. Приравнивая произ-ную к нулю, находят критические точки ф-кции, промежутки ее возрастания и убывания (то есть проводят исследование на монотонность).
5. Находят точку пересечения графика с осью Оу, для чего подставляют в ф-кцию х = 0. Конечно, это действие совершается только в том случае, если точка х = 0 входит в область определения ф-кции.
6. Находят точку пересечения графика с горизонтальной осью Ох. Для этого надо составить уравнение у(х) = 0 и решить его. Возможна ситуация, когда решить уравнение точно не получается, тогда этот этап можно пропустить.
7. Находят промежутки знакопостоянства ф-кции.
8. Изучают поведение ф-кции вблизи ее особых точек. Обычно это подразумевает поиск пределов ф-кции на бесконечности или в точках, где она не определена.
9. Определяют область значений ф-кции.
10. С учетом всех особенностей ф-кции строят ее график.

Заметим, что у ф-кции можно также найти точки перегиба ф-кции, исследовать ее на выпуклость и вогнутость, однако в рамках программы 11 класса это не делается.

Сразу скажем, что исследование ф-кции – это трудоемкая задача. Она не очень сложная, но требует больших затрат времени и бумаги.

Для начала рассмотрим относительно простой пример ф-кции

Область ее определения – это вся числовая прямая. Ф-кция не является ни четной, ни нечетной. Доказать это на примере конкретной точки. Возьмем х = 1:

Однако у нас это условие явно не выполняется, ведь 0 ≠ 4. Если бы ф-кция была нечетной, то выполнялось бы условие

Оно также не выполняется, так как 0 ≠ – 4.

Вычислим произ-ную ф-кции:

Произ-ная также определена на всей числовой прямой. Для поиска критических точек приравняем ее к нулю:

Получили две критические точки. Отметим их на прямой и расставим знаки:

Итак, мы смогли найти точку максимума функции, равно как и ее точку минимума.

Сразу же вычислим значение ф-кции в ее экстремумах:

Для расстановки знаков возьмем по одному значению из каждого промежутка. Например, можно взять числа (– 2), 0 и 2:

Далее находим, где прямая пересекается с осью Оу, для чего подставляем в ф-кцию значение х = 0:

Получили точку (0; 2). Для нахождения точек пересечения графика с горизонтальной остью Ох надо приравнять всю ф-кцию к нулю:

Это кубическое уравнение. Решить его можно методом подбора корней и последующим делением многочлена на многочлен. Не останавливаясь на подробностях решения, укажем, что его корнями являются числа (– 2) и 1, а других корней. Убедиться в этом можно, просто подставив в уравнение эти числа.

Следующий шаг – определение промежутков знакопостоянства. Для этого надо решить неравенство у(х) > 0:

Это неравенство решается методом интервалов. Он сводится к тому, что находятся нули левой части, которые мы уже нашли – это числа (– 2) и 1. Далее они отмечаются на прямой, после чего на образовавшихся промежутках проставляются знаки:

Знаки определяем, выбирая по одной точке из каждого промежутка:

Достаточно очевидно, что при х→∞ сама ф-кция также стремится к бесконечности. Если же х→ – ∞, то и у→ – ∞.

Представим найденную нами информацию в виде таблицы. В верхней строке будем записывать промежутки и отдельные точки, а ниже – особенности ф-кции на этих промежутках (возрастает ф-кция или убывает, положительна она или отрицательна и т.п.):

В итоге график ф-кции будет иметь следующий вид:

Теперь исследуем более сложную ф-кцию

Начнем с области определения. Знаменатель дроби не может равняться нулю, а потому

Итак, аргумент ф-кции может принимать любые значение, кроме 1 и (– 1). Поэтому её область определения (она обычно обозначается как D (x)) можно записать так:

Далее проверяем ф-кцию на четность или нечетность. Напомним, что для этого надо подставить в нее вместо аргумента х аргумент (– х):

Мы получили у(х). Это означает, что ф-кция четная, а ее график симметричен относительно оси Оу.

Следующий шаг – находим произ-ную ф-кции:

Заметим, что область определения произ-ной полностью совпадает с областью определения самой ф-кции. Поэтому у ф-кции нет таких критических точек, в которых произ-ная не существует.

