Как найти многочлен если известны его корни

6

Занятие 13.
Многочлены.

13.1. Корни многочлена, их кратность.
Деление многочлена на многочлен (алгоритм
Евклида). Целая и дробная части отношения
двух многочленов.

13.2. Теорема Безу. Основная теорема
алгебры многочленов.

13.3. Многочлены с действительными
коэффициентами: свойство их комплексных
корней; разложение над полем действительных
и комплексных чисел.

Корни многочлена, их кратность. Теорема
Безу. Основная теорема алгебры многочленов.

Многочленом
го
порядка одной переменной

называется функция

вида

,
(1)

где

– заданные числа, называемые коэффициентами
многочлена.

Порядок многочлена определяется
максимальной степенью
.
Например,

1)

– многочлен 3-го порядка, т.к.

– максимальная степень в данном многочлене.
Этот многочлен имеет следующие
коэффициенты:

2)

– многочлен 2-го порядка. Его коэффициенты:

3)
–
многочлен 1-го порядка. Его коэффициенты:

4)

– многочлен нулевого порядка,
.

Корнями многочлена (1) называются
решения уравнения

.

(2)

Например,

1) многочлен

имеет один действительный корень
,
т.к. уравнение

имеет только одно решение
,

2) многочлен

имеет два комплексных корня
,
являющихся решениями квадратного
уравнения
.

Эти примеры показывают, что многочлен
с действительными коэффициентами может
иметь как действительные, так и комплексные
корни.

Корень многочлена (1) является корнем
кратности
,
если он встречается

раз среди всех корней уравнения (2).
Например,

1) многочлен

имеет один корень
.
Это означает, что

является однократным корнем (или корнем
кратности 1).

2)
,

– корни кратности 1 многочлена
.

3) многочлен

можно переписать следующим образом:

.
Следовательно, многочлен

имеет пять корней:
.
И значит,

– корень кратности 2, и

– корень кратности 3 многочлена
.

Пример 1. Найти корни многочлена

и указать их кратность.

Решение.

– корень кратности 2, и

– корень кратности 3 многочлена
.

– корень кратности 5, и

– корни кратности 2 многочлена
.

Опять отметим, что многочлен с
действительными коэффициентами из
примера 1 наряду с действительным корнем

имеет также комплексные корни.

Нахождение всех корней произвольно
заданного многочлена часто бывает
проблематичным. Если корни многочленов
1-го и 2-го порядка находятся достаточно
просто, то поиск корней многочленов
3-го и 4-го порядка алгебраическими
методами хотя и возможен, но уже не так
прост: громоздкие аналитические выкладки
(см., например, Г.Корн, Т.Корн. Справочник
по математике, пункты: 1.8-3, … , 1.8.-6.)
препятствуют широкому практическому
применению аналитических методов
нахождения корней этих многочленов.
Для многочленов 5-го и более высокого
порядков нахождение корней алгебраическими
методами (т.е. с помощью конечного числа
операций сложения, вычитания, умножения,
деления, возведения в рациональную
степень действительных чисел), в общем
случае, невозможно. Поэтому, обычно
корни многочленов выше 2-го порядка
находят в приближенном виде вычислительными
методами (эти методы изучаются в курсе
математического анализа и численных
методов). Далее рассматриваются примеры,
в которых нахождение корней многочлена
либо сводится к решению квадратных
уравнений, либо не потребуется.

Деление многочлена на многочлен
(алгоритм Евклида). Целая и дробная части
отношения двух многочленов.

Рассмотрим отношение двух многочленов,
называемое дробно рациональной функцией:

– многочлены степени

соответственно. Если
,
то

называется правильной дробно рациональной
функцией (или проще, правильной дробью).
Если же
,
то

называется неправильной дробно
рациональной функцией (или неправильной
дробью). Для неправильной дроби
справедлива следующая теорема.

Теорема. Неправильную дробь

можно разложить в сумму многочлена и
правильной дроби:
,
где

– многочлен степени
,
и

– многочлен степени
.
Такое разложение единственно. Многочлен

называется целой частью, правильная
дробь

– дробной частью, многочлен

– остатком от деления многочлена

на многочлен
.

Нахождение целой части и остатка от
деления многочлена на многочлен
производится по алгоритму Евклида.
Приведем применение этого алгоритма
на конкретных примерах.

Пример 2. Найти целую часть и остаток
от деления многочлена

на многочлен
.

Решение. 1-й шаг алгоритма
Евклида.

Начало схемы алгоритма.

Подбираем постоянные

так, чтобы при умножении

на старший член

делителя

получился старший член
многочлена
.
Очевидно, следует взять
.
Подставляем
(ош!)
и умножаем его на делитель
.
В результате получим многочлен
.
Записываем его слева под многочленом
.
Находим разность


и записываем этот многочлен слева под
чертой под многочленом
.
Степень многочлена

больше степени делителя (многочлена
),
поэтому алгоритм Эвклида имеет
продолжение.

