Как найти минус пи на окружности

sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса

И сразу два важных замечания.

Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:

Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что (sin^2⁡(-x)=(sin⁡(-x) )^2=(-sin,⁡x )^2=sin^2⁡x), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.

Примеры из ЕГЭ

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений (frac<1><2>), (frac<sqrt<2>><2>), (frac<sqrt<3>><2>) принимает наименьшее т.е. (cos,⁡frac<π><3>=frac<1><2>). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. (sin⁡,frac<π><4>=frac<sqrt<2>><2>). Получается:

Если вы не поняли почему (frac<π><3>) и (frac<π><4>) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью « Как обозначать числа с пи на числовой окружности? ». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью « Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы ».

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (44sqrt<3>,tg,(-480^° )).
Решение. (44sqrt<3>,tg(-480^° )=-44sqrt<3>,tg(480^° )=-44sqrt<3>,tg(360^°+120^° )=-44sqrt<3>,tg(360^°+90^°+30^°)).

Находим (480^°) на окружности:

Соединяем точку, соответствующую (480^°) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, (tg(480^° )=-sqrt<3>).
В итоге имеем: (44sqrt <3>tg(-480^° )=-44sqrt<3>cdot(-sqrt<3>)=44cdot 3=132).
Ответ: (132).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью « Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? ».

Доказательства формул с минусом в аргументе:

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 – 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 – 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 – 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

http://reshimvse.com/article.php?id=100

[/spoiler]

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac{π}{2}), (-frac{π}{2}), (frac{3π}{2})

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки – это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac{π}{2}). (frac{π}{2}) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-)(frac{π}{2}). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac{3π}{2}). Для этого дробь (frac{3}{2}) переведем в смешанный вид (frac{3}{2})(=1)(frac{1}{2}), т.е. (frac{3π}{2})(=π+)(frac{π}{2}). Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

                                    

 

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-)(frac{3π}{2}).

Обозначаем числа (frac{π}{4}), (frac{π}{3}), (frac{π}{6})

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac{π}{4}), (frac{π}{3}) и (frac{π}{6}).
(frac{π}{4}) – это половина от (frac{π}{2}) (то есть, (frac{π}{4}) (=)(frac{π}{2})(:2)) , поэтому расстояние (frac{π}{4}) – это половина четверти окружности.

                                   

(frac{π}{4}) – это треть от (π) (иначе говоря,(frac{π}{3})(=π:3)), поэтому расстояние (frac{π}{3}) – это треть от полукруга.

           

(frac{π}{6}) – это половина (frac{π}{3}) (ведь (frac{π}{6})(=)(frac{π}{3})(:2)) поэтому расстояние (frac{π}{6}) – это половина от расстояния (frac{π}{3}).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac{π}{2}),(π), (frac{3π}{2}), (frac{π}{4}), (frac{π}{3}), (frac{π}{6}) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

 

Обозначаем числа (frac{7π}{6}), (-frac{4π}{3}), (frac{7π}{4})

Обозначим на окружности точку (frac{7π}{6}), для этого выполним следующие преобразования: (frac{7π}{6})(=)(frac{6π + π}{6})(=)(frac{6π}{6})(+)(frac{π}{6})(=π+)(frac{π}{6}). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac{π}{6}).

                                  

Отметим на окружности точку (-)(frac{4π}{3}). Преобразовываем: (-)(frac{4π}{3})(=-)(frac{3π}{3})(-)(frac{π}{3})(=-π-)(frac{π}{3}). Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac{π}{3}).

                               

Нанесем точку (frac{7π}{4}), для этого преобразуем (frac{7π}{4})(=)(frac{8π-π}{4})(=)(frac{8π}{4})(-)(frac{π}{4})(=2π-)(frac{π}{4}). Значит, чтобы поставить точку со значением (frac{7π}{4}), надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac{π}{4}).

                     

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки (-)(frac{π}{6}),(-)(frac{π}{4}),(-)(frac{π}{3}),(frac{5π}{4}),(-)(frac{7π}{6}),(frac{11π}{6}), (frac{2π}{3}),(-)(frac{3π}{4}).

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac{7π}{2}) ,(frac{16π}{3}), (-frac{21π}{2}), (-frac{29π}{6})

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Еще один вывод:

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Сейчас обозначим число (frac{7π}{2}). Как обычно, преобразовываем: (frac{7π}{2})(=)(frac{6π}{2})(+)(frac{π}{2})(=3π+)(frac{π}{2})(=2π+π+)(frac{π}{2}). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac{7π}{2}) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+)(frac{π}{2}) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac{16π}{3}). Вновь преобразования: (frac{16π}{3})(=)(frac{15π + π}{3})(=)(frac{15π}{3})(+)(frac{π}{3})(=5π+)(frac{π}{3})(=4π+π+)(frac{π}{3}). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+)(frac{π}{3}) – и мы найдем место точки (frac{16π}{3}).

Нанесем на окружность число (-)(frac{21π}{2}).
(-)(frac{21π}{2})(= -)(frac{20π}{2})(-)(frac{π}{2})(=-10π-)(frac{π}{2}). Значит, место (-)(frac{21π}{2}) совпадает с местом числа (-)(frac{π}{2}).

Обозначим (-)(frac{29π}{6}).
(-)(frac{29π}{6})(=-)(frac{30π}{6})(+)(frac{π}{6})(=-5π+)(frac{π}{6})(=-4π-π+)(frac{π}{6}). Для обозначение (-)(frac{29π}{6}), на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac{π}{6}).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки (-8π),(-7π), (frac{11π}{4}),(-)(frac{7π}{3}),(frac{17π}{6}),(-)(frac{20π}{3}),(-)(frac{11π}{2}).

Скачать статью