Теперь произ-ную можно приравнять к нулю:

Мы нашли всего одну критическую точку. Отметив ее на координатной прямой, можно выяснить, что она является точкой максимума. При этом стоит также отметить точки х = 1 и х = – 1, в которых ф-кция не определена (их ещё называют точками разрывов):

Для определения знаков произ-ной достаточно вычислить её значение в одной точке на каждом получившемся промежутке. Возьмем значения (– 2), (– 0,5), 0,5 и 2

Найдем точку пересечения графика с осью Оу, для чего подставим в ф-кцию значение х = 0:

Получили точку (0; – 1).

Далее находим точку пересечения графика с осью Ох. Для этого подставим в ф-кцию значение у = 0 и решим получившееся уравнение:

Числитель дроби в правой части при любом значении х положителен, то есть не равен нулю. Это значит, что уравнение не имеет решения. Отсюда вывод – график НЕ пересекается с осью Ох.

Следующий шаг – это определение промежутков знакопостоянства функции. Чтобы найти, при каких значениях аргумента ф-кция положительная, составим неравенство:

Это дробно-рациональное неравенство. Для его решения надо отметить на координатной прямой те значения х, при которых либо знаменатель, либо числитель обращается в ноль. Числитель при любом аргументе положителен, а нулями знаменателя являются точки х = – 1 и х = 1:

Знаки на промежутках определяем, подставляя точки из промежутков в ф-кцию:

Далее следует исследовать поведение ф-кции вблизи при х →∞ и х→ –∞. Для этого преобразуем ф-кцию, выделив целую часть:

При х→∞ число (х² – 1) также стремится к бесконечности, а дробь

будет стремиться к единице. Аналогично можно убедиться, что при х→ – ∞ ф-кция также стремится к единице.

Все полученные данные можно удобно представить в табличном виде:

На основании этих результатов строим график:

Из рисунка видно, что область значений ф-кции имеет вид

Итак, мы узнали, что с помощью производной можно определять промежутки, на которых функция возрастает и убывает, а также находить ее минимумы и максимумы. Эти навыки помогают при решении многих практических задач, когда требуется найти такое значение некоторых параметров, при которых какая-то величина принимает максимальное или минимальное значение. Например, продавцы товара могут назначать такую цену на свою продукцию, которая принесет им максимальный доход (просто назначить как можно большую цену нельзя, так как слишком дорогой товар никто не купит). Более подробно такие задачи мы рассмотрим подобные задачи в следующих уроках.

1. Лекция 11

1. Основные понятия и определения
2. Аналитический метод отыскания
точки минимума функции двух
переменных
3. Методы спуска
4. Метод градиентного спуска с
дроблением шага (ГДШ)

2. Основные понятия и определения

Задача, требующая нахождения оптимального значения функции n
переменных f(Х) = f(x1, x2, …, xn), называется задачей многомерной
оптимизации. Так же, как и для случая одномерной оптимизации, задача
нахождения максимума функции сводится к задаче нахождения минимума
путем замены целевой функции f на -f.
Пусть функция f(Х) = f(x1, x2, …, xn) определена на некотором
множестве Х. Если ограничения на переменные x1, x2, …, xn отсутствуют,
принято говорить о задаче многомерной безусловной минимизации. В
противном случае говорят о задаче многомерной условной минимизации.
Мы ограничимся решением задачи безусловной минимизации.
Как и в случае одномерной оптимизации, различают глобальный и
локальные минимумы функции f(Х). Точка Х* называется точкой
глобального минимума функции f на множестве Х, если для всех Х
выполняется неравенство f(Х*) f(Х).
Точка Х* называется точкой локального минимума функции f, если
существует такая – окрестность ( >0), что для всех Х Х выполняется
неравенство f(X*) f(X).

3. Поверхности и линии уровня

Множество точек, для которых целевая функция принимает постоянное
значение f(x1, x2, …, xn) = c, называется поверхностью уровня. Для функции
двух переменных (n = 2) это множество называется линией уровня.
Функция f(x1,x2) задает в трехмерном пространстве некоторую
поверхность
U=f(x1,x2) (рис. 1.8.1-1), низшая точка которой и дает
решение задачи минимизации. Для того чтобы изобразить рельеф этой
поверхности,
проведем
несколько
плоскостей
(U = const): U=c1, U=c2, U=c3. Проекции на плоскость Ох1х2 линий
пересечений этих плоскостей с поверхностью и дают линии уровня.