2-й шаг. Записываем итоги
вычислений 1-го шага. Прибавим слева к
слагаемому

новый член
.

Продолжение схемы алгоритма.

Константы

подбираем так, чтобы при умножении

на старший член

делителя

получилось
.
Очевидно,
.
Подставляем

и умножаем его на делитель
,
в результате получим многочлен
.
Записываем этот многочлен слева под
многочленом
.
Находим разность
,
где
и
записываем этот многочлен слева под
чертой под.
Степень многочлена

равна степени делителя (многочлена
),
поэтому алгоритм Эвклида продолжается.

3-й шаг. Записываем итоги
вычислений 2-го шага. Прибавим слева к
слагаемым

новый член
.

Продолжение схемы алгоритма.

Константы

подбираем так, чтобы при умножении

на старший член

делителя

было равно
.
Очевидно,
.
Подставляем

и умножаем его на делитель
,
в результате получим многочлен
.
Записываем этот многочлен слева под
.
Находим разность

и записываем ее слева под чертой под
.
Степень многочлена

меньше степени делителя
,
поэтому алгоритм Евклида закончился.
Ответы таковы: целая часть и остаток от
деления многочлена

на многочлен

соответственно равны

и
.

В окончательном виде схема алгоритма
Евклида выглядит так.

Если остаток

от деления многочлена

на многочлен

равен нулю, то многочлен

нацело делится на многочлен
.
В этом случае многочлен

называется делителем многочлена
,
и многочлен

можно записать в виде произведения
.

Пример 3. Разложить в произведение
многочлен
,
если известно, что многочлен
(ош!)
нацело делит многочлен
.

Решение. С помощью алгоритма Евклида
найдем целую часть

от деления

на
.

Следовательно,

и многочлен

можно разложить в произведение:
.

2. Особую роль играет деление многочлена

на многочлен
.

Справедлива следующая теорема Безу.
Остаток от деления многочлена

на многочлен

равен
.

Следствие теоремы Безу. Если

– корень многочлена

степени
,
то многочлен

нацело делится на многочлен
,
т.е.
,
где

– многочлен степени
.

Основная теорема алгебры многочленов:
любой многочлен степени

имеет ровно

корней, считая каждый корень столько
раз, какова его кратность.

Согласно этой теореме любой многочлен

с комплексными коэффициентами разлагается
в следующее произведение

,

(1)

где
–
все корни многочлена
,
имеющие кратности
соответственно.
Такое разложение называется разложением
многочлена

над множеством комплексных чисел (над
полем
).
При разложении многочлена над полем

автоматически считается, что

может принимать любые комплексные
значения.

Линейные многочлены

являются неприводимыми многочленами
над полем
.
Многочлен называется неприводимым
над заданным множеством чисел, если
его нельзя разложить в произведение
двух многочленов со степенями один и
выше. Очевидно, что любой многочлен
степени 1 неприводим над полем
,
а любой многочлен степени 2 и выше
приводим над полем
,
т.к. согласно основной теореме его можно
разложить в произведение многочленов.

Пример 4. Разложить над полем

многочлен
.

Решение. Согласно примеру 3 заданный
многочлен разлагается в произведение
.
Первый множитель – многочлен
имеет
корень
,
т.к.
.
Следовательно,

нацело делится на многочлен
.
По алгоритму Евклида находим результат
деления

на
.

Значит,
.

Поскольку,
,
получим такое разложение многочлена

над полем
.

Если многочлен

имеет действительные коэффициенты, то
наряду с его разложением над полем
(когда

считается комплексной величиной)
возможно также разложение этого
многочлена на множестве действительных
чисел (над полем
),
когда переменная

принимает только действительные
значения, и соответственно

принимает только действительные
значения. При разложении многочлена с
действительными коэффициентами над
полем

следует помнить, что не все многочлены
второго порядка приводимы над полем
.

Например, многочлен

приводим над полем
,
он допускает разложение

и неприводим над полем
,
т.к. каждый из множителей в квадратных
скобках принимает комплексные значения
при действительных значениях переменной
.
Поэтому, разложение многочлена

из примера 4 над полем

будет иметь следующий вид:
.
Здесь каждый из множителей принимает
только действительные значения при
действительных
.
Чтобы получить это разложение, нужно
перемножить квадратные скобки в найденном
выше разложении многочлена

над полем
.

Следует помнить также следующий факт:
если многочлен с действительными
коэффициентами имеет комплексный корень
,
то комплексное сопряжение этого корня

также является корнем этого многочлена.
Согласно этому факту и основной теореме
алгебры многочленов разложение многочлена
с действительными коэффициентами над
полем

в общем случае имеет следующий вид

,
(2)

где
–
действительные корни кратности
соответственно,
а квадратные многочлены

имеют комплексно сопряженные корни.

