Как найти минимум функции по уравнению – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

найдите количество точек экстремумов функции

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы график производной и отмеченные на ней точки минимумов и максимумов функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

найдите количество точек экстремумов функции

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

по графику производной определить минимумы и максимумы функции

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

нахождение минимума и максимума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

схематичное изображение функции

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

поиск минимумов и максимумов

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Как найти точки минимума и максимума функции

Содержание:

Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
Исследование функций на экстремумы
Примеры задач

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:

(y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
(x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
(y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))

Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))

Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Точка экстремума

Источник: school-collection.edu.ru

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

Найти область определения функции — D(y).
Определить производную — f ‘(x).
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)

Решение задачи по алгоритму:

1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.

2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 – точка максимума, а x=2 – минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

(f(0)=0-3times0=0)

(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)

Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) – минимум функции, (2;-4) – максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).

1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)

2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).

Задача 3

Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.

1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.

2) (f'(x)=5x^4+6x)

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Утверждение доказано

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке $x = 17$ производная $y$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= 17$ — точка максимума функции $y(x).$

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции $y=2x^2-5x+lnx-3.$

Найдем производную функции.

$y{$

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке $x = 1$ производная $y$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x= 1$ — точка минимума функции $y(x).$

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция $y=2^t$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же $x_0$ , что и точка максимума функции $tleft(xright)=5-8x-x^2.$ А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при $x=-4$ . В точке $x = -4$ производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= - 4$ — точка максимума функции ${ t}left({ x}right)$ .

Заметим, что точку максимума функции $tleft(xright)=5-8x-x^2$ можно найти и без производной.

Графиком функции $tleft(xright)$ является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение $tleft(xright)$ достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: – 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по $X.$

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция $y=sqrt{z}$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции $tleft(xright)=4-4x-x^2.$

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ на отрезке $[-2;0].$

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

$y$

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке $x = - 2$ производная равна нулю и меняет знак с “+” на “-“. Значит, x = – 2 — точка максимума функции $y(x)$ . Поскольку при $xin [-2;0]$ функция $y(x)$ убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке $[0,3;3].$

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

$y$ при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка $x_1=1$ — точка минимума функции $yleft(xright)$ . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке $[0,3;1].$ Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке $left[0,3;1right]$ достигается при $x=1.$ Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции $y=9x-{ln left(9xright)}+3$ на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

$y=9x-{ln left(9xright)}+3=9x-{ln 9-{ln x}}+3.$

Мы применили формулу для логарифма произведения. $y$ при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции $y(x)$ . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции $y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11$ на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции $y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11.$ $y$

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции $y(x).$

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

$y$

$y$ если $e^x=4.$ Тогда $x=ln4.$

При $x=ln4$ знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, $x=ln4$ — точка минимума функции $y(x).$ $yleft(ln4right)=4^2-8cdot 4+9=16-32+9=-7.$

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции $y=12cosx+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi +6$ на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$y$

$y$ $12sinx=6sqrt{3};$

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции $y(x)$ . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции ${ y=12cosx+6}sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}sqrt{{ 3}}{ }pi { +6}$ на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции $y=16x-6sinx+6$ на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции $y=16x-6sinx+6$ не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку $cosxle 1$ , получим, что для всех $x$ , и функция $yleft(xright)=16x-6sinx+6$ монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при $x=0.$

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём 0 , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /₂, f(3)=3 8 /₈₁
Ответ: f_min= 5 /₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x – x 2

[spoiler title=”источники:”]

http://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html

http://math.semestr.ru/math/minmax.php

[/spoiler]

Источник

Задачи поиска
максимума эквивалентны задачам поиска
минимума, так как требуется лишь поменять
знак перед функцией. Для поиска минимума
необходимо определить интервал, на
котором функция могла бы иметь минимум.
Для этого можно использовать (1) графическое
представление функции, (2) аналитический
анализ аппроксимирующей функции и (3)
сведения о математической модели
исследуемого процесса (т.е. законы
поведения данной функции).

Численные
методы поиска минимума функции одной
переменной.

Определения.

Функция f(x)
имеет локальный
минимум при
некотором
,
если существует некоторая конечная
ξ-окрестность этого элемента, в которой
,
.
Требуется, чтобы на множестве X
функция f(x)
была по крайней мере кусочно-непрерывной.

Точка, в которой
функция достигает наименьшего на
множестве X
значения, называется абсолютным
минимумом
функции. Для нахождения абсолютного
минимума требуется найти все локальные
минимумы и выбрать наименьшее значение.

Задачу называют
детерминированной,
если погрешностью вычисления (или
экспериментального определения) функции
f(x)
можно пренебречь. В противном случае
задачу называют стохастической.
Все изложенные далее методы применимы
только к детерминированным задачам.

Методы поиска
минимума по нахождению корней уравнений.

Если функция f(x)
аналитически дифференцируема, то решаем
f
^/(x)
= 0 методами, изложенными в предыдущих
главах. При этом условие f
^//(x)
> 0 в найденной точке указывает нам на
минимум. Для использования этих методов
необходимо знать либо аналитический
вид первой и второй производных, либо
рассчитать их численно, если это не
приведет к потере точности.