4. Градиент и антиградиент

Для дифференцируемой функции f(X) можно определить вектор из
первых частных производных, который называется градиентом. Для
функции двух переменных
f(X) f(X)
grad (f(X))
,
x
x
1
2
Направление вектора градиента указывает направление наибольшего
возрастания функции, а его модуль (длина) равен скорости возрастания
функции. Вектор градиента нормален к линии уровня в каждой ее точке
(перпендикулярен касательной к линии уровня).
Вектор grad (f(X)) называется антиградиентом и показывает
направление наискорейшего убывания функции.

5. Векторы градиента и антиградиента

6. Необходимое условие существования локального минимума

Равенство нулю градиента в точке Х является необходимым условием
того, чтобы точка Х была точкой локального минимума дифференцируемой
функции f. Точка Х, для которой выполняется равенство f’(X) = 0, называется
стационарной точкой функции. Для функции двух переменных Q(x,y) это
равенство представляет собой систему из 2 нелинейных уравнений
относительно x и y:
Q(x, y)
0,
x
Q(x, y) 0.
y

7. Достаточное условие существования точки минимума

Однако не всякая стационарная точка является точкой минимума. Для
всякой непрерывно дифференцируемой функции f достаточным условием
того, чтобы стационарная точка Х была точкой локального минимума,
является положительная определенность матрицы вторых производных
(матрицы Гессе).
Для функции двух переменных Q(x, y) матрица Гессе имеет вид:
G(x,y)
2Q
x 2
2Q
x y
Q
y x
Q
y 2
2
2
,
а достаточное условие существования минимума:
2Q
1 2 0,
x
2
2Q 2Q 2Q
2 2 2
0.
x y
x
y

8. Аналитический метод отыскания точки минимума функции двух переменных

Если достаточное условие существования минимума выполняется, то
функция Q(x,y) является выпуклой и имеет единственную точку минимума,
глобальную и локальную одновременно.
Алгоритм решения задачи отыскания точки минимума функции двух
переменных Q(x,y) аналитическим методом следующий:
1. Составляется и решается система уравнений
Q(x,y)
0;
x
Q(x,y)
0,
y
решением которой находятся (x*, y*).

9. Аналитический метод отыскания точки минимума функции двух переменных

2. Проверяются достаточные условия существования минимума
2Q(x,y)
0
2
x
2
2
2
2
Q(x,y) Q(x,y) Q(x,y) 0.
2
x 2
y
x
y
Если (x*, y*) – единственное решение, и в этой точке выполняются
достаточные условия, то это точка минимума. Если хотя бы в одном из
неравенств получается знак “<”, то минимума не существует.

10. Пример отыскания точки минимума функции двух переменных аналитическим методом

Пример. Найдем точку минимума функции
f(x,y) = x2 + y2 – 4x + 100 – 8y
f
x 2x 4,
f 2y 8,
y
2x 4 0,
2y 8 0,
x 2;y 4.
2f
2f
2f
2;
2;
0.
2
2
x
y
x y
2 0
, 1 2 0; 2 4 0 4 0.
0 2
Следовательно, в точке x* = 2 и y* = 4 функция имеет единственный
минимум.

11. Методы спуска

Аналитический метод поиска минимума применим только для
ограниченного круга задач. В основном это связано с необходимостью
решения системы нелинейных уравнений, которая, как правило, может быть
решена лишь численными методами. Оказывается, гораздо проще сразу
решать задачу минимизации численными методами. Рассмотрим некоторые
из этих методов.
Большинство итерационных методов, применяемых для решения задач
безусловной минимизации функции нескольких переменных, относятся к
классу методов спуска. Это такие методы, для которых каждая итерация
(шаг) приводит к уменьшению значения целевой функции: f(xk+1)<f(xk), для
всех k 0.