Пример 5. Найти разложения многочлена

на множестве комплексных (над полем
)
и на множестве действительных (над полем
)
чисел, если известно, что

– корень кратности 2 этого многочлена.

Решение.

1)

– действительный корень кратности 2
многочлена
.

2)

– многочлен с действительными
коэффициентами

вместе с комплексным корнем

кратности 2 этот многочлен имеет корень

тоже кратности 2

в разложении многочлена

над полем

(см. формулу (1)) будет присутствовать
множитель

многочлен
,
и значит, многочлен

нацело делится на многочлен
.

3) Найдем результат деления

на

по алгоритму Евклида.

.

4) Теперь найдем корни квадратного
трехчлена
.

.

Следовательно, разложение заданного
многочлена

над полем
имеет
вид

.

Из этого разложения видно, что

имеет корни

кратности 2 и корни

кратности 1.

Чтобы найти разложение многочлена

над полем

нужно перемножить скобки с сопряженными
комплексными корнями. Т.к.

и
,
получаем следующее разложение
многочлена

над полем
:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с – корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с – k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f ‘(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2.Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f ‘(x)=4x 3 -12x 2 +16, f ‘(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ”(x)=12x 2 -24x, f ”(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

Число 2 впервые не является корнем f”'(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a₁x n -1 +…+a_n-1x+a_n и α₁. α_n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

, (2)

где – неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р₁(х),…,Р_r(x) уже все различные. Показатели k₁,…,k_r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

, (4)

где F₁(x) – произведение всех простых неприводимых множителей, – произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F₁(x),…,F_s(x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F₁(x),…,F_s(x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

Пример 4.Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f ‘(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

(производим деление).

(производим деление).

Поэтому получаем F₃(x)=v₃(x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.

Замечание 1.Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F₁(x)).

Замечание 2.Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.

3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.

Вариант 2

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.

2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.

3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х₁, х₂, х₃, удовлетворяют соотношению .

Вариант 3

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.

Вариант 4

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.

3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.

Вариант 5

1. Показать, что х₀=-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.

3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.

Вариант 6

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.

Вариант 7

1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.

3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.

Вариант 8

1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.

3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.

Вариант 9

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.

3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

Вариант 10

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.

3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.

Вариант 11

1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х₁=2, x₂=1-i, x₃=3.

Вариант 12

1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х₁=i, x₂=2+i, x₃=x₄=2.

Вариант 13

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.

«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

При умножении левой и правой частей на двучлен x + b получается уравнение:

.

Новые уравнения имеют в обоих случаях те же положительные корни, что и исходные уравнения.

В уравнении ,

которое может иметь два корня, Виет определяет коэффициенты так, чтобы корни имели данные значения. Если обозначить последние через у и z, то

, .

Аналогичное определение коэффициентов Виет предпринимает и для уравнений вида

,

где m + n − четное число, а m – нечетное число.

Важно то, что Виет распространил известные ранее частные преобразования на все алгебраические уравнения. Подстановку , которую Кардано применял для исключения из кубического уравнения члена второй степени, он применил к уравнениям любой степени. Известную Кардано обратную подстановку

Виет использовал, чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей.

Например, уравнение

Виет подстановкой преобразовывал к уравнению вида

.

Подстановкой Виет преобразовывал уравнение n-й степени так, что коэффициент при члене -й степени становился равным b, в то время, как старший коэффициент оставался равным единице.

Подстановку Виет применял, чтобы избавиться от дробных коэффициентов.

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами.

Рассмотрим ход рассуждений Виета на следующих примерах.

Пусть х1 и х2 − корни приведенного квадратного уравнения

.

Перемножим двучлены и :

,

тогда, сравнение с исходным уравнением дает систему равенств:

Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения

,

считая х1 , х2 и х3 корнями исходного кубического уравнения, получаем:

,

следовательно, имеет место система равенств

Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано (а в случае положительных корней – еще раньше). Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х2, но никакого обоснования в общем виде он дать не мог. Это сделал Виет для любого уравнения до пятой степени включительно.

Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро – Тартальи, решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители. Например, в уравнении

он прибавлял к обеим частям уравнения выражение , а затем преобразовывал исходное уравнение к виду ,

сокращал на двучлен (так как не учитывал отрицательные корни) и получал квадратное уравнение .

При нахождении положительного корня кубического уравнения

Кардано складывал его почленно с уравнением

,

и получал квадратное уравнение делением на двучлен . Такое преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене второй степени в правой части исходного кубического уравнения равен сумме его корней. Это был первый шаг к установлению зависимости между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.