Метод дробления.

Наиболее
простой метод поиска минимума. Пусть
дана начальная точка x₀,
а также величина и знак шага h,
определяющие движение из этой точки в
сторону предполагаемого минимума f(x).
Метод заключается в последовательном
дроблении исходного шага h
с изменением его знака при выполнении
условия f(x_k₊₁)
> f(x_k),
где k
– порядковый номер вычисляемой точки.
Например, как только очередное значение
функции стало больше предыдущего,
выполняется h
= – h/3
и процесс продолжается до тех пор, пока

|x_k₊₁– x_k|
≤ ξ . (1)

Данный метод
является одним из самых медленных для
поиска минимума. Основное достоинство
данного алгоритма – возможность
использования в программах управления
экспериментальными исследованиями,
когда значения функции f(x)
последовательно измеряются с шагом h
≥ h_min.

Метод золотого
сечения.

Пусть f(x)
задана и кусочно-непрерывна на [x_L,
x_R],
и имеет на этом отрезке только один
локальный минимум. Золотое сечение, о
котором упоминал ещё Евклид, состоит в
разбиении интервала [x_L,
x_R]
точкой x₁
на две части таким образом, что отношение
длины всего отрезка к его большей части
равно отношению большей части к меньшей:

.
(2)

Таким образом,
возьмем на отрезке две точки x₁
и x₂,
симметрично относительно границ делящие
исходный отрезок в отношении золотого
сечения:

где коэффициент
.

Если f(x₁)
< f(x₂),
мы должны сузить отрезок справа, т.е.
новое значение x_R
= x₂,
в противном случае x_L= x₁.
Оставшаяся внутри нового отрезка точка
является первым приближением к минимуму
и делит этот отрезок в отношении золотого
сечения. Таким образом, на каждой итерации
приближения к минимуму (см. рисунок) нам
нужно ставить только одну точку (x₁или
x₂),
в которой считать значение функции и
сравнивать его с предыдущим. Условием
выхода из итерационного процесса будет,
подобно предыдущему случаю, условие
|x₂– x₁|
≤ ξ.

Метод отличается
высокой скоростью сходимости, обычно
изысканной компактностью программной
реализации и всегда находит точку,
минимальную на заданном интервале.

Метод парабол.

Пусть f(x)
имеет первую и вторую производную.
Разложим f(x)
в ряд Тейлора в некоторой точке x_k,
ограничиваясь при этом тремя членами
разложения:

.
(3)

Иными
словами, аппроксимируем нашу функцию
в точке x_k
параболой. Для этой параболы можно
аналитически вычислить положение
экстремума как корень уравнения первой
производной от (3):
.
Пусть минимум аппроксимирующей параболы
находится в точке x_k₊₁.
Тогда вычислив значение функции f(x_k₊₁),
мы получаем новую точку приближения к
минимуму.

Обычно в практических
реализациях данного метода не используют
аналитический вид первой и второй
производных f(x).
Их заменяют конечно-разностными
аппроксимациями. Наиболее часто берут
симметричные разности с постоянным
шагом h:

;

Это эквивалентно
аппроксимации функции параболой,
проходящей через три близкие точки
x_k+h,
x_k,
x_k–h.
Окончательное выражение, по которому
можно строить итерационный процесс,
таково:

.
(4)

Данный метод
отличается от вышеизложенных высокой
скоростью сходимости. Вблизи экстремума,
вплоть до расстояний ~h²,
сходимость практически не отличается
от квадратичной. Однако алгоритм требует
постоянного контроля сходимости.
Например, итерационный процесс будет
сходиться к минимуму, если

знаменатель
формулы (4) должен быть >0. Если это не
так, нужно сделать шаг в обратном
направлении, причем достаточно большой.
Обычно в итерационном процессе полагают
.
Иногда ради упрощения расчетов полагают
,
однако это существенно уменьшает
скорость сходимости.
.
Если это не так, то от x_k
следует сделать шаг

с τ
= ½. Если и при этом условие убывания не
выполнено, уменьшают τ
и вновь
делают шаг.

Численные
методы поиска минимума функции нескольких
переменных.

Будем рассматривать
методы поиска минимума
в
многомерных задачах на примере функции
двух переменных f(x,
y),
так как эти методы легко аппроксимировать
на случай трех и более измерений. Все
эффективные методы поиска минимума
сводятся к построению траекторий, вдоль
которых функция убывает. Разные методы
отличаются способами построения таких
траекторий, так как метод, приспособленный
к одному типу рельефа, может оказаться
плохим для рельефа другого типа. Различают
следующие типы рельефа:

1) Котловинный
(гладкая функция)

2) Истинный овраг

3) Разрешимый
овраг

4) Неупорядоченный

Метод координатного
спуска.

Пусть
требуется найти минимум f(x,
y).
Выберем нулевое приближение (x₀,
y₀).
Рассмотрим функцию одной переменной
f(x,
y₀)
и найдем ее минимум, используя любой из
рассмотренных выше способов. Пусть этот
минимум оказался в точке (x₁,
y₀).
Теперь точно так же будем искать минимум
функции одной переменной f(x₁,
y).
Этот минимум окажется в точке (x₁,
y₁).
Одна итерация спусков завершена. Будем
повторять циклы, постепенно приближаясь
ко дну котловины, пока не выполнится
условие
.