12. Типичный алгоритм метода спуска

Типичный алгоритм метода спуска для функции двух переменных
Q(x,y) состоит в следующем:
1. Задается начальная точка (x0,y0), принадлежащая области
допустимых значений функции.
2. На текущей k-й итерации (k=0,1,…) определяется вектор G(pk ,sk ),
задающий направление спуска, причем такой, чтобы для всех
достаточно малых значений >0 (где – коэффициент,
определяющий шаг поиска) выполнялось неравенство:
f(xk + pk, yk+ sk) < f(xk,yk).
3. Определяется шаг поиска k, для которого выполняется условие п.2,
и за очередное приближение к точке минимума принимается точка
(xk+1; yk+1), где
xk+1 = xk + kpk, а yk+1 = yk+ ksk.
4. Проверяется выполнение условия окончания итераций. Если эти
условия выполняются, то полагают (x*,y*) (xk+1,yk+1). В противном
случае осуществляется переход к п.2 и выполняется следующая
итерация.
Последовательность точек (xk,yk), получаемую методом спуска,
называют траекторий спуска.

13. Разновидности методов спуска. Методы случайного спуска

Различные методы спуска различаются способом выбора вектора
направления спуска (pk; sk) и (или) способом определения шага k на каждой
итерации поиска минимума.
В методах случайного спуска направление и шаг спуска на каждой
итерации выбираются случайным образом путем генерации равномерно
распределенных случайных чисел. При этом на каждой итерации необходимо
обеспечивать условие уменьшения целевой функции f(xk+1)<f(xk).
Метод случайного спуска весьма трудоемок, так как может потребовать
очень большого числа итераций. Гораздо более эффективными являются
методы, в которых направление спуска выбирается не случайным образом, а
целенаправленно.

14. Градиентные методы спуска

В градиентных методах спуска направление движения к точке
минимума целевой функции совпадает с направлением антиградиента, и
выбирается по формулам:
Q(x,y) x xk
pk
y yk
x
Q(x,y) x xk
sk
y y yk .
Различные разновидности градиентных методов спуска отличаются
правилом выбора шага k на каждой итерации.
При решении вопроса о выборе шага k следует учитывать, что выбор
малого шага на каждой итерации приведет к малым изменениям аргумента и
функции, и, следовательно, к увеличению числа итераций, необходимых для
решения задачи. Выбор слишком большого шага k может привести не к
убыванию целевой функции Q(x,y), а к ее увеличению, и, следовательно,
процесс не будет сходиться к точке минимума.
Наиболее распространенными методами градиентного спуска являются
метод градиентного спуска с дроблением шага (ГДШ) и метод
наискорейшего спуска (НС).

15. Методы покоординатного спуска

В методах покоординатного спуска в качестве очередного
направления спуска выбирают направление одной из координатных осей.
Наиболее известным является метод циклического покоординатного
спуска, в котором направления спуска циклически меняются от итерации к
итерации.

16. Условия останова

Условием прекращения итераций в методах спуска может быть
достаточно малое изменение значения целевой функции на двух
последовательных итерациях:
|Q(xk+1,yk+1) – Q(xk,yk)| ≤ ε
где ε – допустимая погрешность.
В градиентных методах спуска условием окончания процесса итераций
обычно служат достаточно малые значения частных производных целевой
функции:
Q
Q
|
и |
xk 1,yk 1 | ε;
xk 1,yk 1 | ε.
x
y

17. Схема алгоритма градиентных методов спуска

18. Метод градиентного спуска с дроблением шага (ГДШ)

В методе ГДШ на каждой итерации шаг спуска k выбирается таким
образом, чтобы выполнялось условие сходимости:
Q(xk ,yk ) Q(xk λk pk ,yk λk sk )
λk 2
(pk sk2 ).
2
Процедура выбора шага в методе ГДШ заключается в следующем.
1) Задается начальное значение шага k = 0 (как правило, 0=0.5).
2) Проверяется условие сходимости, приведенное выше.
3) Если условие сходимости выполняется, то шаг спуска для данной
итерации выбран.
4) Если условие сходимости не выполняется, то принимают новый шаг
k = k/2, и возвращаются к п. 2 и т.д.
На слайде 19 приведен пример возможной траектории спуска методом
ГДШ.

19. Пример траектории спуска методом ГДШ

20. Схема алгоритма процедуры выбора шага