Виет составил полные уравнения с заданными положительными корнями вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при , , и т. д. (при этом коэффициент при старшей степени Виет считал равным 1 или (−1)). Он установил, что эти коэффициенты при условии, что свободный член в правой части должен был стоять со знаком «+», представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней, попарных произведений корней, произведений корней, взятых по три и т. д.

Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не дошла. Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имело отрицательные корни. Скорее всего, это не представляло для Виета особых трудностей: достаточно было в исходном уравнении сделать замену

и можно оперировать с положительными корнями нового уравнения. Такие примеры в его работах встречались. Например, если уравнение

имеет два положительных корня х1 и х2 , то уравнение

имеет один положительный корень , причем .

Тогда

В исследованиях Виета встречались начала теории симметрических многочленов и разложения многочленов на линейные множители, что вскоре привело к открытию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения произвольной натуральной степени.

Задачи математиков связанных с кубическим уравнением

Задача. Доказать, что если дано кубическое уравнение

,

то a, b, c – корни этого уравнения. Проверить на уравнениях:

1) ;

2) .

Решение. Пусть х = а , тогда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем тождество:

Аналогично производится проверка чисел b и с.

1) .

Легко видеть, что при х = 1. Следовательно, числа 1, 2, 3 являются корнями уравнения (1).

2) .

Легко видеть, что при х = 2. Следовательно, числа 2, −2, 4 являются корнями уравнения (2).

Шлемильх Оскар (1832-1901)известный немецкий математик, имя которого связано с выражением остаточного члена ряда Тейлора; автор весьма полезного двухтомного курса по математике.

Задача. Решите кубическое уравнение

если его корни составляют:

а) арифметическую прогрессию;

б) геометрическую прогрессию.

Решение. Известно, что между корнями и коэффициентами кубического уравнения существует следующая зависимость (формулы Виета):

а) Если корни уравнения составляют арифметическую прогрессию, то имеем дополнительное условие:

Тогда из (1) и (4) следует: ;

из (1) и (3) : ; ,

откуда , .

Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение имело корни, представляющие арифметическую прогрессию: .

Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами кубического уравнения, то его корни будут членами арифметической прогрессии.

б) Если корни уравнения составляют геометрическую прогрессию, то имеем дополнительное условие: х1 : х2 = х3 : х4 . (5)

Тогда из (5) и (3) следует: ; (6)

Решить уравнение если известно что его корни образуют арифметическую прогрессию

Вопрос по математике:

Найти корни уравнения x^3+3x^2-6x+a=0,если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок – бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Выведем формулы Виета для уравнения третьей степени:

Т.к. корни образуют геометрическую прогрессию, то, справедливо:

Найдём знаменатель геометрической прогрессии и один из членов:

Само уравнение принимает вид .

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/80/396/1668-5.php

http://online-otvet.ru/matematika/5cea768196f4e19a29fe6992

[/spoiler]

Содержание:

Многочлен – это сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

История многочелена:

Живший в 1050-1122 гг Омар Хаям известен в мире как мастер рубай. Однако имя Омара Хаяма также упоминается наряду с именами гениальных математиков. Именно Омар Хаям впервые представил общую формулу корней уравнения кубического многочлена

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — ) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида , где — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной — это выражение вида где — некоторое число, — целое неотрицательное число. Если то показатель степени переменной называется степенью одночлена. Например, — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку ).

По определению многочлен от одной переменной — это сумма одночленов от одной переменной . Поэтому

многочленом от одной переменной : называется выражение вида

(1)

где коэффициенты — некоторые числа.

Если , то этот многочлен называют многочленом степени от переменной . При этом член называют старшим членом многочлена , число — коэффициентом при старшем члене, а член — свободным членом. Например, — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена записывают так:

где — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены где и где , тождественно равны тогда и только тогда, когда и Одночлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда

Поскольку равенство одночленов

(2)

выполняется при всех значениях (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство , получаем, что Сокращая обе части равенства (2) на (где по условию), получаем При из этого равенства имеем: Поскольку 2 то равенство возможно только тогда, когда Таким образом, из тождественного равенства получаем, что и Если известно, что для всех то при получаем Поэтому одночлен тождественно равен нулю при (тогда ).

Далее любой одночлен вида будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.

Значком обозначено тождественное равенство многочленов.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть

При имеем поэтому То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение также выполняется: если многочлен то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Пусть (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях , то, подставляя в это равенство получаем, что Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: Вынесем в левой части этого равенства за скобки и получим

(4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях . Для того чтобы оно выполнялось при должно выполняться тождество

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от до Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Но мы также доказали, что поэтому наше утверждение выполняется и при Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают или просто (поскольку ).

Теорема 3. Если два многочлена и тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен , а многочлен Рассмотрим многочлен Поскольку многочлены и по условию тождественно равны, то многочлен тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но Тогда Отсюда Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, больше ), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (-го номера все коэффициенты также будут равны нулю. То есть действительно многочлены и

имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример:

Докажите, что выражение

является полным квадратом.