ходимость метода зависит от вида
функции и выбора нулевого приближения.
Вблизи невырожденного минимума гладкой
функции спуск по координатам линейно
сходится к минимуму. Если линии уровня
образуют истинный овраг, возможен
случай, когда спуск по одной координате
приводит на дно оврага, а любое движение
по следующей координате ведет на подъем.
Процесс координатного спуска в данном
случае не сходится к минимуму.

При попадании
траектории спуска в разрешимый овраг
сходимость становится чрезвычайно
медленной. В физических задачах овражный
рельеф указывает на то, что не учтена
какая-то закономерность, определяющая
связь между переменными. Явный учет
этой закономерности облегчает
использование численных методов.

Метод градиентного
(наискорейшего) спуска.

В
этом методе функция минимизируется по
направлению, в котором она быстрее всего
убывает, т.е. в направлении, обратном
.
Вдоль этого направления функция зависит
от одной параметрической переменной
t,
для нахождения минимума которой можно
воспользоваться любым известным методом
поиска минимума функции одной переменной.
Спуск из точки начального приближения

против градиента до минимума t
определяет новую точку
,
в которой вновь определяется градиент
и делается следующий спуск. Условием
окончания процесса, как и в случае
координатного спуска, будет
.

С помощью метода
градиентного спуска минимум гладких
функций в общем случае находится быстрее,
чем при использовании координатного
спуска, однако нахождение градиента
численными методами может свести на
нет полученный выигрыш. Сходимость
плохая для функций с овражным рельефом,
т.е. с точки зрения сходимости градиентный
спуск не лучше спуска по координатам.

Каждый спуск
заканчивается в точке, где линия градиента
касательна к линии (поверхности) уровня.
Это означает, что каждый следующий спуск
должен быть перпендикулярен предыдущему.
Таким образом, вместо поиска градиента
в каждой новой точке можно сосчитать
градиент в начальной точке, и развернуть
оси координат
так, чтобы одна их осей была параллельна
градиенту, а затем осуществлять спуск
координатным методом.

Метод оврагов.

Ставится
задача найти минимум

для овражной функции. Для этого выбираются
две близкие точки

и
,
и осуществляется спуск из этих точек
(любым методом), причем высокой точности
сходимости не требуется. Конечные точки
спуска

и

будут лежать вблизи дна оврага. Затем
осуществляется движение вдоль прямой,
соединяющей

и

в сторону уменьшения

(как бы вблизи дна оврага). Движение
может быть осуществлено только на один
шаг ~ h,
направление выбирается из сравнения
значения функции в точках

и
.
Таким образом, находится новая точка
.
Так как возможно, что точка

уже лежит на склоне оврага, а не на дне,
то из нее снова осуществляется спуск в
новую точку
.
Затем намечается новый путь по дну
оврага вдоль прямой, соединяющей
и
.
Если

– процесс прекращается, а в качестве
минимума в данном овраге используется
значение
.

Метод оврагов
рассчитан на то, чтобы пройти вдоль
оврага и выйти в котловину около минимума.
В этой котловине значения минимума
лучше уточнять другими методами.

Проблемы поиска
минимума в задачах с большим числом
измерений.

Пусть в n-мерном
векторном пространстве задана скалярная
функция
.
Наложим дополнительные условия
,
1 ≤ i
≤ m;

,
1 ≤ j
≤ p.
Условия типа равенств выделяют в
пространстве некоторую (n
– m)-мерную
поверхность, а условия типа неравенств
выделяют n-мерную
область, ограниченную гиперповерхностями
.
Число таких условий может быть
произвольным. Следовательно, задача
inf

есть
поиск минимума функции n
переменных в некоторой (n
– m)-мерной
области E. Функция может достигать
минимального значения как внутри
области, так и на ее границе. Однако
перейти к (n
– m)-мерной
системе координат практически никогда
не удается, поэтому спуск приходится
вести во всем n-мерном
пространстве.

Даже если нулевое
приближение лежит в области E, естественная
траектория спуска сразу выходит из этой
области. Для принудительного возврата
процесса в область E, например, используется
метод штрафных
функций: к

прибавляются члены, равные нулю в E, и
возрастающие при нарушении дополнительных
условий (ограничений). Метод прост и
универсален, однако считается недостаточно
надежным. Более качественный результат
дает использование симплекс-методов
линейного программирования, однако
данный вопрос в рамках настоящего курса
не рассматривается.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

– Производная положительна там, где функция возрастает. – Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Как найти точки минимума и максимума функции

Минимум и максимум функции

Точка минимума, минимум функции

Точка максимума, максимум функции

Исследование функций на экстремумы

Примеры задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

– Производная положительна там, где функция возрастает. – Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Вам также может понравиться

Как найти аниме по фотке

Как исправить зауксившееся виноградное вино

Как найти координаты хорды

Добавить комментарий Отменить ответ

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.