Решение:

► Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида Получаем тождество:

(5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Из первого равенства получаем или

При из второго равенства имеем а из третьего — Как видим, при этих значениях и последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при (аналогично можно также получить ). Таким образом,

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например, При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число делится на целое число если существует такое целое число что

Определение: Многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен), если существует такой многочлен что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что

многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов и что причем степень остатка меньше степени делителя (в этом случае многочлен называют неполным частным.)

Например, поскольку то при делении многочлена на многочлен получаем неполное частное : и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом.

Пример №1

Разделим многочлен на многочлен

Решение:

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления на с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через второго шага — через третьего — через то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

(4)

Учитывая, что степень многочлена меньше степени делителя обозначим (остаток), а (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: то есть

а это и означает, что мы разделили на с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов и в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого и делителя (где — не нулевой многочлен) найти неполное частное и остаток

Отметим, что в случае, когда степень делимого меньше степени делителя , считают, что неполное частное а остаток

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена на двучлен Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен на двучлен , то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении При имеем Полученный результат называют теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть значению многочлена при ).

Пример №2

Докажите, что делится на без остатка.

Решение:

► Подставив в вместо значение 1, получаем: . Таким образом, остаток от деления на равен 0, то есть делится на без остатка. <]

Определение: Число называют корнем многочлена если

Если многочлен делится на то — корень этого многочлена.

Безу Этьен (1730-1783) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие теории алгебраических уравнений.

Действительно, если делится на то и поэтому Таким образом, — корень многочлена

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена то этот многочлен делится на двучлен без остатка.

По теореме Безу остаток от деления на равен Но по условию — корень таким образом,

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен имеет попарно разные корни то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при То есть если попарно разные корни многочлена то он делится на произведение Тогда

(1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Пусть — попарно разные корни многочлена Поскольку — корень то . Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

По условию все корни разные, поэтому ни одно из чисел не равно нулю. Тогда Таким образом, — корень многочлена Тогда по теореме 2 многочлен делится на то есть и из равенства (1) имеем

Это означает, что делится на произведение

то есть теорема доказана и при

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального

Следствие. Многочлен степени имеет не больше разных корней.

Допустим, что многочлен степени имеет разных корней: Тогда делится на произведение многочлен степени но это невозможно. Поэтому многочлен степени не может иметь больше чем корней.

Пусть теперь многочлен степени имеет разных корней Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Это произведение является многочленом той же

степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

(2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что то есть

(3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

(4)

Например, при имеем:

а при

(5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным

условием того, чтобы числа были корнями многочлена

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен делится без остатка на но не делится без остатка на то говорят, что число является корнем кратности многочлена

Например, если произведение записать в виде многочлена, то для этого многочлена число является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №3

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

Решение:

►

Поэтому имеет корни: (поскольку — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Тогда

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №4

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Решение:

► Обозначим корни уравнения через и Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа и Поэтому искомое уравнение имеет вид где

По формулам Виета имеем Отсюда находим, что а Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Схема Горнера

Делить многочлен на двучлен иногда удобно с помощью

специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен необходимо разделить на двучлен В результате деления многочлена степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен степени (то есть , где ) и остаток Тогда то есть

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях

Найдем из этих равенств коэффициенты и остаток

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент умножить на и добавить коэффициент делимого. Эту процедуру целесообразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример №5

Разделите по схеме Горнера многочлен на двучлен

Решение:

► Запишем сначала все коэффициенты многочлена (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом,

Пример №6

Проверьте, является ли корнем многочлена

Решение:

► По теореме Безу остаток от деления многочлена на равен поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления на

Поскольку то — корень многочлена

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то является делителем свободного члена a — делителем коэффициента при старшем члене

Если является корнем многочлена то Подставляем

вместо в и из последнего равенства имеем

(1)

Умножим обе части равенства (1) на Получаем

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Поэтому делится на

Но когда мы записываем рациональное число в виде то эта дробь считается несократимой, то есть и не имеют общих делителей. Произведение может делиться на (если и — взаимно простые числа) только тогда, когда делится на Таким образом, — делитель свободного члена

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Тогда делится на Поскольку и взаимно простые числа, то делится на , следовательно, — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять то корнем многочлена будет целое число — делитель Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене коэффициент то делителями могут быть только числа то есть и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №7

Найдите рациональные корни многочлена

Решение:

► Пусть несократимая дробь является корнем многочлена. Тогда необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел a — среди делителей старшего коэффициента:

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера.

При имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень

Пример №8

Разложите многочлен на множители.

Решение:

► Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена:

Подходит 1. Делим на с помощью схемы Горнера.

Тогда

Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: Подходит Делим на

Имеем

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ:

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен степени не всегда можно разложить на произведение линейных множителей. Но многочлен нечетной степени всегда можно разложить на произведение линейных и квадратных множителей, а многочлен четной степени — на произведение квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №9

Разложите на множители многочлен

Решение:

► Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен на произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

(3)

где и — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что и могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты и в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи и или и и т. д.

Для каждой пары значений и из третьего равенства системы (4) найдем а из второго равенства имеем Зная и по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения подставим в четвертое равенство системы (4) чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Тогда равенство (3) имеет вид

(5)

Поскольку квадратные трехчлены и не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Деление многочлена на многочлен

Задача. Объём подарочных коробок, размеры которых даны в сантиметрах, можно смоделировать функцией – положительное целое число и . Если высоты коробок можно определить при помощи линейной функции , то как можно выразить другие размеры коробки в виде многочлена? Вы сможете решить эту задачу, изучив правило деления многочлена на многочлен.

Исследование. Изучите, как правило деления многозначных чисел столбиком можно применить при делении многочлена.

a) Для каждого из двух случаев укажите, какие числа и какие многочлены соответствуют понятиям делимое, делитель и частное.

b) Как был найден первый член при делении многочлена? Каковы сходные и отличительные черты данного деления и деления многозначных чисел?

c) Как вы убедились,что каждое из двух делений выполнено правильно?

Выражение вида называется многочленом степени от одной переменной. Здесь – переменная, – определенные числа и – старший член, – коэффициент при старшем члене, -свободный член. Многочлен можно разделить на многочлен аналогично правилу деления целых чисел столбиком.

Деление целого числа па целое число можно проверить равенством

Аналогичное правило справедливо и при делении многочлена на многочлен. Если многочлен -делимое, – делитель, – неполное частное, – остаток, то справедливо равенство

или .

Здесь, степень многочлена ниже степени многочлена Если делителем является двучлен , то остатком может являться определенное число

В этом случае:

Пример №10

а) Разделите многочлен на двучлен .

Ответ запишите в виде

b) Определите множество допустимых значений переменной.

c) Выполните проверку.

Решение:

b) При этом или , иначе возникает деление на нуль.

c) Должно выполняться тождество

Пример №11

Разделите на многочлен .

Решение:

запишем делимое в порядке убывания степеней. Введем в запись отсутствующие члены с коэффициентом равным 0.

Пример №12

1) Исследуйте деление столбиком многочлена на двучлен .

2) На каждом шаге деления делимое делится на старший член делителя, на и результат записывается в частное. Установите, как можно найти первый член при делении на каждом из следующих шагов.

Правило синтетического деления многочлена на двучлен (схема Горнера)

При делении многочлена на двучлен вида можно использовать метод, альтернативный делению столбиком – метод синтетического деления. При синтетическом делении, используя только коэффициенты, выполняется меньшее количество вычислений.

Пример №13

Разделите многочлен на двучлен методом синтетического деления.

Решение:

коэффициенты делимого записываются в порядке убывания степеней (отсутствующий член записывается с коэффициентом равным нулю). Если двучлен имеет вид , то его записывают в виде .

Запишем двучлен в виде .

Таким образом, для делимого и делителя частным будет , а остатком .

Деление можно записать в виде: В общем случае, правило синтетического деления (или схема Горнера) многочлена и-ой степени на двучлен х -т приведено в таблице ниже.

Теорема об остатке

Теорема об остатке (Теорема Безу)

Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена в точке

Доказательство: В равенстве запишем . , тогда .

Пример №14

Найдите остаток от деления многочлена на двучлен , применив теорему об остатке.

Решение: запишем делитель в виде , тогда . По теореме об остатке получим, что остаток равен

.

Проверим решение.

Теорема о разложении многочлена на множители

Значения переменной , которые обращают многочлен в нуль (т.е. корни уравнения ), называются корнями (или нулями) многочлена.

Теорема. Если число является корнем многочлена , то двучлен является множителем многочлена .

Действительно, если , то из равенства имеем . Верно и обратное утверждение, т.е. если двучлен является множителем многочлена .

Пример №15

При помощи теоремы о разложении многочлена на множители определите, являются ли двучлены множителями многочлена .

Решение: вычислим значение многочлена при .

Значит, не является множителем, а является одним из множителей данного многочлена.

Пример №16

Зная, что , разложите многочлен на множители.

Решение: так как , то двучлен один из множителей многочлена . Другой множитель найдем, используя метод синтетического деления.

Учитывая, что получим: .

Отсюда получаем, что являются нулями многочлена.

Примечание: Если многочлен задан в виде (здесь ), то число является кратным корнем многочлена (повторяется раз). Например, если разложение многочлена на множители имеет вид , то число является корнем кратности 3.

Нахождение рациональных корней

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство. Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель .то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Пример №17

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение: свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Пример №18

Найдите корни многочлена

Решение: по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как то, решив квадратное уравнение получим другие корни: Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня:

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми. Например, для нахождения корней многочлена

надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное

уравнение

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия.

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т. е. определяется двучлен на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: Значит, многочлен не имеет рациональных корней.

Основная теорема алгебры

Покажем на примере, что многочлен ой степени имеет корней.

Пример №19

Найдите все корни многочлена

Решение: рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

Значит, является корнем данного многочлена Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда Решим уравнение

( корень кратности 2);

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение ой степени всегда имеет корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.

Если является многочленом ненулевой степени с комплексными коэффициентами, то согласно основной теореме алгебры, у него есть хотя бы один корень По теореме о разложении многочлена на множители получим При этом многочлен имеет степень Если то если то согласно той же теореме, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через тогда справедливо разложение где – многочлен степени Значит, можно записать Аналогично, если то при на основании той же теоремы, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через получим т. е. можно записать

Продолжая процесс раз, получаем Тогда для многочлена можно записать следующее разложение:

здесь числа являются нулями многочлена Эти нули могут и не быть различными.

Следствие. Многочлен ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно корней, включая кратные корни.

Отметим, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число гак же является корнем данного многочлена.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения двучленов вида соответствующих действительным корням, и трехчленов вида соответствующих сопряженным комплексным корням.

Отсюда можно сделать вывод, что многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет действительные корни.

Пример №20

Запишите в виде произведения множителей многочлен наименьшей степени, если коэффициент при старшем члене равен 2, а корни равны 3 и

Решение: так как число является корнем многочлена, то сопряженное комплексное число также является корнем этого многочлена. Тогда искомый многочлен можно записать в виде

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

При движении скоростной карусели в Лунапарке изменение высоты (в метрах) кабины от нулевого уровня за первые 5 секунд можно смоделировать функцией В какие моменты в течении 5 секунд после начала движения кабина карусели находилась на нулевом уровне?

Решение: во всех случаях, кроме значений равных нулю, кабина карусели находится либо ниже, либо выше нулевого уровня. Значит, мы должны найти корни заданного многочлена. Применим правило нахождения рациональных корней.

1. Проверим, является ли число корнем.

2. Число является корнем, значит одним из множителей данного многочлена является Другие корни найдем при помощи синтетического деления.

Учитывая, что запишем многочлен в виде т. е. являются корнями уравнения. Значения принадлежат временному интервалу в 5 секунд, и в этих моментах кабина карусели находилась на нулевом уровне. То, что корни найдены верно показывает график многочлена, построенный при помощи графкалькулягора.

Функция-многочлен

График функции-многочлен

В стандартном виде функция – многочлен записывается как В частном случае, при получаем линейную функцию (график – прямая линия), при получаем квадратичную функцию (график- парабола). Любой многочлен определен на множестве действительных чисел и его графиком является непрерывная (сплошная) линия.

При возрастании значений аргумента по абсолютному значению многочлен ведет себя как функция старшего члена Ниже показаны примеры графиков функции – многочлен и их свойства.

Пример №22

Определите характер поведения функции – многочлен в зависимости от степени и коэффициента при старшем члене при возрастании аргумента по абсолютному значению.

a) б)

Решение: а) степень многочлена нечетная (равна 3). Коэффициент старшего члена равен По таблице видно, что в данном случае при а при

b) степень многочлена четная (равна 4). Коэффициент старшего члена равен 1. В данном случае при при

Пример №23

По графику определите как ведет себя функция – многочлен при неограниченном возрастании аргументов но абсолютному значению, четность или нечетность степени многочлена, знак коэффициента старшего члена.

Решение:

при

при

Многочлен нечетной степени

Решение:

при

при

Многочлен четной степени

Отметим, что если нечетно, то функция – многочлен имеет хотя бы один действительный нуль, если четно, то их вообще может и не быть.

Алгоритм построения эскиза графика функции – многочлен.

1. Находятся точки пересечения графика с осями координат (если они есть). Эти точки отмечаются на координатной плоскости.

2. Вычисляются значения функции в некоторых точках между действительными нулями. Соответствующие точки отмечаются на координатной плоскости.

3. Определяется поведение графика при больших значениях аргумента по абсолютному значению.

4. На основе полученных данных строят схематически график.

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

1. Применим теорему о рациональных корнях. Разложим многочлен на множители и найдем нули функции.

По теореме возможные рациональные нули надо искать среди чисел, которые являются делителями числа

Проверим

Значит, двучлен является одним из множителей. Остальные множители найдем синтетическим делением.

Зная, что запишем все линейные множители многочлена:

Отсюда находим нули Т. е. график пересекает ось абсцисс в точках и Так как то точка является точкой пересечения с осью Отметим эти точки на координатной плоскости.

2. Найдем еще несколько значений функции в точках, не требующих сложных вычислений. Например, в точках и

Отметим точки

3. Определим, как меняется график при уменьшении или увеличении значений Степень при старшем члене равна 3, а коэффициент положителен, функция нечетная. Значит, при при

4. Соединим отмеченные точки и получим схематический график функции

Рациональная функция

Рациональной функцией называется функция, которою можно представить в виде отношения двух многочленов:

Самым простым примером рациональной функции является функция

График функции называется гиперболой.

При стремлении значений к нулю точки гиперболы стремятся к оси ординат, т е. к прямой при неограниченном увеличении но абсолютному значению точки гиперболы неограниченно приближаются к оси абсцисс, т. е. к прямой Прямая называется вертикальной асимптотой, а прямая называется горизонтальной асимптотой гиперболы При параллельном переносе гиперболы на вектор получается график функции . В этом случае начало координат преобразуется в точку и вертикальной асимптотой становится прямая а горизонтальной- прямая

Пример №25

Постройте график функции

Решение: точки пересечения с осью найдем из уравнения

При получим и график пересекает ось в точке Разделим почленно числитель функции на знаменатель и запишем ее в виде Прямая является вертикальной асимптотой, а прямая – горизонтальной асимптотой. Зададим таблицу значений для нескольких точек справа и слева от вертикальной асимптоты

Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие парам значений из таблицы и, учитывая горизонтальную и вертикальную асимптоту, изобразим ветви гиперболы, которые пересекают координатные оси в точках и

В общем случае, для построения графика рациональной функции надо найти точки пересечения с осями координат (если они есть) и ее асимптоты. Если выражение, которое задает рациональную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а числитель отличен от нуля, то данная функция имеет вертикальную асимптоту. Горизонтальные асимптоты для рациональной функции определяются в соответствии со степенью и данных многочленов и

Для т. е. если степень многочлена в числителе на 1 единицу больше степени многочлена в знаменателе, частное, полученное при делении, имеет вид и является линейной функцией. При возрастании по абсолютному значению график функции приближается к данной прямой. В этом случае говорят, что прямая является наклонной асимптотой.

Пример №26

Найдите асимптоты и схематично изобразите график функции

Решение: Точки пересечения с осью найдем из уравнения При получим и график пересекает ось в точке При знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Горизонтальной асимптоты у данной функции нет Разделив числитель на знаменатель, запишем функцию в виде:

Для больших, но модулю, значений дробь по абсолютному значению уменьшается и график заданной функции бесконечно приближается к прямой т. е. прямая является наклонной асимптотой данной функции. Составим таблицу значений для некоторых точек слева и справа от вертикальной оси.

Отметим точки, координаты которых соответствуют парам из таблицы. Учитывая вертикальную и наклонную асимптоту, схематично изобразим график функции.

Многочлены в линейной алгебре

Многочленом от переменной х степени n называется выражение вида:

, где – действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, n – натуральное число, х – переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент примногочлена отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число n называется степенью многочлена, – старшим коэффициентом, а – старшим членом многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и называется многочлен

Произведением многочленов и называется многочлен:

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочлены такие, что причем степень меньше степени g(x) или. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Многочлены g(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком. Если g(x) делит , то остаток .

Число с называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу

Число с является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на x – с.

Пусть с – корень многочлена , т.е.. Разделим на

где степень r(х) меньше степени (x-с) которая равна 1. Значит, степень г(х) равна 0, т.е. r(х) = const. Значит, . Так как , то из последнего равенства следует, что r=0, т.е.

Обратно, пусть (х-с) делит , т.е. . Тогда

Следствие. Остаток от деления многочлена на (x-с) равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен х-с с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть где Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число с-называется корнем кратности к многочлена , если делит , но уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число с корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на х-с, затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на х-с, и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в С (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где – корни , т.е. во множестве С всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то: где уже различные корни , – кратность корня

Если многочлен , с действительными коэффициентами имеет корень с, то число с также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть корни Тогда делится на х-с и , но так как у и х-с, нет общих делителей, то делится на произведение

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде некоторые многочлены, а правильная рациональная дробь.

Лемма 1, Если правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е., то существует вещественное число A и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если правильная рациональная дробь, а числоявляется корнем кратности многочлена g(x), т.е. и если , то существуют вещественные числа M и N многочлен с вещественными коэффициентами, такие, где дробь , также является правильной.

Рациональные дроби вида – трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Он состоит в следующем:

При этом если степень многочлена равна n, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени n-1, т.е. многочлен коэффициентами.

Число неизвестных ‘ также равняется n:

Таким образом, получается система n уравнений с n неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.